شارح الدرس: العد باستخدام التباديل الرياضيات

مثال ١: العد باستخدام التباديل

افترض أن ، . أوجد قيمة ؛ حيث عدد العناصر التي تنتمي إلى .

الحل

في هذا المثال، نريد حساب عدد العناصر المختلفة في المجموعة ؛ حيث عناصر المجموعة هي الأزواج المرتَّبة لعناصر المجموعة . أيضًا، الأزواج المرتَّبة في المجموعة لا يمكن أن تحتوي على عنصرين متطابقين.

لتكوين زوج مرتب من العناصر المختلفة، يمكننا أولًا اختيار عنصرين من المجموعة ، ثم نرتِّب العنصرين المختارين بالترتيب. ومن ثَمَّ، فإن عدد الأزواج المرتَّبة يساوي عدد الطرق المختلفة لترتيب عنصرين مختلفين بالترتيب من مجموعة . وهذا يؤدِّي إلى مفهوم التباديل.

تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين ، اللذين يحقِّقان الشرط ، تمثِّل التباديل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد من العناصر من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي:

بما أن تحتوي على كل الأعداد الصحيحة من ٧ إلى ١٦، فإن عدد العناصر في يُعطى بالمعادلة:

هذا يُعطينا . نريد ترتيب عنصرين بالترتيب؛ ومن ثَمَّ، فإن . إذن عدد طرق ترتيب عنصرين من مجموعة مكوَّنة من إجمالي ١٠ عناصر يُعطى من خلال ، وهو ما يساوي . يمكننا حساب الآتي:

إذن .

مثال ٢: العد باستخدام التباديل

أوجد عدد الطرق المُختلِفة التي يُمكِن أن يجلس بها ٤ لاعبين على ١١ مقعدًا في صف واحد.

الحل

في هذا المثال، علينا عد الطرق المختلفة التي يستطيع بها ٤ لاعبين الجلوس على ١١ مقعدًا في صف واحد. يمكننا حل هذه المسألة باستخدام التباديل لحساب عدد الترتيبات الممكنة للاعبين. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين ، اللذين يحقِّقان الشرط ، تمثِّل التباديل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد من العناصر المختلفة من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. بعبارةٍ أخرى، علينا إيجاد تسلسل الأحداث من خلال:

1. اختيار عدد من العناصر المختلفة من إجمالي عدد من العناصر المختلفة،
2. ترتيب العناصر المختارة التي عددها .

لتحديد ترتيب المقاعد لأربعة لاعبين، يمكننا أولًا اختيار ٤ مقاعد من ١١ مقعدًا مختلفًا. بعد اختيار المقاعد الأربعة التي يمكن شغلها، يمكننا ترتيب المقاعد الأربعة المختارة. ترتيب المقاعد المختارة يمكن توضيحه على النحو الآتي. نفترض أن ترقيم اللاعبين الأربعة هو واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة. بعد ترتيب المقاعد الأربعة، يجلس اللاعب الأول على المقعد الأول، واللاعب الثاني على المقعد الثاني، وهكذا.

نلاحظ أنه باتباع هذا المنطق يمكننا تناوُل كل ترتيب جلوس ممكن للاعبين الأربعة. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد عدد ترتيبات الجلوس المختلفة بالتباديل . تذكَّر أن صيغة التباديل مُعطاة بالمعادلة:

بالتعويض بـ ، ، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، توجد ٧‎ ‎٩٢٠ طريقة لجلوس أربعة لاعبين على ١١ مقعدًا في صف واحد.

مثال ٣: حل المسائل التي تتضمَّن تباديل

ما عدد الكلمات المختلفة التي يُمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل»؟

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد عدد الكلمات المختلفة التي يُمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل». بعبارةٍ أخرى، علينا إيجاد عدد الترتيبات المختلفة باستخدام كل الحروف في هذه الكلمة. إذا كانت الكلمة تحتوي على خمسة حروف مختلفة، فمن الممكن أن نطبِّق قاعدة المضروب، لنستنتج أن هناك ترتيبات مختلفة، أو كلمات، يمكن تكوينها من هذه الكلمة. ولكن هذه ليست الحالة هنا؛ لأن حرف اللام يظهر ثلاث مرات في هذه الكلمة.

يمكننا تطبيق قاعدة التباديل على مسألة العد هذه عن طريق تحديد تسلسل الأحداث الذي يؤدِّي إلى نفس عدد النواتج. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين ، اللذين يحقِّقان الشرط ، تمثِّل التباديل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد من العناصر المختلفة من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. بعبارةٍ أخرى، علينا إيجاد تسلسل الأحداث من خلال:

1. اختيار عدد من العناصر المختلفة من إجمالي عدد من العناصر المختلفة،
2. ترتيب العناصر المختارة التي عددها .

أيُّ كلمة يمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل» يجب أن تكون مكوَّنة من خمسة حروف وتحتوي على حرف ألف واحد، وحرف ياء واحد، وثلاثة حروف لام. يمكننا تعريف تسلسل الأحداث كالآتي.

نلاحظ أنه نظرًا لأن حروف اللام الثلاثة ليست مختلفة، فإن ترتيبها لا يهم. ومن ثَمَّ، فإن عدد التباديل لا يعتمد إلا على موضعَي الألف والياء. أما المواضع الثلاثة المتبقية، فيمكن تعبئتها بحروف اللام الثلاثة. وبما أن كلمة «الليل» مكوَّنة من خمسة حروف، ويمكن وضع الحرفين بأي ترتيب، إذن نتناول التباديل بين حرفين في إجمالي خمسة مواضع ممكنة.

على سبيل المثال، إذا اخترنا ورتَّبنا (الموضع الخامس، الموضع الثالث)، فسيكون الناتج هو كلمة «لليلا». وتتوافق كلمة «الليل» مع الترتيب (الموضع الأول، الموضع الثالث). يمكننا أن نلاحظ أن تسلسل الأحداث هذا يقود إلى كل كلمة يمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل». ومن ثَمَّ، نحصل على عدد هذه الكلمات من خلال التباديل . تذكَّر أن صيغة التباديل مُعطاة بالمعادلة:

بالتعويض بـ ، ، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، يوجد ٢٠ كلمة مختلفة يمكن تكوينها باستخدام جميع حروف كلمة «الليل».

مثال ٤: تطبيقات مبدأ العد (قاعدة الضرب) والتباديل

تضع شركة على منتجاتها رموزًا تبدأ بـ ٣ حروف إنجليزية متبوعة بـ ٨ أرقام ليس الصفر من بينها. أيٌّ من الآتي يُمثِّل عدد الرموز التي يُمكن تكوينها دون أيِّ تكرار لأيٍّ من الحروف أو الأرقام؟

الحل

في هذا المثال، نريد حساب عدد الرموز المختلفة التي يُمكن تكوينها دون أيِّ تكرار لأيٍّ من الحروف أو الأرقام. عرفنا أن الرمز لا بد أن يبدأ بثلاثة حروف إنجليزية متبوعة بثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. يمكننا تكوين رمز أولًا عن طريق ترتيب ثلاثة حروف إنجليزية، ثم ترتيب ثمانية أرقام ليس الصفر من بينها دون تكرار.

نتذكَّر مبدأ العد الأساسي الذي ينص على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان ، ؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث هو ، وعدد النواتج الممكنة للحدث هو ، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب . ونتذكَّر أيضًا أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج وقوع أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

لتطبيق مبدأ العد الأساسي، نفترض أن هو حدث ترتيب ثلاثة حروف إنجليزية، هو حدث ترتيب ثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. نلاحظ أن الترتيب المحدَّد لثلاثة حروف إنجليزية لا يؤثِّر على عدد الترتيبات المختلفة لثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. ومن ثَمَّ، ، حدثان مستقلان. علينا الآن إيجاد عدد كل حدث من الحدثين على حدة، ثم ضربهما للحصول على إجمالي عدد طرق تكوين الرموز.

هيا نوجد عدد الطرق المختلفة لترتيب ثلاثة حروف إنجليزية. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين ، اللذين يحقِّقان الشرط ، تمثِّل التباديل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد من العناصر من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي:

ونظرًا لأن هناك ٢٦ حرفًا في الحروف الأبجدية الإنجليزية، فإن هذا يعني وجود من الطرق المختلفة لترتيب ثلاثة حروف مختلفة من الحروف الإنجليزية. وأيضًا، بما أن هناك تسعة أرقام مختلفة ليس الصفر من بينها، فإنه يوجد من الطرق المختلفة لترتيب ثمانية أرقام مختلفة ليس الصفر من بينها.

بتطبيق قاعدة الضرب، يكون عدد الرموز التي يمكن تكوينها دون أيِّ تكرار لأيٍّ من الحروف أو الأرقام هو:

وهذا هو الخيار (د).

مثال ٥: تطبيقات مبدأ العد (قاعدة الضرب) والتباديل

أوجد عدد الطرق التي يُمكِننا بها اختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب أولًا، ثم قطعتَي شوكولاتة داكنة، من صندوق به ١٠ قِطَع شوكولاتة بالحليب و٨ قِطَع شوكولاتة داكنة، باعتبار أن العناصر مختلفة، والاختيار دون إحلال، والترتيب مهم.

الحل

في هذا المثال، نريد حساب عدد طرق اختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب وقطعتَي شوكولاتة داكنة؛ حيث يكون ترتيب الاختيارات مهمًّا، ويكون الاختيار دون إحلال.

نتذكَّر مبدأ العد الأساسي الذي ينص على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان ، ؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث هو ، وعدد النواتج الممكنة للحدث هو ، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب . ونتذكَّر أيضًا أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج وقوع أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

لتطبيق مبدأ العد الأساسي، نفترض أن هو حدث اختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب، هو حدث اختيار قطعتَي شوكولاتة داكنة. علينا أن نضع في اعتبارنا أن ترتيب الاختيار مهمٌّ لكلٍّ من الشوكولاتة بالحليب والشوكولاتة الداكنة. يمكننا أن نلاحظ أن الترتيب المحدَّد لقطعتَي الشوكولاتة بالحليب لا يؤثِّر على عدد الطرق المختلفة لاختيار قطعتَي الشوكولاتة الداكنة. ومن ثَمَّ، ، حدثان مستقلان. علينا الآن إيجاد عدد كل حدث من الحدثين على حدة، ثم ضربهما للحصول على إجمالي عدد طرق اختيار قطع الشوكولاتة.

هيا نوجد أولًا عدد الطرق المختلفة لاختيار قطعتَي شوكولاتة بالحليب؛ حيث يكون ترتيب الاختيارات مهمًّا، ويكون الاختيار دون إحلال. تذكَّر أنه بافتراض العددين الصحيحين غير السالبين ، اللذين يحقِّقان الشرط ، تمثِّل التباديل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد من العناصر من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. وصيغة التباديل هي:

بما أن هناك ١٠ قطع شوكولاتة بالحليب في الصندوق، فإن هناك من الطرق المرتَّبة المختلفة لتحقيق هذه المهمة. يمكننا حساب:

بعد ذلك، هيا نوجد عدد الطرق المختلفة لاختيار قطعتَي شوكولاتة داكنة؛ حيث يكون ترتيب الاختيارات مهمًّا، ويكون الاختيار دون إحلال. بما أن هناك ٨ قطع شوكولاتة داكنة في الصندوق، فإن هناك من الطرق المرتَّبة المختلفة لتحقيق هذه المهمة. يمكننا حساب:

بتطبيق قاعدة الضرب، يكون عدد النواتج المختلفة للحدث المُعطى هو:

مثال ٦: عد الترتيبات الدائرية

صواب أم خطأ: في محل بيع الزهور، توجد ٤٠‎ ‎٣٢٠ طريقة لترتيب ٨ زهور في دائرة.

الحل

تذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لترتيب إجمالي عدد من العناصر المختلفة في نمط دائري هو:

في هذا المثال، نريد إيجاد عدد الترتيبات الدائرية المختلفة لثماني زهور؛ ومن ثَمَّ . وهذا يؤدِّي إلى:

وهذا يختلف عن العدد المذكور في السؤال. يمكننا أن نرى أن العدد المُعطى في السؤال هو ، وهو عدد الطرق المختلفة لترتيب ٨ زهور في خط مستقيم. لا يراعي هذا العدد حقيقة أن بعض الترتيبات الدائرية تعتبر متطابقة بسبب التماثل الدوراني للدائرة.

ومن ثَمَّ، فإن العبارة المُعطاة خطأ.