في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الحدَّ العام أو الصيغة التكرارية لمتتابعة لإيجاد حدودٍ في المتتابعة.
لنبدأ بتذكُّر أن المتتابعة قائمة مكوَّنة من أعداد مرتبة، كلٌّ منها يُسمَّى حدًّا، على سبيل المثال: و:
عند التعامل مع المتتابعات، عادةً ما يمكننا إيجاد الحدِّ التالي من خلال تحديد قاعدة عامة أو نمط.
في المثالين السابقين، يمكننا تحقيق ذلك عن طريق إضافة ٢ ثم الضرب في ٢.
يمكن استنتاج كلِّ حدٍّ من حدود المتتابعة من خلال قاعدة محدَّدة ترتبط بموقعه في المتتابعة أو تربط كلَّ حدٍّ بالحدِّ الذي يسبقه.
تُستخدَم الرموز للإشارة إلى الحدود المنفردة في المتتابعة. ويُعرَف هذا المقدار بالحدِّ العام، أو الحدِّ للمتتابعة.
تعريف: الحدُّ العام للمتتابعة
الحدُّ العام للمتتابعة، الذي يُسمَّى أحيانًا الحدَّ ويُكتَب على الصورة ، عبارة عن مقدار جبري يربط بين الحدِّ والعدد الذي يمثِّل موقعه في المتتابعة.
تأمَّل هذا الحدَّ العام: .
بما أن هذا هو الحدُّ للمتتابعة، إذن لإيجاد الحدِّ الثامن نعوِّض بـ في الصيغة:
وبالمثل، لإيجاد الحدود الثلاثة الأولى نبدأ بإيجاد الحدِّ الأول عن طريق التعويض بـ كالآتي:
ونحصل على الحدِّ الثاني بالتعويض بـ كالآتي:
وبالمثل، نوجد الحدَّ الثالث بالتعويض بـ كالآتي:
ومن ثَمَّ، فإن الحدود الثلاثة الأولى هي ٧، ١٠، ١٣.
هيا نلخِّص هذه الخطوات في الآتي:
خطوات: استخدام الحدِّ العام للمتتابعة
إذا كان الحدُّ العام للمتتابعة يتضمَّن مقدارًا بدلالة ، فعوِّض برقم الحدِّ عن لإيجاد قيمة حدٍّ معين في المتتابعة.
في المثالين الأولين، سنوضِّح كيفية إيجاد أول خمسة حدود في متتابعة بمعلومية حدِّها العام.
مثال ١: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية حدِّها العام
أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدُّها يُعطَى بالعلاقة ؛ حيث .
الحل
لإيجاد الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة، نعوِّض بـ ، ٥ في الصيغة كالآتي:
إذن الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة هي ، ، ، ٢، ١١.
مثال ٢: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية حدِّها العام
أوجد الحدود الخمسة الأولى لمتتابعة حدُّها .
الحل
لإيجاد الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة، نعوِّض بـ ، ٥ في الصيغة كالآتي:
إذن الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة هي ٦، ٢٨، ٧٢، ١٤٤، ٢٥٠.
في المثال التالي، علينا إيجاد حدٍّ معين في متتابعة بمعلومية حدِّها العام.
مثال ٣: إيجاد حدٍّ معين في متتابعة بمعلومية حدِّها العام
أوجد الحدَّ السابع في المتتابعة التي حدُّها النوني .
الحل
لإيجاد الحدِّ السابع في المتتابعة، نعوِّض بـ في الصيغة كالآتي:
إذن الحد السابع في المتتابعة هو ٣٢٩.
قبل أن نتناول المثال التالي، سنناقش ما الذي يعنيه أن يكون الحدُّ العام صيغة تكرارية. يتحقَّق ذلك عندما يكون الحدُّ العام مقدارًا جبريًّا يرتبط بالحدِّ الذي يسبقه.
تعريف: الصيغة التكرارية
يمكن تعريف المتتابعة باستخدام حدٍّ عام لها يُعطَى باعتباره مقدارًا جبريًّا بدلالة حدود أخرى من المتتابعة. تتحقَّق هذه العلاقة بين الحدود في المتتابعة بأكملها؛ ولذلك تُسمَّى علاقة تكرارية.
تأمَّل هذا الحدَّ العام: ، ، .
يمكننا ملاحظة أن هذه الصيغة تحتوي على مقدار بدلالة . وهذا هو الحدُّ الذي يسبق ، وهكذا تخبرنا هذه القاعدة أنه لإيجاد حدٍّ في متتابعةٍ ما، علينا ضرب الحدِّ السابق في ٢ ثم إضافة ٥.
يمكننا إيجاد ، كالآتي:
إذن الحدود الثلاثة الأولى هي ٤، ١٣، ٢١.
هيا نلخِّص ذلك في الآتي:
خطوات: استخدام الصيغة التكرارية لمتتابعة
إذا كان الحدُّ العام للمتتابعة يتضمَّن مقدارًا بدلالة ، فعوِّض بقيمة الحدِّ السابق عن لإيجاد قيمة أيِّ حدٍّ.
إذا كان الحدُّ العام يتضمَّن مقدارًا لـ بدلالة ، فعوِّض بقيمة الحدِّ السابق عن لإيجاد قيمة .
يوجد مثال آخَر على الصيغة التكرارية؛ وهو الصيغة المستخدَمة لوصف متتابعة فيبوناتشي:
يرتبط كلُّ حدٍّ في متتابعة فيبوناتشي بالحدود التي تسبقه. لكن لا يمكن وصف متتابعة فيبوناتشي بسهولة باستخدام صيغة تربط الحدود بأرقام مواقعها. بدلًا من ذلك، نَصِف المتتابعة باستخدام الصيغة التكرارية.
تعطينا الصيغة التكرارية لمتتابعة فيبوناتشي أول حدين، وتُعرِّف كلَّ حدٍّ تالٍ عن طريق جمع الحدين السابقين:
لإيجاد الحدِّ العاشر من المتتابعة، على سبيل المثال، نجمع الحدين الثامن والتاسع كالآتي:
بعد أن شرحنا كيفية استخدام الصيغة التكرارية، هيا نتناول مثالًا أكثر تعقيدًا يتضمَّن أُسسًا متغيِّرة.
مثال ٤: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية الصيغة التكرارية
أوجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة ، إذا علمتَ أن ، ، .
الحل
علينا أولًا معرفة أن هذه الصيغة مثالٌ لصيغة تكرارية؛ حيث هو الحدُّ الذي يلي .
لإيجاد حدود تالية من المتتابعة، علينا التعويض بقيمة الحدِّ السابق عن .
وبما أن :
سنعوِّض الآن بقيمة في الصيغة، ونجد أن:
بعد ذلك، نعوِّض بقيمة في الصيغة لإيجاد كالآتي:
وأخيرًا، نعوِّض بقيمة في الصيغة لإيجاد كالآتي:
إذن الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة هي ، ، ١١، ، .
من الجدير بالملاحظة في المثال السابق، أن الحد الأول، ، كان يساوي الحدَّ الخامس، . هذا يعني أن لدينا متتابعة دورية تتكرَّر فيها الحدود الأربعة الأولى نفسها.
ويمكن توضيح ذلك على النحو الآتي:
في المثال الأخير، سنحدِّد أيُّ الصيغ المعطاة تمثِّل المتتابعة المعطاة.
مثال ٥: التحقُّق من الحدِّ العام للمتتابعة
أيُّ الاختيارات الآتية تُمثِّل صيغة الحدِّ العام للمتتابعة ٥٢، ٨٤، ١١٦، ١٤٨؟
الحل
بما أن الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة هي ٥٢، ٨٤، ١١٦، ١٤٨، إذن الطريقة الوحيدة التي يمكن اتِّباعها لإيجاد الصيغة الصحيحة للحدِّ العام من المتتابعة ٥٢، ٨٤، ١١٦، ١٤٨ هي التعويض بـ ، ٤ في جميع الاختيارات.
ننظر إلى الاختيار أ؛ حيث .
وهذا يعطينا:
الصيغة تعطينا المتتابعة ٥٢، ٨٢، ١١٢، ١٤٢؛ إذن هذه ليست الإجابة الصحيحة.
ننظر إلى الاختيار ب؛ حيث .
وهذا يعطينا:
الصيغة تعطينا المتتابعة ٥٢، ٨٤، ١١٦، ١٤٨؛ إذن هذه هي الإجابة الصحيحة.
على الرغم من أن الاختيار ب صحيح، فإنه تجدر بنا محاولة إيجاد الحدود الأربعة الأولى باستخدام الصيغ الثلاث الأخرى للتأكُّد من عدم صحتها.
ننظر إلى الاختيار جـ؛ حيث .
هذا يعطينا:
الصيغة تعطينا المتتابعة ١١٦، ١٤٨، ١٨٠، ٢١٢؛ إذن هذه ليست الإجابة الصحيحة.
ننظر إلى الاختيار د؛ حيث .
هذا يعطينا:
الصيغة تعطينا المتتابعة ٨٤، ١١٦، ١٤٨، ١٨٠؛ إذن هذه ليست الإجابة الصحيحة.
ننظر إلى الاختيار هـ؛ حيث .
هذا يعطينا:
الصيغة تعطينا المتتابعة ١٤٤، ١٧٥، ٢٠٤، ٢٣٤؛ إذن هذه ليست الإجابة الصحيحة.
لذلك يمكننا التأكُّد أن الاختيارات أ، جـ، د، هـ ليست صحيحة. والصيغة الصحيحة هي .
هيا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- الحدُّ العام للمتتابعة، الذي يُسمَّى أحيانًا الحدَّ ويُكتَب على الصورة ، هو مقدار جبري يربط الحدَّ بالعدد الذي يمثِّل موقعه أو بالحدِّ الذي يسبقه (يُعرَف هذا بالصيغة التكرارية).
- إذا كان الحدُّ العام للمتتابعة يتضمَّن مقدارًا بدلالة ، فعوِّض برقم الحدِّ عن .
- إذا كان الحدُّ العام للمتتابعة يتضمَّن مقدارًا بدلالة ، فعوِّض بقيمة الحدِّ السابق عن .
- إذا كان الحدُّ العام يتضمَّن مقدارًا يعبِّر عن بدلالة ، فعوِّض بقيمة الحدِّ السابق عن لإيجاد قيمة .
