شارح الدرس: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إيجاد قيمة التكامل المحدَّد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحددة.

التكاملات المحددة كلها متعلقة بتراكم أو مجموع كمية محددة، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالمشتقات العكسية. إنها توفر لنا أداة مفيدة تساعدنا في فهم وتمثيل ظواهر حياتية تظهر في العديد من المجالات بدءًا من الرياضيات البحتة، التي تتضمن تطبيقات هندسية مثل مساحة السطح والحجم، وصولًا إلى الفيزياء عند إيجاد كتلة جسم ما، أو الشغل المبذول، أو الضغط المبذول على جسم ما، على سبيل المثال لا الحصر.

يمكن تفسير التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁 على أنه المساحة المظللة أسفل منحنى الدالة 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁، ويوضح الشكل الآتي تمثيلًا بيانيًّا لهذا التكامل.

إذن، كيف تُعرّف التكاملات المحددة؟ قبل أن نتناول التعريف الدقيق، نلاحظ أنه يمكننا تقدير المساحة أسفل المنحنى لدالة ما 𞸑=󰎨(𞸎) محصورة بين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 أولًا بتقسيم الفترة [󰏡،𞸁] إلى 𞸍 من الفترات الجزئية متساوية العرض، 󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸓١𞸓 بالنسبة إلى 𞸓=١،،𞸍 كما هو موضح في الشكل.

هذا يعطينا 𞸍 من المستطيلات متساوية العرض، Δ𞸎، حيث يكون ارتفاع كل مستطيل معطى بدلالة قيمة الدالة، 󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓، عند كل نقطة من الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. مساحة كل مستطيل هي حاصل ضرب الارتفاع والعرض، 󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎𞸓. ويمكننا تقدير المساحة أسفل منحنى الدالة 󰎨(𞸎) من خلال جمع مساحات المستطيلات على الصورة ا󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎++󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎=󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎.١𞸍𞸍𞸓=١𞸓

وهذا يعرف أيضًا بمجموع ريمان الأيمن. وبما أن عدد المستطيلات 𞸍 يصبح أكبر والعرض Δ𞸎 يصبح أصغر، إذن تقترب هذه القيمة التقديرية من المساحة الحقيقية أسفل المنحنى. في الواقع، يعرّف التكامل المحدد، الذي يعطينا المساحة الفعلية أسفل المنحنى، بأخذ نهاية هذا المجموع حيث يقترب عدد المستطيلات من ما لا نهاية.

تعريف: التكامل المحدد

إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة ومعرفة على الفترة [󰏡،𞸁]، فيمكننا قسمة الفترة إلى 𞸍 من الفترات الجزئية 󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸓١𞸓 المتساوية في العرض، Δ𞸎، واختيار عينة من النقاط 𞸎󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸓𞸓١𞸓. التكامل المحدد من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁 يُعرَّف بدلالة مجموع ريمان على الصورة 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎،𞸁󰏡𞸍𞸍𞸓=١𞸓ـــــ حيث 𞸎=󰏡+𞸓Δ𞸎،Δ𞸎=𞸁󰏡𞸍=𞸎𞸎،𞸓𞸓𞸓١ شريطة أن تكون النهاية موجودة، وتعطي القيمة نفسها لجميع نقاط العينة 𞸎󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸓𞸓١𞸓.

لا يهم اختيار نقطة محددة 𞸎𞸓 في الفترة الجزئية 󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸓١𞸓. وذلك لأن الفرق أو عرض أي حد من الحدود المجموعة Δ𞸎٠، وذلك ينطبق على الفرق بين أي نقطتين في الفترة. وهذا لأن اختيار 𞸎𞸓 يكون عشوائيًّا، وهو ما قد ينتج عنه مجاميع ريمان مختلفة تتقارب إلى القيمة نفسها. على وجه التحديد، تكون الخيارات الشائعة كما يلي:

  • إذا كانت 𞸎=𞸎𞸓𞸓 أي أن الدالة 󰎨 تُحسب عند الطرف الأيمن لكل فترة جزئية، فإننا لدينا مجموع ريمان الأيمن. والتكامل المحدد بدلالة هذا المجموع هو 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎.𞸁󰏡𞸍𞸍𞸓=١𞸓ـــــ هذا هو الاختيار الذي يستخدمه أغلبنا عند إيجاد مجموع ريمان معين أو تكامل محدد، لتبسيط الأمر، وهو يناظر المثال أعلاه مع تقدير للمساحة أسفل المنحنى باستخدام 𞸍 من المستطيلات متساوية العرض والمنحنى، وكذلك النهاية عند 𞸍.
  • إذا كانت 𞸎=𞸎𞸓𞸓١ أي الدالة 󰎨 تُحسب عند الطرف الأيسر لكل فترة جزئية، فإننا لدينا مجموع ريمان الأيسر.
  • إذا كانت 𞸎=󰁓𞸎+𞸎󰁒٢𞸓𞸓𞸓١، أي أن الدالة 󰎨 تُحسب عند نقطة المنتصف لكل فترة جزئية، فإننا لدينا مجموع ريمان باستخدام نقاط المنتصف.

يتيح التكامل المحدد دائمًا إيجاد المساحة المظللة أسفل المنحنى، وتكون المساحة التي يعطيها التكامل المحدد أعلى المحور 𞸎 موجبة دائمًا، في حين تكون المساحة أسفل المحور 𞸎 سالبة دائمًا، كما هو موضح في الشكل.

إذا كان هناك أجزاء من المنحنى تقع أسفل المحور 𞸎 وأخرى تقع أعلاه في الفترة [󰏡،𞸁]، إذن يكون التكامل المحدد هو المساحة الموجودة أعلى المحور 𞸎 ناقص المساحة الموجودة أسفل المحور 𞸎 ، في الفترة [󰏡،𞸁].

إذن، كيف نوجد قيمة هذه التكاملات المحددة؟ إن استخدام تعريف التكامل المحدد المعطى بدلالة نهاية مجاميع ريمان سيكون مرهقًا من الناحية العملية. يمكننا بدلًا من ذلك أن نوجد قيمة هذه التكاملات المحددة باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

يسمح لنا الجزء الأول من النظرية بإيجاد المشتقة العكسية من التكامل غير المحدد، عندما تكون الدالة ذات القيمة الحقيقية متصلة على فترة ما [󰏡،𞸁]. لنتذكر أولًا الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، وهو يركز على وجود مشتقة عكسية.

الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

إذا كانت 󰎨 دالة ذات قيمة حقيقية متصلة ومعرفة على الفترة [󰏡،𞸁] ونفترض أن 𞸕 تكون دالة معرفة، لجميع قيم 𞸎 في الفترة [󰏡،𞸁]، كما يلي: 𞸕(𞸎)=󰏅󰎨(𞸍)𞸃𞸍،𞸎󰏡، ومن ثم تكون 𞸕 متصلة بانتظام على الفترة [󰏡،𞸁] وقابلة للاشتقاق على ]󰏡،𞸁[، وتكون 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، لجميع قيم 𞸎 في الفترة ]󰏡،𞸁[.

بعبارة أخرى، يمكننا حساب المشتقة العكسية 𞸕 لدالة ما 󰎨 بحساب التكامل غير المحدد للدالة 󰎨 المعطى على الصورة 𞸕(𞸎)=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+𞸖، حيث يُعرف 𞸖 بثابت التكامل. وفقًا للجزء الأول من النظرية، تكون المشتقات العكسية للدالة 󰎨 موجودة دائمًا عندما تكون الدالة 󰎨 متصلة وهناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية للدالة 󰎨 حصلنا عليها عن طريق إضافة هذا الثابت الاختياري إلى 𞸕.

نلاحظ أن ثابت التكامل 𞸖 متضمن في الحد الأول، الذي نضيفه عادة بعد تكامل 󰎨(𞸎)، لكننا ذكرنا ذلك بوضوح هنا لدراسة التكامل غير المحدد. هذا لتوضيح حقيقة أنه يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية التي يمثلها وجود هذا الثابت. ومع هذا، في حالة التكامل المحدد، يمكننا تجاهل هذا الثابت أو جعله يساوي صفرًا لأنه يُحذف، كما سنرى.

أيضًا، يقدم الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل نتيجة مفيدة سنستخدمها لإيجاد قيمة التكاملات المحددة.

نتيجة

عادةً ما تُستخدم النظرية الأساسية لحساب التكامل المحدد للدالة 󰎨، التي يكون معلوم لها المشتقة العكسية 𞸕. على وجه التحديد، إذا كانت 󰎨 دالة ذات قيمة حقيقية ومتصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕 هي المشتقة العكسية لـ 󰎨 على الفترة [󰏡،𞸁]، فإن 󰏅󰎨(𞸍)𞸃𞸍=[𞸕(𞸍)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

تُستخدم الأقواس المربعة [𞸕(𞸍)]𞸁󰏡 عادة باعتبارها اختصار، بعد التكامل، للتعبير عن الحدود التي يجب أن نوجد قيمة المشتقة العكسية عندها، وتكون مكافئة لـ 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

وتفترض النتيجة الاتصال على الفترة بأكملها حيث تتبع الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. ويُعزز الجزء الثاني من النظرية هذه النتيجة إلى حد ما.

الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل (مسلمة نيوتن وليبنتز)

لنفترض أن 󰎨 دالة ذات قيمة حقيقية على الفترة المغلقة [󰏡،𞸁]، 𞸕 هي المشتقة العكسية للدالة 󰎨 على الفترة [󰏡،𞸁]:𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎).

إذا كانت 󰎨 دالة قابلة للتكامل بمفهوم ريمان [󰏡،𞸁]، إذن 󰏅󰎨(𞸍)𞸃𞸍=[𞸕(𞸍)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أقوى إلى حد ما من النتيجة؛ لأنه لا يفترض أن الدالة 󰎨 متصلة.

على الرغم من أن اتصال الدوال ليس مطلوبًا بشكل خاص في الجزء الثاني، فإننا نفترض أن جميع الدوال متصلة على الفترة [󰏡،𞸁] للغرض المطلوب في هذا الشارح، حتى نتمكن دائمًا من اعتبار التكامل مناسبًا لإيجاد المشتقة العكسية. في الواقع، كانت نتيجة الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل كافية لنا لإيجاد قيمة التكاملات المحددة، وذلك بافتراض الاتصال.

لنتناول تطبيق حياتي يعمق فهمنا. لنفترض أن درجة الحرارة 𞸇(𞸍) لكوب من القهوة تتناقص بمعدل 𞸓(𞸍) درجة سلزية لكل دقيقة حيث 𞸓(𞸍) دالة متصلة.

بعبارة أخرى، معدل التغير في درجة الحرارة معطى بدلالة المشتقة الأولى لدرجة الحرارة في الزمن 𞸍:𞸓(𞸍)=𞸃𞸇𞸃𞸍.

عند الزمن 𞸍=٠ (البداية)، تكون درجة حرارة كوب القهوة ٤٠ درجة سلزية. كيف يمكننا إيجاد المقدار الذي انخفضت به درجة الحرارة بعد ٥ دقائق من البداية؟ يمكننا حل هذه المسألة باستخدام التكامل المحدد حسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، 󰏅𞸓(𞸍)𞸃𞸍=𞸇(٥)𞸇(٠)،٥٠ أو إيجاد تعبير عام لدرجة الحرارة 𞸇(𞸍) في صورة 𞸇(𞸍)=󰏅𞸓(𞸍)𞸃𞸍+𞸇(٠).𞸍٠

في الواقع، لأي كمية 𞹟(𞸍) يكون معدلها معطى بدلالة الدالة المتصلة 𞸓(𞸍)، يصف التكامل المحدد 󰏅𞸓(𞸍)𞸃𞸍=𞹟(𞸁)𞹟(󰏡)،𞸁󰏡 المقدار الذي تغيرت به الكمية 𞹟 بين 𞸍=󰏡 ،𞸍=𞸁.

يمكن أن تحقق التكاملات المحددة أيضًا خواص معينة، كما هو الحال مع التكاملات غير المحددة والمشتقات والنهايات. هيا نتعرف على بعض الخواص التي ستكون مفيدة في حل مسائل هذا الشارح.

خواص التكامل المحدد

للدالتين 󰎨، 𞸓 المتصلتين على الفترة [󰏡،𞸁]، يكون لدينا ما يلي:

  • المتغير 𞸎 الذي يظهر في التكاملات المحددة يسمى المتغير الوهمي، ويمكننا استبداله بآخر للحصول على الناتج نفسه:󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸍)𞸃𞸍.𞸁󰏡𞸁󰏡
  • التكامل المحدد لثابت ما 𞸢𞹇 يتناسب مع عرض الفترة: 󰏅𞸢𞸃𞸎=𞸢(𞸁󰏡).𞸁󰏡
  • يمكننا تقسيم التكامل المحدد باستخدام المجموع أو الفرق: 󰏅(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎±󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡
  • يمكننا إخراج الثابت 𞸢𞹇 خارج التكامل المحدد: 󰏅𞸢󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡
  • يمكننا أيضًا تقسيم التكامل من خلال الحدود بالنسبة لقيمة ما 𞸢[󰏡،𞸁] كما يلي 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

سندرس هذه الخواص وغيرها من خواص التكامل المحدد بمزيد من التفصيل في شارح آخر؛ حيث ذكرنا فقط الخواص المفيدة في إيجاد قيمة التكاملات المحددة للمسائل الموجودة في هذا الشارح. ويمكن توضيح هذه الخواص مباشرة من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل؛ فعلى سبيل المثال، في الخاصية الأخيرة، يمكننا تقسيم التكامل وتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لنحصل على 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=(𞸕(𞸢)𞸕(󰏡))+(𞸕(𞸁)𞸕(𞸢))=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

هذه خاصية بديهية؛ لأن مجموع مساحتي الجزأين يساوي المساحة الكلية على الفترة [󰏡،𞸁]. يمكن توضيح ذلك بيانيًّا على النحو التالي:

كما نلاحظ أنه عند إيجاد المشتقة العكسية بالتكامل المحدد، يمكننا أن نتجاهل ثابت التكامل أو نجعله صفرًا، حيث إنه يُحذف عند إيجاد قيمة الفرق عند حدي التكامل، 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

لكي نرى ذلك فعليًّا، علينا التفكير في التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 من 𞸎=٠ إلى 𞸎=٦ كما هو موضح في التمثيل البياني للدالة بين هاتين القيمتين. سنحسب المساحة أسفل المنحنى باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، ولكن سنحسبها بيانيًّا أيضًا لهذه الحالة الخاصة.

بما أن المنحنى، ضمن الفترة [٠،٦]، يقع أعلى المحور 𞸎 ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى.

وبما أن 󰎨(𞸎) هي دالة خطية، فهي متصلة لجميع نقاط 𞸎[٠،٦]؛ وبما أنها متصلة على جميع القيم في 𞹇، يمكننا استخدام نتيجة الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة هذا التكامل المحدد باستخدام المشتقة العكسية 𞸕(𞸎) المعرَفة بواسطة 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، وإيجاد القيمة يكون عند حدي التكامل 𞸎=٠، 𞸎=٦ ثم إيجاد الفرق. المشتقة العكسية تعطى بواسطة التكامل غير المحدد للدالة 󰎨(𞸎) الذي يمكننا إيجاده باستخدام قاعدة القوة للتكامل كما يلي 𞸕(𞸎)=󰏅𞸎𞸃𞸎=١٢𞸎+𞸖.٢

إذن، التكامل المحدد يعطى من خلال 󰏅𞸎𞸃𞸎=󰂗١٢𞸎+𞸖󰂖=󰂔١٢(٦)+𞸖󰂓󰂔١٢(٠)+𞸖󰂓=٦٣٢=٨١.٦٠٢٦٠٢٢

ومن ثم، تكون المساحة أسفل المنحنى 𞸑=𞸎 بين ٦ و ٠ تساوي ١٨ وحدة مساحة. وكما نرى، بما أن ثابت التكامل نفسه يظهر في جزأي الفرق الناتجين عن المشتقة العكسية، إذن فهو يُحذف دائمًا، ومن ثم يمكننا أن نتجاهل ثابت التكامل أو نجعله صفرًا للتكاملات المحددة.

بالنسبة إلى هذه الدالة تحديدًا، يمكننا أيضًا حساب المساحة أسفل المنحنى بيانيًّا؛ لأنها تساوي مساحة المثلث القائم الزاوية. تذكر أن المثلث قائم الزاوية الذي قاعدته 𞸁 وارتفاعه 𞸏 تكون مساحته 𞸌=١٢𞸁𞸏.

المثلث قائم الزاوية كما هو موضح في التمثيل البياني، طول قاعدته وارتفاعه ٦، ومن ثم تكون المساحة 𞸌=١٢×٦×٦=٨١.

وهذا يعطينا الناتج نفسه من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، كما هو متوقع.

إذا كانت لدينا دالة ثابتة 󰎨(𞸎)=𞸢، إذن فإن التكامل المحدد هو المساحة المحددة أسفل المنحنى بين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، وهو يساوي مساحة المستطيل الذي طولا ضلعيه |𞸢| ،|𞸁󰏡|، حتى العلامة الموض.

لا ينطبق هذا إلا على الدوال الثابتة والخطية؛ لأن المساحة أسفل المنحنى تكافئ مساحة المستطيل أو المثلث الموجود داخل الفترة [󰏡،𞸁]. بالنسبة إلى كثيرات الحدود أو الدوال الأخرى، علينا حساب المساحة باستخدام التكامل المحدد وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

والآن، لنتناول التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎٢ من 𞸎=١ إلى 𞸎=٢ كما هو موضح في التمثيل البياني للدالة بين هاتين القيمتين.

وبما أن المنحنى، ضمن الفترة [١،٢]، يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى.

وبما أن 󰎨(𞸎) دالة كثيرة الحدود، فهي متصلة لجميع نقاط 𞸎[١،٢]؛ لأنها متصلة على 𞹇. وكما فعلنا من قبل، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا حساب المشتقة العكسية: 𞸕(𞸎)=󰏅󰁓𞸎+٢𞸎󰁒𞸃𞸎=١٣𞸎+𞸎+𞸖.٢٣٢

إذن، التكامل المحدد يكون كما يلي: 󰏅󰁓𞸎+٢𞸎󰁒𞸃𞸎=󰂗١٣𞸎+𞸎+𞸖󰂖=󰂔١٣(٢)+(٢)+𞸖󰂓󰂔١٣(١)+(١)+𞸖󰂓=󰂔٨٣+٤+𞸖󰂓󰂔١٣+١+𞸖󰂓=٦١٣.٢١٢٣٢٢١٣٢٣٢

ومن ثم، تكون المساحة أسفل المنحنى 𞸑=𞸎+٢𞸎٢ بين ١ و ٢ تساوي ٦١٣ وحدات مساحة.

نتناول الآن التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎)=(٣𞸎) من 𞸎=٠ إلى 𞸎=𝜋 كما هو موضح في التمثيل البياني.

بما أن جزء من المنحنى، ضمن الفترة [٠،𝜋]، يقع أعلى المحور 𞸎، ويقع جزء آخر أسفل المحور 𞸎 سيعطينا التكامل المحدد المساحة الموجودة أعلى المحور 𞸎 ناقص المساحة الموجودة أسفل المحور 𞸎، التي نتوقع أن تكون موجبة.

الدالة 󰎨(𞸎) متصلة لجميع نقاط 𞸎[٠،𝜋]؛ لأنها متصلة على 𞹇. مرة أخرى، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا حساب المشتقة العكسية: 𞸕(𞸎)=󰏅(٣𞸎)𞸃𞸎=١٣(٣𞸎)+𞸖؛ ثم نوجد قيمتها عند حدي التكامل ونوجد الفرق: 󰏅(٣𞸎)𞸃𞸎=󰂗١٣(٣𞸎)󰂖=󰂔١٣(٣(𝜋))󰂓󰂔١٣(٣(٠))󰂓=󰂔١٣(١)󰂓+󰂔١٣(١)󰂓=٢٣.𝜋٠𝜋٠

وبما أن التكامل المحدد يعطينا المساحة المحددة أسفل المنحنى، إذن تكون هي المساحة باللون الأحمر مطروحة من المساحة باللون الأزرق. بعبارة أخرى، هي المساحة أسفل المنحنى أعلى المحور 𞸎 ناقص المساحة أسفل المنحنى أسفل المحور 𞸎 في الفترة [٠،𝜋].

لنتناول التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎)=١+𞸤٤𞸎 من 𞸎=٠ إلى 𞸎=٢𞸤، كما هو موضح في التمثيل البياني التالي.

بما أن المنحنى ضمن الفترة 󰁖٠،٢󰁕𞸤 يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى.

الدالة 󰎨(𞸎) متصلة لجميع نقاط 𞸎󰁖٠،٢󰁕𞸤؛ لأنها متصلة على 𞹇. باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد من مشتقته العكسية: 󰏅󰁓١+𞸤󰁒𞸃𞸎=󰂗𞸎+١٤𞸤󰂖=󰂔󰁓٢󰁒+١٤𞸤󰂓󰂔(٠)+١٤𞸤󰂓=󰁓٢+٤󰁒󰂔١٤󰂓=٥١٤+٢.𞸤𞸤𞸤٢٠٤𞸎٤𞸎٢٠𞸤٤󰁓٢󰁒٤(٠)𞸤𞸤

والآن، لنلق نظرة على بعض الأمثلة للتدريب والمساعدة على تعميق الفهم. في المثال الأول، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة تربيعية.

مثال ١: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة تربيعية

افترض أن 󰎨(𞸎)=٦𞸎+١٢. أوجد قيمة التكامل المحدد للدالة 󰎨 من 𞸎=٢ إلى 𞸎=٣.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎)=٦𞸎+١٢ من 𞸎=٢ إلى 𞸎=٣. بما أن المنحنى، ضمن الفترة [٢،٣]، يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل الآتي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=٢، 𞸎=٣.

نبدأ أولًا بإيجاد المشتقة العكسية للدالة 󰎨(𞸎)=٦𞸎+١٢ من التكامل غير المحدد باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 𞸕(𞸎)=󰏅󰁓٦𞸎+١󰁒𞸃𞸎=٢𞸎+𞸎+𞸖.٢٣

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

نلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

والدالة التي سيجرى عليها للتكامل، هي دالة كثيرة الحدود، ومن ثم فهي متصلة ومعرّفة لجميع نقاط 𞸎[٢،٣]. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅󰁓٦𞸎+١󰁒𞸃𞸎=󰁖٢𞸎+𞸎󰁕=󰁓٢(٣)+٣󰁒󰁓٢(٢)+٢󰁒=٧٥٨١=٩٣.٣٢٢٣٣٢٣٣

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة تتضمن دوال أسية ودوال مثلثية.

مثال ٢: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة تتضمن دوال أسية ومثلثية

أوجد قيمة 󰏅󰁓٢𞸎٣𞸤󰁒𞸃𞸎٢٠𞸎.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ٢𞸎٣𞸤𞸎 من 𞸎=٠ إلى 𞸎=٢. بما أن المنحنى، ضمن الفترة [٠،٢]، يقع أسفل المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد سالبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=٠، 𞸎=٢.

يمكننا إيجاد التكامل غير المحدد عن طريق إيجاد المشتقة العكسية للدالة التي سيجرى عليها التكامل أولًا ٢𞸎٣𞸤𞸎، وهو ما يعطينا 󰏅󰁓٢𞸎٣𞸤󰁒𞸃𞸎=٢𞸎٣𞸤+𞸖.𞸎𞸎

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

نلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي الفرق بين دالتين متصلتين، ومن ثم فهي دالة متصلة ومعرّفة لجميع نقاط 𞸎[٠،٢]. إذن، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅󰁓٢𞸎٣𞸤󰁒𞸃𞸎=󰁖٢𞸎٣𞸤󰁕=󰁓٢(٢)٣𞸤󰁒(٢(٠)٣𞸤)=٣𞸤٢٢+٥.٢٠𞸎𞸎٢٠٢٠٢

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة تتضمن جذرًا.

مثال ٣: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة جذرية

أوجد قيمة 󰏅٢󰋴𞸎𞸃𞸎٩٤.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ٢󰋴𞸎 من 𞸎=٤ إلى 𞸎=٩. بما أن المنحنى، ضمن الفترة [٤،٩] يقع أسفل المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد سالبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=٤، 𞸎=٩.

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة ٢󰋴𞸎 من التكامل غير المحدد: 󰏅٢󰋴𞸎𞸃𞸎=󰏅٢𞸎𞸃𞸎=٤٣𞸎+𞸖.١٢٣٢

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

نلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفّة لجميع نقاط 𞸎[٤،٩]. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅٢󰋴𞸎𞸃𞸎=󰂗٤٣𞸎󰂖=󰂔٤٣󰂔٩󰂓󰂓󰂔٤٣󰂔٤󰂓󰂓=󰂔٤٣(٧٢)󰂓󰂔٤٣(٨)󰂓=٦٧٣.٩٤٩٤٣٢٣٢٣٢

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة القيمة المطلقة.

مثال ٤: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة القيمة المطلقة

أوجد قيمة 󰏅|𞸎٢|𞸃𞸎٥٤.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة |𞸎٢| من 𞸎=٤ إلى 𞸎=٥. بما أن المنحنى، ضمن الفترة [٤،٥]، يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=٤، 𞸎=٥.

وبما أن الدالة التي سيجرى التكامل عليها تتضمن قيمة مطلقة، يمكننا تذكر تعريف |𞸎|:|𞸎|=󰂚𞸎𞸎٠،𞸎𞸎<٠.

ومن ثم، بالنسبة إلى الدالة التي سيجرى التكامل عليها، يكون لدينا |𞸎٢|=󰂚𞸎٢𞸎٢،٢𞸎𞸎<٢.

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة |𞸎٢| من التكامل غير المحدد، ولكن هذا يعتمد على قيمة 𞸎. بعبارة أخرى، بما أن |𞸎٢| هي دالة متصلة متعددة التعريف، إذن يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكل دالة جزئية على حدة لإيجاد المشتقة العكسية للدالة |𞸎٢|:󰏅|𞸎٢|𞸃𞸎=󰏅(𞸎٢)𞸃𞸎𞸎٢،󰏅(٢𞸎)𞸃𞸎𞸎<٢،=𞸎٢٢𞸎+𞸖𞸎٢،٢𞸎𞸎٢+𞸖𞸎<٢.٢١٢٢

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

في الفترة [٤،٥]، سيكون التكامل المحدد للدالة |𞸎٢| مكافئًا للتكامل المحدد للدالة 𞸎٢ عند 𞸎٢ والتكامل المحدد للدالة ٢𞸎 عند 𞸎٢. يمكننا تقسيم التكامل إلى فترتين [٤،٢]، [٢،٥]، لكي يمكننا إجراء التكامل على جزأين منفصلين، وباستخدام الخاصية التي تقول إنه إذا كانت 𞸢[󰏡،𞸁]، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

الدالة التي سيجرى التكامل عليها -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرّفة لجميع نقاط 𞸎[٤،٥]. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅|𞸎٢|𞸃𞸎=󰏅|𞸎٢|𞸃𞸎+󰏅|𞸎٢|𞸃𞸎=󰏅(٢𞸎)𞸃𞸎+󰏅(𞸎٢)𞸃𞸎=󰃄٢𞸎𞸎٢󰃃+󰃄𞸎٢٢𞸎󰃃=󰃁٢(٢)٢٢󰃀󰃁٢(٤)(٤)٢󰃀+󰃁٥٢٢(٥)󰃀󰃁٢٢٢(٢)󰃀=٢+󰂔٨+٦١٢󰂓+󰂔٥٢٢٠١󰂓+٢=٥٤٢.٥٤٢٤٥٢٢٤٥٢٢٢٤٢٥٢٢٢٢٢

يمكننا أيضًا التحقق من هذه الإجابة بيانيًّا، لأن المساحة أسفل المنحنى هي مجموع مساحتي مثلثين قائمي الزاوية، كما هو موضح في التمثيل البياني. نتذكر أن المثلث قائم الزاوية الذي قاعدته 𞸁 وارتفاعه 𞸏 تكون مساحته 𞸌=١٢𞸁𞸏.

المثلث الأكبر له قاعدة وارتفاع يساويان ٦، بينما المثلث الأصغر له قاعدة وارتفاع يساويان ٣. التكامل المحدد هو مجموع المساحتين فقط: 󰏅|𞸎٢|𞸃𞸎=١٢×٦×٦+١٢×٣×٣=٦٣٢+٩٢=٥٤٢.٥٤

وهذا يعطينا الناتج نفسه من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، كما هو متوقع.

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة كثيرة الحدود.

مثال ٥: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة كثيرة الحدود

أوجد قيمة 󰏅󰂔٤٥𞸍+٣٤𞸍٢٣𞸍󰂓𞸃𞸍١٠٣٢.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ٤٥𞸍+٣٤𞸍٢٣٣٢ من 𞸍=٠ إلى 𞸍=١. بما أن جزء من المنحنى، ضمن الفترة [٠،١]، يقع أعلى المحور 𞸍، ويقع جزء آخر أسفل المحور 𞸍، إذن سوف يعطينا التكامل المحدد المساحة أعلى المحور 𞸍 ناقص المساحة أسفل المحور 𞸍، ونتوقع أن يكون الناتج موجبًا. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸍=٠، 𞸍=١.

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة ٤٥𞸍+٣٤𞸍٢٣٣٢ من تكاملها غير المحدد باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅󰂔٤٥𞸍+٣٤𞸍٢٣𞸍󰂓𞸃𞸍=١٥𞸍+١٤𞸍١٣𞸍+𞸖.٣٢٤٣٢

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸍)=󰎨(𞸍)، فإن 󰏅󰎨(𞸍)𞸃𞸍=[𞸕(𞸍)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸍)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة كثيرة الحدود، ومن ثم فهي متصلة ومعرفة لجميع نقاط 𞸍[٠،١]. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅󰂔٤٥𞸍+٣٤𞸍٢٣𞸍󰂓𞸃𞸍=󰂗١٥𞸍+١٤𞸍١٣𞸍󰂖=󰂔١٥(١)+١٤(١)١٣(١)󰂓󰂔١٥(٠)+١٤(٠)١٣(٠)󰂓=٧٠٦.١٠٣٢٤٣٢١٠٤٣٢٤٣٢

وبما أن التكامل المحدد يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى، إذن تكون هي المساحة باللون الأحمر مطروحة من المساحة باللون الأزرق. بعبارة أخرى، هي المساحة أسفل المنحنى أعلى المحور 𞸍 ناقص المساحة أسفل المنحنى أسفل المحور 𞸍 في الفترة [٠،١].

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية أساسها عدد صحيح.

مثال ٦: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية أساسها عدد صحيح

أوجد قيمة 󰏅٤𞸃𞸎٤٣𞸎.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ٤𞸎 من 𞸎=٣ إلى 𞸎=٤. بما أن المنحنى، ضمن الفترة [٣،٤]، يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=٣، 𞸎=٤.

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة ٤𞸎 من التكامل غير المحدد: 󰏅٤𞸃𞸎=󰏅𞸤𞸃𞸎=١٤𞸤+𞸖=١٤٤+𞸖=١٢٢٤+𞸖.𞸎𞸎٤𞸤𞸎٤𞸤𞸎𞸤𞸎𞸤𞸤

استخدمنا أيضًا قاعدة القوة للوغاريتم 𞸤𞸎𞸤𞸓=𞸎𞸓 لإعادة كتابة السطر الأخير باستخدام 𞸤𞸤٢𞸤٤=٢=٢٢. بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفة لجميع نقاط 𞸎[٣،٤]. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅٤𞸃𞸎=󰃄١٢٢٤󰃃=󰃁١٢٢٤󰃀󰃁١٢٢٤󰃀=󰃁٨٢١٢󰃀󰃁٢٣٢󰃀=٦٩٢.٤٣𞸎𞸤𞸎٤٣𞸤(٤)𞸤(٣)𞸤𞸤𞸤

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة قوة أسها كسري سالب.

مثال ٧: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة قوة أسها كسري

أوجد قيمة 󰏅٤𞸎𞸃𞸎٧٢١٢٣.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ٤𞸎٢٣ من 𞸎=١ إلى 𞸎=٧٢. وبما أن المنحنى، ضمن الفترة [١،٧٢]، يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=١، 𞸎=٧٢.

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة ٤𞸎٢٣ من التكامل غير المحدد باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅٤𞸎𞸃𞸎=٢١𞸎+𞸖.٢٣١٣

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفة لجميع نقاط 𞸎[١،٧٢]. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅٤𞸎𞸃𞸎=󰂗٢١𞸎󰂖=󰂔٢١(٧٢)󰂓󰂔٢١(١)󰂓=(٢١(٣))(٢١(١))=٤٢.٧٢١٧٢١٢٣١٣١٣١٣

في المثال الأخير، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة مثلثية.

مثال ٨: تحديد التكامل المحدد لدالة مثلثية

أوجد قيمة 󰏅(٤+𝜋٩𞸎)𞸃𞸎𝜋٦𝜋٤.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة تكامل الدالة ٤+𝜋٩𞸎 من 𞸎=𝜋٤ إلى 𞸎=𝜋٦. بما أن المنحنى، ضمن الفترة 󰂗𝜋٤،𝜋٦󰂖، يقع أعلى المحور 𞸎، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين 𞸎=𝜋٤، 𞸎=𝜋٦.

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة ٤+𝜋٩𞸎 من التكامل غير المحدد:󰏅(٤+𝜋٩𞸎)𞸃𞸎=٤𞸎+𝜋٩٩𞸎+𞸖.

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ لأنه يُحذف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفة لجميع نقاط 𞸎󰂗𝜋٤،𝜋٦󰂖. ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا 󰏅(٤+𝜋٩𞸎)𞸃𞸎=󰂗٤𞸎+𝜋٩٩𞸎󰂖=󰂗٤󰂔𝜋٦󰂓+𝜋٩󰂔٩󰂔𝜋٦󰂓󰂓󰂖󰂗٤󰂔𝜋٤󰂓+𝜋٩󰂔٩󰂔𝜋٤󰂓󰂓󰂖=󰂗٢𝜋٣+𝜋٩󰂔٩𝜋٦󰂓󰂖󰂗𝜋+𝜋٩󰂔٩𝜋٤󰂓󰂖=󰂗٢𝜋٣𝜋٩󰂔٣𝜋٢󰂓󰂖󰂗𝜋𝜋٩󰂔٩𝜋٤󰂓󰂖=󰂗٢𝜋٣+𝜋٩󰂖󰃰𝜋󰋴٢𝜋٨١󰃯=󰋴٢𝜋٨١+٤𝜋٩.𝜋٦𝜋٤𝜋٦𝜋٤

النقاط الرئيسية

  • التكامل المحدد للدالة المتصلة 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁 هي المساحة المظللة أسفل منحنى 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁.
    مساحة الدالة التي تقع أعلى المحور 𞸎 في الفترة [󰏡،𞸁] تكون موجبة، في حين تكون المساحة التي تقع أسفل المحور 𞸎 سالبة.
    في حالة وجود أجزاء من المنحنى تقع أعلى المحور 𞸎 وأخرى تقع أسفله في الفترة [󰏡،𞸁]، إذن سيكون التكامل المحدد هو المساحة الموجودة أعلى المحور 𞸎 ناقص المساحة الموجودة أسفل المحور 𞸎.
  • تمكننا النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل من إيجاد التكاملات المحددة من المشتقات العكسية. تخبرنا نتيجة الجزء الأول أو يخبرنا الجزء الثاني أنه إذا كانت 󰎨 دالة ذات قيمة حقيقية ومتصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، وكانت 𞸕 المشتقة العكسية للدالة 󰎨 (أي، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)) على الفترة [󰏡،𞸁]، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡
  • لإيجاد قيمة التكاملات المحددة بهذه الطريقة، علينا التحقق من أن الدالة 󰎨 متصلة بالفعل ومعرفة على جميع نقاط الفترة [󰏡،𞸁].
  • يمكننا أن نتجاهل ثابت التكامل أو نجعله يساوي صفرًا للمشتقات العكسية في التكامل المحدد، حيث إنه يُحذف عند إيجاد الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).
  • في بعض الدوال متعددة التعريف أو تلك التي تتضمن القيمة المطلقة في الدالة التي سيجرى عليها التكامل، قد نحتاج إلى تقسيم التكامل إلى أجزاء متعددة باستخدام الخاصية التي تقول إنه إذا كانت 𞸢[󰏡،𞸁]، فإن 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.