شارح الدرس: حساب النهايات بالتعويض المباشر الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد نهاية دالة ثابتة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد نهاية دالة ثابتة. تذكَّر أنه، لأيِّ ثابت ، ونقطة نهاية ، تكون:

بعبارة أخرى: نهاية الدالة الثابتة تساوي دائمًا القيمة الثابتة، بغضِّ النظر عن موضع نقطة النهاية. في هذا المثال، القيمة الثابتة هي ٣٠. ومن ثم:

مثال ٢: إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود. تذكَّر أنه يُمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود. واستخدام طريقة التعويض المباشر يعني أننا نحسب نهاية الدالة بإيجاد قيمة الدالة. باستخدام ترميز النهايات، يُخبرنا التعويض المباشر أنه مع أيِّ دالة يُمكن استخدام التعويض المباشر معها، تكون:

في هذا المثال، ، . يُمكننا حساب قيمة الدالة كما يأتي:

هذه الدالة كثيرة الحدود؛ لذا يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر معها. ومن ثم:

مثال ٣: إيجاد قيمة مجهول في دالة كسرية بمعلومية نهايتها عند نقطة

إذا كانت ، فما قيمة ؟

الحل

لدينا صيغة لنهاية تتضمَّن دالة كسرية. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد نهاية دالة كسرية باستخدام طريقة التعويض المباشر إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة. استخدام طريقة التعويض المباشر يعني أننا نحسب نهاية الدالة بإيجاد قيمة الدالة. باستخدام ترميز النهايات، يُخبرنا التعويض المباشر أنه لأيِّ دالة يُمكن استخدام التعويض المباشر معها:

في هذا المثال، نقطة النهاية هي ، والدالة الكسرية هي . لعلنا نتذكَّر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي يكون فيها المقام لا يساوي صفرًا. هذا يعني أن ، وهو ما يقودنا إلى أن . بما أن ، فإننا نعرف أن ينتمي إلى مجال هذه الدالة.

يُمكننا حساب:

ومن ثم، باستخدام طريقة التعويض المباشر، يُمكننا كتابة:

وبما أننا نعلم بالفعل أن هذه النهاية تساوي ٦، يُمكننا جعل الطرف الأيسر من المعادلة السابقة يساوي ٦:

وهذا يجعلنا نَستنتِج أن .

مثال ٤: إيجاد نهاية تركيب دوالَّ كسرية عند نقطة باستخدام التعويض المباشر

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد نهاية التعبير المُعطى. وأسهل طريقة لإيجاد النهاية هي التعويض المباشر، وهو ما يعني أننا نعوِّض بنقطة النهاية في التعبير المُعطى لإيجاد قيمة النهاية. لكننا نعلم أنه لا يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر مع كلِّ الدوالِّ؛ لذا دعونا نتناول الدالة المُعطاة لتحديد إذا ما كانت هذه الطريقة مناسبة لها أم لا.

في بسط هذه الدالة، نَجِد فرقًا بين كسرين. الكسر الأول دالة كسرية. نحن نتذكَّر أنه يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر مع الدالة الكسرية طالما أن نقطة النهاية تنتمي إلى مجالها. ومجال هذه الدالة الكسرية هو مجموعة القِيَم حيث . وبما أن ، فإنها تقع ضمن المجال؛ ومن ثم، يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر مع . والكسر الثاني ثابت، وهو ما يُمكن اعتباره دالة كثيرة الحدود، ويُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر معها دائمًا.

نحن نتذكَّر أيضًا أن أيَّ دالتين يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر معهما، يُمكن استخدام هذه الطريقة أيضًا مع الفرق بينهما. وهذا يُخبرنا بأنه يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر مع البسط .

وأخيرًا: علينا النظر إلى المقام . إننا نتذكَّر أن أيَّ دالتين يُمكن استخدام طريقة التعويض المباشر معهما، يُمكن استخدام نفس الطريقة مع خارج قسمة هاتين الدالتين طالما أن مقام خارج القسمة لا يساوي صفرًا عند نقطة النهاية. يُمكننا أن نرى أن المقام لا يساوي صفرًا عند ؛ ومن ثم يُمكننا تطبيق طريقة التعويض المباشر على هذه النهاية.

بالتعويض بالقيمة في الدالة المُعطاة:

إذن النهاية تساوي .

مثال ٥: إيجاد نهاية دالة جذرية عند نقطة بالتعويض المباشر

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد نهاية دالة. يُمكننا أن نلاحِظ أن الدالة المُعطاة هي تركيب دالة كثيرة الحدود ودالة جذرية. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد نهاية تركيب الدوالِّ الجذرية والدوالِّ الكثيرة الحدود بالتعويض المباشر إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة.

مجال الدالة الجذرية المُعطاة هو مجموعة قِيَم التي تُعطينا لها الدالة الكثيرة الحدود تحت الجذر قيمة غير سالبة. لتحديد إذا ما كانت نقطة النهاية ٩ تنتمي إلى مجال الدالة المُعطاة أم لا، علينا التحقُّق إذا ما كانت قيمة الدالة الكثيرة الحدود تحت الجذر غير سالبة عند . يُمكننا حساب:

بما أن ٢٤٤ قيمة غير سالبة، يُمكننا ملاحَظة أن ٩ ينتمي إلى مجال الدالة الجذرية المُعطاة. بتطبيق طريقة التعويض المباشر، نحصل على:

ومن ثم فإن النهاية المُعطاة تساوي .

مثال ٦: إيجاد نهاية دالة تتضمَّن قيمة مطلقة

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد نهاية دالة. يُمكننا ملاحَظة أن الدالة المُعطاة فرقٌ بين دالتَيْ قيمة مطلقة. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد نهاية كلِّ دالة قيمة مطلقة بالتعويض المباشر. نحن نعلم أيضًا أنه إذا كان بإمكاننا استخدام طريقة التعويض المباشر مع دالتين، يُمكننا استخدام الطريقة نفسها مع الفرق بينهما. ومن ثم، يُمكننا إيجاد النهاية المُعطاة بالتعويض المباشر، وهو ما يعني أن:

بالتعويض بـ في الدالة:

ومن ثم، فإن النهاية المُعطاة تساوي ١.

مثال ٧: إيجاد نهايات الدوالِّ التي تتضمَّن تركيب دوالَّ مثلثية ودوالَّ تربيعية

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد نهاية دالة. تتكوَّن الدالة المُعطاة من دوالَّ كثيرات الحدود ودالة مثلثية، وتجتمع معًا باستخدام التركيب وحاصل الضرب وخارج القسمة. نحن نعلم أنه يُمكننا استخدام طريقة التعويض المباشر مع تركيب الدوالِّ الكثيرات الحدود والدوالِّ المثلثية وحاصل ضربها وخارج قسمتها طالما أن نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة. ومن ثم، علينا أولًا أن نتحقَّق إذا ما كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة المعطاة أم لا.

نعلم أنه لا تُوجَد قيود على مجال دالة جيب التمام والدوالِّ الكثيرات الحدود، أيْ إن نقطة النهاية ستقع ضمن مجال الدالة المُعطاة إذا كان مقام خارج القسمة لا يساوي صفرًا عند هذه النقطة. هيَّا نحسب المقام عند :

بما أن المقام لا يساوي صفرًا عند هذه النقطة، إذن يقع ضمن مجال الدالة المُعطاة. ومن ثم يُمكننا تطبيق طريقة التعويض المباشر لحساب:

باستخدام ، نعلم أن هذا يساوي:

ومن ثم، فإن النهاية المُعطاة تساوي .