شارح الدرس: التحويل بين الراديان والدرجات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحويل قياس زاوية بالدرجات إلى الراديان

حوِّل قياسات الزوايا الآتية من الدرجات إلى الراديان. اكتب إجاباتك بدلالة في أبسط صورة.

الحل

لكي نحوِّل قياس زاويةٍ ما بالدرجات إلى الراديان، نتذكر حقيقة التحويل:

الجزء الأول

في الجزء الأول من هذا السؤال، علينا تحويل قياس الزاوية الذي يساوي إلى راديان. نلاحظ أن القياس يساوي نصف . ومن ثم، يمكننا قسمة طرفَي معادلة التحويل على ٢، وهو ما يعطينا:

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد الحل بأن قياس الزاوية بالراديان يساوي:

لاحظ أنه نظرًا لأن علينا إيجاد الإجابة بدلالة ، سنترك الإجابة على هذه الصورة بدلًا من تحويلها إلى عدد عشري.

الجزء الثاني

لإيجاد قياس الزاوية بالراديان، نتذكر المعادلة: ونقسم الطرفين على ٦، وهو ما يعطينا:

بدلًا من ذلك، يمكننا أيضًا استخدام قياس الزاوية الذي أوجدناه في الجزء الأول من السؤال، وهو: وقسمة الطرفين على ٣، وهو ما يعطينا:

وباستخدام أي الطريقتين، نلاحظ أن قياس الزاوية بالراديان يساوي:

الجزء الثالث

عندما نريد تحويل قياس زاوية بالدرجات وهو ليس أحد عوامل القياس ، يكون من الأسهل عادةً أن نوجد أولًا القياس بالراديان.

ونحن نعرف أن:

إذن، بقسمة طرفَي هذه المعادلة على ١٨٠، نحصل على:

وبما أن علينا تحويل القياس إلى راديان، يمكننا ضرب طرفَي هذه المعادلة في ٥٥. وهذا يعطينا:

لتبسيط الكسر، نقسم البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر ٥، وهو ما يعطينا:

إذن، قياس الزاوية يكافئ راديان.

مثال ٢: تحويل قياس زاوية من الراديان إلى الدرجات

حوِّل قياس الزاوية راديان إلى قياس بالدرجات.

الحل

لتحويل قياس أي زاوية من راديان إلى درجات، نتذكر أن:

نلاحظ أنه لتحويل راديان إلى درجات سنقسم طرفَي هذه المعادلة على ٣، وهو ما يعطينا:

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة قياس الزاوية راديان بالدرجات على صورة .

مثال ٣: تحويل قياس زاوية من الراديان إلى الدرجات

حوِّل قياس الزاوية ٠٫٥ راديان إلى درجات لأقرب ثانية.

الحل

نتذكر أنه لتغيير قياس أي زاوية من راديان إلى درجات، نضرب قياس الزاوية المعطى في :

في هذا السؤال، يمكننا التعويض بقياس الزاوية المعطى، ٠٫٥ راديان، عن الزاوية . وهذا يعطينا:

بعد ذلك، علينا تحويل قياس الزاوية بالدرجات في صورة عدد عشري إلى قياس بالدرجات والدقائق والثواني. لفعل ذلك، نأخذ الجزء الصحيح من الإجابة ليُمثل الدرجات. إذن، يعطينا .

وبالنسبة إلى الدقائق، نضرب الجزء المتبقي من العدد العشري في ٦٠، ونستخدم الجزء الصحيح من الإجابة لكي يُمثِّل ٣٨ دقيقة. هذا يكون من خلال:

وبالنسبة إلى الثواني، نضرب الجزء المتبقي من العدد العشري الجديد في ٦٠ ونقرب الإجابة لأقرب عدد صحيح. هذا يعطينا:

ومن ثَمَّ، الإجابة هي أن قياس الزاوية ٠٫٥ راديان يكافئ .

مثال ٤: حل مسألة تتضمن الدرجات والراديان

أوجد قياسَيْ زاويتَيْنِ بالدرجات إذا كان مجموعهما ، والفرق بينهما راديان. قرِّب إجابتك لأقرب درجة.

الحل

نبدأ حل هذا السؤال بتعريف قياسَي الزاويتين المجهولين على أنهما ، . يخبرنا السؤال أن مجموعهما بالدرجات يساوي والفرق بينهما بالراديان يساوي راديان. يمكننا إذن تكوين معادلتين مختلفتين:

يمكننا حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيمتَي ، إذا كانت الزوايا معطاة بوحدات القياس نفسها. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام التحويل بين الراديان والدرجات:

يمكننا تغيير كلا القياسين ليصبحا بالدرجات أو يصبح كلاهما بالراديان، لكن بما أن المطلوب منا هو إيجاد الإجابة النهائية بالدرجات؛ إذن فمن الأفضل تغيير القياس راديان إلى قياس بالدرجات.

بمقارنة ، ، نلاحظ أنه علينا قسمة الطرفين على ٦. إذن:

أو بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام القاعدة التي تنص على أنه لتغيير قياس أي زاوية من راديان إلى درجات، نضرب قياس الزاوية المعطى في . إذن، لتغيير القياس راديان إلى درجات، نفعل الآتي:

كلتا الطريقتين توضحان أن ، وهو ما يمكن التعويض به في المعادلة الثانية، ، لنحصل على:

يمكننا الآن حل المعادلتين الآنيتين باستخدام طريقة التعويض أو الحذف:

للحل عن طريق حذف المتغير أولًا، سنجمع المعادلتين (١)، (٢) كما يأتي:

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، سنقسم الطرفين على ٢، وهو ما يعطينا:

بعد ذلك، بالتعويض بـ في المعادلة الأولى، ، وبإعادة الترتيب، نحصل على:

إذن، لقد وجدنا أن ، ، ومن ثَمَّ فإن قياسَي الزاويتين بالدرجات هما .

مثال ٥: حل مسألة تتضمن الدرجات والراديان

قياسا زاويتين في مثلث هما ، راديان. أوجد قياس الزاوية الثالثة بالراديان بدلالة .

الحل

يمكننا رسم مثلث به الزاويتان المعطى قياسهما ، راديان.

علينا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث بالراديان، ومن ثَمَّ يمكننا تحديد قياس هذه الزاوية ليكون راديان.

لتحويل قياس الزاوية إلى راديان، نضرب قياس الزاوية في . وهذا يعطينا:

وعليه، يمكننا كتابة قياسات الزوايا الثلاث في المثلث على الصورة: راديان، راديان وقياس الزاوية المجهولة، راديان.

لإيجاد قياس الزاوية المجهولة، يمكننا تذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث . ولكن، بما أننا نتناول هنا قياسات الزوايا بالراديان، وبما أن ، يمكننا أيضًا القول إن مجموع قياسات زوايا المثلث، بالراديان، يساوي راديان.

باستخدام هذه المعطيات، يمكننا تكوين معادلة في :

يمكننا إعادة كتابة ذلك وتبسيطه، وهو ما يعطينا:

بطرح من الطرفين، نحصل على:

وبذلك، يكون قياس الزاوية الناقص في المثلث هو .