شارح الدرس: الأوتار والمماسات المتوازية في الدائرة الرياضيات

مثال ١: استخدام نظريات الأوتار المتوازية لإيجاد قياس قوس

في الشكل المُعطى، إذا كان قياس القوس ، فأوجد قياس القوس .

الحل

تذكَّر أن الأقواس التي يكوِّنها وتران متوازيان تكون متطابقة. في الشكل لدينا، ، وتران متوازيان؛ ومن ثَمَّ، فإن الأقواس التي يكوِّنانها تكون متطابقة. وهو ما يعني أن .

وبما أن وتر يمرُّ بمركز الدائرة، فهو قطر. إذن قياس القوس يساوي .

بتقسيم إلى ثلاثة أقواس منفصلة، نجد أنه يُمكننا استخدام هذه المُعطيات لتكوين معادلة لقياس القوس وحلِّها:

إذن:

مثال ٢: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لإيجاد قياس قوس

أوجِد .

الحل

تذكَّر أن الأقواس التي يكوِّنها وتران متوازيان تكون متطابقة. وبما أن ، متوازيان، فإن .

يُمكننا ملاحَظة أن هناك زاويتين متقابلتين بالرأس، وهما ، . وبما أن الزوايا المتقابلة بالرأس تكون متساوية في القياس، فإن:

ولأن زاوية مركزية يقابلها ، فإن:

نعلم أن هذا يساوي ، إذن:

مثال ٣: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لإثبات توازي الأوتار

في الشكل المُعطى، قياس ، وقياس ، وقياس . ما الذي يُمكننا استنتاجه عن ، ؟

1. أنهما متوازيتان.
2. أنهما غير متوازيتين ولا متعامِدتين.
3. أنهما متعامِدتان.
4. أنهما متساويتان في الطول.
5. أنهما متوازيتان ومتساويتان في الطول.

الحل

لنبدأ بإضافة قياس كلِّ قوس إلى الشكل.

بما أن قياس كلِّ قوس هو الزاوية التي يصنعها القوس عند مركز الدائرة، فإن مجموع قياسات الأقواس كلها يساوي .

ومن ثَمَّ:

إذن:

بعد ذلك، نتذكَّر أنه إذا كان قياسا القوسين المحصورين بين وترين متساويين، فلا بدَّ أن يكون الوتران متوازيين. وبما أن ، فإن الوترين ، متوازيان، وتكون الإجابة هي (أ). نلاحِظ أنه بما أن ، فإن هذين القوسين غير متطابقين؛ لذا لا يُمكن أن يكون الوتران متساويين في الطول. والإجابة هي الخيار (أ).

مثال ٤: استخدام نظريات الأوتار المتوازية وعلاقاتها بالمماس لإيجاد قياس قوس

دائرة، فيها وتر، مماس. إذا كان ، وقياس، فأوجِد قياس .

الحل

بما أن ، سنستخدم النظرية التي تنصُّ على أن قياسي القوسين المحصورين بين وتر ومماس متوازيين يكونان متساويين. وهذا يعني أن . لدينا ، ونعلم أن مجموع قياسات الأقواس التي تتكوَّن منها الدائرة يساوي . إذن:

وبما أن ، يُمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:

وعليه، فإن قياس يساوي .

مثال ٥: استخدام نظريات الأوتار المتوازية وعلاقاتها بالمماس لإيجاد قياس قوس

في الشكل الآتي، دائرة، ، وتران في الدائرة، مماس للدائرة عند . إذا كان ، وقياس ، وقياس ، فأوجد قياس .

الحل

بما أن ، يُمكننا تطبيق نظريات الأوتار والمماسات المتوازية في دائرة لإيجاد قياس . وهي تنصُّ على أن قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في دائرة تكون متساوية، وقياس قوسين محصورين بين وتر ومماس يوازيه يكونان متساويين.

لدينا ، إذن ؛ لأن .

وبالمثل، ؛ لأن .

مجموع قياسات الأقواس التي تتكوَّن منها الدائرة يساوي ، إذن يُمكننا تكوين معادلة وحلُّها لإيجاد :

مثال ٦: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين قياسات الزوايا لإيجاد قياس قوس باستخدام المستطيلات

في الشكل الآتي، المستطيل مرسوم داخل دائرة؛ حيث قياس . أوجد قياس .

الحل

بما أن مستطيل، فإن يوازي ، يوازي . ولأن هذه القِطَع المستقيمة أوتار في الدائرة، يُمكننا استخدام النظرية التي تنصُّ على أن قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في دائرة تكون متساوية.

بما أن ، فإن . وبما أن مجموع قياسات الأقواس المكوِّنة للدائرة يساوي ، نكوِّن معادلة ونحلُّها كما يأتي:

نظرًا لأن يوازي ، فإن . ومن ثَمَّ، يُمكننا تكوين المعادلة الآتية:

وعليه، فإن قياس يساوي .

مثال ٧: استخدام نظريات الأوتار المتوازية والعلاقات بين الزوايا لإيجاد قياس قوس

في الشكل الآتي، ، وتران متساويان. ، وتران متوازيان. إذا كان قياس ، فأوجد قياس .

الحل

أولًا: بما أن ، متساويان في الطول، يُمكننا استنتاج أن قياسَيْ قوسَيْهما لا بدَّ أن يكونا متساويين أيضًا. هذا يعني أن:

وبالمثل، بما أن ، متوازيان، نعلم أن قياسَي القوسين المحصورين بينهما متساويان. هذا يعني أن:

وبما أن مجموع قياسات الأقواس يساوي ، فإن:

ولأن ، نعوِّض بـ في هذا المقدار: