شارح الدرس: حساب ميل خط مستقيم يمر بنقطتين الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

مثال ١: إيجاد ميل الخط المستقيم

أوجد ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين ، .

الحل

بأخذ النقطة لتكون ، والنقطة لتكون ، يمكننا إدخال الإحداثيين ، في صيغة ميل الخط المستقيم:

بإجراء التعويض الذي يعطينا المعادلة الآتية: يمكننا بعد ذلك تبسيط الكسر للوصول إلى الحل:

توصَّلنا إلى أن ميل الخط المستقيم يساوي موجب خمسة. من الناحية العملية، يعني هذا أن كل وحدة واحدة نتحرَّكها في الاتجاه ، سيرتفع الخط المستقيم بمقدار ٥ وحدات في الاتجاه .

مثال ٢: إيجاد ميل خط مستقيم مرسوم في المستوى الإحداثي

أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.

الحل

يوضِّح التمثيل البياني السابق نقطتين محددتين على خط مستقيم. ثمة أمر قد نلاحظه، هو أن الخط المستقيم الموضَّح في التمثيل البياني ينحدر لأسفل أثناء التحرُّك من اليسار إلى اليمين. يمكن لهذا «التحقُّق البصري» أن يخبرنا على الفور بأن ميل الخط المستقيم سيكون سالبًا.

لإيجاد الميل، يمكننا أولًا تحديد إحداثيَّي النقطتين، ثم استخدام صيغة ميل الخط المستقيم:

يمكننا أن نلاحظ أن النقطة الأولى تقع عند الإحداثيين . نفترض أن هذه النقطة هي . وتقع النقطة الثانية عند الإحداثيين ، ويمكننا أن نفترض أنها .

يمكننا إدخال الإحداثيين ، في صيغة ميل الخط المستقيم؛ ما يعطينا المعادلة الآتية:

يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة لإيجاد الميل، :

وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن ميل الخط المستقيم سالب، وهذا يتفق مع «التحقُّق البصري» الابتدائي الذي يستند إلى التمثيل البياني.

مثال ٣: مقارنة ميل خطين مستقيمين بمعلومية إحداثيات نقطتين تقعان عليهما

يمر الخط المستقيم ١ بالنقطة والنقطة ، ويمر الخط المستقيم ٢ بالنقطة والنقطة . أيُّ الخطين المستقيمين ميله أكثر انحدارًا؟

الحل

يمكننا أولًا إيجاد ميل الخط الأول من خلال أخذ النقطة على أنها ، والنقطة على أنها . كما فعلنا في المثال السابق، يمكننا إدخال الإحداثيين ، إلى صيغة ميل الخط المستقيم:

يمكننا الآن تبسيط الكسر لإيجاد ميل الخط المستقيم ١، وهو ما يعطينا:

في هذا السؤال، سنستخدم التقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية:

نحسب الآن ميل الخط المستقيم ٢ باستخدام الطريقة نفسها، ونأخذ النقطة على أنها ، والنقطة على أنها :

مرة أخرى، يمكننا تبسيط الكسر لإيجاد ميل الخط المستقيم ٢، ما يعطينا:

من أجل الاتساق مع ، سنقرِّب أيضًا لأقرب ثلاث منازل عشرية:

لإيجاد أيُّ المستقيمين أكثر انحدارًا، نقارن القيمة المطلقة للميلين:

عند مقارنة الميلين، فإن العدد ذا القيمة المطلقة الكبرى يناظر الميل الأكثر انحدارًا. لذا، يمكننا أن نقول إن الخط المستقيم ٢ أكثر انحدارًا من الخط المستقيم ١.

مثال ٤: إيجاد الإحداثي ص لنقطتين تقعان على خطين مستقيمين متوازيين

إذا كان الخط المستقيم المار بالنقطتين ، يوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين ، ، فما قيمة ؟

الحل

نفترض أن الخط المستقيم ١ يمر بالنقطتين ، وله الميل . وبالمثل، الخط المستقيم ٢ يمر بالنقطتين ، وله الميل . يمكننا تعريف النقاط على النحو الآتي:

يمكننا أن نتذكَّر أن المستقيمات المتوازية تظل دائمًا على بعدٍ متساوٍ (ولن تلتقي أبدًا). في المستوى ، لن يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان ميلا المستقيمين متساويين. وبما أن السؤال يخبرنا بأن المستقيمين ١ و٢ متوازيان، إذن يمكننا استنتاج أن:

يمكننا الآن التعويض بقيم الإحداثيات في معادلة الميل:

بتبسيط الكسرين، نجد الآتي:

يمكننا ضرب كلا طرفَي المعادلة في المقامين ٩ و٣٣: وجمع حدود معًا لنحل المعادلة:

لنتوصل إلى الحل، نعرف أن ، تساويان قيمة التي أوجدناها للتو. يمكننا إذن استكمال المعلومات عن النقطتين ، :

ملاحظة: لدينا الآن مجموعة كاملة مكوَّنة من إحداثيين. يمكن استخدام هذه المعطيات لإيجاد ميلَي كلا الخطين. في هذه الحالة، لا يَطلب السؤال إيجاد قيمة ، ولكن، قد يكون عليك استكمال هذه الخطوة في أسئلة مشابهة للتحقُّق من أن .

مثال ٥: إيجاد الإحداثي ص لنقطة تقع على خط مستقيم بمعلومية الميل وإحداثيَّي نقطة أخرى على الخط المستقيم

إذا كان ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، يساوي ، فأوجد قيمة .

الحل

نعوِّض بالقيم المعلومة في معادلة ميل الخط المستقيم، بأخذ النقطة الأولى على أنها ، والنقطة الثانية على أنها .

ونعوِّض أيضًا بـ باعتباره القيمة المعلومة للميل:

يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة وضرب الطرفين في :

بفعل ذلك، نجد أن مقام الطرف الأيسر من المعادلة يمكن حذفه:

وبهذا، يمكننا الحل لإيجاد قيمة :

إحداثيا النقطة الثانية المُعطاة في السؤال هما .

مثال ٦: إيجاد الإحداثي ص لنقطة على خط مستقيم

ما قيمة التي تجعل النقاط ، ، على استقامة واحدة؟

الحل

أولًا، علينا أن نتذكَّر أن النقاط التي على استقامة واحدة تقع جميعها على الخط المستقيم نفسه. يعني هذا أن ميل الخط المستقيم هو نفس ميل الخط المستقيم :

يمكننا إيجاد ميل الخط المستقيم باستخدام صيغة ميل الخط المستقيم، بأخذ النقطة على أنها والنقطة على أنها :

ثم نبسِّط الكسر:

وبما أننا نعلم أن ميل الخط المستقيم يساوي ميل الخط المستقيم ، إذن يمكننا أن نقول أيضًا إن:

نعوِّض بقيمتَي النقطتين ، في الصيغة، ونُوجِد قيمة :

بضرب كلا الطرفين في ، نحصل على الحل:

نستكمل الحل، يمكننا الآن كتابة النقطة كاملة، باستخدام المعلومات التي توصلنا إليها: