في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قياسات الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس أو لأقواس متطابقة.
نبدأ بتعريف بعض هذه المصطلحات الرئيسية.
تعريف: الزاوية المحيطية
الزاوية المحيطية هي الزاوية الناتجة عن تقاطع وترين على محيط الدائرة. في الشكل الآتي، زاوية محيطية.
ويُقال أيضًا إن هذه الزاوية مقابلة للقوس .
هناك عدد من الخواص التي تنطبق على هذه الزوايا. في هذا الشارح، نتناول إحدى هذه الخواص.
خاصية: تَساوي الزوايا المقابلة لنفس القوس في القياس
في الشكل الآتي، ؛ لأن الزاويتين مقابلتان للقوس .
وكذلك، بما أن الزاويتين و مقابلتان للقوس ، إذن فهما متساويتان في القياس.
يُشار أحيانًا إلى هذه الخاصية باستخدام صيغة أخرى مكافئة، وهي أن «الزوايا المشتركة في القطعة الدائرية نفسها تكون متساوية في القياس».
ويُشار إلى ذلك أحيانًا بصورة غير منهجية باسم خاصية «ربطة العنق الفراشية»؛ لأن الزاويتين المحيطيتين تكوِّنان شكل ربطة العنق الفراشية. من المهم ملاحظة أن هذا الاسم غير منهجي، ويجب ألَّا يُستخدم في برهان رياضي أو غير ذلك.
وإحدى المزايا المهمة للغاية لهذه الخاصية هي أنه يمكننا تكوين أي عدد من الزوايا التي يقابلها القوس ، وتكون جميعها متساوية في القياس. وبالمثل، يمكن أن يقابل أي عدد من الزوايا القوس ، وتكون جميعها أيضًا متساوية في القياس.
قبل أن نوضِّح تطبيقًا لهذه الخاصية للزاوية المحيطية، نتحقَّق من برهان هندسي موجز. في هذا البرهان، نبدأ بتحديد مركز الدائرة ورسم نصفَي قطرَيْن ، .
بعد ذلك، نطبِّق خاصية معروفة. تنص تلك الخاصية على أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس نفسه. بعبارة أخرى، قياس الزاوية عند المركز يساوي ضعف قياس الزاوية الواقعة على المحيط. ولتسهيل الأمر، نُحدِّد ، على الرغم من أننا قد نختار بدلًا من ذلك. ومن ثَمَّ:
وبالمثل، باستخدام الخاصية نفسها:
إذن كما هو مطلوب.
والآن، نتناول تطبيقًا بسيطًا لهذه الخاصية.
مثال ١: إيجاد قياس زاوية محيطية مجهولة مقابلة لنفس القوس الذي تقابله زاوية محيطية أخرى مُعطاة في دائرة
إذا كان ، فأوجد ، .
الحل
على الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا على الإطلاق، قد يكون من المنطقي أن نبدأ بإضافة الزاويتين المُعطاتين إلى الشكل. ، ، وبذلك يكون الشكل كما هو موضَّح.
بعد ذلك، نلاحظ أن الزاوية المجهولة الأولى، ، يقابلها القوس نفسه، ، الذي يقابل أيضًا. ونحن نعلم أن الزاويتين المقابلتين للقوس نفسه متساويتان في القياس؛ ومن ثَمَّ:
وبالمثل، يقابلها القوس نفسه، ، الذي يقابل أيضًا. ومن ثَمَّ:
في المثال الأول، أوضحنا تطبيقًا لخاصية الزوايا المحيطية باستخدام المقادير العددية. ويمكننا أيضًا تطبيق هذه الخاصية لحل المسائل التي تتضمَّن المقادير الجبرية. في المثال الثاني، نرى كيف تبدو هذه العملية.
مثال ٢: حل المعادلات باستخدام زاويتين محيطيتين تقابلان القوس نفسه في دائرة
إذا كان ، ، فأوجد قيمة .
الحل
نتذكَّر أن الزوايا التي يقابلها نفس القوس تكون متساوية في القياس. في هذا الشكل، و كلتاهما تقابلان القوس ؛ ومن ثَمَّ، فإن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس. وهذا يتيح لنا تكوين معادلة في وحلها. وبما أن ، ، إذن نحصل على:
إذن .
من الخواص المثيرة للاهتمام بشكل خاص والناتجة عن خواص الزوايا المحيطية، هي أن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة يكون قياسها . وهذا موضَّح في الشكل التالي؛ حيث قطر الدائرة، وقياس .
في المثال التالي، نجمع بين هذه الخاصية وحقائق الزوايا لإيجاد القيم الناقصة.
مثال ٣: إيجاد قياس زاوية محيطية مجهولة باستخدام زاوية محيطية أخرى عندما يقابلهما قوسان متطابقان في دائرة
إذا كانت قطرًا بالدائرة، وكانت ، فأوجد .
الحل
للإجابة عن الأسئلة التي تتضمَّن الكثير من التفاصيل، قد يكون من الصعب تحديد نقطة البداية. في هذه الحالات، يمكننا أن نبدأ بإيجاد أي زوايا «يسهل حسابها».
تذكَّر أن الزاوية المحيطية الموجودة في نصف الدائرة يكون قياسها . باستخدام هذه الخاصية، يمكننا ملاحظة أن .
وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ، إذن يمكننا إيجاد قياس :
وهذا مفيد؛ لأننا نعرف أيضًا أن القطعتين المستقيمتين ، متوازيتان؛ لذا، يمكننا استخدام حقيقة أن الزاويتين المتبادلتين متساويتان في القياس لحساب .
وأخيرًا، نلاحظ أن و يقابلهما نفس القوس، وهو . وبما أن الزاويتين المحيطيتين المقابلتين لنفس القوس متساويتان في القياس، إذن:
ومن ثَمَّ، يساوي .
ليس من المدهش إذن أنه يمكننا توسيع نطاق خواص الزوايا المحيطية لتشمل دوائر مختلفة أو أقواسًا متطابقة. تحديدًا، إذا كانت هناك دائرتان متطابقتان، فإن الزاويتين المحيطيتين المقابلتين لقوسين متطابقين، أو لقوسين متساويين في القياس، تكونان متساويتين في القياس.
في الشكل التالي، تظهر دائرتان متطابقتان، إذا كان ، فإن .
وبالمثل، فإن جميع الزوايا المحيطية المقابلة لأقواس متطابقة في الدائرة، تكون متساوية في القياس. قد يكون من المثير للاهتمام البحث عن شكل «ربطة العنق الفراشية»، لكن في المثال التالي نوضِّح لماذا يكون ذلك غير منطقي في كل الحالات.
مثال ٤: حل المعادلات باستخدام زاويتين محيطيتين مقابلتين لقوسين متطابقين في دائرة
إذا كان ، ، فأوجد قيمة .
الحل
تذكَّر أن الزاويتين المحيطيتين المقابلتين لقوسين متطابقين في دائرة، تكونان متساويتين في القياس. في هذا الشكل، نرى أن القوس يطابق القوس . والزاويتان المحيطيتان المقابلتان لهذين القوسين هما و على الترتيب؛ ومن ثَمَّ، نستنتج أن .
إذن يمكننا تكوين المعادلة الآتية وحلها:
الآن، افترض أن لدينا دائرتين متحدتَي المركز. تكون الدائرتان متشابهتين دائمًا، وتتشاركان نفس المركز. وهذا يعني أنه يمكننا حل المسائل التي تتضمَّن دوائر متحدة المركز باستخدام حقيقة أن الزاويتين المحيطيتين اللتين تقابلان قوسين متساويين في القياس، لا بد أن تساوي كلٌّ منهما الأخرى. في المثال التالي، نرى كيف يبدو ذلك.
مثال ٥: حل المعادلات باستخدام زاويتين محيطيتين تقابلان قوسين متساويين في القياس في دائرتين
في الشكل التالي، تمر ، بمركز الدائرتين. إذا كان ، ، فأوجد قيمة .
الحل
يوضِّح الشكل دائرتين متحدتَي المركز. وبما أن القوس والقوس لهما الزاوية المركزية نفسها، إذن يجب أن يكون لهما القياس نفسه. ومن ثَمَّ، فإن الزاوية المحيطية التي يقابلها القوس تساوي الزاوية التي يقابلها القوس . وهاتان الزاويتان هما و على الترتيب.
نستخدم هذه المعلومات لتكوين معادلة وحلها لإيجاد قيمة :
في الأمثلة السابقة، استخدمنا خواص الزوايا المحيطية في دائرة لإيجاد القيم الناقصة. ومن ثَمَّ، يمكننا تطبيق النتيجة على الخاصية لإثبات عبارات تتعلَّق بالدوائر. بعبارة أخرى، إذا كانت هناك زاويتان متطابقتان تقابلهما القطعة المستقيمة نفسها وتقعان على الجانب نفسه منها، فلا بد أن يقع رأساهما وطرفا القطعة المستقيمة على دائرة تكون فيها هذه القطعة المستقيمة وترًا.
نوضِّح هذا في المثال الأخير.
مثال ٦: تحديد هل يمكن أن تمر دائرة عبر أربع نقاط مُعطاة باستخدام قياسات الزوايا على جانب القطعة المستقيمة
إذا كان ، ، فهل يمكن رسم دائرة تمر عبر النقاط ، ، ، ؟
الحل
تذكَّر أنه إذا كانت هناك زاويتان متطابقتان تقابلهما نفس القطعة المستقيمة وتقعان على الجانب نفسه منها، فلا بد أن يقع رأسا الزاويتين وطرفا القطعة المستقيمة على دائرة تكون فيها القطعة المستقيمة وترًا.
ولتحديد إذا ما كانت النقاط ، ، ، تقع على محيط الدائرة، نبدأ بتحديد الزوايا التي تقابلها نفس القطع المستقيمة. الزاويتان و تقابلهما وتقعان على الجانب نفسه من هذه القطعة المستقيمة. حسنًا، إذا كانت ، متطابقتين؛ أي إن ، فإن النقاط ، ، ، تقع على محيط الدائرة.
ولدينا في المُعطيات أن ، . يمكننا استخدام هذه المُعطيات لحساب ؛ لأن مثلث متساوي الساقين:
ومن ثَمَّ، فإن . الزاويتان غير متطابقتين؛ لذا، نستنتج أن الدائرة لا يمكن أن تمر بالنقاط ، ، ، .
نلخِّص الآن المفاهيم الرئيسية لهذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- الزاوية المحيطية هي الزاوية التي تتكوَّن عند تقاطع وترين مع محيط الدائرة.
- الزاويتان المحيطيتان اللتان تقابلان نفس القوس تكونان متساويتين في القياس.
- إذا كان قوسان في الدائرة نفسها متطابقين، تكون زاويتاهما المحيطيتان متساويتين في القياس.
- إذا كانت هناك دائرتان متطابقتان، فإن الزوايا المحيطية التي تقابلها أقواس متطابقة، أو أقواس متساوية القياس، تكون متساوية في القياس.
- إذا كانت هناك زاويتان متطابقتان تقابلهما نفس القطعة المستقيمة وتقعان على الجانب نفسه منها، فسيقع رأسا الزاويتين وطرفا القطعة المستقيمة على دائرة تكون فيها هذه القطعة المستقيمة وترًا.
