شارح الدرس: مواضع النقاط والخطوط المستقيمة والدوائر بالنسبة إلى الدوائر الرياضيات

مثال ١: استخدام موضع نقطة بالنسبة إلى دائرة لحل متباينة

دائرة نصف قطرها ٩٠ سم. تقع نقطة على الدائرة على مسافة سم من المركز. أيٌّ من الآتي صواب؟

الحل

تَذكَّرْ أنه إذا كانت نقطةٌ ما تقع على دائرة، فإن المسافة التي تَبعُدها عن المركز تساوي نصف القطر. وهذا يعطينا المعادلة الخطية الآتية:

وعلى الرغم من أن ذلك ليس مطلوبًا تمامًا، فسنوضِّح ما ذكرناه بالأعلى عن طريق رسم شكل يوضِّح المسألة. نفترض أن مركز الدائرة، النقطة التي تقع على الدائرة. نحصُل إذن على الشكل الآتي.

والآن، يمكن حل المعادلة السابقة بإعادة ترتيبها بدلالة . هذا يعطينا:

وبناءً عليه، فإن الحل هو الخيار (ب)، .

مثال ٢: تحديد إذا ما كان المستقيم قاطعًا لدائرة أو مماسًّا لها أو يقع خارجها

دائرة نصف قطرها ٦٥. افترِض أن النقطة تقع على الخط المستقيم ، والقطعة المستقيمة عمودية على الخط المستقيم . إذا كان ، فكيف نَصِف علاقة الخط المستقيم بالدائرة؟

1. قاطع للدائرة .
2. مماس للدائرة .
3. خارج الدائرة .

الحل

نتذكر أننا إذا قارنَّا المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم بالنسبة إلى نصف قطر الدائرة، يمكننا تحديد إذا ما كان قاطعًا للدائرة أو مماسًّا لها أو يقع خارجها.

على وجه التحديد، تُعرف المسافة من إلى بواسطة طول القطعة المستقيمة العمودية الواصلة بين ، . وبما أن عمودي على ؛ فهي إذن تقيس المسافة من إلى .

ومن ثمَّ، تُحقِّق المعادلة:

يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد بإعادة ترتيبها:

وأخيرًا، نقارن بالنسبة إلى نصف القطر. بما أن طول نصف القطر يساوي ٦٥، ، إذن نَصِف العلاقة بينهما كالآتي:

نوضِّح ذلك بالشكل الآتي.

وبما أن ، نستنتج إذن أن الحل هو الخيار ، وهو قاطع للدائرة ، وذلك وفقًا للتعريف.

مثال ٣: إيجاد قياس زاوية باستخدام العلاقة بين المماسات وأنصاف الأقطار والزوايا في نصف دائرة

إذا كان مماسًّا للدائرة التي مركزها ، ، فأوجد .

الحل

يساعدنا دائمًا أن نبدأ بكتابة المعطيات على الشكل.

في هذا الشكل، نشير إلى الزاوية بالرمز حيث إنها الزاوية التي علينا إيجاد قياسها.

نبدأ بملاحظة أن خط مستقيم، ونعرف أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ، إذن:

نلاحظ أيضًا أن ، نصفا قطرين في الدائرة (مثل ، لكننا لا نحتاج إليه هنا). جميع أنصاف أقطار الدائرة لها الطول نفسه؛ ومن ثم، فإن . هيَّا نضع هذه المعلومات على الشكل.

ننظر إلى المثلث . بما أنه يوجد ضلعان في متساويان في الطول، إذن فهو مثلث متساوي الساقين. ومن ذلك نعرف أن الزاويتين المتبقيتين متساويتان في القياس. نفترض أن . ونعلم أيضًا أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . ومن ثم، نحصل على:

هيَّا نضع ذلك على الشكل مرة أخرى.

أخيرًا، نحسب قيمة ، ونستخدم في ذلك الخاصية التي تصف العلاقة بين مماس الدائرة ونصف قطرها. بما أن مماس للدائرة، نصف قطرها، إذن الزاوية زاوية قائمة. ومن ثم، يكون لدينا:

إذن، الإجابة هي .

مثال ٤: إيجاد المسافة بين دائرتين بمعلومية نصفَي القطرين والعلاقة بينهما

افترِض أن لدينا دائرتين، إحداهما مركزها ونصف قطرها ، والأخرى مركزها ونصف قطرها . إذا كانت الدائرتان متقاطعتين عند نقطتين مختلفتين، فأيٌّ من الآتي يمثِّل المدى الصحيح لقِيَم طول ؟

الحل

في البداية، من المفيد أن نرسم شكلًا يوضِّح ما يحدث تقريبًا. باستخدام طولَي نصفَي قطرَي الدائرتين المعطيين، ، ، وحقيقة أن المسافة بينهما، وأنهما تتقاطعان عند نقطتين مختلفتين (، ، مثلًا)، نرسم ما يأتي.

يمكننا أن نلاحظ أن القيم التي يمكن أن تأخذها المسافة تعتمد على طولَي نصفَي القطرين. من ناحية، يجب ألَّا تكون الدائرتان متباعدتين كثيرًا، حيث إنهما ستتقاطعان مرة واحدة فقط أو لا تتقاطعان على الإطلاق. تحديدًا، يُشترط لذلك أن يكون:

من ناحية أخرى، يجب أيضًا ألَّا تكون الدائرتان قريبتين جدًّا، حيث إنه حينئذٍ ستقع إحداهما كليًّا داخل الأخرى. هذا يعني أن:

بالتالي، لكي تتقاطع الدائرتان مرتين، فإننا نجمع بين الشرطين المذكورين سابقًا لنجد أن يجب أن يقع ضمن القيم الآتية:

مثال ٥: إيجاد طول مماس لدائرتين بمعلومية نصفَي قطرَيهما

إذا كان ، ، فأوجد طول .

الحل

نبدأ برسم نسخة من الشكل نضع عليها بعض المعلومات المعطاة في السؤال أو المعلومات التي يمكننا إيجادها بسهولة. في البداية، نعرف أن ، نصفَا قطرين مركزُهما ، وأن ، نصفَا قطرين مركزُهما ، لذا يمكننا أن نكتب عليهم ١٦ سم، ١٣ سم على الترتيب. بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ أن مماس لكلتا الدائرتين، ومن ثم يكوِّن زاويتين قائمتين مع نصفَي القطرين عند النقطتين ، . هيَّا نرسم هذا الشكل كما يأتي.

لقد رمزنا أيضًا إلى المسافة بالرمز ؛ حيث إنها المسافة التي نريد إيجادها. هناك طريقة لإيجاد وهي تكوين مستطيل بإضافة النقطة إلى ، بحيث يكون مستطيلًا. وهذا يكوِّن مثلثًا قائم الزاوية بالأعلى، هو ، والذي يمكننا استخدامه لإيجاد قيمة باستخدام نظرية فيثاغورس. نوضِّح ذلك كما يأتي.

لقد كوَّنَّا هنا مستطيلًا طوله وارتفاعه ١٣ سم، ومثلثًا قائم الزاوية ارتفاعه وطول الوتر . بعد ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة كالآتي:

وأخيرًا، يمكننا استخدام خاصية الجذور الصماء التي توضِّح أن لتبسيط الإجابة:

وفي الختام، نستنتج أن .