شارح الدرس: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إيجاد قيمة التكامل المحدَّد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحددة.

التكاملات المحددة كلها متعلقة بتراكم أو مجموع كمية محددة، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالمشتقات العكسية. إنها توفر لنا أداة مفيدة تساعدنا في فهم وتمثيل ظواهر حياتية تظهر في العديد من المجالات بدءًا من الرياضيات البحتة، التي تتضمن تطبيقات هندسية مثل مساحة السطح والحجم، وصولًا إلى الفيزياء عند إيجاد كتلة جسم ما، أو الشغل المبذول، أو الضغط المبذول على جسم ما، على سبيل المثال لا الحصر.

يمكن تفسير التكامل المحدد للدالة من إلى على أنه المساحة المظللة أسفل منحنى الدالة من إلى ، ويوضح الشكل الآتي تمثيلًا بيانيًّا لهذا التكامل.

إذن، كيف تُعرّف التكاملات المحددة؟ قبل أن نتناول التعريف الدقيق، نلاحظ أنه يمكننا تقدير المساحة أسفل المنحنى لدالة ما محصورة بين ، أولًا بتقسيم الفترة إلى من الفترات الجزئية متساوية العرض، بالنسبة إلى كما هو موضح في الشكل.

هذا يعطينا من المستطيلات متساوية العرض، ، حيث يكون ارتفاع كل مستطيل معطى بدلالة قيمة الدالة، ، عند كل نقطة من الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. مساحة كل مستطيل هي حاصل ضرب الارتفاع والعرض، . ويمكننا تقدير المساحة أسفل منحنى الدالة من خلال جمع مساحات المستطيلات على الصورة

وهذا يعرف أيضًا بمجموع ريمان الأيمن. وبما أن عدد المستطيلات يصبح أكبر والعرض يصبح أصغر، إذن تقترب هذه القيمة التقديرية من المساحة الحقيقية أسفل المنحنى. في الواقع، يعرّف التكامل المحدد، الذي يعطينا المساحة الفعلية أسفل المنحنى، بأخذ نهاية هذا المجموع حيث يقترب عدد المستطيلات من ما لا نهاية.

لا يهم اختيار نقطة محددة في الفترة الجزئية . وذلك لأن الفرق أو عرض أي حد من الحدود المجموعة ، وذلك ينطبق على الفرق بين أي نقطتين في الفترة. وهذا لأن اختيار يكون عشوائيًّا، وهو ما قد ينتج عنه مجاميع ريمان مختلفة تتقارب إلى القيمة نفسها. على وجه التحديد، تكون الخيارات الشائعة كما يلي:

• إذا كانت أي أن الدالة تُحسب عند الطرف الأيمن لكل فترة جزئية، فإننا لدينا مجموع ريمان الأيمن. والتكامل المحدد بدلالة هذا المجموع هو هذا هو الاختيار الذي يستخدمه أغلبنا عند إيجاد مجموع ريمان معين أو تكامل محدد، لتبسيط الأمر، وهو يناظر المثال أعلاه مع تقدير للمساحة أسفل المنحنى باستخدام من المستطيلات متساوية العرض والمنحنى، وكذلك النهاية عند .
• إذا كانت أي الدالة تُحسب عند الطرف الأيسر لكل فترة جزئية، فإننا لدينا مجموع ريمان الأيسر.
• إذا كانت ، أي أن الدالة تُحسب عند نقطة المنتصف لكل فترة جزئية، فإننا لدينا مجموع ريمان باستخدام نقاط المنتصف.

يتيح التكامل المحدد دائمًا إيجاد المساحة المظللة أسفل المنحنى، وتكون المساحة التي يعطيها التكامل المحدد أعلى المحور موجبة دائمًا، في حين تكون المساحة أسفل المحور سالبة دائمًا، كما هو موضح في الشكل.

إذا كان هناك أجزاء من المنحنى تقع أسفل المحور وأخرى تقع أعلاه في الفترة ، إذن يكون التكامل المحدد هو المساحة الموجودة أعلى المحور ناقص المساحة الموجودة أسفل المحور ، في الفترة .

إذن، كيف نوجد قيمة هذه التكاملات المحددة؟ إن استخدام تعريف التكامل المحدد المعطى بدلالة نهاية مجاميع ريمان سيكون مرهقًا من الناحية العملية. يمكننا بدلًا من ذلك أن نوجد قيمة هذه التكاملات المحددة باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

يسمح لنا الجزء الأول من النظرية بإيجاد المشتقة العكسية من التكامل غير المحدد، عندما تكون الدالة ذات القيمة الحقيقية متصلة على فترة ما . لنتذكر أولًا الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، وهو يركز على وجود مشتقة عكسية.

بعبارة أخرى، يمكننا حساب المشتقة العكسية لدالة ما بحساب التكامل غير المحدد للدالة المعطى على الصورة حيث يُعرف بثابت التكامل. وفقًا للجزء الأول من النظرية، تكون المشتقات العكسية للدالة موجودة دائمًا عندما تكون الدالة متصلة وهناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية للدالة حصلنا عليها عن طريق إضافة هذا الثابت الاختياري إلى .

نلاحظ أن ثابت التكامل متضمن في الحد الأول، الذي نضيفه عادة بعد تكامل ، لكننا ذكرنا ذلك بوضوح هنا لدراسة التكامل غير المحدد. هذا لتوضيح حقيقة أنه يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية التي يمثلها وجود هذا الثابت. ومع هذا، في حالة التكامل المحدد، يمكننا تجاهل هذا الثابت أو جعله يساوي صفرًا لأنه يُحذف، كما سنرى.

أيضًا، يقدم الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل نتيجة مفيدة سنستخدمها لإيجاد قيمة التكاملات المحددة.

تُستخدم الأقواس المربعة عادة باعتبارها اختصار، بعد التكامل، للتعبير عن الحدود التي يجب أن نوجد قيمة المشتقة العكسية عندها، وتكون مكافئة لـ .

وتفترض النتيجة الاتصال على الفترة بأكملها حيث تتبع الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. ويُعزز الجزء الثاني من النظرية هذه النتيجة إلى حد ما.

الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أقوى إلى حد ما من النتيجة؛ لأنه لا يفترض أن الدالة متصلة.

على الرغم من أن اتصال الدوال ليس مطلوبًا بشكل خاص في الجزء الثاني، فإننا نفترض أن جميع الدوال متصلة على الفترة للغرض المطلوب في هذا الشارح، حتى نتمكن دائمًا من اعتبار التكامل مناسبًا لإيجاد المشتقة العكسية. في الواقع، كانت نتيجة الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل كافية لنا لإيجاد قيمة التكاملات المحددة، وذلك بافتراض الاتصال.

لنتناول تطبيق حياتي يعمق فهمنا. لنفترض أن درجة الحرارة لكوب من القهوة تتناقص بمعدل درجة سلزية لكل دقيقة حيث دالة متصلة.

بعبارة أخرى، معدل التغير في درجة الحرارة معطى بدلالة المشتقة الأولى لدرجة الحرارة في الزمن :

عند الزمن (البداية)، تكون درجة حرارة كوب القهوة ٤٠ درجة سلزية. كيف يمكننا إيجاد المقدار الذي انخفضت به درجة الحرارة بعد ٥ دقائق من البداية؟ يمكننا حل هذه المسألة باستخدام التكامل المحدد حسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، أو إيجاد تعبير عام لدرجة الحرارة في صورة

في الواقع، لأي كمية يكون معدلها معطى بدلالة الدالة المتصلة ، يصف التكامل المحدد المقدار الذي تغيرت به الكمية بين ،.

يمكن أن تحقق التكاملات المحددة أيضًا خواص معينة، كما هو الحال مع التكاملات غير المحددة والمشتقات والنهايات. هيا نتعرف على بعض الخواص التي ستكون مفيدة في حل مسائل هذا الشارح.

سندرس هذه الخواص وغيرها من خواص التكامل المحدد بمزيد من التفصيل في شارح آخر؛ حيث ذكرنا فقط الخواص المفيدة في إيجاد قيمة التكاملات المحددة للمسائل الموجودة في هذا الشارح. ويمكن توضيح هذه الخواص مباشرة من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل؛ فعلى سبيل المثال، في الخاصية الأخيرة، يمكننا تقسيم التكامل وتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لنحصل على

هذه خاصية بديهية؛ لأن مجموع مساحتي الجزأين يساوي المساحة الكلية على الفترة . يمكن توضيح ذلك بيانيًّا على النحو التالي:

كما نلاحظ أنه عند إيجاد المشتقة العكسية بالتكامل المحدد، يمكننا أن نتجاهل ثابت التكامل أو نجعله صفرًا، حيث إنه يُحذف عند إيجاد قيمة الفرق عند حدي التكامل، .

لكي نرى ذلك فعليًّا، علينا التفكير في التكامل المحدد للدالة من إلى كما هو موضح في التمثيل البياني للدالة بين هاتين القيمتين. سنحسب المساحة أسفل المنحنى باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، ولكن سنحسبها بيانيًّا أيضًا لهذه الحالة الخاصة.

بما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى.

وبما أن هي دالة خطية، فهي متصلة لجميع نقاط ؛ وبما أنها متصلة على جميع القيم في ، يمكننا استخدام نتيجة الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة هذا التكامل المحدد باستخدام المشتقة العكسية المعرَفة بواسطة ، وإيجاد القيمة يكون عند حدي التكامل ، ثم إيجاد الفرق. المشتقة العكسية تعطى بواسطة التكامل غير المحدد للدالة الذي يمكننا إيجاده باستخدام قاعدة القوة للتكامل كما يلي

إذن، التكامل المحدد يعطى من خلال

ومن ثم، تكون المساحة أسفل المنحنى بين ٦ و ٠ تساوي ١٨ وحدة مساحة. وكما نرى، بما أن ثابت التكامل نفسه يظهر في جزأي الفرق الناتجين عن المشتقة العكسية، إذن فهو يُحذف دائمًا، ومن ثم يمكننا أن نتجاهل ثابت التكامل أو نجعله صفرًا للتكاملات المحددة.

بالنسبة إلى هذه الدالة تحديدًا، يمكننا أيضًا حساب المساحة أسفل المنحنى بيانيًّا؛ لأنها تساوي مساحة المثلث القائم الزاوية. تذكر أن المثلث قائم الزاوية الذي قاعدته وارتفاعه تكون مساحته

المثلث قائم الزاوية كما هو موضح في التمثيل البياني، طول قاعدته وارتفاعه ٦، ومن ثم تكون المساحة

وهذا يعطينا الناتج نفسه من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، كما هو متوقع.

إذا كانت لدينا دالة ثابتة ، إذن فإن التكامل المحدد هو المساحة المحددة أسفل المنحنى بين ، ، وهو يساوي مساحة المستطيل الذي طولا ضلعيه ،، حتى العلامة الموض.

لا ينطبق هذا إلا على الدوال الثابتة والخطية؛ لأن المساحة أسفل المنحنى تكافئ مساحة المستطيل أو المثلث الموجود داخل الفترة . بالنسبة إلى كثيرات الحدود أو الدوال الأخرى، علينا حساب المساحة باستخدام التكامل المحدد وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

والآن، لنتناول التكامل المحدد للدالة من إلى كما هو موضح في التمثيل البياني للدالة بين هاتين القيمتين.

وبما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى.

وبما أن دالة كثيرة الحدود، فهي متصلة لجميع نقاط ؛ لأنها متصلة على . وكما فعلنا من قبل، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا حساب المشتقة العكسية:

إذن، التكامل المحدد يكون كما يلي:

ومن ثم، تكون المساحة أسفل المنحنى بين ١ و ٢ تساوي وحدات مساحة.

نتناول الآن التكامل المحدد للدالة من إلى كما هو موضح في التمثيل البياني.

بما أن جزء من المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، ويقع جزء آخر أسفل المحور سيعطينا التكامل المحدد المساحة الموجودة أعلى المحور ناقص المساحة الموجودة أسفل المحور ، التي نتوقع أن تكون موجبة.

الدالة متصلة لجميع نقاط ؛ لأنها متصلة على . مرة أخرى، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا حساب المشتقة العكسية: ثم نوجد قيمتها عند حدي التكامل ونوجد الفرق:

وبما أن التكامل المحدد يعطينا المساحة المحددة أسفل المنحنى، إذن تكون هي المساحة باللون الأحمر مطروحة من المساحة باللون الأزرق. بعبارة أخرى، هي المساحة أسفل المنحنى أعلى المحور ناقص المساحة أسفل المنحنى أسفل المحور في الفترة .

لنتناول التكامل المحدد للدالة من إلى ، كما هو موضح في التمثيل البياني التالي.

بما أن المنحنى ضمن الفترة يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى.

الدالة متصلة لجميع نقاط ؛ لأنها متصلة على . باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد من مشتقته العكسية:

والآن، لنلق نظرة على بعض الأمثلة للتدريب والمساعدة على تعميق الفهم. في المثال الأول، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة تربيعية.

مثال ١: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة تربيعية

افترض أن . أوجد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل المحدد للدالة من إلى . بما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل الآتي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

نبدأ أولًا بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من التكامل غير المحدد باستخدام قاعدة القوة للتكامل:

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

نلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

والدالة التي سيجرى عليها للتكامل، هي دالة كثيرة الحدود، ومن ثم فهي متصلة ومعرّفة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة تتضمن دوال أسية ودوال مثلثية.

مثال ٢: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة تتضمن دوال أسية ومثلثية

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى . بما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أسفل المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد سالبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

يمكننا إيجاد التكامل غير المحدد عن طريق إيجاد المشتقة العكسية للدالة التي سيجرى عليها التكامل أولًا ، وهو ما يعطينا

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

نلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي الفرق بين دالتين متصلتين، ومن ثم فهي دالة متصلة ومعرّفة لجميع نقاط . إذن، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة تتضمن جذرًا.

مثال ٣: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة جذرية

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى . بما أن المنحنى، ضمن الفترة يقع أسفل المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد سالبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من التكامل غير المحدد:

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

نلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفّة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة القيمة المطلقة.

مثال ٤: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة القيمة المطلقة

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى . بما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

وبما أن الدالة التي سيجرى التكامل عليها تتضمن قيمة مطلقة، يمكننا تذكر تعريف :

ومن ثم، بالنسبة إلى الدالة التي سيجرى التكامل عليها، يكون لدينا

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من التكامل غير المحدد، ولكن هذا يعتمد على قيمة . بعبارة أخرى، بما أن هي دالة متصلة متعددة التعريف، إذن يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكل دالة جزئية على حدة لإيجاد المشتقة العكسية للدالة :

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

في الفترة ، سيكون التكامل المحدد للدالة مكافئًا للتكامل المحدد للدالة عند والتكامل المحدد للدالة عند . يمكننا تقسيم التكامل إلى فترتين ، ، لكي يمكننا إجراء التكامل على جزأين منفصلين، وباستخدام الخاصية التي تقول إنه إذا كانت ، فإن

الدالة التي سيجرى التكامل عليها -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرّفة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

يمكننا أيضًا التحقق من هذه الإجابة بيانيًّا، لأن المساحة أسفل المنحنى هي مجموع مساحتي مثلثين قائمي الزاوية، كما هو موضح في التمثيل البياني. نتذكر أن المثلث قائم الزاوية الذي قاعدته وارتفاعه تكون مساحته

المثلث الأكبر له قاعدة وارتفاع يساويان ٦، بينما المثلث الأصغر له قاعدة وارتفاع يساويان ٣. التكامل المحدد هو مجموع المساحتين فقط:

وهذا يعطينا الناتج نفسه من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، كما هو متوقع.

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة كثيرة الحدود.

مثال ٥: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة كثيرة الحدود

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى . بما أن جزء من المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، ويقع جزء آخر أسفل المحور ، إذن سوف يعطينا التكامل المحدد المساحة أعلى المحور ناقص المساحة أسفل المحور ، ونتوقع أن يكون الناتج موجبًا. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من تكاملها غير المحدد باستخدام قاعدة القوة للتكامل:

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة كثيرة الحدود، ومن ثم فهي متصلة ومعرفة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

وبما أن التكامل المحدد يعطينا المساحة المظللة أسفل المنحنى، إذن تكون هي المساحة باللون الأحمر مطروحة من المساحة باللون الأزرق. بعبارة أخرى، هي المساحة أسفل المنحنى أعلى المحور ناقص المساحة أسفل المنحنى أسفل المحور في الفترة .

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية أساسها عدد صحيح.

مثال ٦: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية أساسها عدد صحيح

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى . بما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من التكامل غير المحدد:

استخدمنا أيضًا قاعدة القوة للوغاريتم لإعادة كتابة السطر الأخير باستخدام . بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

في المثال التالي، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة قوة أسها كسري سالب.

مثال ٧: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة قوة أسها كسري

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة من إلى . وبما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من التكامل غير المحدد باستخدام قاعدة القوة للتكامل:

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا

في المثال الأخير، سنوجد قيمة التكامل المحدد لدالة مثلثية.

مثال ٨: تحديد التكامل المحدد لدالة مثلثية

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة تكامل الدالة من إلى . بما أن المنحنى، ضمن الفترة ، يقع أعلى المحور ، إذن نتوقع أن يكون التكامل المحدد موجبًا؛ لأن هذا يعطينا المساحة الموضحة أسفل المنحنى. وهذا يمثل بيانيًّا في الشكل التالي الذي يوضح المساحة أسفل المنحنى بين ، .

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية للدالة من التكامل غير المحدد:

بالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ، ، فإن

ونلاحظ أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ لأنه يُحذف في الفرق .

الدالة التي سيجرى عليها التكامل -بالنسبة للتكامل الذي لدينا- هي دالة متصلة ومعرفة لجميع نقاط . ومن ثم، بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل وإيجاد الفرق عندهما، يكون لدينا