في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نجمع ونطرح الدوالَّ الكسرية، ونحدِّد مجال الدوال الناتجة، ونبسِّطها.
نبدأ بتذكُّر أن الدوالَّ الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود؛ وهذا يعني أن جمع الدوالِّ الكسرية وطرحها يتضمَّن جمع وطرح خوارج قسمة. وهذا يُشبه كيفية جمع الكسور وطرحها. على سبيل المثال، يُمكننا جمع الكسرين الآتيين بإعادة كتابتهما بحيث يكون لهما مقام مُشترَك:
ويَجدر هنا التأكيد على السبب الذي يجعلنا ببساطة نجمع بسط الكسور معًا عند تساوي المقام. نحن نعرف أن ، ، إذن يَتشاركان العامل . بإخراج هذا العامل المُشترَك، نحصل على:
وهذا يَنطبق على أيِّ مقام لا يساوي صفرًا؛ لذا يُمكننا إعادة كتابة الكسرين؛ بحيث يَشتركان في المقام نفسه، ثم نجمع البسطين. وتَنطبق العملية نفسها على الدوالِّ الكسرية؛ والفرق الوحيد هو أن المقامات يُمكن أن تُساوي قِيَمها صفرًا عند قِيَم معيَّنة للمُدخَلات. في هذه الحالة، الدوالُّ تكون غير مُعرَّفة؛ لذا علينا أيضًا أن نتناول مجال الدوالِّ.
سنفعل ذلك بالنظر إلى مثال. لنفترض أننا نريد تبسيط مجموع الدالتين الكسريتين الآتيتين:
قبل البدء في التبسيط، علينا أولًا إيجاد مجال ؛ ولعلنا نتذكَّر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة كلِّ الأعداد الحقيقية باستثناء جذور المقام. ومجال مجموع دالتين ذواتَيْ قِيَم حقيقية هو تَقاطُع مجالَيْهما؛ لأنه يلزم تعريف كلتا الدالتين من أجل جمعهما معًا. إذ يُمكننا تطبيق ذلك على كلِّ حدٍّ على حِدةٍ لنَجِد أن مجال هو .
نريد الآن جمع هذين الحدَّيْن. ولفعل ذلك، يجب أن يكون لهما المقام نفسه. يُمكننا تحقيق ذلك عن طريق الضرب التبادلي:
نضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ، وبسط الكسر الثاني ومقامه في . وهذا يُعطينا:
وأخيرًا: نجمع البسطين معًا: على المجال .
وبما أن دالة كسرية، يُمكننا أيضًا التبسيط بحذف العوامل المُشترَكة الموجودة في البسط والمقام على المجال. في هذه الحالة، لا تُوجَد عوامل مُشترَكة؛ لذا لا يُمكن تبسيطها.
في المثال السابق، استخدمنا خاصية أن مجال مجموع دالتين أو الفرق بينهما هو تَقاطُع مجالَيْهما لتوضيح الخاصية المُفيدة الآتية لتحديد مجال مجموع دالتين كسريتين أو الفرق بينهما.
خاصية: مجال مجموع الدوالِّ الكسرية أو الفرق بينها
مجال مجموع الدوالِّ الكسرية أو الفرق بينها هو كلُّ الأعداد الحقيقية باستثناء جذور أيٍّ من مقام الدوالِّ الكسرية الموجودة في حاصل الجمع أو الطرح.
بعبارة أخرى: إذا كانت مجموع دالتين كسريتين تُعطَى بواسطة العلاقة ، وكانت مجموعة أصفار هي ، ومجموعة أصفار هي ، فإن مجال هو:
وهذا يَسمح لنا بعد ذلك بأن نبسِّط مجموع أو الفرق بين أيِّ دوالَّ كسرية باتِّباع العملية نفسها.
كيفية: تبسيط مجموع الدوالِّ الكسرية أو الفرق بينها
- حلِّل تحليلًا كاملًا مقام كلِّ دالة كسرية موجودة في حاصل الجمع أو الطرح.
- أوجد مجال المجموع أو الفرق باستبعاد كلِّ جذور هذه المقامات.
- بسِّط كلَّ حدٍّ بحذف العوامل المُشترَكة على المجال.
- أجْرِ عمليات الضرب على بسط ومقام كلِّ حدٍّ موجود في حاصل الجمع أو الطرح؛ بحيث يكون لكلِّ الحدود مقام مُشترَك.
- أوجِد مجموع الحدود أو الفرق بينها.
- بسِّط الدالة الكسرية على مجالها.
لنرَ الآن بعض الأمثلة على تطبيق هذه العملية لجمع دالتين كسريتين معًا.
مثال ١: جمع دالتين كسريتين
بسِّط .
الحل
نبدأ بإيجاد مجال هذه الدالة. لعلنا نتذكَّر أن المجال هو مجموعة كلِّ الأعداد الحقيقية باستثناء جذور أيٍّ من المقامين. وبما أن جميع المقامات مُحلَّلة تحليلًا كاملًا، يُمكننا مُلاحَظة أن الجذرين هما ، ، إذن مجال هو .
ونتذكَّر أنه لجمع الدوالِّ الكسرية، يجب أن يكون لها المقام نفسه. يُمكننا إعادة كتابة هذين الحدَّيْن عن طريق الضرب التبادلي، ثم جمع البسطين:
يُمكننا بعد ذلك تبسيط البسط بالتوزيع. يكون لدينا:
إذن: على المجال .
يُمكننا الآن تبسيط هذه الدالة الكسرية بحذف العوامل المُشترَكة في البسط والمقام. وبما أن المقام له الجذران ، ، يُمكننا استخدام نظرية العوامل للتأكُّد من أن البسط يحتوي أيضًا على هذه العوامل الخطية.
نعوِّض بـ ، في البسط لنحصل على:
وبما أن كلا الناتجين لا يساوي صفرًا، فإن ، ليسا جذرَيِ البسط وفقًا لنظرية العوامل. لذا لا يُمكننا تبسيط الدالة الكسرية أكثر من ذلك.
نلاحِظ أنه، بما أنه لا يُوجَد تغيُّر في المجال بعد جمع الحدَّيْن معًا (فهو ما يزال )، فلا نحتاج إلى تضمين المجال في الإجابة.
إذن:
في المثال الآتي، سنبسِّط الفرق بين دالتين كسريتين.
مثال ٢: العمليات الحسابية التي تتضمَّن خواصَّ الدوالِّ الكسرية
بسِّط .
الحل
نبدأ بإيجاد مجال . وبما أن هذا فرق بين دالتين كسريتين، نتذكَّر أن المجال هو مجموعة كلِّ الأعداد الحقيقية، ما عدا جذور المقامين. قمنا أولًا بتحليل لنحصل على . يُمكننا حينها أن نساوي كلَّ مقامٍ بصفر، ثم نحلُّ المعادلة لإيجاد قيمة . بحلِّ هاتين المعادلتين، نَجِد أن الجذرين هما ، . إذن مجال هو .
نتذكَّر أنه لإيجاد الفرق بين الدوالِّ الكسرية، نحتاج إلى أن يكون لها المقام نفسه. يُمكننا إعادة كتابة هذين الحدَّيْن عن طريق الضرب التبادلي، ثم إيجاد الفرق بين البسطين:
يُمكننا بعد ذلك تبسيط البسط بالتوزيع. في الحدِّ الأوَّل، لدينا:
وفي الحدِّ الثاني، لدينا:
إذن:
يُمكننا الآن تبسيط هذه الدالة الكسرية بحذف العوامل المُشترَكة في البسط والمقام. بما أن المقام له الجذران ، ، يُمكننا استخدام نظرية العوامل للتأكُّد من أن البسط يحتوي أيضًا على هذه العوامل الخطية.
بالتعويض بـ ، في البسط نحصل على:
وبما أن كلا الناتجين لا يساوي صفرًا، فإن ، ليسا من جذور البسط حسب نظرية العوامل. إذن لا يُمكننا تبسيط الدالة الكسرية أكثر من ذلك.
ونلاحِظ أنه بما أن المجال لم يتغيَّر منذ بدء المسألة (فهو ما يزال )، فليس علينا أن نذكره ضمن الإجابة.
إذن:
في المثالين السابقين، لم نُضطَرَّ إلى تبسيط الدالة الكسرية بحذف العوامل المُشترَكة عند أيِّ خطوة. وهذا ليس الحال دائمًا، كما سنرى في المثالين الآتيين.
مثال ٣: تبسيط الفرق بين دالتين كسريتين وتحديد المجال
بسِّط الدالة ، وعيِّن مجالها.
الحل
نبدأ بإيجاد مجال ؛ لأننا نتناول الفرق بين دالتين كسريتين. لعلنا نتذكَّر أن المجال هو مجموعة كلِّ الأعداد الحقيقية، باستثناء جذور أيٍّ من المقامين. علينا أوَّلًا تحليل المقام الثاني لنحصل على .
وهذا يُعطينا:
يُمكننا بعد ذلك أن نساوي كلَّ مقام بصفر، ونحلُّ المعادلتين لإيجاد قيمتَيْ . وحلَّا هاتين المعادلتين هما ، . إذن مجال هو .
يُمكننا الآن أن ننتقل إلى خطوة الضرب التبادلي. ولكن يُمكننا تبسيط الحدِّ الثاني بحذف العامل المُشترَك من بسط ومقام الحدِّ الثاني على مجال . وهذا يُعطينا: على المجال .
صار للحدَّيْن الآن المقام نفسه، إذن لدينا: على المجال .
وبما أن البسط والمقام ليس بينهما عوامل مُشترَكة، فلا يُمكننا التبسيط أكثر.
إذن ، والمجال هو .
في المثال الآتي، سنبسِّط مجموع دالتين كسريتين لهما مقام عبارة عن مقدار تربيعي.
مثال ٤: تبسيط مجموع دالتين كسريتين وتحديد المجال
بسِّط الدالة ، وعيِّن مجالها.
الحل
نبدأ بإيجاد مجال . وبما أننا نتناول الفرق بين دالتين كسريتين، نتذكَّر أن المجال هو مجموعة كلِّ الأعداد الحقيقية، ما عدا جذور أيٍّ من المقامين.
وعلينا تحليل كلٍّ من المقامين. لدينا:
إذن مجال هو .
باستخدام التحليل السابق، يُمكننا إعادة كتابة على الصورة الآتية:
يُمكننا تبسيط الحدِّ الثاني على مجال بحذف العامل المُشترَك. وهذا يُعطينا: على المجال .
علينا الآن التعبير عن الحدَّيْن بالمقام نفسه. ويُمكننا فعل ذلك بضرب بسط الحدِّ الثاني ومقامه في . وهذا يُعطينا: على المجال . يُمكننا بعد ذلك جمع البسطين: على المجال .
لا تُوجَد أيُّ عوامل مُشترَكة في البسط والمقام؛ لذا لا يُمكننا التبسيط أكثر. إذن ، والمجال هو .
في المثال الأخير، سنَستخدِم مجال مجموع الدوالِّ الكسرية وخرجًا مُعطًى للدالة في تحديد قيمتَيْ مجهولين في الدالة.
مثال ٥: إيجاد قِيَم مجهولة في دالة بمعلومية مجالها
إذا كان مجال الدالة هو ؛ حيث ، فأوجد قيمة كلٍّ من ، .
الحل
نبدأ بمُلاحَظة أن مجموع دالتين كسريتين، ونتذكَّر أن المجال سيكون مجموعة الأعداد الحقيقية، ما عدا جذور المقامين. ويُمكننا مُلاحَظة أن جذري المقامين هما ، ، إذن مجال هو . وبما أننا نعلم أن المجال هو ، إذن لكي تَتساوَى هاتان المجموعتان، لا بدَّ أن .
علينا الآن إيجاد ، وهذا مُمكِن باستخدام المُعطَيَات الأخرى: . قد يُغرينا جمع الدالتين الكسريتين وتبسيطهما؛ لكن من الأسهل إيجاد قيمة التعبير عند القيمة المُعطاة. يكون لدينا:
وبما أن ، إذن لدينا:
إذن ، .
قبل أن ننتهي، دعونا نتناول مثالًا علينا فيه تبسيط الدالة الكسرية بعد جمع الحدود معًا. سنُجري ذلك على الدالة الآتية:
أولًا: نحلِّل المقامات لنحصل على:
يُمكننا حينها مُلاحَظة أن مجال هو . ويُمكننا إعادة كتابة كلِّ حدٍّ بحيث تَتساوَى المقامات، كما يأتي:
ويُمكننا بعد ذلك جمع الحدود معًا لنحصل على:
وأخيرًا: يُمكننا التبسيط بمُلاحَظة أنه بما أن مجال هو ، لا يُمكن أن يُساوي أبدًا ، إذن لن يُساوي صفرًا أبدًا. إذن يُمكننا حذف العامل المُشترَك لنحصل على: على المجال .
هيَّا نختم بتلخيص بعض النقاط المُهِمَّة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- مجال مجموع الدوالِّ الكسرية أو الفرق بينها هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء جذور أيٍّ من مقامات الدوالِّ الكسرية الموجودة في حاصل الجمع أو الطرح.
- يُمكننا تبسيط مجموع الدوالِّ الكسرية أو الفرق بينها باستخدام الخطوات الآتية:
- حلِّل مقام كلِّ دالة كسرية موجودة في حاصل الجمع أو الطرح تحليلًا كاملًا.
- أوجد مجال المجموع أو الفرق باستثناء كلِّ جذور المقامات.
- بسِّط كلَّ حدٍّ بحذف العوامل المُشترَكة على المجال.
- أجْرِ عمليات الضرب على بسط ومقام كلِّ حدٍّ موجود في حاصل الجمع أو الطرح؛ بحيث يكون لكلِّ الحدود نفس المقام المُشترَك.
- أوجد مجموع الحدود أو الفرق بينها.
- بسِّط الدالة الكسرية على مجالها.
