تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: العد باستخدام التباديل الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التباديل في حل مسائل العد.

تُستخدم التباديل لحساب عدد الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها إعادة ترتيب مجموعة جزئية من مجموعة من العناصر. على سبيل المثال، نفترض أننا نريد ترتيب ثلاثة حروف مختلفة. أولًا، علينا اختيار ثلاثة حروف مختلفة، وبعد ذلك يمكننا ترتيبها. وهذا يقودنا إلى ترتيبات مثل «ب ي أ»، «هـ م ق»، «ض ف ز»، وغيرها. لا يمكننا استخدام ترتيبات مثل «ب خ ب»؛ لأن الحرف «ب» متكرِّر. من ناحية أخرى، يُعَد كلٌّ من «ب ي أ»، «أ ي ب»، «ي ب أ» ترتيبًا مختلفًا على الرغم من أن بها الحروف الثلاثة نفسها. في التباديل، ترتيب العناصر مهم.

هيا نتذكَّر صيغة التباديل، التي تمثِّل عدد الترتيبات المختلفة لمجموعة جزئية من مجموعة من العناصر.

تعريف: التباديل

بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

نبدأ بمثال نستخدم فيه التباديل لحساب عدد الترتيبات المختلفة.

مثال ١: العد باستخدام التباديل

افترض أن 𞹎={𞸎𞸎𞹑،٧𞸎٦١}، 𞹏={(󰏡،𞸁)󰏡،𞸁𞹎،󰏡𞸁}. أوجد قيمة 𞸍(𞹏)؛ حيث 𞸍(𞹏) عدد العناصر التي تنتمي إلى 𞹏.

الحل

في هذا المثال، نريد حساب عدد العناصر المختلفة في المجموعة 𞹏؛ حيث عناصر المجموعة 𞹏 هي الأزواج المرتَّبة لعناصر المجموعة 𞹎. أيضًا، الأزواج المرتَّبة في المجموعة 𞹏 لا يمكن أن تحتوي على عنصرين متطابقين.

لتكوين زوج مرتب من العناصر المختلفة، يمكننا أولًا اختيار عنصرين من المجموعة 𞹎، ثم نرتِّب العنصرين المختارين بالترتيب. ومن ثَمَّ، فإن عدد الأزواج المرتَّبة يساوي عدد الطرق المختلفة لترتيب عنصرين مختلفين بالترتيب من مجموعة 𞹎. وهذا يؤدِّي إلى مفهوم التباديل.

تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

بما أن 𞹎 تحتوي على كل الأعداد الصحيحة من ٧ إلى ١٦، فإن عدد العناصر في 𞹎 يُعطى بالمعادلة: ٦١٧+١=٠١.

هذا يُعطينا 𞸍=٠١. نريد ترتيب عنصرين بالترتيب؛ ومن ثَمَّ، فإن 𞸓=٢. إذن عدد طرق ترتيب عنصرين من مجموعة مكوَّنة من إجمالي ١٠ عناصر يُعطى من خلال ٠١٢𞸋، وهو ما يساوي 𞸍(𞹏). يمكننا حساب الآتي: 𞸍(𞹏)=𞸋=٠١٠١٢=٠١٨=٠١×٩×٨٨=٠١×٩=٠٩.٠١٢

إذن 𞸍(𞹏)=٠٩.

في مسائل العد في الحياة الواقعية، يكون من غير الواضح أحيانًا إذا ما كان من الممكن استخدام قاعدة التباديل وكيفية استخدامها. لاستخدام قاعدة التباديل في الحياة الواقعية، علينا تحديد تسلسل من الأحداث في التباديل يؤدِّي إلى نفس نواتج الحالة المُعطاة.

خطوات: حل مسائل العد في الحياة الواقعية باستخدام قواعد التباديل

إذا كانت لدينا مسألة عد في الحياة الواقعية، يمكننا تكوين تسلسل من الأحداث يكون له نفس عدد نواتج الحالة المُعطاة في الحياة الواقعية بالقيام بالآتي:

  1. اختيار عدد 𞸓 من العناصر المختلفة من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة؛ حيث 𞸓<𞸍
  2. ترتيب العناصر المختارة التي عددها 𞸓

إذن يُعطى عدد النواتج في حالة من الحياة الواقعية من خلال 𞸍𞸓𞸋.

في المثال الآتي، سنطبِّق الطريقة السابقة على مسألة العد في الحياة الواقعية باستخدام التباديل لحساب عدد الترتيبات الممكنة لمجموعة من الأشخاص.

مثال ٢: العد باستخدام التباديل

أوجد عدد الطرق المُختلِفة التي يُمكِن أن يجلس بها ٤ لاعبين على ١١ مقعدًا في صف واحد.

الحل

في هذا المثال، علينا عد الطرق المختلفة التي يستطيع بها ٤ لاعبين الجلوس على ١١ مقعدًا في صف واحد. يمكننا حل هذه المسألة باستخدام التباديل لحساب عدد الترتيبات الممكنة للاعبين. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر المختلفة من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. بعبارةٍ أخرى، علينا إيجاد تسلسل الأحداث من خلال:

  1. اختيار عدد 𞸓 من العناصر المختلفة من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة،
  2. ترتيب العناصر المختارة التي عددها 𞸓.

لتحديد ترتيب المقاعد لأربعة لاعبين، يمكننا أولًا اختيار ٤ مقاعد من ١١ مقعدًا مختلفًا. بعد اختيار المقاعد الأربعة التي يمكن شغلها، يمكننا ترتيب المقاعد الأربعة المختارة. ترتيب المقاعد المختارة يمكن توضيحه على النحو الآتي. نفترض أن ترقيم اللاعبين الأربعة هو واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة. بعد ترتيب المقاعد الأربعة، يجلس اللاعب الأول على المقعد الأول، واللاعب الثاني على المقعد الثاني، وهكذا.

نلاحظ أنه باتباع هذا المنطق يمكننا تناوُل كل ترتيب جلوس ممكن للاعبين الأربعة. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد عدد ترتيبات الجلوس المختلفة بالتباديل ١١٤𞸋. تذكَّر أن صيغة التباديل مُعطاة بالمعادلة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

بالتعويض بـ 𞸍=١١، 𞸓=٤، يصبح لدينا: ١١٤𞸋=١١١١٤=١١٧=١١×٠١×٩×٨×٧٧=١١×٠١×٩×٨=٠٢٩٧.

ومن ثَمَّ، توجد ٧‎ ‎٩٢٠ طريقة لجلوس أربعة لاعبين على ١١ مقعدًا في صف واحد.

يمكن أن يكون تحديد تسلسل الأحداث التي تؤدِّي إلى الحصول على النواتج نفسها صعبًا. نتناول مثالًا آخر نحسب فيه عدد النواتج المختلفة باستخدام هذه الطريقة.

مثال ٣: حل المسائل التي تتضمَّن تباديل

ما عدد الكلمات المختلفة التي يُمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل»؟

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد عدد الكلمات المختلفة التي يُمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل». بعبارةٍ أخرى، علينا إيجاد عدد الترتيبات المختلفة باستخدام كل الحروف في هذه الكلمة. إذا كانت الكلمة تحتوي على خمسة حروف مختلفة، فمن الممكن أن نطبِّق قاعدة المضروب، لنستنتج أن هناك ٥ ترتيبات مختلفة، أو كلمات، يمكن تكوينها من هذه الكلمة. ولكن هذه ليست الحالة هنا؛ لأن حرف اللام يظهر ثلاث مرات في هذه الكلمة.

يمكننا تطبيق قاعدة التباديل على مسألة العد هذه عن طريق تحديد تسلسل الأحداث الذي يؤدِّي إلى نفس عدد النواتج. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر المختلفة من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. بعبارةٍ أخرى، علينا إيجاد تسلسل الأحداث من خلال:

  1. اختيار عدد 𞸓 من العناصر المختلفة من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة،
  2. ترتيب العناصر المختارة التي عددها 𞸓.

أيُّ كلمة يمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل» يجب أن تكون مكوَّنة من خمسة حروف وتحتوي على حرف ألف واحد، وحرف ياء واحد، وثلاثة حروف لام. يمكننا تعريف تسلسل الأحداث كالآتي.

نلاحظ أنه نظرًا لأن حروف اللام الثلاثة ليست مختلفة، فإن ترتيبها لا يهم. ومن ثَمَّ، فإن عدد التباديل لا يعتمد إلا على موضعَي الألف والياء. أما المواضع الثلاثة المتبقية، فيمكن تعبئتها بحروف اللام الثلاثة. وبما أن كلمة «الليل» مكوَّنة من خمسة حروف، ويمكن وضع الحرفين بأي ترتيب، إذن نتناول التباديل بين حرفين في إجمالي خمسة مواضع ممكنة.

على سبيل المثال، إذا اخترنا ورتَّبنا (الموضع الخامس، الموضع الثالث)، فسيكون الناتج هو كلمة «لليلا». وتتوافق كلمة «الليل» مع الترتيب (الموضع الأول، الموضع الثالث). يمكننا أن نلاحظ أن تسلسل الأحداث هذا يقود إلى كل كلمة يمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل». ومن ثَمَّ، نحصل على عدد هذه الكلمات من خلال التباديل ٥٢𞸋. تذكَّر أن صيغة التباديل مُعطاة بالمعادلة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

بالتعويض بـ 𞸍=٥، 𞸓=٢، يصبح لدينا: ٥٢𞸋=٥٥٢=٥٣=٥×٤×٣٣=٥×٤=٠٢.

ومن ثَمَّ، يوجد ٢٠ كلمة مختلفة يمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل».

يمكننا أيضًا تطبيق مبدأ العد الأساسي (المعروف أيضًا بقاعدة الضرب) مع التباديل لإيجاد عدد النواتج المختلفة في حالة معيَّنة. هيا نتذكَّر مبدأ العد.

نظرية: مبدأ العد الأساسي

إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب 𞸎×𞸑.

يكون الحدثان مستقلين إذا كان ناتج وقوع أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر. علاوةً على ذلك، ينطبق مبدأ العد الأساسي عندما يكون هناك أكثر من حدثين. باختصار، يمكننا ضرب عدد النواتج الممكنة لكل حدث، بشرط أن يكونا مستقلين.

في المثال الآتي، نطبِّق مبدأ العد الأساسي والتباديل لإيجاد عدد النواتج المختلفة.

مثال ٤: تطبيقات مبدأ العد (قاعدة الضرب) والتباديل

تضع شركة على منتجاتها رموزًا تبدأ بـ ٣ حروف إنجليزية متبوعة بـ ٨ أرقام ليس الصفر من بينها. أيٌّ من الآتي يُمثِّل عدد الرموز التي يُمكن تكوينها دون أيِّ تكرار لأيٍّ من الحروف أو الأرقام؟

  1. ٦٢٣٩٨𞸋+𞸋
  2. ٣٣٨٨𞸋+𞸋
  3. ٣٣٨٨𞸋×𞸋
  4. ٦٢٣٩٨𞸋×𞸋

الحل

في هذا المثال، نريد حساب عدد الرموز المختلفة التي يُمكن تكوينها دون أيِّ تكرار لأيٍّ من الحروف أو الأرقام. عرفنا أن الرمز لا بد أن يبدأ بثلاثة حروف إنجليزية متبوعة بثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. يمكننا تكوين رمز أولًا عن طريق ترتيب ثلاثة حروف إنجليزية، ثم ترتيب ثمانية أرقام ليس الصفر من بينها دون تكرار.

نتذكَّر مبدأ العد الأساسي الذي ينص على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب 𞸎×𞸑. ونتذكَّر أيضًا أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج وقوع أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

لتطبيق مبدأ العد الأساسي، نفترض أن 󰏡 هو حدث ترتيب ثلاثة حروف إنجليزية، 𞸁 هو حدث ترتيب ثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. نلاحظ أن الترتيب المحدَّد لثلاثة حروف إنجليزية لا يؤثِّر على عدد الترتيبات المختلفة لثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. ومن ثَمَّ، 󰏡، 𞸁 حدثان مستقلان. علينا الآن إيجاد عدد كل حدث من الحدثين على حدة، ثم ضربهما للحصول على إجمالي عدد طرق تكوين الرموز.

هيا نوجد عدد الطرق المختلفة لترتيب ثلاثة حروف إنجليزية. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

ونظرًا لأن هناك ٢٦ حرفًا في الحروف الأبجدية الإنجليزية، فإن هذا يعني وجود ٦٢٣𞸋 من الطرق المختلفة لترتيب ثلاثة حروف مختلفة من الحروف الإنجليزية. وأيضًا، بما أن هناك تسعة أرقام مختلفة ليس الصفر من بينها، فإنه يوجد ٩٨𞸋 من الطرق المختلفة لترتيب ثمانية أرقام مختلفة ليس الصفر من بينها.

بتطبيق قاعدة الضرب، يكون عدد الرموز التي يمكن تكوينها دون أيِّ تكرار لأيٍّ من الحروف أو الأرقام هو: ٦٢٣٩٨𞸋×𞸋.

وهذا هو الخيار (د).

نتناول مثالًا آخر نحتاج فيه إلى تطبيق كلٍّ من قاعدة الضرب وقاعدة التباديل لعد النواتج المختلفة.

مثال ٥: تطبيقات مبدأ العد (قاعدة الضرب) والتباديل

أوجد عدد الطرق التي يُمكِننا بها اختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب أولًا، ثم قطعتَي شوكولاتة داكنة، من صندوق به ١٠ قِطَع شوكولاتة بالحليب و٨ قِطَع شوكولاتة داكنة، باعتبار أن العناصر مختلفة، والاختيار دون إحلال، والترتيب مهم.

الحل

في هذا المثال، نريد حساب عدد طرق اختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب وقطعتَي شوكولاتة داكنة؛ حيث يكون ترتيب الاختيارات مهمًّا، ويكون الاختيار دون إحلال.

نتذكَّر مبدأ العد الأساسي الذي ينص على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب 𞸎×𞸑. ونتذكَّر أيضًا أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج وقوع أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

لتطبيق مبدأ العد الأساسي، نفترض أن 󰏡 هو حدث اختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب، 𞸁 هو حدث اختيار قطعتَي شوكولاتة داكنة. علينا أن نضع في اعتبارنا أن ترتيب الاختيار مهمٌّ لكلٍّ من الشوكولاتة بالحليب والشوكولاتة الداكنة. يمكننا أن نلاحظ أن الترتيب المحدَّد لقطعتَي الشوكولاتة بالحليب لا يؤثِّر على عدد الطرق المختلفة لاختيار قطعتَي الشوكولاتة الداكنة. ومن ثَمَّ، 󰏡، 𞸁 حدثان مستقلان. علينا الآن إيجاد عدد كل حدث من الحدثين على حدة، ثم ضربهما للحصول على إجمالي عدد طرق اختيار قطع الشوكولاتة.

هيا نوجد أولًا عدد الطرق المختلفة لاختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب؛ حيث يكون ترتيب الاختيارات مهمًّا، ويكون الاختيار دون إحلال. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

بما أن هناك ١٠ قطع شوكولاتة بالحليب في الصندوق، فإن هناك ٠١٢𞸋 من الطرق المرتَّبة المختلفة لتحقيق هذه المهمة. يمكننا حساب: ٠١٢𞸋=٠١٠١٢=٠١٨=٠١×٩×٨٨=٠١×٩=٠٩.

بعد ذلك، هيا نوجد عدد الطرق المختلفة لاختيار قطعتَي شوكولاتة داكنة؛ حيث يكون ترتيب الاختيارات مهمًّا، ويكون الاختيار دون إحلال. بما أن هناك ٨ قطع شوكولاتة داكنة في الصندوق، فإن هناك ٨٢𞸋 من الطرق المرتَّبة المختلفة لتحقيق هذه المهمة. يمكننا حساب: ٨٢𞸋=٨٨٢=٨٦=٨×٧×٦٦=٨×٧=٦٥.

بتطبيق قاعدة الضرب، يكون عدد النواتج المختلفة للحدث المُعطى هو: ٠٩×٦٥=٠٤٠٥.

نتذكَّر أن التباديل يمكن أن تُستخدم أيضًا لوصف عدد الترتيبات الدائرية من مجموعة من العناصر المختلفة.

نظرية: عد الترتيبات الدائرية

عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر في نمط دائري من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة هو: 𞸍𞸓𞸋𞸓.

على وجه التحديد، عدد الطرق المختلفة لترتيب إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة في نمط دائري هو: 𞸍١.

في المثال الأخير، سنستخدم هذه الصيغة لحساب عدد الترتيبات الدائرية.

مثال ٦: عد الترتيبات الدائرية

صواب أم خطأ: في محل بيع الزهور، توجد ٤٠‎ ‎٣٢٠ طريقة لترتيب ٨ زهور في دائرة.

الحل

تذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لترتيب إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة في نمط دائري هو: 𞸍١.

في هذا المثال، نريد إيجاد عدد الترتيبات الدائرية المختلفة لثماني زهور؛ ومن ثَمَّ 𞸍=٨. وهذا يؤدِّي إلى: ٨١=٧=٠٤٠٥.

وهذا يختلف عن العدد المذكور في السؤال. يمكننا أن نرى أن العدد المُعطى في السؤال هو ٨، وهو عدد الطرق المختلفة لترتيب ٨ زهور في خط مستقيم. لا يراعي هذا العدد حقيقة أن بعض الترتيبات الدائرية تعتبر متطابقة بسبب التماثل الدوراني للدائرة.

ومن ثَمَّ، فإن العبارة المُعطاة خطأ.

هيا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.

النقاط الرئيسية

  • بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓، تمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.
  • يمكننا حل مسألة عد باستخدام التباديل إذا كانت مكافئة للأحداث الآتية: بالنسبة إلى العددين الصحيحين 𞸍، 𞸓 اللذين يحقِّقان الشرط 𞸍𞸓>٠:
    1. اختَر عدد 𞸓 من العناصر المختلفة من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة،
    2. رتِّب العناصر المختارة التي عددها 𞸓.
    بعد ذلك، يُعطى عدد النواتج في حالات الحياة الواقعية من خلال 𞸍𞸓𞸋.
  • عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر في نمط دائري من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة هو: 𞸍𞸓𞸋𞸓. على وجه التحديد، عدد الطرق المختلفة لترتيب إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة في نمط دائري هو: 𞸍١.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.