شارح الدرس: الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة والمتقاطعة في الفضاء الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معادلة خط مستقيم موازٍ أو عمودي على مستقيم آخر في الفضاء، ونُوجِد نقطة التقاطع بين المستقيمين.

نعلم أن المتجه غير الصفري الموازي للخط المستقيم والنقطة الموجودة عليه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمستقيم في ثلاثة أبعاد. من الطبيعي أن تظهر مركَّبات متجه الاتجاه وإحداثيات النقطة بوضوح في معادلة الخط المستقيم في صور مختلفة. دعونا نتذكَّر الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم.

تعريف: معادلة خط مستقيم في ثلاثة أبعاد

الخط المستقيم المار بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ والموازي للمتجه غير الصفري (󰏡،𞸁،𞸖)، تكون معادلته:

  • على الصورة المتجهة كالآتي: 󰄮𞸓(𞸍)=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒+𞸍(󰏡،𞸁،𞸖)،٠٠٠ حيث 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ متجه موضع النقطة التي تنتمي إلى الخط المستقيم.
  • وتكون على الصورة الكارتيزية كالآتي: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸖󰏡٠،𞸁٠،𞸖٠;٠٠٠؛،
  • وتكون على الصورة البارامترية كالآتي: 𞸎=𞸎+󰏡𞸍،𞸑=𞸑+𞸁𞸍،𞸏=𞸏+𞸖𞸍.٠٠٠

نتناول مثالًا نُوجِد فيه الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم، بمعلومية نقطة عليه ومتجه متوازٍ.

مثال ١: تحديد الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (١،٥،٤) والموازي للمتجه (٣،٥،١).

الحل

نتذكَّر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة 𞸋 بموازاة المتجه غير الصفري 󰄮𞸌 مُعطاة بالصيغة: 󰄮𞸓(𞸍)=󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋+𞸍󰄮𞸌، حيث 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋 متجه موضع النقطة 𞸋(١،٥،٤)، 𞸅 نقطة الأصل (٠،٠،٠). ونعلم أن المستقيم يمر بالنقطة 𞸋(١،٥،٤)، فنحصل على 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=(١،٥،٤).

ونعلم أيضًا أن المستقيم موازٍ للمتجه (٣،٥،١). إذن الصورة المتجهة لمعادلة هذا المستقيم هي: 󰄮𞸓=(١،٥،٤)+𞸍(٣،٥،١).

يُعرَف المتجه غير الصفري الموازي لخط مستقيم باسم متجه اتجاه الخط المستقيم. ونعلم أن اختيار متجهات الاتجاه في معادلة الخط المستقيم ليس وحيدًا، وأن أيَّ متجهات متوازية غير صفرية يمكن أن تحل محل متجه اتجاه محدَّد.

على الرغم من أن معادلة المستقيم تختلف عند استخدام متجه اتجاه مختلف، فإن المعادلة الجديدة تظل تمثِّل المستقيم نفسه.

فيما يلي تعريف المستقيمات المتوازية.

تعريف: الخطوط المتوازية في ثلاثة أبعاد

يكون أيُّ مستقيمين متوازيَيْن إذا كان متجها الاتجاه فيهما متوازيَيْن.

في المثال التالي، نُوجِد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يوازي خطًّا معيَّنًا.

مثال ٢: إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بنقطة محدَّدة ويوازي خطًّا مستقيمًا مُعطى بالصورة المتجهة

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة 󰏡(٢،٥،٥) ويوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين 𞸁(٣،٢،٦)، 𞸂(٥،٠،٩).

الحل

نتذكَّر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة 󰏡 بموازاة المتجه 󰄮𞸌 مُعطاة بالصيغة: 󰄮𞸓(𞸍)=󰄮󰄮𞸅󰏡+𞸍󰄮𞸌، حيث 󰄮󰄮𞸅󰏡 متجه موضع النقطة 󰏡، وتمثِّل النقطة 𞸅 نقطة الأصل.

نعلم أن المستقيم يمر بالنقطة 󰏡(٢،٥،٥)، ما يعطينا 󰄮󰄮𞸅󰏡=(٢،٥،٥). لذا يتبقَّى إيجاد متجه الاتجاه 󰄮𞸌 لإكمال معادلة الخط المستقيم.

نتذكَّر أن أيَّ مستقيمين يكونان متوازيَيْن إذا كانا يشتركان في متجه اتجاه. وبما أن الخطين متوازيان، إذن فهما يشتركان في متجه الاتجاه. لذا، يمكننا استخدام متجه اتجاه المستقيم المُعطى على الصورة 󰄮𞸌 في معادلة متجه الخط المستقيم.

يمر الخط المُعطى عبر 𞸁(٣،٢،٦)، 𞸂(٥،٠،٩)؛ ومن ثَمَّ، فهو موازٍ للمتجه: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸂=󰄮󰄮󰄮𞸅𞸂󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁=(٥،٠،٩)(٣،٢،٦)=(٥(٣)،٠(٢)،٩(٦))=(٨،٢،٣).

وهذا يعطينا 󰄮𞸌=(٨،٢،٣).

إذن معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة هي: 󰄮𞸓=(٢،٥،٥)+𞸍(٨،٢،٣).

إذا تقاطع مستقيمان في ثلاثة أبعاد، فإنهما يتقاطعان في نقطة مشتركة. إحدى الطرق المناسبة للتحقُّق من وجود نقطة مشتركة بين مستقيمين أو لا هي استخدام الصورة البارامترية لمعادلات المستقيمين. في الصورة البارامترية، يُعطَى كل إحداثي لنقطة بدلالة البارامتر 𞸍 مثلًا. وإذا كان مستقيمان يمران بنفس النقطة، فلا بد أن تكون هناك قيمة بارامتر 𞸍=𞸍١، وهو ما يعطينا إحداثيات هذه النقطة في المستقيم الأول، وقيمة أخرى 𞸍=𞸍٢ تنتج عنها هذه الإحداثيات في السطر الثاني.

في المثال التالي، نستخدم هذه الفكرة لإيجاد ثابت مجهول في معادلات مستقيمين متقاطعين.

مثال ٣: إيجاد معاملات مجهولة في معادلات مستقيمين في ثلاثة أبعاد بشرط تقاطعهما

أوجد قيمة 󰏡 التي تجعل المستقيمين 𞸎٥=𞸑٢١=𞸏٢، 𞸎١󰏡=𞸑+٢٤=𞸏+١٤ متقاطعَيْن؟

الحل

نتذكَّر هنا أنه يمكننا تحويل معادلة الخط المستقيم على الصورة الكارتيزية إلى الصورة البارامترية بجعل كل مركبة من مركبات المعادلة تساوي 𞸍، والحل لإيجاد المتغيِّرات 𞸎، 𞸑، 𞸏. من معادلة الخط الأول، نحصل على: 𞸎٥=𞸍،𞸎=٥𞸍𞸑٢١=𞸍،𞸑=٢𞸍𞸏٢=𞸍،𞸏=٢𞸍.؛؛

إذن معادلة المستقيم الأول على الصورة البارامترية هي:

𞸎=٥𞸍،𞸑=٢𞸍،𞸏=٢𞸍.()١

ومن معادلة المستقيم الثاني، لدينا: 𞸎١󰏡=𞸍،𞸎=١+󰏡𞸍𞸑+٢٤=𞸍،𞸑=٢+٤𞸍𞸏+١٤=𞸍،𞸏=١+٤𞸍.؛؛

ومن ثَمَّ، تصبح معادلة المستقيم الثاني على الصورة البارامترية:

𞸎=١+󰏡𞸍،𞸑=٢+٤𞸍،𞸏=١+٤𞸍.()٢

إذا كان الخطان يشتركان في نقطة واحدة (𞸎،𞸑،𞸏)، فلا بد من توافر قيمتين للبارامترين 𞸍١، 𞸍٢ تناظران هذين الإحداثيين في كلا المستقيمين. بعبارة أخرى، سنعوِّض بـ 𞸍=𞸍١ في المعادلات البارامترية (١)، ونعوِّض بـ 𞸍=𞸍٢ في المعادلات البارامترية (٢)، ثم نقوم بمساواة المتغيِّرات المتناظرة في أيٍّ من مجموعتَي المعادلات. وهذا يعطينا نظام المعادلات الآتي: ٥𞸍=١+󰏡𞸍،٢𞸍=٢+٤𞸍،٢𞸍=١+٤𞸍.١٢١٢١٢.

وبما أن المعادلة الأولى تتضمَّن ثابتًا مجهولًا، إذن نستخدم المعادلتين الثانية والثالثة لتحديد 𞸍١، 𞸍٢. بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة الأولى لإيجاد الثابت المجهول 󰏡.

يمكننا طرح المعادلة الثالثة من المعادلة الثانية، لنحصل على: ٢𞸍=٢+٤𞸍٢𞸍=١+٤𞸍٢+𞸍=١١٢١٢١

وبحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸍١، نحصل على 𞸍=٣١. يمكننا التعويض بذلك في: ٢𞸍=١+٤𞸍٢×(٣)=١+٤𞸍.١٢٢

نَحُل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸍٢، فنحصل على 𞸍=٧٤٢. وهذا يعطينا البارامترين 𞸍=٣١، 𞸍=٧٤٢. نعوِّض بهاتين القيمتين في: ٥𞸍=١+󰏡𞸍٥×(٣)=١+󰏡٧٤.١٢ديإ

وحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 󰏡 يعطينا: 󰏡=٤٧×٤١=٨.

ومن ثَمَّ، فإن المستقيمين يتقاطعان عند 󰏡=٨.

في المثال السابق، عرفنا ثابتًا مجهولًا لمستقيمين متقاطعَيْن. نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه إحداثيات نقطة التقاطع بين مستقيمين، ونستخدم ذلك لإيجاد الصورة الكارتيزية لمعادلة المستقيم.

مثال ٤: إيجاد معادلة المستقيم على الصورة الكارتيزية باستخدام نقطة تقاطع مستقيمين آخرين

أوجد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ونقطة تقاطع الخطين المستقيمين 𞸋󰄮𞸓=(١،١،٢)+𞸍(١،٤،٣)١، 𞸋𞸎=٣،𞸑٥٤=𞸏٣١٢.

الحل

لإيجاد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم، نحتاج إلى متجه اتجاهه ونقطة على المستقيم. وبما أننا نعلم أن الخط المستقيم يمر بنقطة الأصل ونقطة التقاطع، إذن يمكننا تعريف متجه اتجاه الخط بأنه المتجه من نقطة الأصل والذي ينتهي عند نقطة التقاطع. نبدأ إذن بتحديد نقطة التقاطع.

لإيجاد نقطة التقاطع بين المستقيمين 𞸋١، 𞸋٢، نستخدم الصورة البارامترية لمعادلات الخطوط المستقيمة. نبدأ باستنتاج الصورة البارامترية لمعادلات كلا المستقيمين.

من الصورة المتجهة المعطاة للمعادلة 𞸋١، نجد أن لدينا: 󰄮𞸓=(١،١،٢)+𞸍(١،٤،٣)=(١+𞸍،١+٤𞸍،٢+٣𞸍).

بعد ذلك، تكون معادلة 𞸋١ على الصورة البارامترية على النحو الآتي: 𞸋𞸎=١+𞸍،𞸑=١+٤𞸍،𞸏=٢+٣𞸍.١

بعد ذلك، نحوِّل المعادلة 𞸋٢ إلى الصورة البارامترية. من الصورة الكارتيزية المعطاة، يمكننا ملاحظة الآتي: 𞸎=٣. في المعادلة الثانية، يمكننا مساواة كلا الطرفين 𞸍 وإيجاد المتغيِّرين 𞸑، 𞸏. 𞸑٥٤=𞸍𞸑=٥٤𞸍،𞸏٣١=𞸍𞸏=٣𞸍.ديإديإ

بعد ذلك، تكون معادلة 𞸋٢ في الصورة البارامترية كالآتي: 𞸋𞸎=٣،𞸑=٥٤𞸍،𞸏=٣𞸍.٢

افترض أن المستقيمين 𞸋١، 𞸋٢ يتقاطعان عند النقطة (𞸎،𞸑،𞸏). إذن لا بد من التعبير عن هذه النقطة من خلال القيمة البارامترية 𞸍=𞸍١ للمستقيم 𞸋١، وقيمة بارامترية أخرى 𞸍=𞸍٢ للمستقيم 𞸋٢. يمكننا إذن التعويض بهاتين القيمتين في الصورة البارامترية لمعادلة أيٍّ من المستقيمين، ومساواة كل الإحداثيات المناظرة بعضها ببعض. هذا يعطينا: ١+𞸍=٣،١+٤𞸍=٥٤𞸍،٢+٣𞸍=٣𞸍.١١٢١٢

يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى للحصول على 𞸍=٢١. يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية وإعادة ترتيبها على النحو الآتي: ١+٤×٢=٥٤𞸍،𞸍=١.٢٢

ومن ثَمَّ، حصلنا على 𞸍=٢١، 𞸍=١٢. نرى إذا ما كانت القيم البارامترية لهذين المتغيِّرين تساوي مجموعة الإحداثيات نفسها 𞸋١، 𞸋٢. بالتعويض بـ 𞸍=٢ في المعادلات البارامترية لـ 𞸋١، نحصل على: 𞸋𞸎=١+٢=٣،𞸑=١+٤×٢=٩،𞸏=٢+٣×٢=٤.١

هذا يساوي إذن الإحداثيات (٣،٩،٤) في 𞸋١.

بعد ذلك، نعوِّض بـ 𞸍=١ في المعادلات البارامترية لـ 𞸋٢: 𞸋𞸎=٣،𞸑=٥٤×(١)=٩،𞸏=٣(١)=٤.٢

وهذا يؤدِّي إلى الإحداثيات نفسها (٣،٩،٤) للمستقيم 𞸋٢. ومن ثَمَّ، نجد أن المستقيمين 𞸋١، 𞸋٢ يتقاطعان عند النقطة 𞸋(٣،٩،٤). وبما أن المستقيم يمر أيضًا بنقطة الأصل، إذن هذا يعني أن المستقيم له متجه الاتجاه 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=(٣،٩،٤).

باستخدام الإحداثيات (٠،٠،٠) لنقطة الأصل، نحصل على الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم على النحو الآتي: 𞸎٠٣=𞸑٠٩=𞸏٠٤.

ومن ثَمَّ، فإن الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم التي تمر بنقطة الأصل ونقطة تقاطع الخطين 𞸋١، 𞸋٢ هي: 𞸎٣=𞸑٩=𞸏٤.

أما إذا تقاطع مستقيمان، فيمكننا التحقُّق ممَّا إذا كانا مستقيمين متعامدَيْن باستخدام متجهات اتجاه أيٍّ من الخطين. نُعرِّف الخطوط العمودية على النحو الآتي:

تعريف: الخطوط العمودية في الأبعاد الثلاثة

يكون المستقيمان متعامدَيْن إذا تقاطعا عند نقطة، وكان متجها اتجاهَيْهما متعامدَيْن.

نتذكَّر أن المتجهين يكونان متعامدَيْن إذا كانت الزاوية بينهما ٠٩، وهو ما يماثِل قولنا إن حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. وبذلك، يكون المستقيمان المتقاطعان متعامدَيْن إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهَي اتجاهَيْهما يساوي صفرًا.

في المثال التالي، نُحدِّد إذا ما كان المستقيمان المعطيان متوازيَيْن أو متعامدَيْن.

مثال ٥: تحديد إذا ما كان الخطان المستقيمان متوازيَيْن أو متعامدَيْن

لديك الخطان المستقيمان 𞸎=٤+٢𞸍، 𞸑=٦+𞸍، 𞸏=٢٢𞸍، 󰄮𞸓=(٦،٧،٠)+𞸍(٥،٤،٧). حدِّد إذا ما كانا متوازيَيْن أو متعامدَيْن.

الحل

نتذكَّر أن الخطين يكونان متوازيَيْن إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن، وكذلك يكونان متعامدَيْن إذا تقاطعا وكان متجها اتجاهَيْهما متعامدَيْن. نبدأ بالتحقُّق ممَّا إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن أو متعامدَيْن. إذا كانا متعامدَيْن، فعلينا أيضًا التحقَّق ممَّا إذا كانا يتقاطعان عند نقطة ما.

من الصورة البارامترية لمعادلة الخط الأول، نحصل على متجه الاتجاه (٢،١،٢). ومن الصورة المتجهة لمعادلة الخط الثاني، نحصل على متجه الاتجاه (٥،٤،٧).

تذكَّر أن المتجهين 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متوازيان إذا كانت هناك كمية قياسية 𞸖 تحقِّق المعادلة الآتية: 󰄮𞸋=𞸖󰄮𞸏.

للتأكُّد ممَّا إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن أو لا، يمكننا التعويض بهما في 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 والتأكُّد من القيم الممكنة لـ 𞸖. سنحصل على: (٢،١،٢)=𞸖(٥،٤،٧)=(٥𞸖،٤𞸖،٧𞸖).

وهذا يؤدِّي إلى المعادلات الثلاث:

٢=٥𞸖،١=٤𞸖،٢=٧𞸖.()٣

تعطينا المعادلة الأولى 𞸖=٢٥. لكن التعويض بهذه القيمة في المعادلتين الثانية والثالثة يعطينا: ١=٤×٢٥=٨٥،٢=٧×٢٥=٤١٥.??

وبما أن كلتا المعادلتين خاطئتان، إذن نستنتج أنه لا يوجد حل لـ 𞸖 للنظام (٣). إذن متجها اتجاه المستقيمين ليسا متوازيَيْن، ما يعني أن المستقيمين غير متوازيَيْن.

هيا نتحقَّق ممَّا إذا كان المستقيمان متعامدَيْن أو لا. نتذكَّر أن المستقيمين يكونان متعامدَيْن إذا تقاطعا وكان متجها اتجاهَيْهما متعامدَيْن. ويكون متجها الاتجاه متعامدَيْن إذا كان حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. يعطينا الضرب القياسي لهما: (٢،١،٢)(٥،٤،٧)=٢×٥+١×٤+(٢)×٧=٠.

ومن ثَمَّ، يجب أن يكون متجها الاتجاه متعامدَيْن. إذن يتبقى لنا توضيح أن المستقيمين يتقاطعان عند نقطة ما. ولإيجاد نقطة التقاطع، يمكننا كتابة معادلات الخطين على الصورة البارامترية. ومعادلة الخط الأول معطاة بالفعل في الصورة البارامترية؛ لذا، نحوِّل المعادلة الثانية إلى الصورة البارامترية على النحو الآتي: 𞸎=٦+٥𞸍،𞸑=٧+٤𞸍،𞸏=٧𞸍.

إذا كان الخطان يشتركان في نقطة واحدة، فلا بد من وجود قيم للبارامترين 𞸍١، 𞸍٢ تحقِّق المعادلات الآتية: ٤+٢𞸍=٦+٥𞸍،٦+𞸍=٧+٤𞸍،٢٢𞸍=٧𞸍.١٢١٢١٢

يمكننا استخدام أول معادلتين لحل هذا النظام باستخدام الحذف. نبدأ بضرب المعادلة الثانية في اثنين: ٢١+٢𞸍=٤١+٨𞸍.١٢

نطرح بعد ذلك المعادلة الأولى من هذه المعادلة، لنحصل على: ٢١+٢𞸍=٤١+٨𞸍٤+٢𞸍=٦+٥𞸍٨=٨+٣𞸍١٢١٢٢

وبحل هذه المعادلة وإيجاد 𞸍٢، نحصل على 𞸍=٠٢. نعوِّض بتلك القيم في: ٢٢𞸍=٧𞸍٢٢𞸍=٠،١٢١ ما يؤدِّي إلى 𞸍=١١. إذن لدينا 𞸍=١١، 𞸍=٠٢. نرى إذا ما كانت قيمتا البارامترين تساويان نقطة مشتركة في كلا المستقيمين أو لا. أولًا، نعوِّض بـ 𞸍=١ في الصورة البارامترية لمعادلة المستقيم الأول: 𞸎=٤+٢𞸍=٤+٢×١=٦،𞸑=٦+𞸍=٦+١=٧،𞸏=٢٢𞸍=٢٢×١=٠.

وهذا يقودنا إلى النقطة (٦،٧،٠). بعد ذلك، نعوِّض بـ 𞸍=٠ على الصورة البارامترية للمستقيم الثاني: 𞸎=٦+٥𞸍=٦+٥×٠=٦،𞸑=٧+٤𞸍=٧+٤×٠=٧،𞸏=٧𞸍=٧×٠=٠، ما يؤدِّي إلى النقطة نفسها (٦،٧،٠). ومن ثَمَّ، فإن المستقيمين يشتركان في نقطة واحدة (٦،٧،٠).

وبما أن متجهَي اتجاه المستقيمين متعامدان، ويتقاطع المستقيمان عند نقطة ما، إذن المستقيمان متعامدان.

في المثال التالي، نُوجِد المستقيم العمودي على خط مستقيم مُعطى يمر أيضًا بنقطة الأصل.

مثال ٦: إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ويتقاطع مع خط مستقيم آخر

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ويقطع الخط المستقيم 󰄮𞸓=(١،٢،٣)+𞸍(٣،٥،١)١١ عموديًّا.

الحل

نحن نعلم أن المستقيم يمر بنقطة الأصل؛ أي إذا استطعنا تحديد متجه اتجاه 󰄮𞸌 للمستقيم، فستكون الصورة المتجهة للمعادلة هي: 󰄮𞸓=𞸍󰄮𞸌.٢٢

وبما أن الخط المستقيم يجب أن يتقاطع بشكل عمودي مع المستقيم المعطى، إذن متجه الاتجاه 󰄮𞸌 يجب أن يكون عموديًّا على متجه اتجاه المستقيم المعطى، (٣،٥،١). نتذكَّر أن أيَّ متجهين يكونان متعامدَيْن إذا كان حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، يجب أن نحصل على: 󰄮𞸌(٣،٥،١)=٠.

نفترض أن المستقيم يتقاطع مع المستقيم المعطى عند النقطة 𞸋. بعد ذلك، نلاحظ من الشكل التالي أن الخط المستقيم له متجه الاتجاه 󰄮󰄮󰄮𞸋𞸅؛ نظرًا لأنه مذكور أن الخط يمر بنقطة الأصل.

علينا إذن تحديد النقطة 𞸋 الموضوعة على المستقيم المعطى؛ بحيث:

󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋(٣،٥،١)=٠.()٤

نظرًا لأن 𞸋 نقطة على الخط المستقيم المعطى، يجب أن نحصل على إحداثياتها من معادلة الخط المستقيم: 󰄮𞸓=(١،٢،٣)+𞸍(٣،٥،١)=󰁓١+٣𞸍،٢٥𞸍،٣+𞸍󰁒.١١١١١

هذا يعني أن هناك قيمة بارامترية 𞸍١ تُعطينا الإحداثيات: 𞸋󰁓١+٣𞸍،٢٥𞸍،٣+𞸍󰁒.١١١

وبعد ذلك، الطرف الأيسر من المعادلة (٤) هو: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋(٣،٥،١)=󰁓١+٣𞸍،٢٥𞸍،٣+𞸍󰁒(٣،٥،١)=٣󰁓١+٣𞸍󰁒٥󰁓٢٥𞸍󰁒+󰁓٣+𞸍󰁒=٣+٩𞸍٠١+٥٢𞸍+٣+𞸍=٠١+٥٣𞸍.١١١١١١١١١١

هذا التعبير يساوي صفرًا إذا كان المستقيمان يتقاطعان بشكل عمودي. مساواة التعبير الناتج بصفر يعطينا قيمة البارامتر 𞸍١ المناظر لنقطة التقاطع 𞸋 على النحو الآتي: ٠١+٥٣𞸍=٠،𞸍=٠١٥٣=٢٧.١١

نعوِّض بقيمة البارامتر 𞸍=٢٧١ في إحداثيات 𞸋: 𞸋󰁓١+٣𞸍،٢٥𞸍،٣+𞸍󰁒=𞸋󰂔١+٣×٢٧،٢٥×٢٧،٣+٢٧󰂓=𞸋󰂔٧٧+٦٧،٤١٧٠١٧،١٢٧+٢٧󰂓=𞸋󰂔١٧،٤٧،٣٢٧󰂓.١١١

ومن ثَمَّ، فإن المستقيم لدينا والمستقيم المعطى يتقاطعان بشكل عمودي عند النقطة 𞸋󰂔١٧،٤٧،٣٢٧󰂓. هذا يوضِّح لنا أن الخط المستقيم يوازي المتجه: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=󰂔١٧،٤٧،٣٢٧󰂓.

يمكننا ضرب هذا المتجه في الكمية القياسية ٧ للحصول على متجه اتجاه أبسط يوازي 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋: 󰄮𞸌=٧󰂔١٧،٤٧،٣٢٧󰂓=(١،٤،٣٢).

باستخدام متجه الاتجاه، نجد أن معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة هي: 󰄮𞸓=𞸍(١،٤،٣٢).٢٢

حتى الآن ناقشنا المستقيمات المتوازية، والمستقيمات المتقاطعة، والمستقيمات المتعامدة في ثلاثة أبعاد. نناقش الآن فئات استثنائية من المستقيمات، وهي المستقيمات المتطابقة والمستقيمات المتخالفة في ثلاثة أبعاد.

إذا تقاطع مستقيمان متوازيان عند نقطة، فإنهما يشتركان في نقطة ومتجه اتجاه؛ ومن ثَمَّ، فإن معادلاتهما متطابقة. في هذه الحالة، نقول إن المستقيمين متطابقان. من ناحية أخرى، إذا كان هناك مستقيمان متوازيان لا يتداخلان تمامًا، فهذا يعني أنهما لا يشتركان في أي نقطة. إذن المستقيمان المتوازيان إما يتداخلان كليًّا وإما لا يتقاطعان أبدًا.

نتناول مثالًا على المستقيمات المتطابقة. لديك الخطان الآتيان: 𞸋𞸎١٢=𞸑٢٤=𞸏٣٦،𞸋𞸎٢١=𞸑٢=𞸏٦٣.١٢

للمستقيمين 𞸋١، 𞸋٢ متجها اتجاه (٢،٤،٦) و(١،٢،٣) على الترتيب. ونلاحظ أن: (٢،٤،٦)=٢(١،٢،٣)، ما يعني أن متجهَي الاتجاه متوازيان. وبذلك، يصبح لدينا مستقيمان هما 𞸋١، 𞸋٢ وهما متوازيان. إضافةً إلى ذلك، نلاحظ أن الخط المستقيم 𞸋١ يمر بالنقطة (١،٢،٣). إذا كانت هذه الإحداثيات تحقِّق المعادلة 𞸋٢، فنحن نعلم إذن أن هذه النقطة تقع أيضًا في 𞸋٢. نعوِّض بهذه النقطة في الصورة الكارتيزية للمعادلة 𞸋٢، فنحصل على: ١٢١=٢٢=٣٦٣.

نلاحظ أن المعادلة السابقة صحيحة. من ثَمَّ، إحداثيات النقطة (١،٢،٣) أيضًا تحقِّق المعادلة 𞸋٢. إذن المستقيمان 𞸋١، 𞸋٢ متوازيان ومتقاطعان أيضًا عند النقطة (١،٢،٣). هذا يخبرنا أن هذين المستقيمين متطابقان.

لقد ناقشنا أن أيَّ مستقيمين متوازيَيْن مختلفين لا يشتركان في أيِّ نقطة. وفي الأبعاد الثلاثة، يمكن أن يفتقر أيُّ خطين مستقيمين غير متوازيَيْن إلى وجود نقطة تقاطع عليهما. في هذه الحالة، نقول إن هذين المستقيمين متخالفان. ونذكر التعريف الآتي.

تعريف: المستقيمات المتخالفة في ثلاثة أبعاد

يكون أيُّ مستقيمين في ثلاثة أبعاد متخالفَيْن إذا لم يكونا متوازيَيْن أو متقاطعَيْن.

في الآتي، نرى مثالًا على مستقيمين متخالفَيْن.

المستقيم الأحمر يتطابق مع المحور 𞸎، إذن له متجه الاتجاه (١،٠،٠). يمر المستقيم الأزرق عبر (٠،١،٠) و(٠،٠،١)؛ أي إن له متجه الاتجاه: (٠،١،٠)(٠،٠،١)=(٠،١،١).

نتذكَّر أن أيَّ متجهين يكونان متوازيَيْن إذا كان أحدهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر. إذا كان المتجه (٠،١،١) مضاعفًا قياسيًّا لـ (١،٠،٠)، فهذا يعني أن قيمة المضاعف القياسي يجب أن تكون صفرًا بالنظر إلى مركبات 𞸎. ومع ذلك، فإن هذا يؤدِّي إلى: (٠،١،٢)=٠×(١،٠،٠)،? وهو خطأ واضح. إذن (٠،١،١) ليس مضاعفًا قياسيًّا لـ (١،٠،٠)؛ وبناءً على ذلك، فإن متجهَي الاتجاه، ومن ثَمَّ هذان المستقيمان، ليسا متوازيَيْن. يتضح من الشكل أن الخط الأزرق لا يتقاطع أبدًا مع المحور 𞸎. لذا، فإن هذين المستقيمين لا يتقاطعان وليسا متوازيَيْن. إذن المستقيمان متخالفان.

في المثال الأخير، سنُحدِّد إذا ما كان المستقيمان التاليان الممثَّلان بمعادلتيهما متوازيَيْن أو متطابقَيْن أو متقاطعَيْن أو متخالفَيْن.

مثال ٧: تحديد إذا ما كان المستقيمان متوازيَيْن أو متطابقَيْن أو متقاطعَيْن أو متخالفَيْن

لديك الخطان الآتيان 𞸋󰄮𞸓=(٣،٤،١)+𞸍(١،١،١)١، 𞸋󰄮𞸓=(٢،٠،٥)+𞸍(٢،٣،٠)٢. اختَر العبارة الصحيحة عنهما.

  1. 𞸋١، 𞸋٢ متوازيان لكنهما ليسا متطابقَيْن.
  2. 𞸋١، 𞸋٢ خطان متطابقان.
  3. 𞸋١، 𞸋٢ متقاطعان عند نقطة.
  4. 𞸋١، 𞸋٢ عبارة عن خطَّيْن متخالفَيْن.

الحل

نتذكَّر أن أيَّ مستقيمين يكونان متوازيَيْن إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن. من الصورة المتجهة للمعادلتين 𞸋١، 𞸋٢، نحصل على متجهَي اتجاه (١،١،١) لـ 𞸋١، (٢،٣،٠) لـ 𞸋٢.

تذكَّر أن لدينا متجهَيْن هما 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، وهما متوازيان إذا كان هناك كمية قياسية 𞸖 تحقِّق المعادلة: 󰄮𞸋=𞸖󰄮𞸏.

نعوِّض بمتجهَي الاتجاه 𞸋١، 𞸋٢ بدلًا من 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، وسنحصل على: (١،١،١)=𞸖(٢،٣،٠)=(٢𞸖،٣𞸖،٠).

نلاحظ أن مركبة 𞸏 للمتجه في الطرف الأيمن من المعادلة تساوي صفرًا، دون النظر إلى قيمة 𞸖. بما أن المركبة المناظرة للمتجه في أقصى اليسار لا تساوي صفرًا، إذن هذه المعادلة ليس لها حل. وهذا يعني أن (١،١،١) ليس مضاعفًا قياسيًّا لـ (٢،٣،٠). إذن المستقيمان 𞸋١، 𞸋٢ غير متوازيَيْن.

بعد ذلك، نعرف إذا ما كان المستقيمان متقاطعَيْن أو لا. للتأكُّد من تقاطع خطَّيْن مستقيمَيْن، يمكننا استخدام الصورة البارامترية لمعادلات المستقيمين. من الصورة المتجهة المعطاة، يمكننا كتابة: 𞸋󰄮𞸓=(٣،٤،١)+𞸍(١،١،١)=(٣+𞸍،٤𞸍،١+𞸍).١

بعد ذلك، تكون معادلة 𞸋١ على الصورة البارامترية هي:

𞸋𞸎=٣+𞸍،𞸑=٤𞸍،𞸏=١+𞸍.١()٥

وبالمثل، بالنسبة إلى 𞸋٢: 𞸋󰄮𞸓=(٢،٠،٥)+𞸍(٢،٣،٠)=(٢٢𞸍،٣𞸍،٥)،٢ ما يعطينا الصورة المتجهة لهذه المعادلة من خلال:

𞸋𞸎=٢٢𞸍،𞸑=٣𞸍،𞸏=٥.٢()٦

وإذا كانت هناك نقطة مشتركة بين المستقيمين، فلا بد من وجود قيمتَيْن بارامتريتَيْن، وهما 𞸍١، 𞸍٢، ما يعطينا إحداثيات هذه النقطة التي تحقِّق المعادلتين (٥) و(٦). نعوِّض بـ 𞸍=𞸍١ في المعادلة (٥)، وبـ 𞸍=𞸍٢ في المعادلة (٦) لتكوين تعبير يمثِّل الإحداثيَّيْن 𞸋١، 𞸋٢. وبمساواة كل إحداثي من 𞸋١، 𞸋٢ بالآخر، نحصل على: ٣+𞸍=٢٢𞸍،٤𞸍=٣𞸍،١+𞸍=٥.١٢١٢١

المعادلة الثالثة تؤدِّي على الفور إلى 𞸍=٤١. وبالتعويض بذلك في معادلة الإحداثي الثاني السابق، نحصل على: ٤٤=٣𞸍،𞸍=٠.٢٢

ومن ثَمَّ، حصلنا على 𞸍=٤١، 𞸍=٠٢. يعني هذا أنه إذا كانت هناك مجموعة مشتركة من الإحداثيات بين المستقيمين 𞸋١، 𞸋٢، لا بد أن تكون قيمة هذين الإحداثيَّيْن إذن هي قيمة البارامتر 𞸍=٤ لـ 𞸋١، 𞸍=٠ لـ 𞸋٢.

نرى إذا ما كانت هاتان القيمتان تنتجان مجموعة مشتركة من الإحداثيات من 𞸋١، 𞸋٢. بدايةً، نعوِّض بـ 𞸍=٤ في المعادلات البارامترية في (٥): 𞸎=٣+𞸍=٣+٤=٧،𞸑=٤𞸍=٤٤=٠،𞸏=١+𞸍=١+٤=٥.

وهذا يؤدِّي إلى الإحداثيات (٧،٠،٥) من 𞸋١، ما يمثِّل قيمة البارامتر ٤. بعد ذلك، نعوِّض بـ 𞸍=٠ في المعادلات البارامترية في (٦): 𞸎=٢٢𞸍=٢٢×٠=٢،𞸑=٣𞸍=٣×٠=٠،𞸏=٥.

هذا يعطينا الإحداثيات (٢،٠،٥) من 𞸋٢، ما يمثِّل قيمة البارامتر ٠. ونلاحظ أن هذا يختلف عن الإحداثيات (٧،٠،٥) من 𞸋١. هذا يعني أنه لا توجد مجموعة مشتركة من الإحداثيات. بعبارة أخرى، المستقيمان 𞸋١، 𞸋٢ لا يتقاطعان.

بما أن المستقيمين غير متوازيَيْن ولا يتقاطعان، إذن 𞸋١، 𞸋٢ عبارة عن مستقيمَيْن متخالفَيْن.

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة لهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يكون المستقيمان متوازيَيْن إذا كان لهما متجه اتجاه مشترك. وبشكلٍ بديل، يكون المستقيمان متوازيَيْن إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن.
  • لإيجاد نقطة التقاطع بين مستقيمين، علينا إيجاد قيمتَي البارامترين 𞸍١، 𞸍٢ اللتين تنتجان مجموعة الإحداثيات نفسها على الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم.
  • يكون المستقيمان متعامدَيْن إذا تقاطعا عند نقطة، ومتجها اتجاهَيْهما عموديان.
  • إذا تقاطع مستقيمان متوازيان عند نقطة، فإنهما يتداخلان تمامًا. في هذه الحالة، يكون المستقيمان متطابقَيْن.
  • يكون أيُّ مستقيمين متخالفَيْن عندما يكونان غير متوازيَيْن، وعندما لا يتقاطعان عند أي نقطة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.