شارح الدرس: المصفوفات الموسَّعة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُفسِّر المصفوفات الموسَّعة، ونُمثِّل أنظمة المعادلات الخطية في صورة مصفوفة موسَّعة.

إن إحدى أقدم المشكلات العامة التي نواجهها في الرياضيات هي أن نتمكَّن من حلِّ نظام من المعادلات الخطية في متغيِّرات متعدِّدة. وأبسط مثال على ذلك هو نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في متغيِّرين، كما يلي:

في هذه الحالة ، هما المتغيِّران المطلوب إيجادهما، ويُشار إلى العددين المضروبين في هذين المتغيِّرين باسم «المعاملات». في هذه الحالة معامل الحدِّ المشتمل على في المعادلة الأولى هو العدد ١، ومعامل الحدِّ المشتمل على هو ٣. وفي المعادلة الثانية، معامل الحدِّ المشتمل على هو ٢، ومعامل الحدِّ المشتمل على هو .

عادةً ما يُشار إلى المثال الذي يحتوي على معادلتين خطيتين ومتغيِّرين، مثل النظام الموضَّح بالأعلى، باسم «المعادلات الآنية»، أو بصفة أعم نظام مكوَّن من معادلتين، ويتعلَّم الطلاب عادةً حلَّ هذه الأنواع من المسائل في مراحل التعليم الأساسي. وتُعَدُّ الطُّرق المُستخدَمة لحلِّ هذه الأنظمة البسيطة نسبيًّا صحيحة تمامًا، على الرغم من أنها تصبح أكثر صعوبة عندما تتسع لتشمل أنظمة المعادلات الخطية التي تحتوي على عدد أكبر من المتغيِّرات أو المعادلات. على سبيل المثال، يحتوي النظام الآتي على ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات:

يتطلَّب حلُّ هذا النظام من المعادلات الخطية خطواتٍ أكثر بكثير من المثال الأول، وهو ما يؤدِّي إلى احتمالية وقوع الأخطاء بنسبة أكبر أثناء إجراء العمليات الحسابية. ولمُساعدتنا على الحدِّ من حدوث هذه الأخطاء، وكذلك توفير بنية أكثر تنظيمًا لحلِّ أنظمة المعادلات الخطية، ثمة طريقة معيَّنة تُستخدَم عادةً تُسمَّى «اختزال الصفوف» أو «طريقة جاوس-جوردان للحذف». وتهدف هذه الطريقة إلى حذف جميع التفاصيل الدخيلة؛ أولًا عن طريق وضع جميع المعاملات من نظام المعادلات الخطية داخل مصفوفة؛ بحيث يُناظر كلُّ عنصر من عناصر هذه المصفوفة معاملًا واحدًا فقط.

انظر إلى نظام المعادلات الخطية الآتي:

علينا أن نسأل أنفسنا سؤالًا إذا ما كان هذا القدْر من التفاصيل مطلوبًا أو لا. بعبارة أخرى، كيف يُمكننا حذف أيِّ تفاصيل إضافية دون فقدان أيِّ معلومات عن النظام السابق؟ والإجابة هي أن علينا أولًا توحيد الترتيب الذي تَظهَر به متغيِّرات المعادلتين الخطيتين المُعطاتين بالترتيب القياسي. وفي هذه الحالة، عند القراءة من اليمين إلى اليسار، تبدأ كلُّ معادلة بالحدِّ المُشتمِل على أولًا مع معامله، يَلِيه الحدُّ المُشتمِل على مع معامله، وكلاهما في الطرف الأيمن من علامة يساوي.

لنفترض أنَّنا كتبنا المتغيِّر باللون الوردي، والمتغيِّر باللون الأزرق. حينئذٍ، سنكتب نظام المعادلتين الخطيتين هكذا:

وتتم المُحاذاة بحيث تُكتَب الحدود المشتملة على (ومعاملاتها) تحت بعضها مباشرةً، وينطبق الأمر نفسه على الحدود المشتملة على . وفي هذه الحالة، بشرط مُراعاة هذه المُحاذاة، لا يُوجَد مانع من كتابة المعاملات في مصفوفة هكذا:

إذا كان العمود الأيمن يمثِّل معاملَيِ الحدَّيْن المشتملين على ، والعمود الأيسر يمثِّل معاملَيِ الحدَّيْن المشتملين على ، فإن هذه المصفوفة ترمز إلى نفس مُعطيات النظام الأصلي المكوَّن من المعادلتين الخطيتين المُشار إليه بالرقم (١) ولكنْ بتفاصيل أقلَّ.

لنفترض الآن أننا أردنا تضمين «جميع» المُعطيات عن نظام المعادلتين المُعطى المُشار إليه بالرقم (١). حينئذٍ، تتم أيضًا مُحاذاة الحدَّيْن في الطرف الأيسر من علامة يساوي، ويُمكننا تمثيل ذلك في مصفوفة هكذا: حيث يمثِّل الخط الرأسي علامة يساوي. وبذلك، نكون قد نسقنا النظام الأصلي للمعادلتين الخطيتين المُشار إليه بالرقم (١) بدقة، لكن دون الحاجة إلى كتابة المتغيِّرين ، .

إذا كان لدينا نظام معادلات خطية مثل النظام السابق، قد تبدو هذه الطريقة مُبالغًا فيها. ولكن، تزداد أهمية هذه الطريقة عندما يكون هناك عدد أكبر من المعادلات أو المتغيِّرات. وعندئذٍ تكون هذه الطريقة مُفيدة للغاية، لدرجة أنه يُعطَى اسم خاص للمصفوفتين اللتين ترمزان إلى هذه المعطيات، كما هو موضَّح في التعريف الآتي.

يجب أن يُوضِّح هذا التعريف العام بصورة أفضل كيف يُمكن تضمين جميع المعلومات المهمة من نظام المعادلات الخطية داخل المصفوفة الموسَّعة، دون الحاجة إلى استمرار كتابة جميع المتغيِّرات التي تُشكِّل جزءًا من النظام. ويدعم هذا استخدام «طريقة جاوس-جوردان للحذف»، وهي الطريقة الأكثر شيوعًا لإيجاد الحلِّ.

تحتوي المصفوفة المُوسَّعة على جميع المُعلومات عن نظام مُعطًى من المعادلات الخطية. وعلى جانب آخَر، ثمة أوصاف مكافئة لمثل هذه الأنظمة يُمكن أن تكون مُفيدة في حدِّ ذاتها، خاصةً عندما تُساهم في فهْم المسألة بدلالة العمليات القياسية للجبر الخطي. على سبيل المثال، نفترض أنه لدينا نظام معادلات خطية، كما هو موضَّح في التعريف السابق، وخصصنا رمزًا «لمصفوفة المعاملات» كما يأتي: .

ونفترض أيضًا أننا عرَّفنا «مصفوفة المتغيِّرات» و«مصفوفة الثوابت»، على الترتيب، على الصورة:

باستخدام خواص ضرب المصفوفات، نلاحِظ أنه يُمكن التعبير عن نظام المعادلات الخطية بواسطة المعادلة الجبرية البسيطة . وعليه، يكون الهدف العام هو إيجاد مصفوفة المتغيِّرات ، والتي تُعطينا قِيَم كلٍّ من ؛ ومن ثَمَّ تحلُّ نظام المعادلات الخطية. بافتراض أن مصفوفة مربعة (وهو ما يعني أن )، فحينها قد يكون معكوس المصفوفة موجودًا؛ بحيث يكون ؛ حيث مصفوفة الوحدة من الرُّتبة . إذا كانت هذه المصفوفة التي تمثِّل معكوس المصفوفة موجودة، فيُمكننا إيجاد بضرب كلا طرفَيْ من جهة اليمين في معكوس المصفوفة ، ومن ثَمَّ نحصل على . بمعرفة أن ، ، نجد أن هذه الخطوة الإضافية من الحلِّ تُعطينا الحلَّ المطلوب . ومن ثَمَّ، فإن إيجاد يعتمد على إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات، ثم ضربه في مصفوفة الثوابت.

توضِّح الفكرة السابقة الخارجة عن سياق الشارح كيف يُمكن أن يكون من المُفيد الاستدلال على الأوصاف المكافئة لأنظمة المعادلات الخطية. إلا أن الطريقة المُشار إليها سابقًا ليست مُفيدة إلا عندما يكون عدد المعادلات في نظام المعادلات الخطية هو نفس عدد المتغيِّرات، وهو ما يعني أن تكون مصفوفة المعاملات مصفوفة مربعة، وبهذا يكون المعكوس الضربي لها معرَّفًا تعريفًا جيِّدًا (وهو ما لا يعني أن هذا المعكوس موجود دائمًا، فالأمر ليس بالضرورة أن يكون كذلك). غالبًا ما يكون التعبير عن نظام المعادلات الخطية بدلالة المصفوفة الموسَّعة هو نقطة البداية الأكثر فائدة؛ حيث إنها تتضمَّن جميع المُعطَيات الخاصة بالمعاملات والحدود الثابتة، كما توفِّر مساحة طبيعية للعمليات الصفية التي يجب إجراؤها باعتبارها جزءًا من طريقة «جاوس-جوردان للحذف».

نلاحِظ أنه إذا كان نظام المعادلات الخطية يحتوي على من المعادلات في من المتغيِّرات، فإن مصفوفة المعاملات ستحتوي على من الصفوف، من الأعمدة، ومن ثَمَّ، يكون لها «البُعد» . وتتضمَّن المصفوفة الموسَّعة عمودًا إضافيًّا لحدود كلِّ معادلة في الطرف الأيسر من علامة يساوي. وعليه، فإن المصفوفة الموسَّعة تحتوي على من الصفوف، من الأعمدة، ومن ثَمَّ يُمكننا القول إن بُعدها هو .

هذا التعريف السابق تعريف عام للغاية سنتناوله بعد قليل في العديد من الأمثلة. ومن الجدير بالذكر أن قابلية تطبيق هذه الطريقة تعتمد كليًّا على كتابة المتغيِّرات «بالترتيب نفسه» داخل كلِّ معادلة خطية، قبل فصل المعاملات ووضعها في المصفوفة الموسَّعة. في الأمثلة القليلة الأولى التي سنتناولها، رُتِّبت بالفعل المعادلات بهذه الطريقة. لكنْ في أمثلة لاحقة، لن تكون هذه الخطوة مكتملة، ومن ثَمَّ، علينا أن نحرص على ضمان إجراء ذلك قبل تكوين مصفوفات المعاملات أو المصفوفات الموسَّعة.

في المثال السابق، كان نظام المعادلات الخطية مكتوبًا في صورة مناسبة؛ حيث كان الحدُّ الأول في كلِّ معادلة هو الحدَّ المُشتمل على ، متبوعًا بالحدِّ المشتمل على ، ثم تأتي بعدهما مباشرةً علامة يساوي. وحيث إنه كانت الحالة كذلك بالفعل، فقد كانت كتابة المصفوفة الموسَّعة المُناظِرة عملية سهلة ومباشرة إلى حدٍّ ما، ولا تتطلَّب عدد الخطوات التي استعرضناها (إلَّا بغرض الإيضاح). أمَّا إذا كانت لدينا المصفوفة الموسَّعة، وكان مطلوبًا منَّا كتابة النظام المُناظِر من المعادلات الخطية، فسيكون الحلُّ بديهيًّا للغاية؛ لأن المصفوفة الموسَّعة ستكون بالفعل بالترتيب الدقيق المطلوب.

نظرًا لأن المثال الوارد سابقًا لم يذكر تحديدًا أنه كان علينا استخدام المتغيِّرين ، ، كان بإمكاننا بسهولة استخدام أيِّ متغيِّرين آخَرين. على سبيل المثال، بدلًا من استخدام المتغيِّرين ، ، كان بإمكاننا استخدام المتغيِّرين ، ، وهو ما كان سيُعطينا:

في المثالين الموضَّحين سابقًا، تناولنا فقط المصفوفات الموسَّعة التي تكون فيها جميع العناصر لا تساوي صفرًا. ويجب ألا يكون هذا هو الحال دائمًا؛ حيث من الممكن تمامًا أن نتناول مصفوفات موسَّعة تحتوي على عنصر واحد على الأقلِّ قيمته صفر. ولا ينبغي لهذا الأمر أن يُزعجنا؛ حيث إن حلَّ هذه المسائل يتطابق مع تلك المسائل التي تكون فيها جميع العناصر لا تساوي صفرًا. في المثال الآتي، سنوضِّح ذلك، وسنُقدِّم بعض الخطوات اللازمة لتوضيح كيفية التعامل مع هذه الأسئلة بشكل صحيح.

الأسئلة السابقة التي تناولناها تضمَّنت متغيِّرات مكتوبة بالفعل بنفس ترتيب جميع معادلات النظام الخطي. لا يُوجَد سبب مُحدَّد لذلك، ولكن ربما من المحتمل أنه في مرحلة ما، سيكون علينا التعامل مع نظام معادلات خطية ليست مكتوبة بطريقة مُفيدة ومميزة. وفي هذه الحالة، سيتطلَّب الأمر خطوة إضافية واحدة فقط تُعتبَر جزءًا من طريقة إيجاد المصفوفة الموسَّعة. هذه الخطوة بسيطة، وسيُساعدنا فيها أن نميِّز كلَّ متغيِّر بلون مختلف، كما كان الحال في الأسئلة السابقة.

في المثال الأخير من هذا الشارح، سنتناول مصفوفة موسَّعة، وسيكون مطلوبًا منَّا كتابتها على صورة نظام مناظِر من المعادلات الخطية. وقد قدَّمنا مثالًا واحدًا على هذا النوع سابقًا؛ حيث كان لدينا معادلتان ومتغيِّران في نظام المعادلات الخطية. المثال التالي سيكون أكثر تعقيدًا؛ إذ سنتعامل مع نظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات.

لقد رأينا في هذا الشارح أنه عادةً ما يكون التحويل بين نظام المعادلات الخطية والمصفوفة الموسَّعة المُناظِرة عملية بسيطة. والأمر الوحيد الذي ينبغي الانتباه إليه عند الحلِّ بهذه الطريقة هو أن نظام المعادلات الخطية يجب أن يُكتَب بطريقة بحيث تَظهَر دائمًا المتغيرات بالترتيب نفسه في كلِّ معادلة من هذا النظام. وعندئذٍ، يكون التحويل بين نظام المعادلات الخطية والمصفوفة الموسَّعة بديهيًّا بشكل أساسي. بمجرد كتابة نظام المعادلات الخطية على صورة المصفوفة الموسَّعة الصحيحة، يُمكننا حلُّ نظام المعادلات من خلال التعامل مع المصفوفة الموسَّعة باستخدام العمليات الصفية باعتبارها جزءًا من طريقة «جاوس-جوردان للحذف».