في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُمثِّل بيانيًّا أيَّ دالة تربيعية مُعطاة بالصورة القياسية، وبصيغة رأس المنحنى، باستخدام التحويلات الهندسية للدالة ودراستها.
تُستخدَم المعادلات التربيعية في الحياة اليومية، وفي العلوم، والأعمال التجارية، والهندسة. كما يمكنها تحديد مسارات الأجسام المتحرِّكة، من الكرات المرتدَّة إلى مسارات طيران النحل. ويمكن أيضًا استخدامها في الأعمال التجارية لتوقُّع الإيرادات، وفي تصميم الأغلفة لتقليل حجم المخلَّفات. ويمكننا استخدام المعادلات التربيعية لتحديد القيم العظمى والصغرى للعديد من المُتغيِّرات المختلفة؛ مثل: السرعة، والتكلفة، والمساحة.
تعريف: المعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة: حيث ، ، ثوابت، .
ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة: حيث ثابت، رأس نقطة التحوُّل.
عند التعامل مع الدوال، قد نرى دالةً مكتوبةً على الصورة أو . على سبيل المثال، يمكن كتابة أيضًا على الصورة . تُشير إلى القيمة المُعطاة بوصفها القيمة المُخرَجة عند إدخال قيمة معيَّنة لـ .
يتميَّز منحنى الدالة التربيعية بأنه على شكل قطع مكافئ. وبناءً على قيمة في المعادلة ، يكون لرأس المنحنى قيمة عظمى أو قيمة صغرى (نقطة التحوُّل). يمكننا ملاحظة فيما يلي كيف أن لرأس المنحنى في المعادلة قيمة صغرى؛ حيث يكون المنحنى مفتوحًا لأعلى، والمعادلة التي يكون بها معامل سالبًا؛ أي ، يكون لرأس المنحنى قيمة عظمى؛ حيث يكون المنحنى مفتوحًا لأسفل.
المعادلة التربيعية هي كثيرة حدود من الرتبة الثانية؛ حيث أعلى أس لأيٍّ من المُتغيِّرات هو ٢. وفي حال وجود أُسس كسرية أو أسس أعلى من ذلك، لا تكون المعادلة تربيعية. لذا، على سبيل المثال، المعادلة هي معادلة تربيعية في ، بها القيم ، ، . والمعادلة هي معادلة تربيعية في . ومع ذلك، فإن معادلة مثل ليست تربيعية؛ لأنها لا تُطابِق الصورة .
دعونا نُلقِ نظرة على بعض الأمثلة حول تأثير تغيير المعاملَيْن ، على تغيير شكل منحنى الدالة التربيعية.
يمكننا البدء بتناوُل أبسط مثال للمعادلة التربيعية، ، كما يلي.
نجد هنا أن معامل موجب، ورأس المنحنى ذو قيمة صغري. يمكننا ملاحظة أن المنحنى يقطع النقطة ، وهو مُتماثِل حول المحور . ويمكننا أن نرى في الشكل السابق كيف أن تغيُّر قيمة الثابت ينقل الدالة رأسيًّا. يقطع منحنى الدالة المحور عند النقطة ، ويقطع منحنى الدالة المحور عند النقطة . وتقطع الدالة التربيعية المحور دائمًا عند النقطة .
بعد ذلك، سنرى كيف أن تَغيُّر ؛ أي معامل الحد ، يُغيِّر من شكل منحنى الدالة. يمكننا رؤية بعض الأمثلة على ذلك فيما يلي من خلال الدالة . بجَعْل نحصل على ، وهو ما يؤدِّي إلى تمدُّد المنحنى بمعامل ٢؛ حيث يكون رأس المنحنى هو مركز التمدُّد. وعند تتمدَّد الدالة بمعامل ٤، وعند يكون التمدُّد بمعامل حول رأس المنحنى، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. ونلاحظ أنه عند تغيير معامل في أي دالة تربيعية، لا يَتغيَّر رأس القطع المكافئ.
نلاحظ أيضًا أنه عند ، يصبح المنحنى معكوسًا. وفيما يلي، يمكننا ملاحظة الفرق بين ، .
بعد ذلك، سنتناول كيف يمكننا استخدام رأس المنحنى لمعادلة ما كي يساعدنا في تحديد معادلة تربيعية على الصورة . وكما نرى في الآتي، الدالة رأس منحناها هو . من المهم ملاحظة أنه نظرًا لوجود الكثير من القيم المختلفة لـ دون تغيير رأس المنحنى، فإن هذا يعني أنه يُوجَد الكثير من المعادلات المختلفة ذات رأس المنحنى نفسه. نلاحظ في الشكل الثاني بالأسفل أن المعادلات: ، ، لها رأس المنحنى نفسه . إذا استخدمنا رأس منحنى القطع المكافئ لاستنتاج معادلته، فعلينا استخدام ذلك إلى جانب معلومات أخرى؛ مثل: جذرَي المعادلة، والجزء المقطوع من المحور ، والإحداثيات على المنحنى لتحديد المعادلة الصحيحة.
قد نرى معادلة مكتوبة على الصورة التحليلية؛ مثل ، وقد حُلِّلت إلى الصورة: . هذه الصورة التحليلية مفيدة لتحديد الإحداثيات التي تقطع عندها المعادلة المحور . عندما يقطع المنحنى المحور ، نعلم أنه عند هاتين النقطتين يجب أن يكون إحداثي صفرًا. في هذا المثال على المعادلة يمكننا التعويض بـ وكتابة .
تذكَّر أنه في أيِّ سياق رياضي، إذا كان لدينا العددان ، ، وحاصل ضربهما يُعطينا ، فإننا نعلم أن أيًّا من أو (أو كليهما) يجب أن يساوي صفرًا.
وبناءً على ذلك، إذا كان ، فإن:
إذن الإحداثيات التي يقطع عندها المنحنى المحور هي ، . تُعرَف هذه العملية بإيجاد جذرَي المعادلة.
كيفية تحديد معادلة منحنى الدالة التربيعية
- التحقُّق من شكل القطع المكافئ؛ حيث سيكون للمنحنى نقطة تحوُّل عظمى إذا كان ، ونقطة تحوُّل صغرى إذا كان .
- تحديد الموضع الذي يقطع فيه القطع المكافئ المحور ؛ وهو إيجاد النقطة عندما تكون المعادلة على الصورة .
- تحديد رأس نقطة التحول؛ وهو إيجاد النقطة عندما تكون المعادلة على الصورة .
- تحديد جذرَي المعادلة على الصورة التحليلية لإيجاد النقاط التي يقطع المنحنى عندها المحور .
- تذكَّر أنه يمكننا التحويل بين صورتَي المعادلة؛ فعلى سبيل المثال، يمكننا تغيير إلى الصورة بفك القوسين وتجميع الحدود.
هيا نُلقِ نظرة على بعض الأمثلة حول كيفية استخدام المعلومات الموضَّحة على منحنى لتحديد معادلته.
مثال ١: تحديد معادلة منحنى دالة تربيعية
أيٌّ من المعادلات الآتية يمثِّلها التمثيل البياني الموضَّح؟
الحل
نبدأ الإجابة عن هذا السؤال باستبعاد المعادلات التي لا تُطابِق شكل القطع المكافئ. باستخدام الصورة لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ، ، يمكننا ملاحظة أن المعادلة ج، ، يتضح بها الجزء المقطوع من المحور عند النقطة ، وهو ما لا يُطابِق التمثيل البياني. والمعادلة د يتضح بها الجزء المقطوع من المحور عند النقطة ، وهو ما لا يُطابِق التمثيل البياني أيضًا.
المعادلة ب هي صورة تحليلية للمعادلة العامة ، ويمكننا فك قوسي المعادلة للحصول على . وبما أن الثابت قيمته تساوي ٠، إذن نعلم أن المنحنى يقطع المحور هنا عند النقطة . وهذا لا يُطابِق التمثيل البياني.
تذكَّر أنه يمكننا إيجاد الرأس من الصورة . وهذا يعني أن المعادلة أ، ، رأس منحناها يقع عند ، والمعادلة هـ رأس منحناها يقع عند . ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني الموضَّح يمثِّل المعادلة أ، .
مثال ٢: تحديد التمثيل البياني لمعادلة تربيعية
أيٌّ من التمثيلات البيانية التالية يمثِّل المعادلة ؟
الحل
بما أن التمثيل البياني للمعادلة يقطع المحور عند النقطة ، إذن نعلم أن المعادلة تقطع المحور عند النقطة .
وبما أن معامل الحد قيمة موجبة تساوي ١، إذن هذا يعني أن رأس منحنى الدالة تكون له قيمة صغرى بقطع مكافئ مفتوح لأعلى.
بالرجوع إلى التمثيلات البيانية، يمكننا ملاحظة أن الدالتين (أ)، (ج) لهما هذه الخواص. وإحدى طرق تحديد إذا ما كانت معادلة ما تُطابِق القطع المكافئ المُعطى هي تحديد إحداثي على القطع المكافئ والتحقُّق ممَّا إذا كانت القيمة المدخلة، ، تُعطينا قيمة مُخرَجة صحيحة للدالة .
بالنظر إلى التمثيل البياني في الخيار (أ)، يمكننا ملاحظة أن الإحداثي يقع على القطع المكافئ. إذن، في هذه الدالة ، إذا كانت ، فإن هذه المعادلة تُطابِق القطع المكافئ.
بالتعويض بـ في المعادلة، نحصل على:
وبما أن الإحداثي يقع على القطع المكافئ (أ) ولا يقع على القطع المكافئ (ج)، إذن يمكننا القول إن التمثيل البياني (أ) هو الإجابة النهائية؛ وذلك لكونه التمثيل البياني الوحيد الذي تتوافر فيه جميع الخواص السابقة.
بدلًا من ذلك، يمكننا اختيار إحداثي على القطع المكافئ (ج)؛ مثل ، والتحقُّق ممَّا إذا كانت للدالة . في هذه الحالة، سيكون لدينا:
ومن ثَمَّ، بما أن ، إذن التمثيل البياني (ج) ليس تمثيلًا بيانيًا للدالة . وبذلك يكون التمثيل البياني (أ) هو الإجابة النهائية.
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نعمل على حلها لاستنتاج المعادلة بمعلومية شكل القطع المكافئ.
مثال ٣: إيجاد معادلة تربيعية من تمثيل بياني
اكتب المعادلة التربيعية الممثَّلة بالرسم البياني الموضَّح.
الحل
تذكَّر أنه يمكن كتابة المعادلة التربيعية بصيغة رأس المنحنى ؛ حيث يقع الرأس عند . نلاحظ أن رأس المنحنى الموضَّح يقع عند . ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض بـ ، في الصورة العامة للمعادلة، لنحصل على:
لإيجاد قيمة في المعادلة، يمكننا اختيار أي إحداثي على القطع المكافئ، والتعويض بقيمتَي ، في المعادلة. من المفيد اختيار إحداثي ذي قيم صحيحة واضحة.
يمكننا ملاحظة أن الإحداثي يقع على القطع المكافئ؛ ومن ثَمَّ، بالتعويض بـ ، في ، نحصل على:
بما أن ، إذن يصبح لدينا: ويمكننا التعويض بهذه القيمة في لكتابة المعادلة على النحو الآتي:
مثال ٤: إيجاد معادلة تربيعية من تمثيل بياني
اكتب المعادلة الممثَّلة في التمثيل البياني الآتي. اكتب الإجابة على الصورة التحليلية.
الحل
في هذا النوع من الأسئلة، هيا نبدأ بفحص التمثيل البياني. يمكننا ملاحظة أن الإحداثيات التي يقطع التمثيل البياني عندها المحور هي ، ، وهو ما يُعطينا جذرَي المعادلة و٤. معادلة الدالة بهذين الجذرين هي . لكن، من المهم ملاحظة أن هناك العديد من الدوال التي لها أيضًا هذان الجذران؛ على سبيل المثال، .
إذا فككنا الأقواس في المعادلة ، فسنحصل على المعادلة . تذكَّر أنه في هذه الصورة للمعادلة التربيعية، ، يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ، على صورة النقطة . هذا يُطابِق التمثيلَ البياني، وهو ما يسمح لنا باعتبار المعادلة هي الإجابة.
وبطريقة بديلة، يمكننا استخدام رأس المنحنى للمساعدة في تحديد معادلته. تذكَّر أن رأس منحنى الدالة يقع عند . في هذا المنحنى، نلاحظ أن الرأس يقع عند ، وهو ما يُعطينا المعادلة . ولكي نُوجِد قيمة ، نختار إحداثيًّا على المنحنى ونعوِّض به عن قيمتي ، .
باختيار الإحداثي ، نعوِّض بـ ، في المعادلة ، لنحصل على:
وبإيجاد قيمة ، نحصل على:
يمكننا الآن إضافة ٩ إلى الطرفين لعزل ، وبذلك نحصل على:
إذن ، ومن ثم يصبح لدينا:
وبما أننا نحتاج إلى إجابة على الصورة التحليلية، إذن نفك قوسي هذه المعادلة، لنحصل على:
وبالتحليل، نحصل على الإجابة النهائية: .
في المثال التالي، سنتناول سؤالًا يتعلَّق بجذرَي المعادلة. وقد يكون من المفيد عادةً رسم تمثيل بياني وتحديد الإحداثيات الأساسية عليه، مع تذكُّر أن شكل القطع المكافئ للدالة التربيعية يمكن أن يكون على شكل منحنى لأعلى أو لأسفل.
مثال ٥: إيجاد جذرَي معادلة تربيعية
إذا كانت النقطة هي نقطة رأس منحنى دالة تربيعية ، وكان العدد ٦ جذرًا للمعادلة ، فأوجد جذر المعادلة الآخر.
الحل
تذكَّر أن الدالة على الصورة لها الرأس . وبما أننا علمنا من السؤال أن رأس منحنى الدالة هو ، إذن يمكننا التعويض بـ ، ، لنحصل على:
يمكننا إيجاد قيمة كالآتي:
وبإيجاد قيمة ، يصبح لدينا:
بما أن العدد ٦ هو أحد جذري المعادلة؛ أي ، إذن:
وبما أن ، إذن يصبح لدينا الآن المعادلة .
لإيجاد الجذر الآخر، علينا إيجاد جميع قيم عند . ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض بـ في ، لنحصل على:
بإضافة ٤ إلى الطرفين، نحصل على:
بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على:
عند أخذ الجذر التربيعي، علينا التفكير في كلٍّ من القيمتين الموجبة والسالبة، ليصبح لدينا:
يمكننا الآن إضافة ٤ إلى الطرفين لعزل :
ومن ثَمَّ، فإن الحلين اللذين توصَّلنا إليهما لقيمتي هما أو . وبما أن الجذر ٦ معطًى لدينا في السؤال، إذن يمكننا القول إن جذر المعادلة الآخر هو ٢.
النقاط الرئيسية
- باستخدام صورتَي المعادلة التربيعية، ، ، يمكننا التعرُّف على خواص التمثيل البياني.
- من خلال الصورة ، يمكننا تحديد:
- إذا كان المنحنى مفتوحًا لأعلى (عند ) أو لأسفل (عند ).
- الجزء المقطوع من المحور ، عند .
- جذرَي المعادلة، وذلك بتحليل المعادلة.
- من خلال الصورة ، يمكننا تحديد:
- إذا كان المنحنى مفتوحًا لأعلى (عند ) أو لأسفل (عند ).
- رأس منحنى المعادلة، عند .
- تذكَّر أنه يمكننا تغيير معادلة تربيعية بصيغة رأس المنحنى إلى معادلة تربيعية على الصورة العامة بفك القوسين.
- لكتابة معادلة دالة تربيعية بمعلومية منحنى الدالة، قد نحتاج إلى استخدام كلتا الصورتين. بالإضافة إلى ذلك، قد نحتاج إلى التعويض بالإحداثيات في المعادلة للتأكُّد من المعادلة أو لإيجاد قيمة بصيغة رأس المنحنى.
- من المفيد استخدام برنامج للتمثيل البياني؛ مثل الآلة الحاسبة البيانية، لإدخال بعض المعادلات التربيعية، وملاحظة كيف يتغيَّر التمثيل البياني بناءً على القيم.
