شارح الدرس: الاحتمال الشرطي: مخطط الشجرة البيانية الرياضيات

مثال ١: إيجاد احتمال شرطي على مخطط الشجرة البيانية

تحتوي حقيبة على ٣ كرات زرقاء و٧ كرات حمراء. اختار سيف كرتين دون إحلال، ورسم مخطط الشجرة البيانية الموضَّح.

إذا كانت الكرة الأولى حمراء، فأوجد قيمة التي تمثِّل احتمال أن تكون الكرة الثانية المختارة حمراء.

الحل

نعلم من السؤال أن الكرتين مختارتان دون إحلال. يعني هذا أن لون الكرة الثانية يعتمد على لون الكرة الأولى. ونتيجةً لذلك، علينا التفكير في ناتج الحدث الأول عند حساب احتمال وقوع الحدث الثاني.

بما أن المطلوب منا هو إيجاد قيمة ، التي تمثِّل احتمال أن تكون الكرة الثانية المختارة حمراء بشرط أن تكون الكرة الأولى المختارة حمراء، إذن علينا استخدام المُعطيات بأن الكرة المختارة أولًا حمراء لتحديد قيمة .

في البداية، توجد ثلاث كرات زرقاء و٧ كرات حمراء. إذا كانت الكرة الأولى المختارة حمراء، فسيصبح لدينا الآن ٦ كرات حمراء في الحقيبة، لكن يظل عدد الكرات الزرقاء كما هو دون تغيير. ومن ثَمَّ، يُحسَب احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بأخذ عدد الكرات الحمراء المتبقية في الحقيبة بعد اختيار كرة حمراء، وهو (٦) كرات، وقسمته على إجمالي عدد الكرات بعد اختيار كرة حمراء، وهو (٩) كرات، على النحو الآتي:

وبما أننا نعلم من المسألة أن احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء هو ، إذن يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قيمتَي الفرعين يجب أن يساوي ١ باعتبارها طريقة للتحقُّق من إجابتنا. وبما أن ، إذن يمكننا القول إن هذا صحيح.

إذن احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء هو .

مثال ٢: حساب الاحتمال الشرطي دون إحلال

تحتوي حقيبة على ٢٢ كرة حمراء و١٥ كرة سوداء. سُحِبَت كرتان عشوائيًّا دون إحلال. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الكرة الأولى حمراء. ضع إجابتك في أبسط صورة.

الحل

نلاحظ من السؤال أنه يتعلَّق بحدثين لاختيار كرات من حقيبة. ومن ثَمَّ، فإنه من المفيد استخدام مخطط الشجرة البيانية لتوضيح ذلك.

بما أنه يتم اختيار الكرتين إما في نفس الوقت وإما واحدةً تلو الأخرى، إذن يمكننا التعامل مع الحدثين باعتبارهما حدثين متتاليين. إذن سيكون للمجموعة الأولى من الفروع ناتجان: كرة حمراء وكرة سوداء، لتمثيل الكرة الأولى، وسيكون للمجموعة الثانية من الفروع الناتجان نفسهما، لكنهما سيمثِّلان الكرة الثانية، كما هو موضَّح في الآتي:

وبما أن الكرة الأولى والكرة الثانية مسحوبتان في الوقت نفسه، إذن يمكننا افتراض أنهما مختارتان دون إحلال. يعني هذا أنه بمجرد اختيار الكرة الأولى، لا تُوضَع في الحقيبة مرةً أخرى، ويغيِّر ذلك إجمالي عدد الكرات الموجودة في الحقيبة، وكذلك عدد كل لون. ومن ثَمَّ، علينا التفكير في ناتج الكرة الأولى عند حساب قيمة احتمال ناتج الكرة الثانية.

سنبدأ بحساب قيم احتمالات نواتج الكرة الأولى. بما أن هناك ٢٢ كرة حمراء و١٥ كرة سوداء، فإن إجمالي عدد الكرات يساوي ٣٧ كرة. بالنسبة إلى احتمال اختيار كرة حمراء، يمكننا استخدام القاعدة البسيطة للاحتمال:

وبالمثل، فإن احتمال اختيار كرة سوداء هو:

يمكننا الآن إضافة هذه المعلومات إلى الفرعين الأوَّلين في مخطط الشجرة البيانية على النحو الآتي:

لاحظ أن مجموع الاحتمالات في الفرعين يساوي ١. ولا بد أن يكون هذا صحيحًا بالنسبة إلى كل مجموعة من الفروع في مخطط الشجرة البيانية؛ لأنه في كل مرحلة تشمل كل مجموعة من الفروع جميع النواتج الممكنة.

بعد ذلك، سنوجد قيم احتمالات نواتج الكرة الثانية. ولفعل ذلك، علينا التفكير في الناتج الأول لتحديد عدد الكرات لكل لون، وكذلك إجمالي عدد الكرات.

إذا كانت الكرة الأولى حمراء، فهذا يعني أن كرة حمراء تنقص من الحقيبة عند اختيار الكرة الثانية. وهذا يعني أن هناك ٢١ كرة حمراء؛ لكن يظل عدد الكرات السوداء كما هو، ١٥ كرة، دون تغيير. وهذا يعني أيضًا أن إجمالي عدد الكرات الآن هو .

احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء يساوي عدد الكرات الحمراء في الحقيبة (وهو الآن ٢١) مقسومًا على العدد الإجمالي (وهو الآن ٣٦):

وبالمثل، احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء يساوي عدد الكرات السوداء في الحقيبة (الذي يظل ١٥) مقسومًا على العدد الإجمالي (وهو الآن ٣٦).

وبذلك، نكون قد وجدنا أن احتمال كون الكرة الثانية سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء هو ، كما هو مطلوب في السؤال.

ملاحظة

يمكننا التحقُّق من إجابتنا باستخدام حقيقة أن مجموع قيمتَي الفرعين يساوي واحدًا، كما هو موضَّح في مخطط الشجرة البيانية.

مثال ٣: احتمال شرطي مطبَّق على حالة الطقس باستخدام مخطط الشجرة البيانية

احتمال أن تُمطِر السماء في أحد الأيام هو ٠٫٦. إذا أمطرت، فإن احتمال لَعِب مجموعة من الأصدقاء لكرة القدم يكون ٠٫٢. إذا لم تُمطر، فإن احتمال لَعِبهم لكرة القدم يزداد إلى ٠٫٨.

1. أوجد احتمال أن تُمطر في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم.
2. أوجد احتمال ألَّا تُمطر في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم.
3. ما احتمال لَعِب الأصدقاء لكرة القدم في ذلك اليوم؟

الحل

بما أن لدينا عددًا صغيرًا من النواتج، أن تُمطر/ألَّا تُمطر، ولَعِب كرة القدم/وعدم لَعِب كرة القدم، يمكننا بسهولة تمثيل مجموعة النواتج بأكملها على مخطط شجرة بيانية. تعتمد النواتج المتعلِّقة بلَعِب كرة القدم على إذا ما كانت السماء تُمطر أو لا؛ ومن ثَمَّ، فإن مجموعة الفروع الأولى ينبغي أن تتناول إذا ما كانت السماء تُمطر أو لا. نحن نعلم أن احتمال أن تُمطر السماء هو ٠٫٦؛ ومن ثَمَّ يكون احتمال ألَّا تُمطر، ، هو ، ويمكننا أن نُلحق هذه الاحتمالات بالفرعين المعنيين.

ستنبثق مجموعات الفروع الثانية التي تتناول النواتج المتعلِّقة بلَعِب كرة القدم من هذين الفرعين، وكما فعلنا في حالة أن السماء تُمطر/ألَّا تُمطر، يمكننا إيجاد احتمالات لَعِب كرة القدم/عدم لَعِب كرة القدم من المعلومات التي لدينا.

نعلم أنه إذا أمطرت السماء، فإن احتمال لَعِب الأصدقاء لكرة القدم يكون ٠٫٢؛ ومن ثَمَّ يكون احتمال عدم لعبهم لكرة القدم إذا أمطرت هو . وبالمثل، إذا لم تُمطر السماء، يكون احتمال لعب الأصدقاء لكرة القدم هو ٠٫٨؛ ومن ثَمَّ يكون احتمال عدم لعبهم لكرة القدم إذا لم تُمطر هو: . باستخدام هذه المعلومات، يمكننا كتابة قيم الفروع والاحتمالات الجديدة على مخطط الشجرة البيانية.

والآن، بعد أن أصبح لدينا مخطط الشجرة البيانية، يمكننا حساب الاحتمالات المطلوبة.

الجزء الأول

لإيجاد احتمال أن تُمطر في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم، نضرب الاحتمالين الموجودين على الفرعين بامتداد الجزء العلوي من المخطط، المناظر لأنْ تُمطر ولعب كرة القدم، كما هو موضَّح.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن تُمطر ويلعب الأصدقاء كرة القدم هو:

الجزء الثاني

لإيجاد احتمال ألَّا تُمطر في ذلك اليوم ويلعب الأصدقاء كرة القدم، نضرب الاحتمال الموجود على الفرع الخاص بألَّا تُمطر في احتمال لَعِب كرة القدم الموجود على الفرع المنبثق من ألَّا تُمطر.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال ألَّا تُمطر في ذلك اليوم ويلعب الأصدقاء كرة القدم هو ٠٫٣٢. بعبارة أخرى، هناك احتمال بنسبة ألَّا تُمطر ويلعب الأصدقاء كرة القدم.

الجزء الثالث

لإيجاد احتمال أن يلعب الأصدقاء كرة القدم في ذلك اليوم، يجب أن نتناول مجموع النواتج التي تكون فيها النتيجة هي «لعب كرة القدم». وهذا يعني إضافة احتمال أن تُمطر وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم إلى احتمال ألَّا تمطر وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم.

ومن ثَمَّ، يكون احتمال لَعِب الأصدقاء لكرة القدم في ذلك اليوم هو:

يمكننا القول بأن هناك احتمالًا بنسبة أن يلعب الأصدقاء كرة القدم في ذلك اليوم.

ملاحظة

مجموع قيم احتمالات جميع النواتج الممكنة، مجتمعة معًا، يساوي ١. يجب أن يكون الأمر هكذا دائمًا.

مثال ٤: الاحتمالات الشرطية، ومخططات الشجرة البيانية، والنتائج الإيجابية الخاطئة

من الحقائق غير المعروفة أن المخدِّرات استُخدمت لتحسين الأداء في الألعاب الرياضية منذ الألعاب الأوليمبية الأصلية ( ٧٧٦ إلى ٣٩٣ قبل الميلاد). في الحقيقة، يُعتقَد أن أصل كلمة «المنشطات» يرجع إلى كلمة هولندية تدل على نوع من عصير الأفيون استخدمه الإغريق القدماء.

وقد أصبح اختبار المنشطات ممارسة قياسية. في عام ٢٠٠٣، وبعد إجراء اختبار عشوائي لنحو ١‎ ‎٥٠٠ لاعب، أعلنت رابطة دوري البيسبول الرئيسي أن تقريبًا من لاعبي البطولة تناولوا المنشطات المحسِّنة للأداء. وقد حصلوا على هذه النتيجة مع الوضع في الاعتبار احتمال أن من أولئك الذين كانت نتائج اختبارهم إيجابية لم يتناولوا المنشطات (تأثير إيجابي خطأ)، وأن احتمال ممن تناولوا منشطات كانت نتائج اختبارهم سلبية (تأثير سلبي خطأ).

1. أوجد احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا لم يتناول منشطات وكانت نتيجة اختباره إيجابية. قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، إذا لزم الأمر.
2. أوجد احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا تناول منشطات وكانت نتيجة اختباره إيجابية. قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، إذا لزم الأمر.
3. أوجد احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا كانت نتيجة اختباره إيجابية. قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، إذا لزم الأمر.

الحل

في هذه الحالة، لدينا لاعب بدوري البيسبول الرئيسي اختير عشوائيًّا، إما أنه تناول منشطات وإما أنه لم يتناول أي منشطات، وكانت نتيجة اختبار تناوله للمنشطات إما إيجابية وإما سلبية. الخطوة الأولى هي رسم مخطط شجرة بيانية باستخدام المعلومات التي لدينا. يمكننا استخدام هذا لإيجاد قيم الاحتمالات المطلوبة.

يوضِّح الفرعان الأوَّلان نواتج «تناول المنشطات» و«عدم تناول المنشطات»؛ أي إذا ما كان أحد لاعبي دوري البيسبول قد تناول منشطات أو لا. نحن نعرف أن تقريبًا من لاعبي دوري البيسبول تناولوا منشطات؛ ومن ثَمَّ، فإن احتمال عدم تناول لاعبي دوري البيسبول للمنشطات هو ٠٫٩٤ (حيث باعتباره احتمالًا و).

الخطوة الآتية هي إضافة الفروع الخاصة بكلٍّ من ناتجَي الاختبار، وهي إما إيجابي وإما سلبي، إلى كلا الاحتمالين، وهما عدم تناول المنشطات وتناول المنشطات.

بما أن احتمال التأثير الإيجابي الخطأ هو ٠٫٠٥ ؛ أي من المعروف أنه لم يتم تناول أي منشطات لكن نتيجة الاختبار كانت إيجابية، فإن احتمال الحصول على نتيجة سلبية للاختبار في حال عدم تناول أي منشطات هو . وقد وُضِع هذان الاحتمالان (٠٫٠٥ و٠٫٩٥) على مخطط الشجرة البيانية بجانب الفرعين المعنيين (إيجابي أو سلبي) المنبثقين من فرع عدم تناول المنشطات.

وبالمثل، عندما كان معلومًا أنه قد تم تناول المنشطات، كان احتمال الحصول على نتيجة اختبار سلبية هو ٠٫١ (أي )؛ ومن ثَمَّ، فاحتمال الحصول على نتيجة اختبار إيجابية هو . وقد وُضِع هذان الاحتمالان (٠٫١ و٠٫٩) بجانب فرعَي إيجابي وسلبي المنبثقين من فرع تناول المنشطات.

الجزء الأول

لإيجاد احتمال أن يكون لاعب بدوري البيسبول لم يتناول منشطات وكانت نتيجة اختباره إيجابية، نضرب الاحتمال الموجود على فرع عدم تناول منشطات في الاحتمال الموجود على الفرع المعني بنتيجة الاختبار الإيجابية.

إذن احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا لم يتناول منشطات وكانت نتيجة اختباره إيجابية هو ٠٫٠٤٧ أو .

الجزء الثاني

لإيجاد احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا تناوَل منشطات وكانت نتيجة اختباره إيجابية، نضرب احتمال تناوُل المنشطات الموجود على مجموعة الفرعين الأوَّلين، واحتمال نتيجة الاختبار الإيجابية الموجود على المجموعة الثانية، أحدهما في الآخر.

الجزء الثالث

لإيجاد احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا كانت نتيجة اختباره إيجابية، علينا جمع احتمالات كل حالة ممكنة قد تكون فيها نتيجة اختبار لاعب بدوري البيسبول إيجابية معًا. لحسن الحظ، هناك طريقتان لأن تكون نتيجة اختبار أحد اللاعبين إيجابية، وقد أوجدنا بالفعل احتمال حدوث كليهما! هذان الاحتمالان هما أن يكون اللاعب لم يتناول منشطات ونتيجة اختباره إيجابية ()، وأن يكون اللاعب قد تناوَل منشطات ونتيجة اختباره إيجابية ().

إذن احتمال اختيار لاعب بدوري البيسبول عشوائيًّا كانت نتيجة اختباره إيجابية هو . وهو ما يعني أن نتيجة اختبار تقريبًا من اللاعبين إيجابية.

مثال ٥: إيجاد عدد مجهول باستخدام مخطط الشجرة البيانية

هناك عدد مجهول من الكرات في الحقيبة. يوجد ٣ كرات بيضاء وبعض الكرات السوداء. اختيرت كرتان دون إحلال. إذا كان احتمال اختيار كرة سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء هو ، فما عدد الكرات السوداء الموجودة في الحقيبة؟

الحل

بما أننا نعلم من السؤال أن هناك ناتجين ممكِنين لكل حدث، أبيض وأسود، وأن الكرتين مختارتان دون إحلال، فمن المفيد استخدام مخطط الشجرة البيانية لتمثيل هذه المعلومات. نبدأ برسم مخطط الشجرة البيانية للنواتج المختلفة.

نعلم من السؤال أن احتمال اختيار كرة سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء هو . يمثِّل ذلك فرع اختيار الكرة السوداء الذي يتفرَّع من فرع اختيار الكرة البيضاء، كما هو موضَّح.

وعلمنا من السؤال في البداية أن هناك ثلاث كرات بيضاء في الحقيبة، لكن إجمالي عدد الكرات مجهول، وعدد الكرات السوداء مجهول. إذا افترضنا أن يساوي عدد الكرات السوداء، فإن إجمالي عدد الكرات يساوي ؛ لأنه يمثِّل عدد الكرات السوداء، وهو ، زائد عدد الكرات البيضاء، وهو ٣.

إذن يمكننا القول إن احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء يساوي عدد الكرات البيضاء، وهو ٣، مقسومًا على إجمالي عدد الكرات، وهو . هذا يُعطينا:

بتسمية هذا على مخطط الشجرة البيانية، سنحصل على الآتي:

باستخدام باعتباره عدد الكرات السوداء في الحقيبة، واستخدام باعتباره إجمالي عدد الكرات، يمكننا إذن كتابة تعبير دال على احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء. عندما نختار الكرة الثانية، فإننا نعلم أنه بما أن الكرة الأولى المختارة بيضاء، إذن يتبقى لدينا في الحقيبة كرتان بيضاوان فقط، لكن يظل عدد الكرات السوداء. ومن ثَمَّ، يكون احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء هو عدد الكرات السوداء، ، مقسومًا على عدد الكرات في الحقيبة، ؛ لأن هناك كرتين بيضاوين فقط في الحقيبة الآن. هذا يُعطينا:

وبما أننا نعلم بالفعل أن احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء هو ، إذن يمكننا مساواة ذلك بالتعبير الموضَّح سابقًا لإيجاد قيمة . هذا يُعطينا:

إذن عدد الكرات السوداء في الحقيبة هو ١٢.