في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد التكامل غير المحدَّد الناتِج عنه الدوال المثلثية.
لإيجاد التكامل غير المحدَّد لدوال مثلثية مختلفة، يُمكننا البدء باسترجاع الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.
النظرية: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
إذا كانت دالة متصلة، ذات قِيَم حقيقية على الفترة ، وجعلنا مُعرَّفة على الفترة ؛ حيث: فإن الدالة تكون متصلة بشكلٍ منتظِم على ، وقابلة للاشتقاق على ، كما أن: لجميع قِيَم .
تنصُّ النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل على أن التفاضل والتكامل غير المحدَّد عمليتان عكسيتان كلٌّ منهما للأخرى. وهذا يعني أنه يُمكننا إيجاد التكامل غير المحدَّد لبعض الدوال المثلثية بالتفكير في نتائج المشتقات التي نعلمها بالفعل.
على سبيل المثال، نحن نعلم أنه لأيِّ ثابت حقيقي ، وأيِّ متغيِّر ، يُقاس بالراديان، فإن:
هذا يوضِّح لنا أن مشتقة عكسية لـ ، لأيِّ قيمة لـ . ويُمكننا استخدام ذلك لإيجاد المشتقة العكسية العامة لـ ، وبما أن هذه ستكون مشتقة عكسية إذا أضفنا أيَّ ثابت، إذن علينا إضافة ثابت تكامل سنسمِّيه :
هذه نتيجة مُفيدة، لكنْ يُمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قاعدة تكامل لـ باستخدام خواص التكامل غير المحدَّد:
هذا يعني أن:
يُمكننا بعد ذلك القسمة على ، بشرط ألَّا يساوي صفرًا:
أخيرًا، ثابت، وهو ما يعني أن ثابت أيضًا. هذا يعني أنه يُمكننا إضافة ثابت جديد، وهو ، لتبسيط هذا المقدار.
وشريطة أن يكون ، أوضحنا أن:
يُمكننا اتِّباع العملية نفسها لإيجاد قاعدة تكامل غير محدَّد لـ .
أولًا، نعلم أنه لأيِّ ثابت حقيقي ، وأيِّ متغيِّر يُقاس بالراديان، فإن:
هذا يعني أن المشتقة العكسية لـ ، ويُمكننا استخدام ذلك لإيجاد المشتقة العكسية العامة:
يُمكننا أخْذ العامل الثابت خارج التكامل:
يُمكننا بعد ذلك القسمة على ، بشرط أن يكون :
وأخيرًا، نجعل :
سنتناول مثالًا آخَر لهذه العملية على دالة الظل.
نتذكَّر أنه لأيِّ ثابت حقيقي ، وأيِّ متغيِّر يُقاس بالراديان، فإن:
يوضِّح لنا هذا أن مشتقة عكسية لـ . ومن ثَمَّ، يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد المشتقة العكسية العامة:
بأخْذ العامل الثابت خارج التكامل غير المحدَّد، نحصل على:
شريطة أن يكون ، يُمكننا القسمة على : حيث .
دعونا نلخِّص نتائج التكامل غير المحدَّد التي أوضحناها الآن.
تعريف: التكاملات غير المحدَّدة الناتِج عنها الدوال المثلثية
لأيِّ ثابت حقيقي ، وأيِّ متغيِّر يُقاس بالراديان، فإن:
- .
إحدى طُرق تصوُّر هذه العلاقة هي استخدام الشكل الآتي.
يكون الاشتقاق بالنسبة إلى في اتجاه عقارب الساعة خلال هذه الدورة، ويكون التكامل بالنسبة إلى عكس اتجاه عقارب الساعة؛ حيث يجب علينا إضافة ثابت تكامل.
هيَّا نتناول بعض الأمثلة بغرض التدريب والمُساعدة على الفهْم بشكل أكبر. في المثال الأول، سنوضِّح كيفية إيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد لمجموع دالتين مثلثيتين.
مثال ١: تكامل الدوال المثلثية
أوجد قيمة
الحل
نريد إيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد لدالة مثلثية. يُمكننا البدء بتبسيط هذا التكامل باستخدام خواص التكامل غير المحدَّد:
يُمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه التكاملات غير المحدَّدة باسترجاع أن:
بتجميع ثوابت التكامل في نهاية المقدار، نحصل على:
إذن:
في المثال الآتي، سنعرف كيف نطبِّق هذه العملية على التكامل غير المحدَّد لدالة مثلثية تتضمَّن زاوية مضروبة في عدد.
مثال ٢: تكامل الدوال المثلثية ذات الزوايا المضروبة في عدد
أوجد
الحل
لإيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدَّد، نبدأ باسترجاع نتيجة التكامل غير المحدَّد الآتية للدوال المثلثية. لأيِّ ثابت حقيقي ، فإن:
لتطبيق هذا، نجعل ، ونأخذ العامل الثابت ٣ خارج التكامل:
وأخيرًا، نجعل ، ونُعيد كتابة العامل أمام الدالة، وهو ما يُعطينا:
إذن:
يُمكننا أيضًا استخدام قواعد التكامل غير المحدَّد هذه لإيجاد قِيَم التكاملات التي تتضمَّن المشتقة العكسية لمربع دالة القاطع.
مثال ٣: تكامل مقلوب الدوال المثلثية
أوجد
الحل
لإيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدَّد، علينا أن نتذكَّر أولًا نتيجة التكامل غير المحدَّد الآتية للدوال المثلثية. لأيِّ ثابت حقيقي ، فإن:
لتطبيق هذه النتيجة على التكامل غير المحدَّد المُعطَى في السؤال، نأخذ أولًا العامل الثابت خارج التكامل:
نطبِّق بعد ذلك قاعدة التكامل غير المحدَّد باستخدام :
وأخيرًا، نضع ثابتًا جديدًا، وهو ، ونكتب المعامل أمام الدالة:
وبذلك، نكون قد أوجدنا أن:
يُمكننا أيضًا تطبيق هذه النتائج إذا لم يكن معامل المتغيِّر عددًا صحيحًا. سنوضِّح ذلك في المثال الآتي.
مثال ٤: تكامل الدوال المثلثية
أوجد
الحل
لكي نتمكَّن من إيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدَّد، من الأسهل إعادة كتابة السعة على الصورة :
يُمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا التكامل باسترجاع قواعد التكامل غير المحدَّد الآتية للدوال المثلثية؛ لأيِّ ثابت حقيقي ، فإن:
يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد بأخْذ العامل الثابت ٧ خارج التكامل، وجعل . هذا يُعطينا:
وأخيرًا، يُمكننا الضرب في ٧، ووضع الثابت الجديد :
إذن:
في المثال الآتي، سنعرف كيف نستخدم قواعد التكامل غير المحدَّد هذه إلى جانب قاعدة القُوى للتكامل.
مثال ٥: تكامل الدوال المثلثية التي تتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية
أوجد
الحل
مطلوب منَّا إيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد لمجموع ثلاثة حدود أو الفرق بينها. لنبدأ بإعادة كتابة ذلك على صورة ثلاثة تكاملات منفصلة:
يُمكننا إيجاد قيمة كلِّ تكامل من هذه التكاملات غير المحدَّدة على حِدَةٍ باسترجاع قواعد التكامل غير المحدَّد الثلاث الآتية.
لأيِّ ثابت حقيقي لا يساوي صفرًا ، لدينا:
لأيِّ ثابت حقيقي ، تنصُّ قاعدة القُوى للتكامل على أن:
باستخدام ، نعلم أن:
يُمكننا استخدام هذه القواعد الثلاث لحساب تكامل كلِّ حدٍّ على حِدَةٍ:
وأخيرًا، يُمكننا تجميع جميع ثوابت التكامل في ثابت جديد، وهو :
إذن:
في المثال الأخير، سنجمع بين إحدى المتطابقات المثلثية وقواعد التكامل غير المحدَّد.
مثال ٦: تكامل مقلوب الدوال المثلثية
أوجد
الحل
في هذا السؤال، مطلوب منَّا إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة مثلثية. لكنَّنا لا نعلم كيف نُوجِد تكامل هذه الدالة مباشرة على صورتها الحالية. بدلًا من ذلك، يُمكننا أن نبدأ بإعادة كتابة الدالة التي سيجري تكاملها باستخدام متطابقة مقلوب الدالة المثلثية الآتية:
باستخدام هذه المتطابقة وقواعد التكاملات غير المحدَّدة، نحصل على:
يُمكننا الآن إيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدَّد بتذكُّر القاعدة الآتية. لأيِّ ثابت حقيقي ، فإن:
بجعل ، يصبح لدينا:
بعد ذلك، نفكُّ الأقواس، ونجعل :
إذن:
دعونا نختم بمراجعة بعض النقاط الرئيسية في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقواعد اشتقاق الدوال المثلثية، يُمكننا توضيح القواعد الآتية لإيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد للدوال المثلثية.
- لأيِّ ثابت حقيقي لا يساوي صفرًا، وأيِّ متغيِّر يُقاس بالراديان، فإن:
- .
