شارح الدرس: درجة ومعاملات كثيرات الحدود الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد درجة كثيرات الحدود، ونستخدم المصطلحات المتعلِّقة بها، مثل الحدود، والمعاملات، والثوابت.

نرى كثيرات الحدود في الرياضيات، وتُستخدَم في المسائل المتعلِّقة بإيجاد الحل الأمثل؛ في ميكانيكا المقذوفات والشئون المالية على سبيل المثال. ولفهم ما تعنيه كثيرات الحدود، علينا أولًا وصف وحدة البناء الأساسية لكثيرات الحدود، التي تُسمَّى وحيدة الحد.

على سبيل المثال، وحيدة حدٍّ لأنها تحتوي على حدٍّ واحد، والمتغيِّر الوحيد بها له أس صحيح غير سالب. لفهم المقصود بوحيدة الحد على نحو أفضل، هيا نُلقِ نظرة على مجموعة من المقادير ونحدِّد أيٌّ منها وحيدة حدٍّ:

5. صفر

يمكننا أن نلاحظ أن المقدار في الخيار (أ) هو حد واحد، ويمكننا كتابة هذا المقدار هكذا . وبما أن المتغيِّر مرفوع لأس صحيح غير سالب، فإن هذا المقدار وحيدة حدٍّ.

في المقدار (ب)، نلاحظ أن هناك حدَّيْن لا يساويان صفرًا. ومن ثَمَّ، فهو ليس وحيدة حدٍّ، بل مجموع وحيدتَي حدٍّ.

بالنسبة إلى المقدار (جـ)، يمكن إعادة كتابته على الصورة ، وبما أن ليس عددًا صحيحًا، إذن هذا المقدار ليس وحيدة حدٍّ.

بالنسبة إلى المقدار (د)، يمكن إعادة كتابته على الصورة ، وبما أن الأس هنا سالب، فهو ليس وحيدة حدٍّ.

بالنسبة إلى المقدار (هـ)، نلاحظ أنه يمكن كتابة صفر على الصورة ، إذن صفر يُمثِّل وحيدة حدٍّ. وبالمثل، العدد ١ مثالٌ على وحيدة الحد؛ حيث يمكن كتابته على الصورة . وفي الواقع، أيُّ ثابت عبارة عن وحيدة حدٍّ؛ إذ يمكن كتابته على الصورة .

وأخيرًا، نلاحظ أن المقدار (و) حدٌّ واحد، وهو مرفوع إلى أس صحيح غير سالب. ومن ثَمَّ، فإن هذا المقدار وحيدة حدٍّ. ومن الجدير بالذكر أن العوامل الثابتة يمكن أن تتضمَّن أي أسس؛ فتقييد الأسس خاصٌّ بالمتغيِّرات فقط. ولهذا السبب، يمكن أن يكون لدينا العامل في وحيدة الحد في المقدار (و).

قبل الانتقال إلى تعريف كثيرات الحدود، سنتناول مصطلحًا واحدًا خاصًّا بوحيدة الحد. نُشير إلى العامل الثابت في وحيدة الحد بمعاملها. على سبيل المثال، المعامل في هو ٢، والمعامل في هو .

نحن الآن جاهزون لتعريف كثيرات الحدود باستخدام وحيدات الحد.

على سبيل المثال، نلاحظ أن هو مجموع حدَّيْن من وحيدات الحد، وهو ما يعني أنه كثيرة حدود أيضًا. نُسمِّي ذلك كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد (أو أحادية المتغيِّر)؛ نظرًا لأن هذا المقدار يحتوي على متغيِّر واحد فقط هو .

وجدير بالملاحظة أيضًا أن جميع وحيدات الحد هي كثيرات حدود؛ لأن الأمر لا يتطلَّب إلا أن تكون جميع الحدود في كثيرة الحدود وحيدات حدٍّ. وعلى وجه التحديد، هذا يوضِّح أن جميع الثوابت هي كثيرات حدود.

قبل الانتقال إلى مناقشة هذا المصطلح، هيا نحدِّد أيُّ المقادير الآتية كثيرة حدود لمساعدتنا في فهمٍ أفضلَ لهذا المفهوم:

في المقدار (أ)، يمكننا ملاحظة أن الحد الثاني يمكن كتابته على الصورة . وبما أن هذا المتغيِّر مرفوعٌ لأس غير صحيح، فإن هذا المقدار ليس كثيرة حدود.

في المقدار (ب)، كل حدٍّ هو حاصل ضرب لثوابت ومتغيِّرات مرفوعة لأس صحيح غير سالب، إذن كل حدٍّ هو وحيدة حدٍّ. وأخيرًا، يمكننا النظر إلى الفرق بين هذين الحدَّيْن على أنه المجموع: . إذن هذا يُمثِّل كثيرة حدود.

وأخيرًا، في المقدار (جـ)، يمكننا كتابة ؛ وبما أن المتغيِّر مرفوع لأس سالب، فإن هذا ليس كثيرة حدود.

قبل الانتقال إلى أمثلة تحتوي على أسئلة تتضمَّن كثيرات الحدود، يمكننا مناقشة مزيد من المصطلحات المفيدة لمساعدتنا في وصف نوع كثيرة الحدود التي نتعامل معها.

هيا نستخدم هذه التعريفات لتحديد الدرجة، والحد الرئيسي، والمعامل الرئيسي لكثيرة الحدود .

أولًا، لتحديد الدرجة، علينا حساب مجموع الأسس للمتغيِّرات في الحدود التي لا تساوي صفرًا. أس في الحد الأول هو ٢، ولدينا . إذن أس هو ١. هذا يعني أن مجموع أسس المتغيِّرات في الحد الأول هو . ومن ثَمَّ، فإن درجة وحيدة الحد الأولى هي ٣.

نطبِّق العملية نفسها على الحد الثاني. نلاحظ أن أسس المتغيِّرات هي ١ و٢ و١؛ إذن درجة الحد الثاني هي ٤. ومن ثَمَّ، فإن درجة وحيدة الحد التي لها أعلى درجة هي ٤؛ ومن ثَمَّ، فإن كثيرة الحدود لها الدرجة ٤.

ثانيًا، عرفنا أن الحد الذي له أعلى درجة هو ، إذن فهو الحد الرئيسي.

ثالثًا، نلاحظ أن كثيرة الحدود هذه تحتوي على وحيدتَي حدٍّ، إذن يمكننا القول إنها كثيرة حدود مكوَّنة من حدَّيْن.

وأخيرًا، معامل الحد الرئيسي هو العامل الثابت، وهو في هذه الحالة. ومن ثَمَّ، فإن المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود هذه هو .

نتناول الآن مثالًا يوضِّح كيفية إيجاد درجة كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد.

في المثال السابق، تعرَّفنا على خاصية مفيدة، وهي: أنه في كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد، يكون مجموع أسس المتغيِّر في كل حدٍّ هو في حد ذاته أس هذا المتغيِّر. وهو ما يجعلنا نستنتج أن درجة أي كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد هي أكبر أس للمتغيِّر في حدٍّ غير صفري.

في الأمثلة القليلة الآتية، سنرى أوصافًا مفيدة أخرى لأجزاء من كثيرة حدود.

هيا نتدرَّب الآن على تحديد معامل حدٍّ في كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد.

في المثال الآتي، سنوجد معامل وحيدة حدٍّ ودرجتها.

في المثال الأخير، سنحدِّد أيُّ مقدار ضمن القائمة المُعطاة له نفس درجة كثيرة حدود مُعطاة.

هيا نختتم الآن باسترجاع بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.