شارح الدرس: حجم الهرم الرياضيات

مثال ١: إيجاد حجم هرم قاعدته على شكل مثلث قائم الزاوية

أوجد حجم الهرم الموضح لأقرب جزء من مائة.

الحل

يمكننا تذكُّر أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور الذي له نفس طول القاعدة والارتفاع العمودي:

نحن لا نعلم مساحة قاعدة الهرم، التي تأخذ شكل مثلث قائم، ولكن يمكننا حسابها باستخدام الأبعاد المُعطاة. مساحة المثلث تُعطى بالصيغة:

لاحظ أن ارتفاع المثلث هو ارتفاع مثلث القاعدة، وليس الارتفاع العمودي للهرم نفسه.

طول قاعدة هذا المثلث يساوي ٦ م، وبما أن المثلث قائم الزاوية، يمكننا تحديد ارتفاعه بسهولة، وهو يساوي: ٤٫٧ م. وبالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة المساحة، نحصل على:

بما أن هذا المثلث هو قاعدة الهرم، فيمكننا التعويض بـ و في صيغة حجم الهرم، لنحصل على:

لاحظ أنه بما أننا ضربنا مساحة مَقيسة بالوحدات المربعة في طول لإيجاد حجم ما، فإن الحجم سيكون بالوحدات المكعبة.

يمكننا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة لنحصل على: ٤٢٫٣٠ م^٣.

مثال ٢: حل مسائل حياتية باستخدام صيغة حجم الهرم

هرم اللوفر في باريس له قاعدة مربعة طول ضلعها: ١١٢ قدمًا. إذا كان حجم الهرم ٢٩٦‎ ‎٨٧٥ قدمًا مكعبة، فأوجد ارتفاعه لأقرب قدم.

الحل

لإيجاد حجم هذا الهرم، يمكننا استخدام الصيغة: حيث هي مساحة قاعدة الهرم ، هو الارتفاع.

علينا في البداية إيجاد مساحة المربع الذي يمثل القاعدة. تذكر أنه يمكننا إيجاد مساحة المربع بحساب مربع طول أحد أضلاعه. ومن ثَمَّ:

يمكننا بعد ذلك التعويض بحجم الهرم المُعطى، ، وبمساحة القاعدة، ، في صيغة حجم الهرم، ثم نبَسِّط. ويعطينا هذا:

يمكننا تقريب هذه القيمة لأقرب قدم، وبذلك نحصل على الإجابة: ارتفاع هرم اللوفر هو: ٧١ قدمًا.

مثال ٣: إيجاد محيط القاعدة لهرم ذي قاعدة مربعة بمعلومية حجمه وارتفاعه

إذا كان حجم هرم مربع القاعدة ٣٧٢ سم^٣، وارتفاعه ٣١ سم، فأوجد محيط قاعدته.

الحل

لدينا بعض المُعطيات عن حجم هذا الهرم وارتفاعه. ويمكننا استخدام الصيغة التي تربط بين هذين المتغيرين، بالإضافة إلى مساحة قاعدة الهرم، لإيجاد محيط قاعدته. يُعطى حجم الهرم بالصيغة: حيث هي مساحة قاعدة الهرم، هو الارتفاع.

وبالتعويض بـ و، نحصل على:

إذن، مساحة قاعدة هذا الهرم تساوي ٣٦ سم^٢. وبما أن السؤال يخبرنا أن القاعدة مربعة، يمكننا حساب طول الضلع بتذكر أن أي مربع طول ضلعه تُعطى مساحته بالصيغة:

ومن ثَمَّ، نحصل على:

بما أن الطول، ، لا بد أن يكون موجبًا، لن نأخذ إلا القيمة الموجبة للجذر التربيعي. ومن ثَمَّ، طول ضلع مربع قاعدة الهرم يساوي ٦ سم.

محيط الشكل هو المسافة حول حافته الخارجية، وبما أن المربع له ٤ أضلاع متساوية في الطول، إذن نحسب:

وبذلك نكون قد وجدنا الإجابة: محيط قاعدة هذا الهرم يساوي: ٢٤ سم.

مثال ٤: إيجاد حجم الهرم بمعلومية ارتفاعه الجانبي وطول حرفه الجانبي

احسب حجم الهرم المنتظم التالي لأقرب جزء من مائة.

الحل

في هذا الشكل، لدينا طولا الارتفاع الجانبي والحرف الجانبي. وفي الهرم المنتظم، تكون الأوجه الجانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين متطابقة. ومن ثَمَّ، فإن الحرف الجانبي هو طول أحد الأضلاع المتطابقة في المثلثات المتساوية الساقين.

لإيجاد حجم الهرم، يمكننا استخدام الصيغة: حيث هي مساحة قاعدة الهرم، هو الارتفاع.

قبل أن نتمكن من استخدام هذه الصيغة، علينا إيجاد مساحة القاعدة والارتفاع العمودي باستخدام الطولين المعطيين.

انظر المقطع المثلثي التالي من الهرم.

في الهرم المنتظم، تقع قمة الهرم فوق مركز القاعدة. ويكون ارتفاع هذا المثلث، ، هو ارتفاع الهرم. يمكن الإشارة إلى الطول المجهول لقاعدة هذا المثلث بـ سم. ولكن بما أننا لا نعلم سوى طول ضلع واحد من هذا المقطع المثلثي، لن نتمكن من إيجاد قيمة .

إلا أنه يمكننا حساب قيمة بالنظر إلى المثلث قائم الزاوية الذي يساوي نصف أحد المثلثات متساوية الساقين التي تُشكِّل الأوجه الجانبية للهرم.

طول قاعدة هذا المثلث مساوي لطول قاعدة المثلث السابق، وهو سم. والارتفاع العمودي له هو نفسه الارتفاع الجانبي للهرم، وهو ١٥ سم، وطول وتر المثلث يساوي ١٧ سم. إذن، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس، والتي تنص على أنه لكل مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ومن ثَمَّ، نعوض بقيمتي الطولين المعلومتين، وهما: ١٥ سم ، ١٧ سم، ثم نقوم بالتبسيط لإيجاد قيمة: . وهذا يعطينا:

وبما أن يشير إلى طول ضلع؛ إذن نأخذ القيمة الموجبة فقط للجذر التربيعي؛ وعليه:

يمكننا الآن استخدام قيمة هذه لحساب قيمة في المثلث الأول. وبتطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى، نحصل على:

بما أن ١٦١ ليس عددًا مربعًا، يمكننا الاحتفاظ بقيمة على هذه الصورة الجذرية.

حتى هذه المرحلة، وجدنا الارتفاع العمودي للهرم والذي يساوي: سم. وما يزال علينا إيجاد مساحة القاعدة لإيجاد حجم الهرم. في الواقع، نحن على وشك إيجاد طول أحد أضلاع القاعدة. بما أننا نعلم أن هذا الهرم منتظم، فلا بد أن تكون قاعدته عبارة عن مضلع منتظم. وهذا يعني أن لدينا قاعدة مربعة. قيمة التي حسبناها للتو تساوي نصف طول أحد أضلاع المربع. إذن، طول ضلع مربع قاعدة الهرم يساوي: .

نتذكر أنه لإيجاد مساحة مربع، نأخذ مربعًا طول ضلعه. وبذلك، مساحة المربع الذي يثمل قاعدة الهرم تُعطى بالصيغة:

وأخيرًا، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين، ، ، في صيغة حجم الهرم، . وهذا يعطينا:

بالتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على الإجابة: حجم الهرم يساوي: ١‎ ‎٠٨٢٫٧٦ سم^٣.

مثال ٥: إيجاد حجم هرم خُماسي

هرم خماسي منتظم طول قاعدته ٤١ سم وارتفاعه ٧١ سم. احسب حجم الهرم لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يمكننا رسم الهرم بالأبعاد المُعطاة في الشكل التالي.

نتذكر أنه لإيجاد حجم هرم، نستخدم الصيغة: حيث هي مساحة القاعدة، هو الارتفاع.

نحن لا نعرف مساحة القاعدة، ولكن يمكننا حساب هذه المساحة باستخدام حقيقة أن هذا الهرم منتظم وذو قاعدة خماسية الأضلاع، وطول ضلعه ٤١ سم.

يمكن حساب مساحة مضلع منتظم مكون من من الأضلاع وطول ضلعه باستخدام الصيغة:

وبما أن الشكل الخماسي له ٥ أضلاع، فسنعوض بـ ، وبالطول المُعطى . ومن ثَمَّ، نحسب:

نعرف أن الضرب في ظل تمام الزاوية يكافئ القسمة على الظل؛ ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة هذه الصيغة على صورة:

باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد العدد العشري المكافئ لهذه القيمة وهو:

عند استخدام هذه القيمة في الجزء التالي من العملية الحسابية، من المفيد أن نحافظ على دقة هذه القيمة قدر الإمكان، بدلًا من استخدام قيمة مُقرَّبة.

يمكننا الآن استخدام صيغة حساب حجم الهرم، ، والتعويض عن مساحة الشكل الخماسي، ، وعن الارتفاع، . وسيعطينا هذا:

وكما هو مطلوب، نُقرِّب القيمة لأقرب منزلة عشرية. إذن، يمكن تقريب حجم الهرم ليصبح ٦٨‎ ‎٤٤٦٫٩ سم^٣.