شارح الدرس: الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة والمتقاطعة في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: تحديد الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة والموازي للمتجه .

الحل

نتذكَّر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة بموازاة المتجه غير الصفري مُعطاة بالصيغة: حيث متجه موضع النقطة ، نقطة الأصل . ونعلم أن المستقيم يمر بالنقطة ، فنحصل على .

ونعلم أيضًا أن المستقيم موازٍ للمتجه . إذن الصورة المتجهة لمعادلة هذا المستقيم هي:

مثال ٢: إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بنقطة محدَّدة ويوازي خطًّا مستقيمًا مُعطى بالصورة المتجهة

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ويوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين ، .

الحل

نتذكَّر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة بموازاة المتجه مُعطاة بالصيغة: حيث متجه موضع النقطة ، وتمثِّل النقطة نقطة الأصل.

نعلم أن المستقيم يمر بالنقطة ، ما يعطينا . لذا يتبقَّى إيجاد متجه الاتجاه لإكمال معادلة الخط المستقيم.

نتذكَّر أن أيَّ مستقيمين يكونان متوازيَيْن إذا كانا يشتركان في متجه اتجاه. وبما أن الخطين متوازيان، إذن فهما يشتركان في متجه الاتجاه. لذا، يمكننا استخدام متجه اتجاه المستقيم المُعطى على الصورة في معادلة متجه الخط المستقيم.

يمر الخط المُعطى عبر ، ؛ ومن ثَمَّ، فهو موازٍ للمتجه:

وهذا يعطينا .

إذن معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة هي:

مثال ٣: إيجاد معاملات مجهولة في معادلات مستقيمين في ثلاثة أبعاد بشرط تقاطعهما

أوجد قيمة التي تجعل المستقيمين ، متقاطعَيْن؟

الحل

نتذكَّر هنا أنه يمكننا تحويل معادلة الخط المستقيم على الصورة الكارتيزية إلى الصورة البارامترية بجعل كل مركبة من مركبات المعادلة تساوي ، والحل لإيجاد المتغيِّرات ، ، . من معادلة الخط الأول، نحصل على:

إذن معادلة المستقيم الأول على الصورة البارامترية هي:

ومن معادلة المستقيم الثاني، لدينا:

ومن ثَمَّ، تصبح معادلة المستقيم الثاني على الصورة البارامترية:

إذا كان الخطان يشتركان في نقطة واحدة ، فلا بد من توافر قيمتين للبارامترين ، تناظران هذين الإحداثيين في كلا المستقيمين. بعبارة أخرى، سنعوِّض بـ في المعادلات البارامترية (١)، ونعوِّض بـ في المعادلات البارامترية (٢)، ثم نقوم بمساواة المتغيِّرات المتناظرة في أيٍّ من مجموعتَي المعادلات. وهذا يعطينا نظام المعادلات الآتي: .

وبما أن المعادلة الأولى تتضمَّن ثابتًا مجهولًا، إذن نستخدم المعادلتين الثانية والثالثة لتحديد ، . بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة الأولى لإيجاد الثابت المجهول .

يمكننا طرح المعادلة الثالثة من المعادلة الثانية، لنحصل على:

وبحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، نحصل على . يمكننا التعويض بذلك في:

نَحُل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، فنحصل على . وهذا يعطينا البارامترين ، . نعوِّض بهاتين القيمتين في:

وحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة يعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن المستقيمين يتقاطعان عند .

مثال ٤: إيجاد معادلة المستقيم على الصورة الكارتيزية باستخدام نقطة تقاطع مستقيمين آخرين

أوجد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ونقطة تقاطع الخطين المستقيمين ، .

الحل

لإيجاد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم، نحتاج إلى متجه اتجاهه ونقطة على المستقيم. وبما أننا نعلم أن الخط المستقيم يمر بنقطة الأصل ونقطة التقاطع، إذن يمكننا تعريف متجه اتجاه الخط بأنه المتجه من نقطة الأصل والذي ينتهي عند نقطة التقاطع. نبدأ إذن بتحديد نقطة التقاطع.

لإيجاد نقطة التقاطع بين المستقيمين ، ، نستخدم الصورة البارامترية لمعادلات الخطوط المستقيمة. نبدأ باستنتاج الصورة البارامترية لمعادلات كلا المستقيمين.

من الصورة المتجهة المعطاة للمعادلة ، نجد أن لدينا:

بعد ذلك، تكون معادلة على الصورة البارامترية على النحو الآتي:

بعد ذلك، نحوِّل المعادلة إلى الصورة البارامترية. من الصورة الكارتيزية المعطاة، يمكننا ملاحظة الآتي: . في المعادلة الثانية، يمكننا مساواة كلا الطرفين بـ ، وإيجاد المتغيِّرين ، .

بعد ذلك، تكون معادلة في الصورة البارامترية كالآتي:

افترض أن المستقيمين ، يتقاطعان عند النقطة . إذن لا بد من التعبير عن هذه النقطة من خلال القيمة البارامترية للمستقيم ، وقيمة بارامترية أخرى للمستقيم . يمكننا إذن التعويض بهاتين القيمتين في الصورة البارامترية لمعادلة أيٍّ من المستقيمين، ومساواة كل الإحداثيات المناظرة بعضها ببعض. هذا يعطينا:

يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى للحصول على . يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية وإعادة ترتيبها على النحو الآتي:

ومن ثَمَّ، حصلنا على ، . نرى إذا ما كانت القيم البارامترية لهذين المتغيِّرين تساوي مجموعة الإحداثيات نفسها ، . بالتعويض بـ في المعادلات البارامترية لـ ، نحصل على:

هذا يساوي إذن الإحداثيات في .

بعد ذلك، نعوِّض بـ في المعادلات البارامترية لـ :

وهذا يؤدِّي إلى الإحداثيات نفسها للمستقيم . ومن ثَمَّ، نجد أن المستقيمين ، يتقاطعان عند النقطة . وبما أن المستقيم يمر أيضًا بنقطة الأصل، إذن هذا يعني أن المستقيم له متجه الاتجاه .

باستخدام الإحداثيات لنقطة الأصل، نحصل على الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم على النحو الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم التي تمر بنقطة الأصل ونقطة تقاطع الخطين ، هي:

مثال ٥: تحديد إذا ما كان الخطان المستقيمان متوازيَيْن أو متعامدَيْن

لديك الخطان المستقيمان ، ، ، . حدِّد إذا ما كانا متوازيَيْن أو متعامدَيْن.

الحل

نتذكَّر أن الخطين يكونان متوازيَيْن إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن، وكذلك يكونان متعامدَيْن إذا تقاطعا وكان متجها اتجاهَيْهما متعامدَيْن. نبدأ بالتحقُّق ممَّا إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن أو متعامدَيْن. إذا كانا متعامدَيْن، فعلينا أيضًا التحقَّق ممَّا إذا كانا يتقاطعان عند نقطة ما.

من الصورة البارامترية لمعادلة الخط الأول، نحصل على متجه الاتجاه . ومن الصورة المتجهة لمعادلة الخط الثاني، نحصل على متجه الاتجاه .

تذكَّر أن المتجهين ، متوازيان إذا كانت هناك كمية قياسية تحقِّق المعادلة الآتية:

للتأكُّد ممَّا إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن أو لا، يمكننا التعويض بهما في ، والتأكُّد من القيم الممكنة لـ . سنحصل على:

وهذا يؤدِّي إلى المعادلات الثلاث:

تعطينا المعادلة الأولى . لكن التعويض بهذه القيمة في المعادلتين الثانية والثالثة يعطينا:

وبما أن كلتا المعادلتين خاطئتان، إذن نستنتج أنه لا يوجد حل لـ للنظام (٣). إذن متجها اتجاه المستقيمين ليسا متوازيَيْن، ما يعني أن المستقيمين غير متوازيَيْن.

هيا نتحقَّق ممَّا إذا كان المستقيمان متعامدَيْن أو لا. نتذكَّر أن المستقيمين يكونان متعامدَيْن إذا تقاطعا وكان متجها اتجاهَيْهما متعامدَيْن. ويكون متجها الاتجاه متعامدَيْن إذا كان حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. يعطينا الضرب القياسي لهما:

ومن ثَمَّ، يجب أن يكون متجها الاتجاه متعامدَيْن. إذن يتبقى لنا توضيح أن المستقيمين يتقاطعان عند نقطة ما. ولإيجاد نقطة التقاطع، يمكننا كتابة معادلات الخطين على الصورة البارامترية. ومعادلة الخط الأول معطاة بالفعل في الصورة البارامترية؛ لذا، نحوِّل المعادلة الثانية إلى الصورة البارامترية على النحو الآتي:

إذا كان الخطان يشتركان في نقطة واحدة، فلا بد من وجود قيم للبارامترين ، تحقِّق المعادلات الآتية:

يمكننا استخدام أول معادلتين لحل هذا النظام باستخدام الحذف. نبدأ بضرب المعادلة الثانية في اثنين:

نطرح بعد ذلك المعادلة الأولى من هذه المعادلة، لنحصل على:

وبحل هذه المعادلة وإيجاد ، نحصل على . نعوِّض بتلك القيم في: ما يؤدِّي إلى . إذن لدينا ، . نرى إذا ما كانت قيمتا البارامترين تساويان نقطة مشتركة في كلا المستقيمين أو لا. أولًا، نعوِّض بـ في الصورة البارامترية لمعادلة المستقيم الأول:

وهذا يقودنا إلى النقطة . بعد ذلك، نعوِّض بـ على الصورة البارامترية للمستقيم الثاني: ما يؤدِّي إلى النقطة نفسها . ومن ثَمَّ، فإن المستقيمين يشتركان في نقطة واحدة .

وبما أن متجهَي اتجاه المستقيمين متعامدان، ويتقاطع المستقيمان عند نقطة ما، إذن المستقيمان متعامدان.

مثال ٦: إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ويتقاطع مع خط مستقيم آخر

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ويقطع الخط المستقيم عموديًّا.

الحل

نحن نعلم أن المستقيم يمر بنقطة الأصل؛ أي إذا استطعنا تحديد متجه اتجاه للمستقيم، فستكون الصورة المتجهة للمعادلة هي:

وبما أن الخط المستقيم يجب أن يتقاطع بشكل عمودي مع المستقيم المعطى، إذن متجه الاتجاه يجب أن يكون عموديًّا على متجه اتجاه المستقيم المعطى، . نتذكَّر أن أيَّ متجهين يكونان متعامدَيْن إذا كان حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، يجب أن نحصل على:

نفترض أن المستقيم يتقاطع مع المستقيم المعطى عند النقطة . بعد ذلك، نلاحظ من الشكل التالي أن الخط المستقيم له متجه الاتجاه ؛ نظرًا لأنه مذكور أن الخط يمر بنقطة الأصل.

علينا إذن تحديد النقطة الموضوعة على المستقيم المعطى؛ بحيث:

نظرًا لأن نقطة على الخط المستقيم المعطى، يجب أن نحصل على إحداثياتها من معادلة الخط المستقيم:

هذا يعني أن هناك قيمة بارامترية تُعطينا الإحداثيات:

وبعد ذلك، الطرف الأيسر من المعادلة (٤) هو:

هذا التعبير يساوي صفرًا إذا كان المستقيمان يتقاطعان بشكل عمودي. مساواة التعبير الناتج بصفر يعطينا قيمة البارامتر المناظر لنقطة التقاطع على النحو الآتي:

نعوِّض بقيمة البارامتر في إحداثيات :

ومن ثَمَّ، فإن المستقيم لدينا والمستقيم المعطى يتقاطعان بشكل عمودي عند النقطة . هذا يوضِّح لنا أن الخط المستقيم يوازي المتجه:

يمكننا ضرب هذا المتجه في الكمية القياسية ٧ للحصول على متجه اتجاه أبسط يوازي :

باستخدام متجه الاتجاه، نجد أن معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة هي:

مثال ٧: تحديد إذا ما كان المستقيمان متوازيَيْن أو متطابقَيْن أو متقاطعَيْن أو متخالفَيْن

لديك الخطان الآتيان ، . اختَر العبارة الصحيحة عنهما.

1. ، متوازيان لكنهما ليسا متطابقَيْن.
2. ، خطان متطابقان.
3. ، متقاطعان عند نقطة.
4. ، عبارة عن خطَّيْن متخالفَيْن.

الحل

نتذكَّر أن أيَّ مستقيمين يكونان متوازيَيْن إذا كان متجها الاتجاه متوازيَيْن. من الصورة المتجهة للمعادلتين ، ، نحصل على متجهَي اتجاه لـ ، لـ .

تذكَّر أن لدينا متجهَيْن هما ، ، وهما متوازيان إذا كان هناك كمية قياسية تحقِّق المعادلة:

نعوِّض بمتجهَي الاتجاه ، بدلًا من ، ، وسنحصل على:

نلاحظ أن مركبة للمتجه في الطرف الأيمن من المعادلة تساوي صفرًا، دون النظر إلى قيمة . بما أن المركبة المناظرة للمتجه في أقصى اليسار لا تساوي صفرًا، إذن هذه المعادلة ليس لها حل. وهذا يعني أن ليس مضاعفًا قياسيًّا لـ . إذن المستقيمان ، غير متوازيَيْن.

بعد ذلك، نعرف إذا ما كان المستقيمان متقاطعَيْن أو لا. للتأكُّد من تقاطع خطَّيْن مستقيمَيْن، يمكننا استخدام الصورة البارامترية لمعادلات المستقيمين. من الصورة المتجهة المعطاة، يمكننا كتابة:

بعد ذلك، تكون معادلة على الصورة البارامترية هي:

وبالمثل، بالنسبة إلى : ما يعطينا الصورة المتجهة لهذه المعادلة من خلال:

وإذا كانت هناك نقطة مشتركة بين المستقيمين، فلا بد من وجود قيمتَيْن بارامتريتَيْن، وهما ، ، ما يعطينا إحداثيات هذه النقطة التي تحقِّق المعادلتين (٥) و(٦). نعوِّض بـ في المعادلة (٥)، وبـ في المعادلة (٦) لتكوين تعبير يمثِّل الإحداثيَّيْن ، . وبمساواة كل إحداثي من ، بالآخر، نحصل على:

المعادلة الثالثة تؤدِّي على الفور إلى . وبالتعويض بذلك في معادلة الإحداثي الثاني السابق، نحصل على:

ومن ثَمَّ، حصلنا على ، . يعني هذا أنه إذا كانت هناك مجموعة مشتركة من الإحداثيات بين المستقيمين ، ، لا بد أن تكون قيمة هذين الإحداثيَّيْن إذن هي قيمة البارامتر لـ ، لـ .

نرى إذا ما كانت هاتان القيمتان تنتجان مجموعة مشتركة من الإحداثيات من ، . بدايةً، نعوِّض بـ في المعادلات البارامترية في (٥):

وهذا يؤدِّي إلى الإحداثيات من ، ما يمثِّل قيمة البارامتر ٤. بعد ذلك، نعوِّض بـ في المعادلات البارامترية في (٦):

هذا يعطينا الإحداثيات من ، ما يمثِّل قيمة البارامتر ٠. ونلاحظ أن هذا يختلف عن الإحداثيات من . هذا يعني أنه لا توجد مجموعة مشتركة من الإحداثيات. بعبارة أخرى، المستقيمان ، لا يتقاطعان.

بما أن المستقيمين غير متوازيَيْن ولا يتقاطعان، إذن ، عبارة عن مستقيمَيْن متخالفَيْن.