تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: النهايات عند اللانهاية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد نهايات الدوال عندما يقترب 𞸎 من ما لا نهاية، ونستعرض النهايات غير المحدودة التي تقترب من ما لا نهاية عندما يقترب 𞸎 من قيمة معيَّنة.

بحسب التعريف، سنقول إن ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=𞸋؛ حيث 𞸋 عدد حقيقي، بشرط أن تكون قِيَم 󰎨(𞸎) أقرب ما تكون من 𞸋، وأن تكون قيمة 𞸎 كبيرة بقدْر كافٍ.

وبالمثل، ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=𞸋 تعني أن 󰎨(𞸎)𞸋 بالنسبة إلى جميع قِيَم 𞸎 التي تكون كبيرة بقدْر كافٍ، لكنها سالبة.

قبل أن نتناول أمثلة على التقارب، دعونا نلاحظ أن هناك بالأساس مشكلتين يمكن أن تحدثا مع التقارب، وذلك عند اقتراب 𞸎 من (أو من ) وتتمثَّلان في الآتي:

  • تتذبذب الدالة كثيرًا؛ لذا لا يُوجَد أيُّ عدد 𞸋. هذا هو الحال مع 󰎨(𞸎)=𞸎.
  • تزداد (أو تتناقص) قِيَم 󰎨(𞸎) بلا حدود كلَّما زادت قيمة 𞸎 الموجبة أو السالبة أكثر فأكثر.

في الشكل الموضَّح، لدينا الآتي:

((أ)) هو التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 التي تقترب من + عندما تزداد قيمة 𞸎 الموجبة أكثر، وتقترب من ، عندما تزداد قيمة 𞸎 السالبة أكثر. نكتبهما هكذا: ـــــوـــــ𞸎𞸎𞸎=+𞸎=.

((ب)) هو التمثيل البياني للدالة الكثيرة الحدود: 𞹒(𞸎)=١٠٠٥٣٤(𞸎+٠١)(𞸎+١)(𞸎٠٢)(𞸎٢٢)(𞸎٠٣) الذي يتَّضح لنا منه، كما رأينا في 󰎨(𞸎)=𞸎، أن القِيَم تصبح لا نهائية بصورة مطلقة عندما يصبح |𞸎| لا نهائيًّا أيضًا، ولكن عكس 󰎨: ـــــوـــــ𞸎𞸎𞹒(𞸎)=𞹒(𞸎)=+.

((ج)) هو التمثيل البياني للدالة الأُسية 𞸓(𞸎)=٢𞸎؛ حيث يُشير التمثيل البياني بوضوح إلى أن: ـــــوـــــ𞸎𞸎𞸎𞸎٢=+٢=٠.

وفي الواقع، لتحديد سلوك النهايات عند ما لا نهاية لفئتَيْ كثيرات الحدود والدوال الكسرية، يكفي أن نعرف الآتي:

  1. ـــــ𞸎𞸎=+.
  2. ـــــ𞸎𞸎=.
  3. تسلك نهايات الدوال عند ما لا نهاية نفس سلوك المجاميع وحواصل الضرب، كما هو متوقَّع؛ فعلى سبيل المثال، إذا كان ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=+، ـــــ𞸎𞸓(𞸎)=+، إذن: ــــــــــ𞸎𞸎󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)=+،󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=+. لكن، تُعتبَر الفروق وخوارج القسمة ليستْ مباشرة بالقدْر نفسه (انظر الآتي). تنطبق الحقائق نفسها بطريقة مناظرة على .
  4. ويوضِّح الآتي سلوك النهايات اللانهائية مع الثوابت. إذا كان ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=+، فإن: ـــــإذانـــــإذان𞸎𞸎󰏡󰎨(𞸎)=+󰏡>٠،󰏡󰎨(𞸎)=󰏡<٠. بالنسبة إلى أيِّ عدد حقيقي 󰏡:ــــــــــ𞸎𞸎󰁓󰎨(𞸎)+󰏡󰁒=+󰏡󰎨(𞸎)=٠. تنطبق الحقائق نفسها بطريقة مناظرة على .
  5. النهايات التي قيمتها ، أو ٠×، أو (سواء + و) جميعها غير محددة، وتتطلَّب تبسيطًا جبريًّا، إذا كان يمكننا إيجاد قيمتها من الأصل.

ونتيجة لذلك، نحصل إذن على: ـــــ𞸎٣𞸎=٠ لأن هذا هو حاصل ضرب (٣) و٠=١𞸎ـــــ𞸎. في الحقيقة، بما أن ـــــ𞸎𞸎=، نستنتج من الخاصية (٣) أن: ـــــ𞸎٣𞸎=، ومن ثَمَّ: ـــــ𞸎٣٣𞸎=٠ حسب الخاصية (٤). ولدينا أيضًا: ـــــ𞸎٣٢𞸎٣𞸎٠٧=، وذلك لأن: ٢𞸎٣𞸎٠٧=𞸎󰃁٢٣𞸎٠٧𞸎󰃀٣٣٢٣ ونهايته تساوي ()×(٢)= عند 𞸎.

من أجل إيجاد النهاية ـــــ𞸎٢𞸎٣𞸎+١، سنتابع، كما هو الحال مع جميع الدوال الكسرية، بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على 𞸎 ذي أعلى أُس في كلتا كثيرتي الحدود: ٢𞸎٣𞸎+١=+=١٣+٢𞸎𞸎𞸎٣𞸎𞸎١𞸎٢𞸎١𞸎 إذن: ــــــــــــــــــــ𞸎𞸎٢𞸎١𞸎𞸎𞸎٢𞸎٣𞸎+١=١٣+=٢𞸎١٣+١𞸎=٠١٣+٠=١٣.

مثال ١: إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود عند ما لا نهاية

أوجد ـــــ𞸎٣٢󰁓٢𞸎٤𞸎٣𞸎٧󰁒.

الحل

نأخذ 𞸎٣ عاملًا مشتركًا، وهو أعلى أُس لـ 𞸎: ٢𞸎٤𞸎٣𞸎٧=󰁓𞸎󰁒󰃁٢٤𞸎٣𞸎٧𞸎󰃀.٣٢٣٢٣

وبهذا، فإن: ـــــ𞸎٣𞸎=+ بينما: ـــــ𞸎٢٣󰃁٢٤𞸎٣𞸎٧𞸎󰃀=٢٠٠٠=٢.

إذن: ـــــــــــــــ𞸎٣٢𞸎٣𞸎٢٣٢𞸎٤𞸎٣𞸎٧=󰁓𞸎󰁒󰃁٢٤𞸎٣𞸎٧𞸎󰃀=(+)(٢)=+.

لاحظ أننا اخترنا تحليل كثيرة الحدود بدلًا من الحل بالتعويض في حدود المقدار. كان من الممكن أن نبدأ بقول إن ـــــ𞸎٣٢𞸎=+، ـــــ𞸎٢٤𞸎=+، ـــــ𞸎٣𞸎=+، لكن حينئذٍ ما ناتج ٧?؟

والإجابة أنه لا يمكننا أن نقرِّر؛ لأن صيغة غير محددة.

بالطبع فإن علم الجبر يؤكِّد بديهيًّا أن الحد الرئيسي يحدِّد قيمة كثيرة الحدود عندما يقترب 𞸎 من ما لا نهاية. ونلاحظ أن الحد ٢𞸎٣ يكون تأثيره مهيمنًا عندما تكون قيمة 𞸎 كبيرة.

مثال ٢: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية

أوجد ـــــ𞸎٢٥𞸎٩٢𞸎+٥.

الحل

باتباع طريقة حلِّ كثيرات الحدود، فإننا نحلِّل بأخْذ العامل المشترك أولًا، ثم نحذف منه في البسط والمقام: ٥𞸎٩٢𞸎+٥=(𞸎)󰂔٥󰂓(𞸎)󰂔٢+󰂓=(𞸎)󰂔٥󰂓(𞸎)󰂔٢+󰂓=٥(𞸎)󰂔٢+󰂓.٢٩𞸎٢٥𞸎٩𞸎٢٥𞸎٩𞸎٥𞸎٢٢٢

والآن يمكننا «التعويض» بالنهايات: ـــــــــــــــــــــــــ𞸎٢𞸎٩𞸎٥𞸎𞸎𞸎𞸎٢٥𞸎٩٢𞸎+٥=٥𞸎󰂔٢+󰂓=١𞸎×󰃁٥٩𞸎󰃀󰃁٢+٥𞸎󰃀=٠×٥٢=٠.٢

فيما يأتي طريقة بديلة.

مثال ٣: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية

أوجد ـــــ𞸎٤٣٢٣٢𞸎٧𞸎+٣𞸎+٧𞸎+٤٨𞸎٦𞸎٦𞸎+٤.

الحل

أولًا، نلاحظ أن البسط كثيرة حدود من الدرجة الرابعة، والمقام كثيرة حدود من الدرجة الثالثة.

وبما أن درجة البسط أكبر من درجة المقام، فستساوي النهاية ما لا نهاية.

بما أن معامل الحد الرئيسي في البسط سالب (معامل 𞸎٤)، إذن النهاية تساوي .

وفيما يأتي طريقة أخرى.

مثال ٤: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية

أوجد ـــــ𞸎٤٣٢٤٣٢٣𞸎𞸎𞸎+٣𞸎+٢𞸎٨𞸎𞸎٥𞸎٨.

الحل

إذا كان 𞸍𞹇+، 󰏡 ثابتًا، إذن ـــــ𞸎𞸍󰏡𞸎=٠. وإذا كان 𞸢 ثابتًا أيضًا، إذن ـــــ𞸎𞸢=𞸢. سنستخدم هاتين الحقيقتين، مع حقيقة أن قسمة بسط كسر ومقامه على الكمية نفسها ينتج عنها كسر مكافئ، لإيجاد ـــــ𞸎٤٣٢٤٣٢٣𞸎𞸎𞸎+٣𞸎+٢𞸎٨𞸎𞸎٥𞸎٨، على النحو الآتي: ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ𞸎٤٣٢٤٣٢٤٤𞸎١𞸎١𞸎٣𞸎٢𞸎٨𞸎١𞸎٥𞸎٨𞸎𞸎𞸎𞸎٢𞸎٣𞸎٤𞸎𞸎𞸎٢𞸎٣𞸎٤٣𞸎𞸎𞸎+٣𞸎+٢𞸎٨𞸎𞸎٥𞸎٨÷󰁓𞸎󰁒(𞸎)=٣++١=٣١𞸎١𞸎+٣𞸎+٢𞸎١٨𞸎١𞸎٥𞸎٨𞸎=٣٠٠+٠+٠١٠٠٠٠=٣.٢٣٤٢٣٤

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.