تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: معاوَقة دوائر التيار المتردِّد الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب معاوقة دوائر بسيطة تحتوي على مقاومة وملف ومكثِّف، باستخدام المُفاعِلات السعوية والحثية.

للمفاعلة معنى محدَّد ومعرَّف تعريفًا دقيقًا، وهي تُعرَّف للدوائر الكهربية المتصلة بمصادر فرق جهد متردِّد.

قبل التفكير في المعنى الدقيق للمفاعلة، يمكننا القول أولًا إنها خاصية يمكن مقارنتها بالمقاومة، ولكنها تختلف عنها اختلافًا جوهريًّا.

تتشابه المفاعلة والمقاومة في أنهما تعملان على تقليل شدة التيار في الدائرة.

يتفاعل ملف حثٍّ معاملُ حثِّه 𝐿 مع تغيُّر في شدة التيار قيمته Δ𝐼، خلال فترة زمنية Δ𝑡، بتوليد قوة دافعة كهربية معاكسة، 𝜀؛ حيث: 𝜀=𝐿Δ𝐼Δ𝑡.

تعمل القوة الدافعة الكهربية المعاكسة المستحَثَّة على تقليل التيار اللحظي المار عبر الملف. ويُنتِج التيار اللحظي المخفض قوة دافعة كهربية معاكسة أصغر؛ ومن ثَمَّ تيار معاكس أصغر. ينخفض التيار المعاكس مع الزمن.

لكي نوضِّح العلاقة بين الحث والمفاعلة، نفترض أن لدينا دائرة تحتوي على ملف حث متصل بمصدر فرق جهد يتغيَّر باستمرار؛ على سبيل المثال، مولِّد يوفِّر قوة دافعة كهربية لها تردُّد معيَّن، 𝑓.

سواء كان لهذه الدائرة معامل حث أو لا، فإن التيار في الدائرة يتغيَّر جيبيًّا.

يمكننا تعريف المفاعلة الحثية للدائرة، 𝑋. ويمكننا تسمية القيمة العظمى لشدة التيار في الدائرة 𝐼max.

تذكَّر أن: 𝜀=𝐿Δ𝐼Δ𝑡.

لدينا العلاقة: Δ𝐼Δ𝑡𝐼.max

يمكننا توضيح هذا التناسب في التمثيل البياني الآتي لتيارين جيبيين لهما التردُّد نفسه.

كلما زاد معامل حث الملف، زاد بطء تغيُّر التيار في الملف.

نلاحظ أنه كلما زادت قيمة 𝐿، قلَّت قيمة Δ𝐼Δ𝑡.

وبناءً على ذلك، بالنسبة إلى 𝑓 معيَّنة، كلما كانت قيمة 𝐿 أكبر، وجب أن تكون القيمة العظمى لـ 𝐼 أقل.

من المهم أيضًا أن نلاحظ أن تردُّد التيار المتردِّد جيبيًّا لا بد أن يحدِّد معدل تغيُّر هذا التيار.

إذن لا بد أيضًا أن يكون: Δ𝐼Δ𝑡𝑓.

يوضِّح التمثيل البياني الآتي ثلاثة تيارات جيبية.

نلاحظ أن القيمة العظمى للتيار 𝐼 تساوي القيمة العظمى للتيار 𝐼.

كما نلاحظ أن تردُّد 𝐼 أكبر من تردُّد 𝐼؛ ومن ثَمَّ، فقيمة Δ𝐼Δ𝑡 للتيار 𝐼 عند الزمن 𝑡=0 أكبر من قيمة Δ𝐼Δ𝑡 للتيار 𝐼 عند الزمن 𝑡=0.

التيار 𝐼 له نفس تردُّد التيار 𝐼، لكن بقيمة عظمى أقل.

عند 𝑡=0، يكون للتيار 𝐼 نفس قيمة Δ𝐼Δ𝑡 التي للتيار 𝐼.

هذه المتباينة للقيم العظمى لـ 𝐼 و𝐼 ضرورية ليكون 𝐼 له نفس قيمة Δ𝐼Δ𝑡 التي لـ 𝐼 عند الزمن 𝑡=0، وأيضًا ليكون له نفس التردُّد الذي لـ 𝐼.

نلاحظ أنه كلما زادت قيمة 𝑓، قلَّت قيمة 𝐼.

بالتفكير في اعتماد 𝜀 على 𝐼max و𝐿 و𝑓، نجد أن: 𝜀𝐿𝐼𝑓.max

تُعرَّف قيمة 𝑋 بأنها نسبة 𝜀 إلى 𝐼max.

نجد من ذلك أن: 𝜀𝐼𝐿𝑓𝑋𝐿𝑓.max

المفاعلة ليس لها اتجاه؛ ولذا، لا أهمية للإشارة السالبة هنا؛ ومن ثَمّ، يمكننا أيضًا القول إن: 𝑋𝐿𝑓.

يمكن اشتقاق صيغة للمفاعلة الحثية من هذه العلاقات.

صيغة: المفاعلة الحثية

المفاعلة الحثية، 𝑋، لدائرة كهربيةٍ معاملُ حثِّها 𝐿، ويمر بها تيار تردُّده 𝑓، تُعطى بالصيغة: 𝑋=2𝜋𝑓𝐿.

وحدة المفاعلة الحثية هي الأوم. وهذا موضَّح في الآتي: HzVsAVAVAAΩAΩ×==×=.

نلاحظ أن المفاعلة الحثية لها نفس وحدة المقاومة. المفاعلة الحثية مقاومة، لكنها لا تؤثِّر بشكلٍ فعال إلا على دوائر التيار المتردِّد التي تحتوي على ملف حث.

نلاحظ أن زيادة معامل حث الدائرة تزيد المفاعلة الحثية لها. ونلاحظ أيضًا أن زيادة تردُّد التيار تزيد المفاعلة الحثية للدائرة.

نُلقي نظرة على مثال يتضمَّن المفاعلة الحثية.

مثال ١: تحديد المفاعلة الحثية

مصدر جهد متردِّد تردُّده 75 Hz متصل بملفٍ معاملُ حثِّه 35 mH. ما مفاعلة الدائرة الكهربية؟ أوجد الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

المفاعلة الحثية، 𝑋، لدائرةٍ معاملُ حثِّها 𝐿، ويمر بها تيار تردُّده 𝑓، تُعطى بالصيغة: 𝑋=2𝜋𝑓𝐿.

بالتعويض بالقيم المُعطاة في السؤال، نحصل على: 𝑋=2𝜋×75×0.035.HzH

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن 𝑋 يساوي 16.49 Ω.

إضافةً إلى المقاومات وملفات الحث، يمكن أن تحتوي الدائرة الكهربية أيضًا على مكثِّف. للمكثِّفات أيضًا مفاعلة تُسمَّى المفاعلة السعوية، 𝑋.

قبل تعريف المفاعلة السعوية، هيا نفكِّر كيف تعمل السعة الكهربية على تقليل متوسط شدة التيار في الدائرة.

نفترض أن لدينا دائرة تحتوي على مقاومة ومكثِّف موصَّلَيْن على التوالي.

بإمكان المكثِّفات تخزين شحنة نتيجة التيار المار في الدائرة. أقصى شحنة، 𝑄، يمكن للمكثِّف تخزينها بالسعة 𝐶 عند توصيله بفرق الجهد، 𝑉، تُعطى بالصيغة: 𝑄=𝐶𝑉.

في البداية، يخزِّن المكثِّف شحنة مقدارها صفر؛ ومن ثَمَّ، يكون فرق الجهد عبره صفرًا. وكلما زادت الشحنة التي يخزِّنها المكثِّف، زاد فرق الجهد عبرها.

وكلما زادت الشحنة التي يخزِّنها المكثِّف، زاد انخفاض التيار في الدائرة. وعند تخزين المكثِّف أقصى شحنة يمكنه تخزينها، يصل التيار في الدائرة التي تحتوي على المكثِّف إلى الصفر.

يمكن التعبير عن العلاقة بين فرق الجهد عبر المكثِّف والتيار في الدائرة التي تحتوي على المكثِّف بالصيغة: Δ𝑄Δ𝑡=𝐼=𝐶Δ𝑉Δ𝑡.

إذا كانت سعة المكثِّف صفرًا، فإنه يخزِّن أقصى شحنة له عند توصيله بالدائرة في البداية؛ ولذا، لا بد أن يكون التيار في الدائرة صفرًا. وكلما زادت سعة المكثِّف، زادت الشحنة التي يمكن أن ينقلها التيار في الدائرة قبل أن تصل شدة التيار إلى الصفر.

نلاحظ من ذلك أنه عند توصيل دائرة تحتوي على مكثِّف بمصدر فرق جهد خلال فترة زمنية معيَّنة، تنخفض شدة التيار في الدائرة بدرجة أقل عند استخدام مكثِّف سعته أكبر.

نلاحظ من هذا أن المكثِّف يمكن أن يعمل على تقليل شدة التيار في الدائرة أيضًا، مثلما يفعل ملف الحث. على أي حال، كلما زادت سعة المكثِّف، قل انخفاض شدة التيار.

للمفاعلة السعوية معنى محدَّد ومعرَّف بدقة.

لكي نوضِّح العلاقة بين السعة والمفاعلة السعوية، نفترض أن لدينا دائرة كهربية تحتوي على مقاومة ومكثِّف موصَّلَيْن على التوالي بمصدر فرق جهد يتغيَّر باستمرار؛ على سبيل المثال، مولِّد يوفِّر قوة دافعة كهربية تردُّدها 𝑓.

سواء كان لهذه الدائرة سعة أو لا، فإن شدة التيار في الدائرة تتغيَّر جيبيًّا.

يمكننا تعريف المفاعلة السعوية لهذه الدائرة، 𝑋. تُسمَّى القيمة العظمى لفرق الجهد عبر المكثِّف 𝑉max.

تذكَّر أن: Δ𝑄Δ𝑡=𝐼=𝐶Δ𝑉Δ𝑡.

لدينا: Δ𝑉Δ𝑡𝑉.max

أيضًا: Δ𝑉Δ𝑡𝑓.

نجد من ذلك أن: 𝐼𝐶𝑉𝑓.max

تعرَّف قيمة 𝑋 بأنها نسبة 𝑉max إلى 𝐼.

نجد من ذلك أن: 𝐼𝑉𝐶𝑓𝑉𝐼1𝐶𝑓𝑋1𝐶𝑓.maxmax

يمكن اشتقاق صيغة المفاعلة السعوية من هذه العلاقات.

صيغة المفاعلة السعوية

المفاعلة السعوية، 𝑋، لدائرة كهربية سعتها 𝐶، ويمر بها تيار تردُّده 𝑓، تُعطى بالصيغة: 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

وحدة المفاعلة السعوية هي الأوم. وهذا موضَّح في الآتي: 1×===××××=××=.HzFsFsFsssAΩCsAΩCsΩCΩCVCVCs

نلاحظ أن المفاعلة السعوية لها نفس وحدة المقاومة. المفاعلة السعوية مقاومة لا تؤثِّر بشكلٍ فعَّال إلا على دوائر التيار المتردِّد التي تحتوي على مكثِّفات.

نلاحظ أن زيادة سعة الدائرة تقلِّل من المفاعلة السعوية لها. ونلاحظ أيضًا أن زيادة تردُّد التيار المتردِّد تقلِّل من المفاعلة السعوية للدائرة.

من المهم أن نلاحظ أن علاقة السعة والتردُّد بالمفاعلة السعوية هي مقلوب علاقة معامل الحث والتردُّد بالمفاعلة الحثية.

نُلقي نظرةً على مثال يتضمَّن المفاعلة السعوية.

مثال ٢: تحديد المفاعلة السعوية

مصدر جهد متردِّد تردُّده 50 Hz، متصل بمكثِّف سعته 125 µF. ما مفاعلة المكثِّف؟ قرِّب إجابتك لأقرب أوم.

الحل

المفاعلة السعوية، 𝑋، لدائرة سعتها 𝐶، ويمر بها تيار تردُّده 𝑓، تُعطى بالصيغة: 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

بالتعويض بالقيمتين المُعطاتين في السؤال، نحصل على: 𝑋=12𝜋×50×1.25×10.HzF

بالتقريب لأقرب أوم، فإن 𝑋 يساوي 25 Ω.

تعتمد شدة التيار في دوائر التيار المتردِّد عند لحظة معيَّنة على التأثير الكلي لمقاومة الدائرة ومفاعلتها. وهذا يُسمَّى معاوقة الدائرة، 𝑍.

يوضِّح الشكل الآتي دائرة تحتوي على مقاومة (R) وملف حث (L) ومكثِّف (C) متصلة بمصدر فرق جهد متردِّد.

تزوِّد المقاومة الدائرة بقيمة المقاومة. ويزوِّد ملف الحث والمكثِّف الدائرة بالمفاعلة.

لأيِّ دائرة تيار متردِّد، يتغيَّر فرق الجهد، 𝑉، في الدائرة مع الزمن. يمكننا الإشارة بـ 𝑉 إلى فرق الجهد عبر الدائرة عند اللحظة 𝑡.

إذا كان لهذه الدائرة مقاومة، 𝑅، وليس لها مفاعلة، فإن التيار عند لحظة معيَّنة، 𝐼، يُحدَّد كما لو كان في دائرة تيار مستمر؛ أي باستخدام قانون أوم. يمكننا التعبير عن ذلك بالصيغة: 𝐼=𝑉𝑅.

مع ذلك، إذا كانت لدائرة تيار متردِّد مفاعلة، فإن التيار اللحظي في الدائرة يتأثَّر بمفاعلة الدائرة. ويُعطى التيار اللحظي في هذه الدائرة بالصيغة: 𝐼=𝑉𝑍.

لا تُجمَع المفاعلتان السعوية والحثية معًا ببساطة لإيجاد مقدار مساهمتهما في المعاوقة.

التيار اللحظي المار في المكثِّف لا يتفق في الطور مع فرق الجهد اللحظي عبر المكثِّف. يسبق التيار فرق الجهد بفرق طور مقداره 90.

والتيار اللحظي الذي يمر في ملف الحث لا يتفق في الطور مع فرق الجهد اللحظي عبر ملف الحث. يتأخَّر التيار عن فرق الجهد بفرق طور مقداره 90.

يوضِّح الشكل الآتي علاقات الطور تلك.

فرق الطور بين شدة التيار وفرق الجهد يساوي 90 لكلٍّ من المكثِّفات وملفات الحث، لكن في اتجاهين متعاكسين.

نلاحظ من هذا أن فرق الطور بين شدة التيار وفرق الجهد للمكثِّف مقارنةً بملف الحث هو 90+90، وهو ما يساوي 180.

وهذا يعني أن تأثير المكثِّف على التيار اللحظي يُعاكِس تأثير الملف.

نستنتج من ذلك أنه إذا كانت المفاعلة السعوية والمفاعلة الحثية لدائرة متساويتين، فإن تأثير المفاعلة الكلية على التيار يساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، تكون معاوقة الدائرة مجرد مقاومة الدائرة فقط.

من هذه العلاقات، يمكننا الحصول على صيغة للمعاوقة.

صيغة: المعاوقة

معاوقة الدائرة، 𝑍، تُعطى بالصيغة: 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋), حيث 𝑅 مقاومة الدائرة، و𝑋 المفاعلة الحثية للدائرة، و𝑋 المفاعلة السعوية للدائرة.

كلٌّ من المقاومة والمفاعلة وحدته أوم؛ لذا، تكون وحدة المعاوقة هي الأوم.

من المهم ملاحظة أن معاوقة الدائرة يمكن ألَّا تساوي صفرًا حتى إذا كانت مقاومتها تساوي صفرًا. بالنسبة إلى دوائر التيار المتردِّد، بإمكان مفاعلة الدائرة وحدها تقييد قيمة شدة التيار. لكن هذا لا يحدث مع الدوائر المزوَّدة بفرق جهد ثابت.

نُلقي نظرةً على مثال يتضمَّن المعاوقة.

مثال ٣: تحديد المعاوقة

دائرة تيار متردِّد تحتوي على مقاومة قيمتها 125 Ω، وملف حث مفاعلته الحثية 450 Ω، ومكثِّف مفاعلته السعوية 28 Ω. ما معاوقة الدائرة؟ قرِّب إجابتك لأقرب أوم.

الحل

معاوقة الدائرة، 𝑍، تُعطى بالصيغة: 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋), حيث 𝑅 مقاومة الدائرة، و𝑋 المفاعلة الحثية للدائرة، و𝑋 المفاعلة السعوية للدائرة.

بالتعويض بالقيم المُعطاة في السؤال، نحصل على: 𝑍=(125)+(45028).ΩΩΩ

لأقرب أوم، فإن 𝑍 يساوي 440 Ω.

نُلقي نظرةً على مثال آخر.

مثال ٤: تحديد المقاومة المطلوبة للحصول على معاوقة معيَّنة

دائرة تيار متردِّد معاوقتها 750 Ω. تحتوي الدائرة على مقاومة، وملف حث مفاعلته الحثية 250 Ω، ومكثِّف مفاعلته السعوية 45.0 Ω. ما قيمة المقاومة؟ اكتب إجابتك لأقرب أوم.

الحل

معاوقة الدائرة، 𝑍، تُعطى بالصيغة: 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋), حيث 𝑅 مقاومة الدائرة، و𝑋 المفاعلة الحثية للدائرة، و𝑋 المفاعلة السعوية للدائرة.

بالتعويض بالقيم المُعطاة في السؤال، نحصل على: 750=𝑅+(25045.0).ΩΩΩ

يجب إعادة ترتيب المعادلة لجعل 𝑅 في طرف بمفرده، وذلك كالآتي: (750)=𝑅+(25045.0)(750)=𝑅+(205)𝑅=(750)(205)𝑅=(750)(205)𝑅=(750)(205).ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

بالتقريب لأقرب أوم، فإن 𝑅 يساوي 721 Ω.

نُلقي نظرةً على مثال نُحدِّد فيه شدة التيار.

مثال ٥: تحديد التيارات اللحظية في دائرة بها مقاومة ومكثِّف وملف حث

تحتوي دائرة تيار متردِّد على مقاومة قيمتها 25 Ω، وملف مفاعلته الحثية 32 Ω، ومكثِّف مفاعلته السعوية 12.8 Ω. القيمة العظمى للجهد الناتج عن مصدر الجهد المتردِّد المشغل للدائرة 120 V.

  1. ما القيمة العظمى لشدة التيار في الدائرة؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
  2. ما جذر متوسط مربع شدة التيار في الدائرة؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

الجزء الأول

القيمة العظمى لشدة التيار 𝐼max تُعطى بالصيغة: 𝐼=𝑉𝑍.maxmax

القيمة العظمى للجهد الناتج عن مصدر الجهد المتردِّد المشغل للدائرة هي 120 V؛ ومن ثَمَّ، نجد أن: 𝐼=120𝑍.maxV

معاوقة الدائرة، 𝑍، تُعطى بالصيغة: 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋), حيث 𝑅 مقاومة الدائرة، و𝑋 المفاعلة الحثية للدائرة، و𝑋 المفاعلة السعوية للدائرة.

بالتعويض بالقيم المُعطاة في السؤال، نحصل على: 𝑍=(25)+(3212.8).ΩΩΩ

𝑍31.522Ω.

لدينا: 𝐼12031.522.maxV

بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، نجد أن القيمة العظمى لشدة التيار تساوي 3.8 A.

الجزء الثاني

يُعطى جذر متوسط مربع شدة التيار بالصيغة: 𝐼=𝐼2.RMSmax

باستخدام قيمة 𝐼max التي حصلنا عليها، وبالتقريب لأقرب منزلة عشرية، فإن 𝐼RMS يساوي 2.7 A.

هيا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • المفاعلة الحثية، 𝑋، لدائرةٍ معاملُ حثِّها 𝐿، ويمر بها تيار متردِّد تردده 𝑓، تُعطى بالصيغة: 𝑋=2𝜋𝑓𝐿. وحدة المفاعلة الحثية هي الأوم.
  • المفاعلة السعوية، 𝑋، لدائرة سعتها 𝐶، ويمر بها تيار تردُّده 𝑓، تُعطى بالصيغة: 𝑋=12𝜋𝑓𝐶. وحدة المفاعلة السعوية هي الأوم.
  • المعاوقة، 𝑍، تُعطى بالصيغة: 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋), حيث 𝑅 مقاومة الدائرة، و𝑋 المفاعلة الحثية للدائرة، و𝑋 المفاعلة السعوية للدائرة.
    وحدة المعاوقة هي الأوم.
  • التيار اللحظي، 𝐼، في دوائر التيار المتردِّد يُعطى بالصيغة: 𝐼=𝑉𝑍, حيث 𝑉 فرق الجهد اللحظي عبر الدائرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.