شارح الدرس: جمع وطرح الدوال الكسرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نجمع ونطرح الدوال الكسرية، ونُحدِّد مجال الدوال الناتجة، ونُبسِّطها.

أولًا، سنتذكَّر تعريف المقدار الكسري.

تعريف: المقدار الكسري

هو كسر به كثيرة حدود في البسط أو المقام أو في كليهما.

عند جمع المقادير الكسرية أو طرحها، فإنها تسلك نفس سلوك الكسور العادية، دون متغيِّرات. هذا يعني أنه لا بد أن يكون للكسرين اللذين نجمعهما أو نطرحهما مقامٌ مشتركٌ. بمجرد أن يكون للكسرين المقام نفسه، نجمع حدود البسطين لنحصل على بسط الكسر الجديد، وهكذا يكون المقام الجديد هو المقام المشترك.

دعونا نلقِ نظرة على أحد الأمثلة.

مثال ١: جمع المقادير الكسرية ذات المقامات المشتركة

اكتب ٣٤𞸎+٦٤𞸎 في صورة كسر واحد في أبسط صورة.

الحل

نبدأ بالنظر إلى مقام كل كسر في المقدار، ونلاحظ أنه في الحالتين يساوي ٤𞸎. قد نلاحظ أنه يمكن تبسيط الكسر الثاني؛ ولكن إذا فعلنا ذلك، فلن يكون للكسرين مقامٌ مشتركٌ. وبما أن الكسرين لهما مقام مشترك، إذن يمكننا كتابتهما في صورة كسر واحد للحصول على: ٣+٦٤𞸎. ومن ثَمَّ، يمكننا تبسيط ذلك إلى: ٩٤𞸎. وبذلك نكون قد كتبنا المقدار في صورة كسر واحد.

دعونا الآن نكتب المقدار النهائي لهذا المثال في صورة الدالة: 𞸍(𞸎)=٩٤𞸎.

ويمكننا الآن إيجاد مجال هذه الدالة. يُعرَّف مجال الدالة كالآتي.

تعريف: مجال الدالة

هو مجموعة القيم المُدخَلة التي تكون الدالة مُعرَّفة عندها.

بالنسبة إلى الدالة 𞸍(𞸎)، يكون لدينا متغيِّر واحد فقط يُمثِّل القيمة المُدخَلة في المعادلة، وهو 𞸎. والشرط هنا هو أن المقام يجب ألا يساوي صفرًا؛ لأنه لا يمكننا القسمة على ٠. وبما أن مقام الكسر لدينا هو ٤𞸎، إذن لا يمكننا إدخال القيمة: 𞸎=٠. وهذا يعطينا مجالًا للدالة: 𞹇{٠}.

والآن، سنتناول بعض الأمثلة الأخرى.

مثال ٢: تبسيط مجموع دالتين كسريتين وتحديد مجال مجموعهما

بسِّط الدالة 𞸍(𞸎)=١𞸎+٣٨𞸎+٣، وحدِّد مجالها.

الحل

أولًا، نلاحظ أن الكسرين في المعادلة لهما مقام مشترك؛ لذا يمكننا كتابتهما على الصورة: 𞸍(𞸎)=١٨𞸎+٣. ومن ثَمَّ، نحصل على الدالة المبسَّطة: 𞸍(𞸎)=٧𞸎+٣.

علينا الآن إيجاد مجال الدالة 𞸍(𞸎). بما أن مقام الكسر هو 𞸎+٣، فسيشمل المجال جميع القيم، إلا عندما يكون: 𞸎+٣=٠. أي عندما يكون: 𞸎=٣. وبناءً على ذلك، هذا يُعطينا المجال: 𞹇{٣}.

مثال ٣: تبسيط مجموع دالتين كسريتين وتحديد مجال مجموعهما

بسِّط الدالة 𞸍(𞸎)=٣𞸎𞸎+٨+٦𞸎+٨ لأبسط صورة، وعيِّن مجالها.

الحل

الكسران لهما مقام مشترك؛ لذا، يمكننا كتابة الدالة 𞸍(𞸎) على الصورة: 𞸍(𞸎)=٣𞸎+٦𞸎+٨. بعد ذلك، نُحلِّل البسط للتحقُّق مما إذا كان البسط والمقام بينهما عامل مشترك: 𞸍(𞸎)=٣(𞸎+٢)𞸎+٨. وبما أنه لا يوجد عامل مشترك، إذن هذه هي الدالة المبسَّطة. ولإيجاد المجال، علينا إيجاد قيم 𞸎 التي يكون المقام عندها يساوي صفرًا. هذا يحدث فقط عندما يكون: 𞸎+٨=٠، وهذا ما يُعطينا القيمة: 𞸎=٨. إذن 𞸎=٨ لا يمكن أن تكون قيمة مُدخَلة للدالة؛ لأن هذا يُعطينا قيمة غير مُعرَّفة. ومن ثَمَّ، نحصل على المجال: 𞹇{٨}.

مثال ٤: تبسيط دالة بها مقادير كسرية وإيجاد مجالها

بسِّط الدالة 𞸍(𞸎)=٢𞸎٨+٤٨𞸎، وحدِّد مجالها.

الحل

بدايةً، نلاحظ أن الكسرين ليس لهما مقام مشترك. ومع هذا، نلاحظ أن كلَّ مقام من المقامين هو سالب الآخر. وللحصول على مقام مشترك، يمكننا ضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ١. وهذا ما يُعطينا: 𞸍(𞸎)=٢𞸎٨+(١)٤(١)(٨𞸎). بعد ذلك، نفك الأقواس الموجودة بالكسر في الحد الأيسر، ونحصل على: 𞸍(𞸎)=٢𞸎٨+٤𞸎٨.

وبكتابة هذا المقدار على صورة كسر واحد، نحصل على: 𞸍(𞸎)=٢٤𞸎٨. والآن، نبسِّط البسط لنحصل على: 𞸍(𞸎)=٢𞸎٨. ما يتبقَّى فعله الآن هو إيجاد مجال هذه الدالة. فهو جميع قيم 𞸎، باستثناء القيمة التي تجعل المقام يساوي ٠؛ أي عندما يكون: 𞸎٨=٠، ويُعاد ترتيب هذا المقدار ليكون: 𞸎=٨. إذن المجال هو: 𞹇{٨}.

مثال ٥: تبسيط مجموع دالتين كسريتين وتحديد مجال مجموعهما

بسِّط الدالة 𞸍(𞸎)=٧𞸎𞸎١+٣𞸎١𞸎٢، وحدِّد مجالها.

الحل

بدايةً، نلاحظ أنه ليس لدينا مقام مشترك. علينا توحيد المقامين، وبذلك يمكننا جمع الكسرين. إحدى طرق فعل ذلك هي ضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ١. وهذا يُعطينا: 𞸍(𞸎)=٧𞸎𞸎١+٣𞸎𞸎١.٢ أصبح لدينا الآن مقام مشترك، ويمكننا جمع الكسرين، وهو ما يُعطينا: 𞸍(𞸎)=٧𞸎٣𞸎𞸎١.٢

بعد ذلك، نُحلِّل البسط للتحقُّق من وجود أيِّ عوامل مشتركة بين البسط والمقام. وهذا ما يُعطينا: 𞸍(𞸎)=𞸎(٧𞸎٣)𞸎١. وبذلك نكون قد بسَّطنا الدالة بأكبر قدر ممكن. والآن، علينا إيجاد المجال. نحتاج إلى استبعاد قيم 𞸎 التي تجعل المقام يساوي صفرًا. وهذا يحدث عندما يكون: 𞸎١=٠، وهو ما يكافئ: 𞸎=١. وأخيرًا، نجد أن المجال هو: 𞹇{١}.

سنُنهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • المقدار الكسري هو كسر به كثيرة حدود في البسط، أو المقام، أو في كليهما.
  • عندما يكون للمقدارين الكسريين مقام مشترك، يمكننا جمعهما أو طرحهما عن طريق جمع بسطهما أو طرحهما للحصول على بسط الكسر الناتج؛ وببساطة، يكون مقام الكسر الناتج هو المقام المشترك للمقدارين الكسريين.
  • مجموعة القيم المُدخَلة التي تكون الدالة مُعرَّفة عندها هي جميع القيم التي يكون المقام عندها لا يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، إذا كان لدينا دالة كسرية 󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)؛ حيث أصفار 𞸓 هي المجموعة 󰏡، فإن مجال الدالة هو 𞹇󰏡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.