شارح الدرس: حساب ميل خط مستقيم يمر بنقطتين | نجوى شارح الدرس: حساب ميل خط مستقيم يمر بنقطتين | نجوى

شارح الدرس: حساب ميل خط مستقيم يمر بنقطتين الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد ميل مستقيم يمرُّ بنقطتين مُعطاتين.

معلومة رئيسية: ميل الخط المستقيم

الصيغة العامة لخط مستقيم في المستوى 𞸎𞸑 هي: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁.

في هذه الصيغة، ميل (أو انحدار) الخط يمثِّله المعامل 𞸌، والجزء المقطوع من المحور 𞸑 يمثِّله الثابت 𞸁.

في هذا الشارح، سنركِّز على الميل.

تَصِف معادلة الخط المستقيم جميع النقاط الواقعة عليه. عندما تكون لدينا مجموعة مكوَّنة من نقطتين على خط مستقيم، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، يمكننا أن نكتب معادلتين باستخدام المعطيات المعلومة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁،𞸑=𞸌𞸎+𞸁.١١٢٢

نوضِّح كيف يمكن استخدام هاتين المعادلتين لإيجاد 𞸌. الخطوة الأولى هي طرح 𞸑١ من 𞸑٢: 𞸑𞸑=󰁓𞸌𞸎+𞸁󰁒󰁓𞸌𞸎+𞸁󰁒.٢١٢١

في الطرف الأيسر من المعادلة الجديدة، يُحذف الحدان 𞸁: 𞸑𞸑=𞸌𞸎+𞸁𞸌𞸎𞸁𞸑𞸑=𞸌𞸎𞸌𞸎.٢١٢١٢١٢١

أصبح بإمكاننا الآن إخراج العامل 𞸌 من الطرف الأيسر من المعادلة: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒،٢١٢١ ثم قسمة كلا الطرفين على 󰁓𞸎𞸎󰁒٢١ لإيجاد 𞸌، معبَّرًا عنه بدلالة الإحداثيات الأربعة المعلومة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

يمكن فهم هذا المقدار بشكل بديهي أكثر عندما ندرك الآتي: اا𞸑=󰁓𞸑𞸑󰁒،𞸎=󰁓𞸎𞸎󰁒.٢١٢١

ومن ثَمَّ، يمكننا أن نلاحظ أنه بالنسبة إلى أي خط مستقيم، عند قسمة مقدار التغيُّر في 𞸑 على مقدار التغيُّر في 𞸎 عند نقطتين، سنحصل على الميل: 𞸌=𞸑𞸎.اا

معلومة رئيسية: إيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية نقطتين

عندما نُعطَى نقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تقعان على خط مستقيم، يمكن حساب ميل الخط المستقيم باستخدام الصيغة الآتية: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

للتعبير عن هذا المقدار بالكلمات: 𞸌=𞸑𞸎.اا

جدير بالذكر أن ترتيب تسمية النقطتين من اليمين إلى اليسار ليس مهمًّا؛ فإن اختيار النقطة اليمنى لتكون 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، والنقطة اليسرى لتكون 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ سيعطينا أيضًا الميل الصحيح.

لاستعراض هذا بالمزيد من التعمُّق، نتخيَّل حالة بسيطة تكون فيها النقطتان الواقعتان على خط مستقيم منفصلتين بمقدار وحدة واحدة في اتجاه المحور 𞸎. في هذه الحالة، سيكون الآتي صحيحًا: 𞸎=𞸎+١𞸎𞸎=١.٢١٢١

يمكننا الآن التعويض بذلك في صيغة ميل الخط المستقيم، وهو ما يعطينا: 𞸌=𞸑𞸑١.٢١

في هذه الحالة البسيطة، يمكننا أن نلاحظ أن صيغة إيجاد قيمة 𞸌 تُختزل إلى الآتي: 𞸌=𞸑𞸑=𞸑.٢١ا

ومن ثَمَّ، يمكن فهم الميل 𞸌 على أنه التغيُّر في الموضع 𞸑 عندما تتحرَّك نقطة بمقدار وحدة واحدة على طول الخط المستقيم في الاتجاه الموجب من المحور 𞸎 (من اليسار إلى اليمين).

بالتفكير في الميل بهذه الطريقة، يمكننا ملاحظة أن قيمة 𞸌 الكبرى ستؤدِّي إلى تغيُّر أكبر في قيمة 𞸑، ويمكننا اعتبار أن المستقيم الذي نراه «أكثر انحدارًا».

عند النظر إلى ميل خط مستقيم أو أكثر، قد تُطلَب منك المقارنة بين «انحدار» كلٍّ منها.

في حالتَي قيمة 𞸌 الموجبة والسالبة، قد يُعتبر الخط المستقيم شديد الانحدار دون النظر إلى اختلاف اتجاهات الميل.

لتحديد الانحدار، سيكون من المفيد التفكير في قيمة 𞸌 المطلقة. يُرمَز للقيمة المطلقة بخطين رأسيين. ااـ𞸌=|𞸌|.

يمكن اعتبار القيمة المطلقة لأيِّ عدد أنها المسافة التي تفصله عن الصفر. بما أن المسافة كمية قياسية، إذن القيمة المطلقة لأي عدد سالب تكون موجبة ولا تتغيَّر قيمته العددية.

ومن ثَمَّ، يمكن إيجاد الخط الذي له الميل الأكثر انحدارًا من خلال تحديد القيمة المطلقة الكبرى لـ 𞸌.

وأخيرًا، نستمر في دراسة هذه الحالة البسيطة؛ حيث يكون الآتي صحيحًا: 𞸎𞸎=١،𞸌=𞸑.٢١ا

بما أن 𞸌 يساوي التغيُّر في 𞸑، إذن يمكننا أن نلاحظ أن قيمة موجبة لـ 𞸌 ستناظرها زيادة في قيمة 𞸑، وأن قيمة سالبة لـ 𞸌 سيناظرها انخفاض في قيمة 𞸑 (عندما نتحَّرك في الاتجاه الموجب من المحور 𞸎).

بعبارة أخرى، تخبرنا إشارة 𞸌 بأن الخط المستقيم يميل لأعلى أو لأسفل أثناء التحرُّك من اليسار إلى اليمين.

نلخِّص هاتين الخاصيتين لـ 𞸌.

معلومة رئيسية: فهم خواص الميل

تمثِّل قيمة 𞸌 المطلقة انحدار الميل.

بشكل عام، الخط المستقيم ١ (الميل: 𞸌١) يكون أكثر انحدارًا من الخط المستقيم ٢ (الميل: 𞸌٢) إذا كان: 󰍸𞸌󰍸>󰍸𞸌󰍸.١٢

ترمز إشارة 𞸌 إلى اتجاه الانحدار أثناء التحرُّك في الاتجاه الموجب من المحور 𞸎: 𞸌>٠𞸑،𞸌<٠𞸑.؛دادسزدة؛سزدة

يمكننا أن نتناول الآن بعض الأمثلة التي تستخدم صيغة الميل لإيجاد 𞸌 لخط مستقيم بمعلومية نقطتين على الأقل تقعان عليه.

مثال ١: إيجاد ميل الخط المستقيم

أوجد ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين 󰏡(٢،٥)، 𞸁(٤،٥).

الحل

بأخذ النقطة 󰏡 لتكون 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والنقطة 𞸁 لتكون 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، يمكننا إدخال الإحداثيين 𞸎، 𞸑 في صيغة ميل الخط المستقيم: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

بإجراء التعويض الذي يعطينا المعادلة الآتية: 𞸌=٥(٥)٤٢، يمكننا بعد ذلك تبسيط الكسر للوصول إلى الحل: 𞸌=٥+٥٤٢=٠١٢=٥.

توصَّلنا إلى أن ميل الخط المستقيم يساوي موجب خمسة. من الناحية العملية، يعني هذا أن كل وحدة واحدة نتحرَّكها في الاتجاه 𞸎، سيرتفع الخط المستقيم بمقدار ٥ وحدات في الاتجاه 𞸑.

مثال ٢: إيجاد ميل خط مستقيم مرسوم في المستوى الإحداثي

أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.

الحل

يوضِّح التمثيل البياني السابق نقطتين محددتين على خط مستقيم. ثمة أمر قد نلاحظه، هو أن الخط المستقيم الموضَّح في التمثيل البياني ينحدر لأسفل أثناء التحرُّك من اليسار إلى اليمين. يمكن لهذا «التحقُّق البصري» أن يخبرنا على الفور بأن ميل الخط المستقيم سيكون سالبًا.

لإيجاد الميل، يمكننا أولًا تحديد إحداثيَّي النقطتين، ثم استخدام صيغة ميل الخط المستقيم: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

يمكننا أن نلاحظ أن النقطة الأولى تقع عند الإحداثيين (٥،١). نفترض أن هذه النقطة هي 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. وتقع النقطة الثانية عند الإحداثيين (١،٤)، ويمكننا أن نفترض أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢.

يمكننا إدخال الإحداثيين 𞸎، 𞸑 في صيغة ميل الخط المستقيم؛ ما يعطينا المعادلة الآتية: 𞸌=٤١١(٥).

يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة لإيجاد الميل، 𞸌: 𞸌=٥١+٥=٥٤.

وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن ميل الخط المستقيم سالب، وهذا يتفق مع «التحقُّق البصري» الابتدائي الذي يستند إلى التمثيل البياني.

مثال ٣: مقارنة ميل خطين مستقيمين بمعلومية إحداثيات نقطتين تقعان عليهما

يمر الخط المستقيم ١ بالنقطة 󰏡(٦،٧١) والنقطة 𞸁(٨١،٤١)، ويمر الخط المستقيم ٢ بالنقطة 𞸢(٢،٠) والنقطة 𞸃(٩،٠٢). أيُّ الخطين المستقيمين ميله أكثر انحدارًا؟

الحل

يمكننا أولًا إيجاد ميل الخط الأول من خلال أخذ النقطة 󰏡 على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والنقطة 𞸁 على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢. كما فعلنا في المثال السابق، يمكننا إدخال الإحداثيين 𞸎، 𞸑 إلى صيغة ميل الخط المستقيم: 𞸌=(٤١)٧١(٨١)(٦).١

يمكننا الآن تبسيط الكسر لإيجاد ميل الخط المستقيم ١، وهو ما يعطينا: 𞸌=٤١٧١٨١+٦=١٣٢١=١٣٢١.١

في هذا السؤال، سنستخدم التقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية: 𞸌٣٨٥٫٢.١

نحسب الآن ميل الخط المستقيم ٢ باستخدام الطريقة نفسها، ونأخذ النقطة 𞸢 على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والنقطة 𞸃 على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢: 𞸌=٠٢٠(٩)(٢).٢

مرة أخرى، يمكننا تبسيط الكسر لإيجاد ميل الخط المستقيم ٢، ما يعطينا: 𞸌=٠٢٠٩+٢=٠٢٧.٢

من أجل الاتساق مع 𞸌١، سنقرِّب أيضًا لأقرب ثلاث منازل عشرية: 𞸌٧٨٥٫٢.٢

لإيجاد أيُّ المستقيمين أكثر انحدارًا، نقارن القيمة المطلقة للميلين: |٣٨٥٫٢|<|٧٨٥٫٢|󰍸𞸌󰍸<󰍸𞸌󰍸.١٢

عند مقارنة الميلين، فإن العدد ذا القيمة المطلقة الكبرى يناظر الميل الأكثر انحدارًا. لذا، يمكننا أن نقول إن الخط المستقيم ٢ أكثر انحدارًا من الخط المستقيم ١.

كما يمكن استخدام معادلة ميل الخط المستقيم لإيجاد معلومات حول إحداثيات النقاط التي تقع على الخط. نلقي نظرة على بعض الأمثلة على ذلك.

مثال ٤: إيجاد الإحداثي ص لنقطتين تقعان على خطين مستقيمين متوازيين

إذا كان الخط المستقيم المار بالنقطتين 󰏡(٣١،٨)، 𞸁(٠٢،𞸑) يوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين 𞸢(٢،٠)، 𞸃(٧،𞸑)، فما قيمة 𞸑؟

الحل

نفترض أن الخط المستقيم ١ يمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁 وله الميل 𞸌١. وبالمثل، الخط المستقيم ٢ يمر بالنقطتين 𞸢، 𞸃 وله الميل 𞸌٢. يمكننا تعريف النقاط على النحو الآتي: 󰏡(٣١،٨)=󰁓𞸎،𞸑󰁒،𞸁(٠٢،𞸑)=󰁓𞸎،𞸑󰁒،𞸢(٢،٠)=󰁓𞸎،𞸑󰁒،𞸃(٧،𞸑)=󰁓𞸎،𞸑󰁒.١١٢٢٣٣٤٤

يمكننا أن نتذكَّر أن المستقيمات المتوازية تظل دائمًا على بعدٍ متساوٍ (ولن تلتقي أبدًا). في المستوى 𞸎𞸑، لن يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان ميلا المستقيمين متساويين. وبما أن السؤال يخبرنا بأن المستقيمين ١ و٢ متوازيان، إذن يمكننا استنتاج أن: 𞸌=𞸌.١٢

يمكننا الآن التعويض بقيم الإحداثيات في معادلة الميل: 𞸑𞸑𞸎𞸎=𞸑𞸑𞸎𞸎𞸑٨٠٢(٣١)=𞸑٠٧(٢).٢١٢١٤٣٤٣

بتبسيط الكسرين، نجد الآتي: 𞸑٨٠٢+٣١=𞸑٧+٢𞸑٨٣٣=𞸑٩.

يمكننا ضرب كلا طرفَي المعادلة في المقامين ٩ و٣٣: ٩𞸑٢٧=٣٣𞸑، وجمع حدود 𞸑 معًا لنحل المعادلة: ٢٧=٤٢𞸑𞸑=٢٧٤٢𞸑=٣.

لنتوصل إلى الحل، نعرف أن 𞸑٢، 𞸑٤ تساويان قيمة 𞸑 التي أوجدناها للتو. يمكننا إذن استكمال المعلومات عن النقطتين 𞸁، 𞸃: 𞸁(٠٢،٣)،𞸃(٧،٣).

ملاحظة: لدينا الآن مجموعة كاملة مكوَّنة من إحداثيين. يمكن استخدام هذه المعطيات لإيجاد ميلَي كلا الخطين. في هذه الحالة، لا يَطلب السؤال إيجاد قيمة 𞸌، ولكن، قد يكون عليك استكمال هذه الخطوة في أسئلة مشابهة للتحقُّق من أن 𞸌=𞸌١٢.

مثال ٥: إيجاد الإحداثي ص لنقطة تقع على خط مستقيم بمعلومية الميل وإحداثيَّي نقطة أخرى على الخط المستقيم

إذا كان ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (٩،٧)، (٣،𞸊) يساوي ٥٢١، فأوجد قيمة 𞸊.

الحل

نعوِّض بالقيم المعلومة في معادلة ميل الخط المستقيم، بأخذ النقطة الأولى (٩،٧) على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والنقطة الثانية (٣،𞸊) على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢.

ونعوِّض أيضًا بـ ٥٢١ باعتباره القيمة المعلومة للميل: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎٥٢١=𞸊(٧)(٣)٩.٢١٢١

يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة وضرب الطرفين في ٢١: ٥٢١=𞸊+٧٢١(٥)(٢١)٢١=𞸊+٧.

بفعل ذلك، نجد أن مقام الطرف الأيسر من المعادلة يمكن حذفه: ٥=𞸊+٧.

وبهذا، يمكننا الحل لإيجاد قيمة 𞸊: 𞸊=٥٧=٢

إحداثيا النقطة الثانية المُعطاة في السؤال هما (٣،٢).

وأخيرًا، يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد إحداثيَّي نقطة على خط مستقيم بميل معلوم.

مثال ٦: إيجاد الإحداثي ص لنقطة على خط مستقيم

ما قيمة 𞸑 التي تجعل النقاط 󰏡(٩،٦)، 𞸁(٣،٣)، 𞸢(١،𞸑) على استقامة واحدة؟

الحل

أولًا، علينا أن نتذكَّر أن النقاط التي على استقامة واحدة تقع جميعها على الخط المستقيم نفسه. يعني هذا أن ميل الخط المستقيم 󰏡𞸁 هو نفس ميل الخط المستقيم 𞸁𞸢: 𞸌=𞸌.󰏡𞸁𞸁𞸢

يمكننا إيجاد ميل الخط المستقيم 󰏡𞸁 باستخدام صيغة ميل الخط المستقيم، بأخذ النقطة 󰏡 على أنها 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ والنقطة 𞸁 على أنها (𞸎،𞸑)٢٢: 𞸌=(٣)٦٣(٩)𞸌=٣٦٣+٩.󰏡𞸁󰏡𞸁

ثم نبسِّط الكسر: 𞸌=٩٢١𞸌=٣٤.󰏡𞸁󰏡𞸁

وبما أننا نعلم أن ميل الخط المستقيم 𞸁𞸢 يساوي ميل الخط المستقيم 󰏡𞸁، إذن يمكننا أن نقول أيضًا إن: 𞸌=٣٤𞸁𞸢

نعوِّض بقيمتَي النقطتين 𞸁، 𞸢 في الصيغة، ونُوجِد قيمة 𞸑: 𞸑(٣)(١)٣=٣٤𞸑+٣٤=٣٤.

بضرب كلا الطرفين في ٤، نحصل على الحل: 𞸑+٣=٣𞸑=٠.

نستكمل الحل، يمكننا الآن كتابة النقطة 𞸢 كاملة، باستخدام المعلومات التي توصلنا إليها: 𞸢(١،٠).

النقاط الرئيسية

  • الصورة العامة لخط مستقيم في المستوى 𞸎𞸑 هي: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁.
  • عندما نعلم نقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تقعان على خط مستقيم، يمكن حساب ميل الخط المستقيم باستخدام الصيغة الآتية: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١
  • يمكن فهم الميل 𞸌 على أنه التغيُّر في الموضع 𞸑 عند تحرُّك نقطة بمقدار وحدة واحدة على طول خط مستقيم في الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.
  • يمكن أن يكون الميل 𞸌 موجبًا أو سالبًا. يمكنك تحديد إشارة الميل 𞸌 بصريًّا من خلال التحقُّق ممَّا إذا كان الخط المستقيم يميل لأعلى أو لأسفل أثناء التحرُّك من اليسار إلى اليمين.
  • قيمة 𞸌 المطلقة، يُرمَز لها بالرمز |𞸌|، وتمثِّل انحدار الميل.
  • بشكل عام، يُعَد أحد الميلين «أكثر انحدارًا» من الآخر إذا كانت له قيمة |𞸌| كبرى.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من معلم خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية