تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الأوتار والمماسات المتوازية في الدائرة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الأوتار المتوازية والمماسات المتوازية في الدائرة لاستنتاج قياسات الأقواس المتساوية المحصورة بينها، ونُوجِد أطوالًا أو قياسات زوايا ناقصة.

نبدأ بمراجعة بعض المصطلحات الرئيسية للدوائر. لننظر إلى الدائرة الآتية التي مركزها 𞸌.

الوتر قطعة مستقيمة يقع طرفاها على محيط الدائرة. وفي هذا الشكل، 󰏡𞸁 وتر.

وبالمثل، مماس الدائرة خط مستقيم يقطع الدائرة مرة واحدة فقط. وفي هذا الشكل، 󰄮󰄮𞸢𞸃 مماس للدائرة عند النقطة 𞸍.

عند إضافة خطوط مستقيمة إلى دائرة، فإن النقاط التي تقطع الدائرة عندها تقسِّم المحيط إلى عدد من الأقواس. على سبيل المثال، يُوجَد قوسان بين النقطتين 󰏡، 𞸁. يُعرَف القوس الأقصر باسم القوس الأصغر، وهو 󰏡𞸁 (القوس الذي قياسه أقلُّ من ٠٨١)، ويُعرَف القوس الأطول (القوس الذي قياسه أكبر من ٠٨١) بالقوس الأكبر. ونُشير إلى القوس الأصغر من 󰏡 إلى 𞸁 اختصارًا بـ 󰏡𞸁.

في ضوء هذين التعريفين، سنعرِّف نظرية تربط بين الأوتار المتوازية والأقواس في الدائرة، كما سنُثبت هذه النظرية أيضًا.

نظرية قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية

قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في الدائرة تكون متساوية.

في هذا الشكل، 󰏡𞸁 يوازي 𞸢𞸃، إذن 𞹟󰏡𞸢=𞹟𞸁𞸃.

على الرغم من أن إثبات هذه النظرية خارج نطاق هذا الشارح، إلَّا أنَّه يُمكن إثباتها بأقلِّ عدد مُمكِن من الخطوات من خلال تخمين الزاوية المحيطية وخواص الزوايا في المستقيمات المتوازية. سنطبِّق الآن هذه النظرية بالإضافة إلى خواصَّ أخرى للأوتار لإيجاد قياس قوس.

مثال ١: استخدام نظريات الأوتار المتوازية لإيجاد قياس قوس

في الشكل المُعطى، إذا كان قياس القوس 𞸁𞸃=٥٦، فأوجد قياس القوس 𞸢𞸃.

الحل

تذكَّر أن الأقواس التي يكوِّنها وتران متوازيان تكون متطابقة. في الشكل لدينا، 󰏡𞸁، 𞸢𞸃 وتران متوازيان؛ ومن ثَمَّ، فإن الأقواس التي يكوِّنانها تكون متطابقة. وهو ما يعني أن 𞹟󰏡𞸢=𞹟𞸁𞸃=٥٦.

وبما أن 󰏡𞸁 وتر يمرُّ بمركز الدائرة، فهو قطر. إذن قياس القوس 󰏡𞸁 يساوي ٠٨١.

بتقسيم 󰏡𞸁 إلى ثلاثة أقواس منفصلة، نجد أنه يُمكننا استخدام هذه المُعطيات لتكوين معادلة لقياس القوس 𞸢𞸃 وحلِّها: 𞹟󰏡𞸁=𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸢𞸃+𞹟𞸁𞸃٠٨١=٥٦+𞹟𞸢𞸃+٥٦٠٨١=٠٣١+𞹟𞸢𞸃.

إذن: 𞹟𞸢𞸃=٠٨١٠٣١=٠٥.

في المثال الآتي، سنستخدم هذه النظرية إلى جانب خواص الزوايا لإيجاد قياس قوس مجهول.

مثال ٢: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لإيجاد قياس قوس

أوجِد 𞹟𞸁𞸤.

الحل

تذكَّر أن الأقواس التي يكوِّنها وتران متوازيان تكون متطابقة. وبما أن 󰏡𞸁، 𞸢𞸤 متوازيان، فإن 𞹟𞸁𞸤=𞹟󰏡𞸢.

يُمكننا ملاحَظة أن هناك زاويتين متقابلتين بالرأس، وهما 󰌑𞸃𞸌𞸁، 󰌑󰏡𞸌𞸢. وبما أن الزوايا المتقابلة بالرأس تكون متساوية في القياس، فإن: 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸢=𞹟󰌑𞸃𞸌𞸁=٩٣.

ولأن 󰌑󰏡𞸌𞸢 زاوية مركزية يقابلها 󰏡𞸢، فإن: 𞹟󰏡𞸢=𞹟󰌑󰏡𞸌𞸢=٩٣.

نعلم أن هذا يساوي 𞹟𞸁𞸤، إذن: 𞹟𞸁𞸤=𞹟󰏡𞸢=٩٣.

ثمَّة نتيجة مُفيدة للنظرية الموضَّحة السابقة، وهي أن العبارة العكسية صواب أيضًا. إذا كان قياسا القوسين المحصورين بين وترين مختلفين متساويين، فإن الوترين متوازيان.

هناك خاصية أخرى تنطبق على الأوتار المتساوية في الطول. وهي تنصُّ على أنه إذا كان لدينا وتران متساويان في الطول، فإن القوسين المحصورين بين طرفَيْ كلٍّ من الوترين يكونان متساويين في القياس.

في هذا الشكل، بما أن 󰏡𞸁، 𞸢𞸃 متساويان في الطول، فإن 𞹟󰏡𞸁=𞹟𞸢𞸃.

في المثال الآتي، سنوضِّح كيفية تطبيق هذه الخواص.

مثال ٣: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لإثبات توازي الأوتار

في الشكل المُعطى، قياس 󰏡𞸁=٢٦، وقياس 𞸁𞸢=٠١١، وقياس 󰏡𞸃=٦٢١. ما الذي يُمكننا استنتاجه عن 󰏡𞸃، 𞸁𞸢؟

  1. أنهما متوازيتان.
  2. أنهما غير متوازيتين ولا متعامِدتين.
  3. أنهما متعامِدتان.
  4. أنهما متساويتان في الطول.
  5. أنهما متوازيتان ومتساويتان في الطول.

الحل

لنبدأ بإضافة قياس كلِّ قوس إلى الشكل.

بما أن قياس كلِّ قوس هو الزاوية التي يصنعها القوس عند مركز الدائرة، فإن مجموع قياسات الأقواس كلها يساوي ٠٦٣.

ومن ثَمَّ: 𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁𞸢+𞹟𞸢𞸃+𞹟󰏡𞸃=٠٦٣٢٦+٠١١+𞹟𞸢𞸃+٦٢١=٠٦٣٨٩٢+𞹟𞸢𞸃=٠٦٣.

إذن: 𞹟𞸢𞸃=٠٦٣٨٩٢=٢٦.

بعد ذلك، نتذكَّر أنه إذا كان قياسا القوسين المحصورين بين وترين متساويين، فلا بدَّ أن يكون الوتران متوازيين. وبما أن 𞹟𞸢𞸃=𞹟󰏡𞸁، فإن الوترين 󰏡𞸃، 𞸁𞸢 متوازيان، وتكون الإجابة هي (أ). نلاحِظ أنه بما أن 𞹟𞸁𞸢𞹟󰏡𞸃، فإن هذين القوسين غير متطابقين؛ لذا لا يُمكن أن يكون الوتران متساويين في الطول. والإجابة هي الخيار (أ).

سنوسِّع الآن نطاق فكرة الأوتار المتوازية لتشمل وترًا ومماسًّا متوازيين باستخدام النظرية الآتية.

نظرية قياسات الأقواس المحصورة بين وتر ومماس متوازيين

قياسا القوسين المحصورين بين وتر ومماس متوازيين في الدائرة يكونان متساويين.

في هذا الشكل، 󰏡𞸁 يوازي المماس عند 𞸢، إذن 𞹟󰏡𞸢=𞹟𞸁𞸢.

مرَّة أخرى، إثبات هذه النظرية خارج نطاق هذا الشارح، ويُمكن إثباتها ببضع خطوات باستخدام نظرية القطاع المتبادل. فلنوضِّح إذن تطبيق هذه النظرية.

مثال ٤: استخدام نظريات الأوتار المتوازية وعلاقاتها بالمماس لإيجاد قياس قوس

𞸌 دائرة، فيها 󰏡𞸁 وتر، 󰄮󰄮𞸢𞸃 مماس. إذا كان 󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢𞸃، وقياس󰏡𞸁=٢٧، فأوجِد قياس 𞸁𞸢.

الحل

بما أن 󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢𞸃، سنستخدم النظرية التي تنصُّ على أن قياسي القوسين المحصورين بين وتر ومماس متوازيين يكونان متساويين. وهذا يعني أن 𞹟󰏡𞸢=𞹟𞸁𞸢. لدينا 𞹟󰏡𞸁=٢٧، ونعلم أن مجموع قياسات الأقواس التي تتكوَّن منها الدائرة يساوي ٠٦٣. إذن: 𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸁𞸢+𞹟󰏡𞸁=٠٦٣𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸁𞸢+٢٧=٠٦٣𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸁𞸢=٨٨٢.

وبما أن 𞹟󰏡𞸢=𞹟𞸁𞸢، يُمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: 𞹟𞸁𞸢+𞹟𞸁𞸢=٨٨٢٢𞹟𞸁𞸢=٨٨٢𞹟𞸁𞸢=٤٤١.

وعليه، فإن قياس 𞸁𞸢 يساوي ٤٤١.

لنطبِّق الآن النظريتين معًا لحلِّ مسألة تتضمَّن وترين ومماسًّا، كلُّها متوازية في دائرة.

مثال ٥: استخدام نظريات الأوتار المتوازية وعلاقاتها بالمماس لإيجاد قياس قوس

في الشكل الآتي، 𞸌 دائرة، 󰏡𞸁، 𞸢𞸃 وتران في الدائرة، 󰄮󰄮𞸤𞸅 مماس للدائرة عند 𞸤. إذا كان 󰏡𞸁𞸢𞸃󰄮󰄮𞸤𞸅، وقياس 󰏡𞸢=٠٣، وقياس 𞸃𞸤=٤٧، فأوجد قياس 󰏡𞸁.

الحل

بما أن 󰏡𞸁𞸢𞸃󰄮󰄮𞸤𞸅، يُمكننا تطبيق نظريات الأوتار والمماسات المتوازية في دائرة لإيجاد قياس 󰏡𞸁. وهي تنصُّ على أن قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في دائرة تكون متساوية، وقياس قوسين محصورين بين وتر ومماس يوازيه يكونان متساويين.

لدينا 𞹟󰏡𞸢=٠٣، إذن 𞹟𞸁𞸃=٠٣؛ لأن 󰏡𞸁𞸢𞸃.

وبالمثل، 𞹟𞸃𞸤=٤٧=𞹟𞸢𞸤؛ لأن 𞸢𞸃󰄮󰄮𞸤𞸅.

مجموع قياسات الأقواس التي تتكوَّن منها الدائرة يساوي ٠٦٣، إذن يُمكننا تكوين معادلة وحلُّها لإيجاد 𞹟󰏡𞸁: 𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸢𞸤+𞹟𞸁𞸃+𞹟𞸃𞸤=٠٦٣𞹟󰏡𞸁+٠٣+٤٧+٠٣+٤٧=٠٦٣𞹟󰏡𞸁+٨٠٢=٠٦٣𞹟󰏡𞸁=٢٥١.

في الأمثلة السابقة، طبَّقنا نظريات الأوتار والمماسات المتوازية في دائرة لإيجاد قِيَم مجهولة بمعلومية بعض المُعطيات عن أوتارها ومماساتها. ويُمكن تطبيق هذه الخواص أيضًا إلى جانب الخواص الهندسية للمضلَّعات لتُساعِدنا في إيجاد القِيَم المجهولة. وسنوضِّح هذا في المثال الآتي.

مثال ٦: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين قياسات الزوايا لإيجاد قياس قوس باستخدام المستطيلات

في الشكل الآتي، المستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃 مرسوم داخل دائرة؛ حيث قياس 󰏡𞸁=١٧. أوجد قياس 󰏡𞸃.

الحل

بما أن 󰏡𞸁𞸢𞸃 مستطيل، فإن 󰏡𞸁 يوازي 𞸃𞸢، 󰏡𞸃 يوازي 𞸁𞸢. ولأن هذه القِطَع المستقيمة أوتار في الدائرة، يُمكننا استخدام النظرية التي تنصُّ على أن قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في دائرة تكون متساوية.

بما أن 𞹟󰏡𞸁=١٧، فإن 𞹟𞸢𞸃=١٧. وبما أن مجموع قياسات الأقواس المكوِّنة للدائرة يساوي ٠٦٣، نكوِّن معادلة ونحلُّها كما يأتي: 𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁𞸢+𞹟𞸢𞸃+𞹟󰏡𞸃=٠٦٣١٧+𞹟𞸁𞸢+١٧+𞹟󰏡𞸃=٠٦٣٢٤١+𞹟𞸁𞸢+𞹟󰏡𞸃=٠٦٣.

نظرًا لأن 󰏡𞸃 يوازي 𞸁𞸢، فإن 𞹟󰏡𞸃=𞹟𞸁𞸢. ومن ثَمَّ، يُمكننا تكوين المعادلة الآتية: ٢٤١+٢𞹟󰏡𞸃=٠٦٣٢𞹟󰏡𞸃=٨١٢𞹟󰏡𞸃=٩٠١.

وعليه، فإن قياس 󰏡𞸃 يساوي ٩٠١.

في المثال الأخير، سنوضِّح كيفية تطبيق نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لحلِّ مسائل تتضمَّن تعبيرات جبرية لإيجاد قياسات الأقواس.

مثال ٧: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لإيجاد قياس قوس

في الشكل الآتي، 󰏡𞸁، 𞸤𞸅 وتران متساويان. 𞸁𞸢، 𞸅𞸤 وتران متوازيان. إذا كان قياس 󰏡𞸢=٠٢١، فأوجد قياس 𞸢𞸤.

الحل

أولًا: بما أن 󰏡𞸁، 𞸤𞸅 متساويان في الطول، يُمكننا استنتاج أن قياسَيْ قوسَيْهما لا بدَّ أن يكونا متساويين أيضًا. هذا يعني أن: 𞹟󰏡𞸁=𞹟𞸤𞸅=𞸎.

وبالمثل، بما أن 𞸁𞸢، 𞸅𞸤 متوازيان، نعلم أن قياسَي القوسين المحصورين بينهما متساويان. هذا يعني أن: 𞹟𞸢𞸤=𞹟𞸁𞸅=(𞸎+٠٣).

وبما أن مجموع قياسات الأقواس يساوي ٠٦٣، فإن: 𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁𞸅+𞹟𞸤𞸅+𞹟𞸢𞸤+𞹟󰏡𞸢=٠٦٣𞸎+𞸎+٠٣+𞸎+٠٣+𞸎+٠٢١=٠٦٣٤𞸎+٠٨١=٠٦٣٤𞸎=٠٨١𞸎=٥٤.

ولأن 𞹟𞸢𞸤=(𞸎+٠٣)، نعوِّض بـ 𞸎=٥٤ في هذا المقدار: 𞹟𞸢𞸤=(٥٤+٠٣)=٥٧.

سنلخِّص الآن المفاهيم الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في دائرة تكون متساوية. وبالمثل إذا كان قياسا القوسين المحصورين بين وترين مختلفين متساويين، فإن الوترين متوازيان.
  • إذا تَساوَى وتران في الطول، فإن القوسين المحصورين بين طرفَيْ كلٍّ من الوترين يكونان متساويين في القياس.
  • قياسا القوسين المحصورين بين وتر ومماس متوازيين في دائرة يكونان متساويين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.