في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد نهايات الدوال عندما يقترب من ما لا نهاية، ونستعرض النهايات غير المحدودة التي تقترب من ما لا نهاية عندما يقترب من قيمة معيَّنة.
بحسب التعريف، سنقول إن ؛ حيث عدد حقيقي، بشرط أن تكون قِيَم أقرب ما تكون من ، وأن تكون قيمة كبيرة بقدْر كافٍ.
وبالمثل، تعني أن بالنسبة إلى جميع قِيَم التي تكون كبيرة بقدْر كافٍ، لكنها سالبة.
قبل أن نتناول أمثلة على التقارب، دعونا نلاحظ أن هناك بالأساس مشكلتين يمكن أن تحدثا مع التقارب، وذلك عند اقتراب من (أو من ) وتتمثَّلان في الآتي:
- تتذبذب الدالة كثيرًا؛ لذا لا يُوجَد أيُّ عدد . هذا هو الحال مع .
- تزداد (أو تتناقص) قِيَم بلا حدود كلَّما زادت قيمة الموجبة أو السالبة أكثر فأكثر.
في الشكل الموضَّح، لدينا الآتي:
((أ)) هو التمثيل البياني للدالة التي تقترب من عندما تزداد قيمة الموجبة أكثر، وتقترب من ، عندما تزداد قيمة السالبة أكثر. نكتبهما هكذا:
((ب)) هو التمثيل البياني للدالة الكثيرة الحدود: الذي يتَّضح لنا منه، كما رأينا في ، أن القِيَم تصبح لا نهائية بصورة مطلقة عندما يصبح لا نهائيًّا أيضًا، ولكن عكس :
((ج)) هو التمثيل البياني للدالة الأُسية ؛ حيث يُشير التمثيل البياني بوضوح إلى أن:
وفي الواقع، لتحديد سلوك النهايات عند ما لا نهاية لفئتَيْ كثيرات الحدود والدوال الكسرية، يكفي أن نعرف الآتي:
- .
- .
- تسلك نهايات الدوال عند ما لا نهاية نفس سلوك المجاميع وحواصل الضرب، كما هو متوقَّع؛ فعلى سبيل المثال، إذا كان ، ، إذن: لكن، تُعتبَر الفروق وخوارج القسمة ليستْ مباشرة بالقدْر نفسه (انظر الآتي). تنطبق الحقائق نفسها بطريقة مناظرة على .
- ويوضِّح الآتي سلوك النهايات اللانهائية مع الثوابت. إذا كان ، فإن: بالنسبة إلى أيِّ عدد حقيقي : تنطبق الحقائق نفسها بطريقة مناظرة على .
- النهايات التي قيمتها ، أو ، أو (سواء و) جميعها غير محددة، وتتطلَّب تبسيطًا جبريًّا، إذا كان يمكننا إيجاد قيمتها من الأصل.
ونتيجة لذلك، نحصل إذن على: لأن هذا هو حاصل ضرب و. في الحقيقة، بما أن ، نستنتج من الخاصية (٣) أن: ومن ثَمَّ: حسب الخاصية (٤). ولدينا أيضًا: وذلك لأن: ونهايته تساوي عند .
من أجل إيجاد النهاية ، سنتابع، كما هو الحال مع جميع الدوال الكسرية، بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على ذي أعلى أُس في كلتا كثيرتي الحدود: إذن:
مثال ١: إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود عند ما لا نهاية
أوجد .
الحل
نأخذ عاملًا مشتركًا، وهو أعلى أُس لـ :
وبهذا، فإن: بينما:
إذن:
لاحظ أننا اخترنا تحليل كثيرة الحدود بدلًا من الحل بالتعويض في حدود المقدار. كان من الممكن أن نبدأ بقول إن ، ، ، لكن حينئذٍ ما ناتج ؟
والإجابة أنه لا يمكننا أن نقرِّر؛ لأن صيغة غير محددة.
بالطبع فإن علم الجبر يؤكِّد بديهيًّا أن الحد الرئيسي يحدِّد قيمة كثيرة الحدود عندما يقترب من ما لا نهاية. ونلاحظ أن الحد يكون تأثيره مهيمنًا عندما تكون قيمة كبيرة.
مثال ٢: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية
أوجد .
الحل
باتباع طريقة حلِّ كثيرات الحدود، فإننا نحلِّل بأخْذ العامل المشترك أولًا، ثم نحذف منه في البسط والمقام:
والآن يمكننا «التعويض» بالنهايات:
فيما يأتي طريقة بديلة.
مثال ٣: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية
أوجد .
الحل
أولًا، نلاحظ أن البسط كثيرة حدود من الدرجة الرابعة، والمقام كثيرة حدود من الدرجة الثالثة.
وبما أن درجة البسط أكبر من درجة المقام، فستساوي النهاية ما لا نهاية.
بما أن معامل الحد الرئيسي في البسط سالب (معامل )، إذن النهاية تساوي .
وفيما يأتي طريقة أخرى.
مثال ٤: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية
أوجد .
الحل
إذا كان ، ثابتًا، إذن . وإذا كان ثابتًا أيضًا، إذن . سنستخدم هاتين الحقيقتين، مع حقيقة أن قسمة بسط كسر ومقامه على الكمية نفسها ينتج عنها كسر مكافئ، لإيجاد ، على النحو الآتي:
