تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: درجة ومعاملات كثيرات الحدود الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد درجة كثيرات الحدود، ونستخدم المصطلحات المتعلِّقة بها، مثل الحدود، والمعاملات، والثوابت.

نرى كثيرات الحدود في الرياضيات، وتُستخدَم في المسائل المتعلِّقة بإيجاد الحل الأمثل؛ في ميكانيكا المقذوفات والشئون المالية على سبيل المثال. ولفهم ما تعنيه كثيرات الحدود، علينا أولًا وصف وحدة البناء الأساسية لكثيرات الحدود، التي تُسمَّى وحيدة الحد.

تعريف: وحيدة الحد

وحيدة الحد عبارة عن مقدار جبري من حدٍّ واحد يمثِّل حاصل ضرب ثوابت ومتغيِّرات؛ بشرط ألَّا تكون المتغيِّرات مرفوعة إلا لأسس صحيحة غير سالبة.

على سبيل المثال، 𞸎٢ وحيدة حدٍّ لأنها تحتوي على حدٍّ واحد، والمتغيِّر الوحيد بها له أس صحيح غير سالب. لفهم المقصود بوحيدة الحد على نحو أفضل، هيا نُلقِ نظرة على مجموعة من المقادير ونحدِّد أيٌّ منها وحيدة حدٍّ:

  1. ٢𞸑
  2. 𞸎+٢𞸎٢
  3. 󰋴𞸑
  4. ١𞸎
  5. صفر
  6. 󰋴٢𞸎𞸑𞸏٢

يمكننا أن نلاحظ أن المقدار في الخيار (أ) هو حد واحد، ويمكننا كتابة هذا المقدار هكذا ٢𞸑١. وبما أن المتغيِّر 𞸑 مرفوع لأس صحيح غير سالب، فإن هذا المقدار وحيدة حدٍّ.

في المقدار (ب)، نلاحظ أن هناك حدَّيْن لا يساويان صفرًا. ومن ثَمَّ، فهو ليس وحيدة حدٍّ، بل مجموع وحيدتَي حدٍّ.

بالنسبة إلى المقدار (جـ)، يمكن إعادة كتابته على الصورة 𞸑١٢، وبما أن ١٢ ليس عددًا صحيحًا، إذن هذا المقدار ليس وحيدة حدٍّ.

بالنسبة إلى المقدار (د)، يمكن إعادة كتابته على الصورة 𞸎١، وبما أن الأس هنا سالب، فهو ليس وحيدة حدٍّ.

بالنسبة إلى المقدار (هـ)، نلاحظ أنه يمكن كتابة صفر على الصورة ٠𞸎، إذن صفر يُمثِّل وحيدة حدٍّ. وبالمثل، العدد ١ مثالٌ على وحيدة الحد؛ حيث يمكن كتابته على الصورة 𞸎٠. وفي الواقع، أيُّ ثابت 𞸖 عبارة عن وحيدة حدٍّ؛ إذ يمكن كتابته على الصورة 𞸖𞸎٠.

وأخيرًا، نلاحظ أن المقدار (و) حدٌّ واحد، وهو مرفوع إلى أس صحيح غير سالب. ومن ثَمَّ، فإن هذا المقدار وحيدة حدٍّ. ومن الجدير بالذكر أن العوامل الثابتة يمكن أن تتضمَّن أي أسس؛ فتقييد الأسس خاصٌّ بالمتغيِّرات فقط. ولهذا السبب، يمكن أن يكون لدينا العامل 󰋴٢ في وحيدة الحد في المقدار (و).

قبل الانتقال إلى تعريف كثيرات الحدود، سنتناول مصطلحًا واحدًا خاصًّا بوحيدة الحد. نُشير إلى العامل الثابت في وحيدة الحد بمعاملها. على سبيل المثال، المعامل في ٢𞸑 هو ٢، والمعامل في 󰋴٢𞸎𞸑𞸏٢ هو 󰋴٢.

نحن الآن جاهزون لتعريف كثيرات الحدود باستخدام وحيدات الحد.

تعريف: كثيرة الحدود

كثيرة الحدود عبارة عن مقدار يمثِّل مجموع وحيدات حدٍّ؛ حيث تُسمَّى كل وحيدة حدٍّ بالحد. وعدد وحيدات الحد في المقدار هو عدد حدود كثيرة الحدود.

على سبيل المثال، نلاحظ أن 𞸎+٢𞸎٢ هو مجموع حدَّيْن من وحيدات الحد، وهو ما يعني أنه كثيرة حدود أيضًا. نُسمِّي ذلك كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد (أو أحادية المتغيِّر)؛ نظرًا لأن هذا المقدار يحتوي على متغيِّر واحد فقط هو 𞸎.

وجدير بالملاحظة أيضًا أن جميع وحيدات الحد هي كثيرات حدود؛ لأن الأمر لا يتطلَّب إلا أن تكون جميع الحدود في كثيرة الحدود وحيدات حدٍّ. وعلى وجه التحديد، هذا يوضِّح أن جميع الثوابت هي كثيرات حدود.

قبل الانتقال إلى مناقشة هذا المصطلح، هيا نحدِّد أيُّ المقادير الآتية كثيرة حدود لمساعدتنا في فهمٍ أفضلَ لهذا المفهوم:

  1. 𞸎+󰋴𞸎+٣٣
  2. 𞸎𞸑𞸏٢
  3. 𞸑𞸎

في المقدار (أ)، يمكننا ملاحظة أن الحد الثاني يمكن كتابته على الصورة 𞸎١٢. وبما أن هذا المتغيِّر مرفوعٌ لأس غير صحيح، فإن هذا المقدار ليس كثيرة حدود.

في المقدار (ب)، كل حدٍّ هو حاصل ضرب لثوابت ومتغيِّرات مرفوعة لأس صحيح غير سالب، إذن كل حدٍّ هو وحيدة حدٍّ. وأخيرًا، يمكننا النظر إلى الفرق بين هذين الحدَّيْن على أنه المجموع: 𞸎𞸑+󰁓𞸏󰁒٢. إذن هذا يُمثِّل كثيرة حدود.

وأخيرًا، في المقدار (جـ)، يمكننا كتابة 𞸑𞸎=𞸑𞸎١؛ وبما أن المتغيِّر 𞸎 مرفوع لأس سالب، فإن هذا ليس كثيرة حدود.

قبل الانتقال إلى أمثلة تحتوي على أسئلة تتضمَّن كثيرات الحدود، يمكننا مناقشة مزيد من المصطلحات المفيدة لمساعدتنا في وصف نوع كثيرة الحدود التي نتعامل معها.

تعريف: الدرجة والحد الرئيسي والمعامل الرئيسي لكثيرة الحدود ووحيدة الحد

  • درجة وحيدة الحد هي مجموع أسس المتغيِّرات.
  • درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة لأيٍّ من وحيدات الحد. بعبارةٍ أخرى، يمكننا القول إن درجة كثيرة الحدود هي أكبر مجموع لأسس المتغيِّرات في أي حدٍّ من حدود كثيرة الحدود.
  • الحد الذي له أعلى درجة في كثيرة الحدود يُسمَّى الحد الرئيسي.
  • معامل الحد الرئيسي يُسمَّى المعامل الرئيسي.

هيا نستخدم هذه التعريفات لتحديد الدرجة، والحد الرئيسي، والمعامل الرئيسي لكثيرة الحدود ٤𞸎𞸑٣𞸎𞸑𞸏٢٢.

أولًا، لتحديد الدرجة، علينا حساب مجموع الأسس للمتغيِّرات في الحدود التي لا تساوي صفرًا. أس 𞸎 في الحد الأول هو ٢، ولدينا 𞸑=𞸑١. إذن أس 𞸑 هو ١. هذا يعني أن مجموع أسس المتغيِّرات في الحد الأول هو ٢+١=٣. ومن ثَمَّ، فإن درجة وحيدة الحد الأولى هي ٣.

نطبِّق العملية نفسها على الحد الثاني. نلاحظ أن أسس المتغيِّرات هي ١ و٢ و١؛ إذن درجة الحد الثاني هي ٤. ومن ثَمَّ، فإن درجة وحيدة الحد التي لها أعلى درجة هي ٤؛ ومن ثَمَّ، فإن كثيرة الحدود لها الدرجة ٤.

ثانيًا، عرفنا أن الحد الذي له أعلى درجة هو ٣𞸎𞸑𞸏٢، إذن فهو الحد الرئيسي.

ثالثًا، نلاحظ أن كثيرة الحدود هذه تحتوي على وحيدتَي حدٍّ، إذن يمكننا القول إنها كثيرة حدود مكوَّنة من حدَّيْن.

وأخيرًا، معامل الحد الرئيسي هو العامل الثابت، وهو ٣ في هذه الحالة. ومن ثَمَّ، فإن المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود هذه هو ٣.

نتناول الآن مثالًا يوضِّح كيفية إيجاد درجة كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد.

مثال ١: إيجاد درجة كثيرة حدود

حدِّد درجة 𞸑٧𞸑٤٢.

الحل

نتذكَّر أن درجة كثيرة الحدود هي أكبر مجموع لأسس المتغيِّرات في أيِّ حدٍّ من حدود كثيرة الحدود. وبما أن كثيرة الحدود المُعطاة تحتوي على متغيِّر واحد فقط، إذن هذا المجموع سيتضمَّن أسًّا واحدًا فقط. ومن ثَمَّ، نحتاج فقط إلى النظر إلى أكبر أس للمتغيِّر 𞸑. نلاحظ أنه موجود في الحد 𞸑٤، الذي أسه يساوي ٤. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن درجة كثيرة الحدود تساوي ٤؛ أي إن هذه كثيرة حدود من الدرجة الرابعة.

في المثال السابق، تعرَّفنا على خاصية مفيدة، وهي: أنه في كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد، يكون مجموع أسس المتغيِّر في كل حدٍّ هو في حد ذاته أس هذا المتغيِّر. وهو ما يجعلنا نستنتج أن درجة أي كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد هي أكبر أس للمتغيِّر في حدٍّ غير صفري.

في الأمثلة القليلة الآتية، سنرى أوصافًا مفيدة أخرى لأجزاء من كثيرة حدود.

مثال ٢: تحديد الحد الثابت في كثيرة حدود

ما الحد الثابت في المقدار ٤𞸎𞸑+٧٢٢؟

الحل

الحد الثابت في أي مقدار هو الحد الذي يظل ثابتًا. بعبارةٍ أخرى، لا يحتوي على أي متغيِّرات. يمكننا ملاحظة أن الحد الأول، ٤𞸎، يحتوي على المتغيِّر 𞸎، وأن الحد الثاني، 𞸑٢، يحتوي على المتغيِّر 𞸑؛ ومن ثَمَّ، فهما ليسا من الحدود الثابتة. الحد الثالث هو ٢٧، ولا يحتوي على متغيِّرات.

ومن ثَمَّ، فإن الحد الثابت في المقدار المُعطى هو ٢٧.

هيا نتدرَّب الآن على تحديد معامل حدٍّ في كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد.

مثال ٣: إيجاد معامل حدٍّ في كثيرة حدود

ما معامل الحد 𞸓٤ في المقدار 𞸓٢𞸓٤٣؟

الحل

لعلنا نتذكَّر أننا نُشير إلى العامل الثابت لوحيدة الحد بأنه معاملها. إذن يطلب منا السؤال إيجاد العامل الثابت لـ 𞸓٤ في المقدار 𞸓٢𞸓٤٣. يمكننا الإجابة عن ذلك بملاحظة أن 𞸓=١×𞸓٤٤؛ ومن ثَمَّ، فإن العامل الثابت له هو ١.

إذن معامل 𞸓٤ في المقدار المُعطى هو ١.

في المثال الآتي، سنوجد معامل وحيدة حدٍّ ودرجتها.

مثال ٤: إيجاد درجة ومعامل كثيرة حدود من حدٍّ واحد

حدِّد معامل ودرجة ٧𞸎٣.

الحل

نبدأ بملاحظة أن هذا حدٌّ واحد، وهو حاصل ضرب ثابت ومتغيِّر مرفوع لأس صحيح غير سالب، إذن هذا وحيدة حدٍّ. لعلنا نتذكَّر أن معامل أي وحيدة حدٍّ هو عاملها الثابت. وبما أن 𞸎 متغيِّر، إذن المعامل هو ٧.

نتذكَّر أيضًا أن درجة وحيدة الحد هي مجموع أسس المتغيِّرات. وفي هذه الحالة، يوجد متغيِّر واحد أسه ٣، إذن هذا المجموع عبارة عن الأس ٣ فقط. ومن ثَمَّ، فإن درجتها هي ٣.

إذن المعامل هو ٧، والدرجة هي ٣.

في المثال الأخير، سنحدِّد أيُّ مقدار ضمن القائمة المُعطاة له نفس درجة كثيرة حدود مُعطاة.

مثال ٥: تحديد كثيرات الحدود التي لها نفس الدرجة

أيٌّ من المقادير الآتية له نفس درجة المقدار ٣𞸎+٣𞸎𞸑+٤𞸑٨٤٢٢؟

  1. ٢𞸎+٢𞸎𞸑+٣𞸑٤٨٣٤
  2. ٣󰏡+٣󰏡𞸁+٢𞸁٧٣٤٢
  3. ٣𞸁+٣󰏡𞸁+٢󰏡٩٣٦
  4. ٣𞸎+٢𞸎𞸑+٣𞸑٢٤٤٧

الحل

نبدأ بملاحظة أن المقدار المُعطى والمقادير في الاختيارات عبارة عن مجموع حواصل ضرب ثوابت ومتغيِّرات مرفوعة لأسس صحيحة غير سالبة. بعبارةٍ أخرى، كلها كثيرات حدود. نتذكَّر أن درجة كثيرة الحدود هي أكبر مجموع لأسس المتغيِّرات في أيِّ حدٍّ من كثيرة الحدود.

ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال عن طريق تحديد درجة كثيرات الحدود الخمس. نبدأ بتحديد درجة كثيرة الحدود المُعطاة في السؤال. نفعل ذلك حدًّا حدًّا عن طريق جمع أسس المتغيِّرات. يحتوي الحد الأول على متغيِّر واحد فقط مرفوع للأس ٨؛ ومن ثَمَّ، فإن درجة هذا الحد هي ٨. أما الحد الثاني فيحتوي على متغيِّرين لهما الأسان ٤ و٢. نجمعهما معًا لنجد أن درجة هذا الحد هي ٤+٢=٦. وأخيرًا، يحتوي الحد الثالث على متغيِّر واحد فقط؛ ومن ثَمَّ، فإن درجته هي قيمة الأس؛ أي ٢. أكبر هذه الدرجات هو ٨؛ لذا، علينا تحديد أيٌّ من الاختيارات الأربعة يُمثِّل كثيرة حدود من الدرجة الثامنة.

هيا نحدِّد الآن درجة كل خيار على حدة.

في الخيار (أ)، ٢𞸎+٢𞸎𞸑+٣𞸑٤٨٣٤، الحد الأول يحتوي على متغيِّر واحد؛ ومن ثَمَّ، فدرجته تساوي قيمة أس 𞸎، وهي ٤. ودرجة الحد الثاني هي ٨+٣=١١. يمكننا بعد ذلك إيجاد درجة الحد الثالث، ولكن هذا ليس ضروريًّا؛ لأننا أوضحنا أن درجة كثيرة الحدود هذه تساوي ١١ على الأقل.

في الخيار (ب)، ٣󰏡+٣󰏡𞸁+٢𞸁٧٣٤٢، درجة الحد الأول هي ٧، ودرجة الحد الثاني هي ٣+٤=٧، ودرجة الحد الثالث هي ٢، إذن درجة كثيرة الحدود هذه هي ٧.

في الخيار (جـ)، ٣𞸁+٣󰏡𞸁+٢󰏡٩٣٦، يمكننا ملاحظة أن درجة الحد الأول هي ٩؛ إذن درجة كثيرة الحدود هذه تساوي ٩ على الأقل، وهي أكبر من ٨. إذن هذه ليست نفس درجة كثيرة الحدود المُعطاة.

وأخيرًا، في الخيار (د)، ٣𞸎+٢𞸎𞸑+٣𞸑٢٤٤٧، درجة الحد الأول هي ٢، ودرجة الحد الثاني هي ٤+٤=٨، ودرجة الحد الثالث هي ٧. أكبر درجة هنا هي ٨، إذن درجة كثيرة الحدود هذه أيضًا هي ٨.

ومن ثَمَّ، فإن الإجابة هي الخيار (د).

هيا نختتم الآن باسترجاع بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • وحيدة الحد عبارة عن مقدار جبري من حدٍّ واحد يمثِّل حاصل ضرب ثوابت ومتغيِّرات؛ حيث يكون للمتغيِّرات أسس صحيحة غير سالبة.
  • كثيرة الحدود عبارة عن مقدار يمثِّل مجموع وحيدات حدٍّ؛ حيث يُسمَّى كل حدٍّ فيها وحيدة حدٍّ.
  • كثيرة الحدود الأحادية المتغيِّر هي كثيرة حدود تحتوي على متغيِّر واحد فقط.
  • يُسمَّى العامل الثابت بمعاملها.
  • درجة كثيرة الحدود هي أكبر مجموع لأسس المتغيِّرات في أي حدٍّ واحد من كثيرة الحدود.
  • الحد الذي له أعلى درجة في كثيرة الحدود يُسمَّى الحد الرئيسي.
  • معامل الحد الرئيسي يُسمَّى المعامل الرئيسي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.