شارح الدرس: ضرب المصفوفات في عدد ثابت الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نضرب كمية قياسية في مصفوفة.

لا يوجد وجهُ شبهٍ واضح بين بعض العمليات الحسابية في الجبر الخطِّي، مثل إيجاد مدوَّر المصفوفة وضرب المصفوفات، والتي تُعرَّف بطريقة معقَّدة، وبين العمليات المعرَّفة في الجبر التقليدي. توجد أيضًا أنواع خاصة من المصفوفات، مثل المصفوفات المربعة، تقترن بها مفاهيم أكثر تقدُّمًا، مثل محدِّد المصفوفة ومعكوس المصفوفة. وقد استغرق العديد من هذه المفاهيم وقتًا طويلًا للتطوُّر بعد أن ظهرت فكرة الجبر الخطِّي (بطريقة غير مباشرة) في عام ٣٠٠ ق.م تقريبًا. فمثلًا، سُجِّل أول طرح لفكرة محدِّد المصفوفة عام ١٦٨٣؛ أي بعد نحو ٢‎ ‎٠٠٠ سنة!

ولكل مفهوم من المفاهيم المختلفة في علم الجبر الخطِّي سبب مُبرَّر ومنطقي تمامًا لطرحه، حتى وإن كان بعضها يصعب فهمه عند قراءته لأول مرة. أما وقد قلت ذلك، فإنه توجد مفاهيم عديدة في علم الجبر الخطِّي مبرهَنة جيدًا وسهلة التعريف. وتشمل تلك المفاهيم جَمْع مصفوفتين أو طرحهما، وكذلك ضرب المصفوفة الواحدة في عدد ثابت. يُرجى ملاحظة أن مفهوم الضرب في عدد ثابت يختلف عن الضرب في مصفوفة؛ فالمفهوم الأخير أكثر تعقيدًا، وأن الضرب في عدد ثابت هو أسهل العمليتين فهمًا.

تعريف: الضرب في عدد ثابت

لمصفوفة رتبتها 𞸌×𞸍، معرَّفة بالصيغة: 󰏡=󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡،١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍 يمكننا إتمام «عملية الضرب في عدد ثابت» باستخدام العدد 𞸊. هذا يتطلَّب ضرب كل عنصر موجود في 󰏡 في 𞸊: 𞸊󰏡=𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡𞸊×󰏡.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍 هذه العملية يُشار إليها عادةً بـ «الضرب في كمية قياسية»؛ حيث تُضرَب المصفوفة في العدد الثابت 𞸊.

على سبيل المثال، انظر المصفوفة: 󰏡=٥٣١٣١١٠٦١٧٥٤٢٧٢٦٢٦٣٨.

نفترض الآن أننا نريد ضرب المصفوفة في كمية قياسية هي العدد الثابت ٢. إذن نضرب كل عنصر موجود في المصفوفة 󰏡 في ٢؛ ومن ثِمَّ نجد أن: ٢󰏡=(٢)×٥(٢)×٣(٢)×(١)(٢)×(٣)(٢)×١(٢)×١(٢)×٠(٢)×٦(٢)×١(٢)×٧(٢)×٥(٢)×٤(٢)×(٢)(٢)×٧(٢)×(٢)(٢)×٦(٢)×(٢)(٢)×٦(٢)×(٣)(٢)×٨.

وبإكمال العملية لكل عنصر نحصل على: ٢󰏡=٠١٦٢٦٢٢٠٢١٢٤١٠١٨٤٤١٤٢١٤٢١٦٦١.

لا يقتصر ضرب المصفوفة في كمية قياسية على ضرب المصفوفة في عدد صحيح فقط، فيمكننا أيضًا أن نختار الضرب في كسر، أو في عدد غير نسبي، أو حتى في عدد مركَّب إذا كنا نرغب بذلك. وعلى الرغم من أن هذا ليس أمرًا ضروريًّا، فإنه من الأفضل عادةً عند ضرب المصفوفة في كمية قياسية على صورة كسر أن يُبسَّط أيُّ كسر ناتج إلى أبسط صورة له. على سبيل المثال، نُحدِّد المصفوفة: 𞸁=󰃭٥٣٦٤٨٨٣٠٦١١١󰃬 ونضربها في كمية قياسية، هي العدد الثابت ١٣. من ثَمَّ، نجد أن: ١٣𞸁=١٣×٥١٣×(٣)١٣×٦١٣×٤١٣×٨١٣×٨١٣×٣١٣×٠١٣×٦١٣×(١)١٣×١١٣×(١).

وبتبسيط أكبر عدد ممكن من الكسور لأبسط صورة ممكنة سنحصل على: ١٣𞸁=٥٣١٢٤٣٨٣٨٣١٠٢١٣١٣١٣.

الآن، قبل أن نتناول بعض المسائل المعقَّدة التي تنشأ عن تعريف الضرب في عدد ثابت، نتدرَّب أولًا على سؤال واحد.

مثال ١: ضرب مصفوفة في كمية قياسية

إذا كان: 󰏡=(١٨)، فأوجد ٣󰏡.

الحل

لضرب 󰏡 في العدد الثابت، نضرب كل عنصر في هذا العدد، ومن ثَمَّ نحصل على: ٣󰏡=(٣×(١)٣×(٨))=(٣٤٢).

أحد المبادئ الأساسية لعملية الضرب في عدد ثابت هو أن كل عنصر منفرد تُطبَّق عليه العملية نفسها؛ أي إن كل عنصر يُضرَب في نفس العدد. عند الضرب في عدد ثابت لا يمكن أن نضرب العناصر المختلفة في أعداد مختلفة. يعطينا السؤال التالي مثالًا على كيفية تطبيق هذا المبدأ في حل مسائل الجبر الخطي.

مثال ٢: إيجاد مضاعف قياسي لمصفوفة

إذا كان: 𞸎×󰂔٢٠٣٥󰂓=󰂔٤١٠١٢٥٣󰂓، فأوجد قيمة 𞸎.

الحل

بضرب كل عنصر في 𞸎 في المصفوفة التي بالطرف الأيمن، نُوجِد قيمة 𞸎 التي تحل المعادلة الآتية: 󰃁𞸎×(٢)𞸎×٠𞸎×(٣)𞸎×(٥)󰃀=󰂔٤١٠١٢٥٣󰂓، والتي يمكن كتابتها أيضًا على الصورة: 󰂔٢𞸎٠٣𞸎٥𞸎󰂓=󰂔٤١٠١٢٥٣󰂓.

لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن تتطابق العناصر المتناظرة. إذن علينا مطابقة أزواج العناصر المحدَّدة، كما هو موضَّح في الآتي: 󰂔٢𞸎٠٣𞸎٥𞸎󰂓=󰂔٤١٠١٢٥٣󰂓.

بذلك، يصير لدينا نظام المعادلات الخطية: ٢𞸎=٤١،٠=٠،٣𞸎=١٢،٥𞸎=٥٣.

باستثناء المعادلة الثانية البسيطة، التي من الواضح أنها صحيحة، نلاحظ أن كل معادلة تُحَلُّ بوضع 𞸎=٧.

في كثير من الأحيان، عند التعامل مع مصفوفة معيَّنة، نختار أن نأخذ مضاعفًا قياسيًّا عاملًا مشتركًا من كل عنصر، إن أمكن. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المصفوفة: 󰏡=󰃭٦٣٤٢٠٤٦١٨٤٤٤󰃬، فمن السهل أن نلاحظ أنه يمكننا كتابتها على الصورة: 󰏡=٤×(٩)٤×(٦)٤×(٠)٤×(١)٤×(٤)٤×(٢)٤×(١)٤×(١)٤×(١).

ومن ثَمَّ، يكون لكل عنصرٍ عاملٌ مشتركٌ يمكن حذفه، هو أربعة، وهو ما يعطينا: 󰏡=٤󰃭٩٦٠١٤٢١١١󰃬.

في بعض الحالات، قد يُفَضَّل تعريف مصفوفة جديدة على هذا النحو: 𞸁=󰃭٩٦٠١٤٢١١١󰃬، ومن ثم، يصير بإمكاننا كتابة المعادلة 󰏡=٤𞸁.

مثال ٣: الضرب في عدد ثابت

إذا كانت المصفوفة: 󰏡=󰃭١٦١٥٢٤٣١٧٤󰃬، فما أكبر قيمة للعدد 𞸊 الذي لا يكون عنده أي عنصر من 𞸊󰏡 أكبر من ١؟

الحل

إذا كانت لدينا المصفوفة 󰏡 المعرَّفة كما هو موضَّح، فإننا نعلم أن: 𞸊󰏡=󰃭𞸊٦١𞸊٥𞸊٢𞸊٤𞸊٣𞸊𞸊٧𞸊٤𞸊󰃬.

بالنظر أولًا إلى العناصر التي فيها 𞸊 مضروب في عدد موجب، نجد أن لدينا 𞸊، ٢𞸊، ٤𞸊، ٥𞸊، ٧𞸊. ولكيلا يكون أيٌّ من هذه القيم أكبر من واحد، يتطلَّب منَّا ذلك أن يكون 𞸊١٧. وبما أن قيمة 𞸊 موجبة، إذن تكون كل القيم المتبقية 𞸊، ٣𞸊، ٤𞸊، ٦١𞸊 سالبة؛ أي أقل من واحد.

إذا ركَّزنا الآن على العناصر 𞸊، ٣𞸊، ٤𞸊، ٦١𞸊، يمكننا أن نرى أن كل هذه القيم تكون أقل من واحد بشرط أن يكون 𞸊١٦١. قيمة 𞸊 هذه أقل من الشرط 𞸊١٧ المحدَّد بالأعلى. وبما أننا نبحث عن أكبر حد لقيمة 𞸊، إذن تكون الإجابة الوحيدة الممكنة هي: 𞸊=١٧.

الضرب في عدد ثابت هو عملية تُجرَى باستمرار في الجبر الخطِّي. وإلى جانب الجمع، لعلها هي أبسط عملية جبرية يمكن فهمها. مع ذلك، فإن هذا لا يعني أنه يمكننا اعتبار مسألة في الجبر الخطِّي بسيطة فقط لأنها تتضمَّن عملية ضرب في عدد ثابت. يوضِّح السؤالان التاليان كيف يمكن لضرب المصفوفات في عدد ثابت تقديم أمثلة ثرية بالأفكار ومثيرة للاهتمام تتيح لنا الوصول إلى مستوى فهم أفضل.

مثال ٤: حل المعادلات التي تتضمَّن الضرب في عدد ثابت

باعتبار المعادلة المصفوفية: 󰂔٨١٩٣󰂓=𞸌󰂔٣٠٢١󰂓+󰂔١١٣٠󰂓.

أوجد قيمة 𞸌 التي تَحُل تلك المعادلة.

الحل

أول شيء نفعله هنا هو إعادة كتابة المعادلة بعد تطبيق الضرب في عدد ثابت هو 𞸌: 󰂔٨١٩٣󰂓=󰂔٣𞸌٠٢𞸌𞸌󰂓+󰂔١١٣٠󰂓.

نُكمِل عملية الجمع في الطرف الأيسر لكل عنصر على حِدةٍ لنُوجِد المعادلة: 󰂔٨١٩٣󰂓=󰂔٣𞸌١١٢𞸌+٣𞸌󰂓.

لكي تكون المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون عناصرهما متطابقة تمامًا، كما هو موضَّح: 󰂔٨١٩٣󰂓=󰂔٣𞸌١١٢𞸌+٣𞸌󰂓.

وهذا يعطينا نظام المعادلات الخطية: ٨=٣𞸌١،١=١،٩=٢𞸌+٣،٣=𞸌.

وهكذا، نحصل من المعادلة النهائية على 𞸌=٣، ويمكن التحقُّق من أن جميع المعادلات المعطاة صحيحة أيضًا إذا كان 𞸌=٣، وهو ما يعني أن هذه لا بد أن تكون الإجابة. يمكن التحقُّق من هذا بالتعويض بالقيمة 𞸌=٣ مرةً أخرى في المعادلة المصفوفية الأصلية، ونلاحظ أن طرفَي المعادلة متطابقان.

مثال ٥: حل المعادلات التي تتضمَّن عملية ضرب في عدد ثابت

أوجد الأعداد 󰏡، 𞸁، 𞸢؛ بحيث يكون: 󰏡󰂔١١٠١󰂓+𞸁󰂔١٠٠١󰂓+𞸢󰂔٠١١٠󰂓=󰂔١٠١٣󰂓.

الحل

نبدأ بإدخال الحدود القياسية في المصفوفات، وهو ما يعطينا: 󰂔󰏡󰏡٠󰏡󰂓+󰂔𞸁٠٠𞸁󰂓+󰂔٠𞸢𞸢٠󰂓=󰂔١٠١٣󰂓.

وبما أن جمع المصفوفات يُجرَى على كل عنصر على حدة، إذن يصبح لدينا: 󰃁󰏡+𞸁󰏡𞸢𞸢󰏡+𞸁󰃀=󰂔١٠١٣󰂓.

إذا كانت الصورة المحدَّدة هي: 󰃁󰏡+𞸁󰏡𞸢𞸢󰏡+𞸁󰃀=󰂔١٠١٣󰂓، فعلينا أن نحل نظام المعادلات الخطية: 󰏡+𞸁=١،󰏡𞸢=٠،𞸢=١،󰏡+𞸁=٣.

تعطينا المعادلة الثالثة 𞸢=١، وهو ما يمكن التعويض به في المعادلة الثانية، لنجد أن 󰏡=١. وبالتعويض بعد ذلك بقيمة 󰏡 في المعادلة الأولى أو الرابعة نحصل على: 𞸁=٢.

عندما تُدمَج عملية الضرب في عدد ثابت مع عملية جمع مصفوفتين، نجد أن لها العديد من الخواص المثيرة للاهتمام. وإذا كنا نستخدم العمليات الجبرية التقليدية، فإننا نعلم أن الكميات 󰏡، 𞸁، 𞸢 تخضع دائمًا للقاعدة: 󰏡×(𞸁+𞸢)=󰏡×𞸁+󰏡×𞸢، التي تُعرَف باسم «خاصية التوزيع». ويتضح أن الخاصية نفسها تنطبق على جمع مصفوفتين والضرب في عدد ثابت.

النظرية: خاصية التوزيع

يصبح لعملية الضرب في عدد ثابت خاصية «التوزيع» عند دمجها مع عملية جمع مصفوفتين. بعبارة أخرى، إذا افترضنا أن 󰏡 كمية قياسية، وأن 𞸁، 𞸢 مصفوفتان لهما الرتبة نفسها، فهذا يعني أن: 󰏡(𞸁+𞸢)=󰏡𞸁+󰏡𞸢.

سنوضِّح هذه النتيجة بمثال. نفترض أن 󰏡=٣ ونحدِّد المصفوفتين: 𞸁=󰂔٤٦٠٨٧٢󰂓،𞸢=󰂔٣٧٥٦٦١󰂓.

ثم: 𞸁+𞸢=󰂔٤٦٠٨٧٢󰂓+󰂔٣٧٥٦٦١󰂓=󰂔١٣١٥٤١٣١١󰂓 من ثَمَّ، نجد أن: 󰏡(𞸁+𞸢)=٣󰂔١٣١٥٤١٣١١󰂓=󰂔٣٩٣٥١٢٤٩٣٣󰂓.

وبالمثل، كان بإمكاننا اختيار طريقة مختلفة وحساب: 󰏡𞸁=󰂔٢١٨١٠٤٢١٢٦󰂓،󰏡𞸢=󰂔٩١٢٥١٨١٨١٣󰂓. أولًا.

وبعد هذه الخطوة نحسب: 󰏡𞸁+󰏡𞸢=󰂔٢١٨١٠٤٢١٢٦󰂓+󰂔٩١٢٥١٨١٨١٣󰂓=󰂔٣٩٣٥١٢٤٩٣٣󰂓.

وهكذا نكون قد أوضحنا في هذا المثال أن 󰏡(𞸁+𞸢)=󰏡𞸁+󰏡𞸢. من الممكن بالطبع إثبات النظرية المذكورة أعلاه بصورة مجرَّدة وبدون الرجوع إلى أيِّ مثال محدَّد، لكننا استخدمنا مثالًا للتوضيح.

وعلى الرغم من أن الضرب في عدد ثابت عملية سهلة تُجرَى على المصفوفات، فإن القدرة على استخدام هذا المفهوم بسلاسة عادةً ما تتمثَّل في الفرق بين تقديم حل قصير وبسيط لمسألة وتقديم حل طويل ومعقَّد. وعند النظر إلى أيِّ مصفوفة محدَّدة، من الأفضل دائمًا التحقُّق ممَّا إذا كان يمكن حذف أيِّ مضاعفات قياسية بسهولة من جميع عناصرها. للعديد من المفاهيم الأخرى في علم الجبر الخطِّي ارتباط ما على الأقل بعملية الضرب في عدد ثابت، ويُلاحَظ ذلك خاصةً مع مفاهيم أساسية، مثل المحدِّد، وضرب مصفوفتين.

النقاط الرئيسية

  • ضرب المصفوفة 󰏡 في العدد الثابت 𞸊 يعني أن كل عنصر في المصفوفة 󰏡 سيُضرَب في 𞸊.
  • عند ضرب المصفوفة 󰏡 في العدد الثابت 𞸊، يمكننا أيضًا كتابة هذا على صورة 𞸊󰏡، بدلًا من إكمال العملية الحسابية الموضَّحة في النقطة السابقة.
  • يصبح للضرب في عدد ثابت خاصية التوزيع عند دمجه مع عملية جمع مصفوفتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.