شارح الدرس: ضرب المصفوفات في عدد ثابت الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نضرب كمية قياسية في مصفوفة.

لا يوجد وجهُ شبهٍ واضح بين بعض العمليات الحسابية في الجبر الخطِّي، مثل إيجاد مدوَّر المصفوفة وضرب المصفوفات، والتي تُعرَّف بطريقة معقَّدة، وبين العمليات المعرَّفة في الجبر التقليدي. توجد أيضًا أنواع خاصة من المصفوفات، مثل المصفوفات المربعة، تقترن بها مفاهيم أكثر تقدُّمًا، مثل محدِّد المصفوفة ومعكوس المصفوفة. وقد استغرق العديد من هذه المفاهيم وقتًا طويلًا للتطوُّر بعد أن ظهرت فكرة الجبر الخطِّي (بطريقة غير مباشرة) في عام ٣٠٠ ق.م تقريبًا. فمثلًا، سُجِّل أول طرح لفكرة محدِّد المصفوفة عام ١٦٨٣؛ أي بعد نحو ٢‎ ‎٠٠٠ سنة!

ولكل مفهوم من المفاهيم المختلفة في علم الجبر الخطِّي سبب مُبرَّر ومنطقي تمامًا لطرحه، حتى وإن كان بعضها يصعب فهمه عند قراءته لأول مرة. أما وقد قلت ذلك، فإنه توجد مفاهيم عديدة في علم الجبر الخطِّي مبرهَنة جيدًا وسهلة التعريف. وتشمل تلك المفاهيم جَمْع مصفوفتين أو طرحهما، وكذلك ضرب المصفوفة الواحدة في عدد ثابت. يُرجى ملاحظة أن مفهوم الضرب في عدد ثابت يختلف عن الضرب في مصفوفة؛ فالمفهوم الأخير أكثر تعقيدًا، وأن الضرب في عدد ثابت هو أسهل العمليتين فهمًا.

على سبيل المثال، انظر المصفوفة:

نفترض الآن أننا نريد ضرب المصفوفة في كمية قياسية هي العدد الثابت . إذن نضرب كل عنصر موجود في المصفوفة في ؛ ومن ثِمَّ نجد أن:

وبإكمال العملية لكل عنصر نحصل على:

لا يقتصر ضرب المصفوفة في كمية قياسية على ضرب المصفوفة في عدد صحيح فقط، فيمكننا أيضًا أن نختار الضرب في كسر، أو في عدد غير نسبي، أو حتى في عدد مركَّب إذا كنا نرغب بذلك. وعلى الرغم من أن هذا ليس أمرًا ضروريًّا، فإنه من الأفضل عادةً عند ضرب المصفوفة في كمية قياسية على صورة كسر أن يُبسَّط أيُّ كسر ناتج إلى أبسط صورة له. على سبيل المثال، نُحدِّد المصفوفة: ونضربها في كمية قياسية، هي العدد الثابت . من ثَمَّ، نجد أن:

وبتبسيط أكبر عدد ممكن من الكسور لأبسط صورة ممكنة سنحصل على:

الآن، قبل أن نتناول بعض المسائل المعقَّدة التي تنشأ عن تعريف الضرب في عدد ثابت، نتدرَّب أولًا على سؤال واحد.

أحد المبادئ الأساسية لعملية الضرب في عدد ثابت هو أن كل عنصر منفرد تُطبَّق عليه العملية نفسها؛ أي إن كل عنصر يُضرَب في نفس العدد. عند الضرب في عدد ثابت لا يمكن أن نضرب العناصر المختلفة في أعداد مختلفة. يعطينا السؤال التالي مثالًا على كيفية تطبيق هذا المبدأ في حل مسائل الجبر الخطي.

في كثير من الأحيان، عند التعامل مع مصفوفة معيَّنة، نختار أن نأخذ مضاعفًا قياسيًّا عاملًا مشتركًا من كل عنصر، إن أمكن. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المصفوفة: فمن السهل أن نلاحظ أنه يمكننا كتابتها على الصورة:

ومن ثَمَّ، يكون لكل عنصرٍ عاملٌ مشتركٌ يمكن حذفه، هو أربعة، وهو ما يعطينا:

في بعض الحالات، قد يُفَضَّل تعريف مصفوفة جديدة على هذا النحو: ومن ثم، يصير بإمكاننا كتابة المعادلة .

الضرب في عدد ثابت هو عملية تُجرَى باستمرار في الجبر الخطِّي. وإلى جانب الجمع، لعلها هي أبسط عملية جبرية يمكن فهمها. مع ذلك، فإن هذا لا يعني أنه يمكننا اعتبار مسألة في الجبر الخطِّي بسيطة فقط لأنها تتضمَّن عملية ضرب في عدد ثابت. يوضِّح السؤالان التاليان كيف يمكن لضرب المصفوفات في عدد ثابت تقديم أمثلة ثرية بالأفكار ومثيرة للاهتمام تتيح لنا الوصول إلى مستوى فهم أفضل.

عندما تُدمَج عملية الضرب في عدد ثابت مع عملية جمع مصفوفتين، نجد أن لها العديد من الخواص المثيرة للاهتمام. وإذا كنا نستخدم العمليات الجبرية التقليدية، فإننا نعلم أن الكميات ، ، تخضع دائمًا للقاعدة: التي تُعرَف باسم «خاصية التوزيع». ويتضح أن الخاصية نفسها تنطبق على جمع مصفوفتين والضرب في عدد ثابت.

سنوضِّح هذه النتيجة بمثال. نفترض أن ونحدِّد المصفوفتين:

ثم: من ثَمَّ، نجد أن:

وبالمثل، كان بإمكاننا اختيار طريقة مختلفة وحساب: أولًا.

وبعد هذه الخطوة نحسب:

وهكذا نكون قد أوضحنا في هذا المثال أن . من الممكن بالطبع إثبات النظرية المذكورة أعلاه بصورة مجرَّدة وبدون الرجوع إلى أيِّ مثال محدَّد، لكننا استخدمنا مثالًا للتوضيح.

وعلى الرغم من أن الضرب في عدد ثابت عملية سهلة تُجرَى على المصفوفات، فإن القدرة على استخدام هذا المفهوم بسلاسة عادةً ما تتمثَّل في الفرق بين تقديم حل قصير وبسيط لمسألة وتقديم حل طويل ومعقَّد. وعند النظر إلى أيِّ مصفوفة محدَّدة، من الأفضل دائمًا التحقُّق ممَّا إذا كان يمكن حذف أيِّ مضاعفات قياسية بسهولة من جميع عناصرها. للعديد من المفاهيم الأخرى في علم الجبر الخطِّي ارتباط ما على الأقل بعملية الضرب في عدد ثابت، ويُلاحَظ ذلك خاصةً مع مفاهيم أساسية، مثل المحدِّد، وضرب مصفوفتين.