شارح الدرس: المصفوفات الموسَّعة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُفسِّر المصفوفات الموسَّعة، ونُمثِّل أنظمة المعادلات الخطية في صورة مصفوفة موسَّعة.

إن إحدى أقدم المشكلات العامة التي نواجهها في الرياضيات هي أن نتمكَّن من حلِّ نظام من المعادلات الخطية في متغيِّرات متعدِّدة. وأبسط مثال على ذلك هو نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في متغيِّرين، كما يلي: 𞸎+٣𞸑=١،٢𞸎𞸑=٣.

في هذه الحالة 𞸎، 𞸑 هما المتغيِّران المطلوب إيجادهما، ويُشار إلى العددين المضروبين في هذين المتغيِّرين باسم «المعاملات». في هذه الحالة معامل الحدِّ المشتمل على 𞸎 في المعادلة الأولى هو العدد ١، ومعامل الحدِّ المشتمل على 𞸑 هو ٣. وفي المعادلة الثانية، معامل الحدِّ المشتمل على 𞸎 هو ٢، ومعامل الحدِّ المشتمل على 𞸑 هو ١.

عادةً ما يُشار إلى المثال الذي يحتوي على معادلتين خطيتين ومتغيِّرين، مثل النظام الموضَّح بالأعلى، باسم «المعادلات الآنية»، أو بصفة أعم نظام مكوَّن من معادلتين، ويتعلَّم الطلاب عادةً حلَّ هذه الأنواع من المسائل في مراحل التعليم الأساسي. وتُعَدُّ الطُّرق المُستخدَمة لحلِّ هذه الأنظمة البسيطة نسبيًّا صحيحة تمامًا، على الرغم من أنها تصبح أكثر صعوبة عندما تتسع لتشمل أنظمة المعادلات الخطية التي تحتوي على عدد أكبر من المتغيِّرات أو المعادلات. على سبيل المثال، يحتوي النظام الآتي على ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات: ٤𞸎+٣𞸑+𞸏=٨،𞸎٢𞸑𞸏=١،𞸑+𞸏=٣.

يتطلَّب حلُّ هذا النظام من المعادلات الخطية خطواتٍ أكثر بكثير من المثال الأول، وهو ما يؤدِّي إلى احتمالية وقوع الأخطاء بنسبة أكبر أثناء إجراء العمليات الحسابية. ولمُساعدتنا على الحدِّ من حدوث هذه الأخطاء، وكذلك توفير بنية أكثر تنظيمًا لحلِّ أنظمة المعادلات الخطية، ثمة طريقة معيَّنة تُستخدَم عادةً تُسمَّى «اختزال الصفوف» أو «طريقة جاوس-جوردان للحذف». وتهدف هذه الطريقة إلى حذف جميع التفاصيل الدخيلة؛ أولًا عن طريق وضع جميع المعاملات من نظام المعادلات الخطية داخل مصفوفة؛ بحيث يُناظر كلُّ عنصر من عناصر هذه المصفوفة معاملًا واحدًا فقط.

انظر إلى نظام المعادلات الخطية الآتي:

٥𞸎+٢𞸑=٢،٣𞸎٣𞸑=٦.()١

علينا أن نسأل أنفسنا سؤالًا إذا ما كان هذا القدْر من التفاصيل مطلوبًا أو لا. بعبارة أخرى، كيف يُمكننا حذف أيِّ تفاصيل إضافية دون فقدان أيِّ معلومات عن النظام السابق؟ والإجابة هي أن علينا أولًا توحيد الترتيب الذي تَظهَر به متغيِّرات المعادلتين الخطيتين المُعطاتين بالترتيب القياسي. وفي هذه الحالة، عند القراءة من اليمين إلى اليسار، تبدأ كلُّ معادلة بالحدِّ المُشتمِل على 𞸎 أولًا مع معامله، يَلِيه الحدُّ المُشتمِل على 𞸑 مع معامله، وكلاهما في الطرف الأيمن من علامة يساوي.

لنفترض أنَّنا كتبنا المتغيِّر 𞸎 باللون الوردي، والمتغيِّر 𞸑 باللون الأزرق. حينئذٍ، سنكتب نظام المعادلتين الخطيتين هكذا: ٥𞸎+٢𞸑=٢،٣𞸎٣𞸑=٦.

وتتم المُحاذاة بحيث تُكتَب الحدود المشتملة على 𞸎 (ومعاملاتها) تحت بعضها مباشرةً، وينطبق الأمر نفسه على الحدود المشتملة على 𞸑. وفي هذه الحالة، بشرط مُراعاة هذه المُحاذاة، لا يُوجَد مانع من كتابة المعاملات في مصفوفة هكذا: 󰂔٥٢٣٣󰂓.

إذا كان العمود الأيمن يمثِّل معاملَيِ الحدَّيْن المشتملين على 𞸎، والعمود الأيسر يمثِّل معاملَيِ الحدَّيْن المشتملين على 𞸑، فإن هذه المصفوفة ترمز إلى نفس مُعطيات النظام الأصلي المكوَّن من المعادلتين الخطيتين المُشار إليه بالرقم (١) ولكنْ بتفاصيل أقلَّ.

لنفترض الآن أننا أردنا تضمين «جميع» المُعطيات عن نظام المعادلتين المُعطى المُشار إليه بالرقم (١). حينئذٍ، تتم أيضًا مُحاذاة الحدَّيْن في الطرف الأيسر من علامة يساوي، ويُمكننا تمثيل ذلك في مصفوفة هكذا: 󰃭٥٢٢٣٣٦󰃬، حيث يمثِّل الخط الرأسي علامة يساوي. وبذلك، نكون قد نسقنا النظام الأصلي للمعادلتين الخطيتين المُشار إليه بالرقم (١) بدقة، لكن دون الحاجة إلى كتابة المتغيِّرين 𞸎، 𞸑.

إذا كان لدينا نظام معادلات خطية مثل النظام السابق، قد تبدو هذه الطريقة مُبالغًا فيها. ولكن، تزداد أهمية هذه الطريقة عندما يكون هناك عدد أكبر من المعادلات أو المتغيِّرات. وعندئذٍ تكون هذه الطريقة مُفيدة للغاية، لدرجة أنه يُعطَى اسم خاص للمصفوفتين اللتين ترمزان إلى هذه المعطيات، كما هو موضَّح في التعريف الآتي.

تعريف: مصفوفة العوامل والمصفوفة الموسَّعة لنظام المعادلات الخطية

افترض أن لدينا نظامًا عامًّا من المعادلات الخطية في المتغيِّرات 𞸎،𞸎،𞸎١٢𞸍 وبالمعاملات 󰏡𞸑𞸏: 󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁.١١١١٢٢١𞸍𞸍١٢١١٢٢٢٢𞸍𞸍٢𞸌١١𞸌٢٢𞸌𞸍𞸍𞸌

إذن «مصفوفة المعاملات» هي: 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡،١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍 و«المصفوفة الموسَّعة» هي: 󰏡󰏡󰏡𞸁󰏡󰏡󰏡𞸁󰏡󰏡󰏡𞸁.١١١٢١𞸍١٢١٢٢٢𞸍٢𞸌١𞸌٢𞸌𞸍𞸌

يجب أن يُوضِّح هذا التعريف العام بصورة أفضل كيف يُمكن تضمين جميع المعلومات المهمة من نظام المعادلات الخطية داخل المصفوفة الموسَّعة، دون الحاجة إلى استمرار كتابة جميع المتغيِّرات التي تُشكِّل جزءًا من النظام. ويدعم هذا استخدام «طريقة جاوس-جوردان للحذف»، وهي الطريقة الأكثر شيوعًا لإيجاد الحلِّ.

تحتوي المصفوفة المُوسَّعة على جميع المُعلومات عن نظام مُعطًى من المعادلات الخطية. وعلى جانب آخَر، ثمة أوصاف مكافئة لمثل هذه الأنظمة يُمكن أن تكون مُفيدة في حدِّ ذاتها، خاصةً عندما تُساهم في فهْم المسألة بدلالة العمليات القياسية للجبر الخطي. على سبيل المثال، نفترض أنه لدينا نظام معادلات خطية، كما هو موضَّح في التعريف السابق، وخصصنا رمزًا «لمصفوفة المعاملات» كما يأتي: 󰏡=󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍.

ونفترض أيضًا أننا عرَّفنا «مصفوفة المتغيِّرات» و«مصفوفة الثوابت»، على الترتيب، على الصورة: 𞸎=𞸎𞸎𞸎،𞸁=𞸁𞸁𞸁.١٢𞸍١٢𞸌

باستخدام خواص ضرب المصفوفات، نلاحِظ أنه يُمكن التعبير عن نظام المعادلات الخطية بواسطة المعادلة الجبرية البسيطة 󰏡𞸎=𞸁. وعليه، يكون الهدف العام هو إيجاد مصفوفة المتغيِّرات 𞸎، والتي تُعطينا قِيَم كلٍّ من 𞸎،𞸎،،𞸎١٢𞸍؛ ومن ثَمَّ تحلُّ نظام المعادلات الخطية. بافتراض أن 󰏡 مصفوفة مربعة (وهو ما يعني أن 𞸌=𞸍)، فحينها قد يكون معكوس المصفوفة 󰏡١ موجودًا؛ بحيث يكون 󰏡󰏡=󰏡󰏡=𝐼١١𞸍؛ حيث 𝐼𞸍 مصفوفة الوحدة من الرُّتبة 𞸍×𞸍. إذا كانت هذه المصفوفة التي تمثِّل معكوس المصفوفة موجودة، فيُمكننا إيجاد 𞸎 بضرب كلا طرفَيْ 󰏡𞸎=𞸁 من جهة اليمين في معكوس المصفوفة 󰏡١، ومن ثَمَّ نحصل على 󰏡󰏡𞸎=󰏡𞸁١١. بمعرفة أن 󰏡󰏡=𝐼١𞸍، 𝐼𞸎=𞸎𞸍، نجد أن هذه الخطوة الإضافية من الحلِّ تُعطينا الحلَّ المطلوب 𞸎=󰏡𞸁١. ومن ثَمَّ، فإن إيجاد 𞸎 يعتمد على إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات، ثم ضربه في مصفوفة الثوابت.

توضِّح الفكرة السابقة الخارجة عن سياق الشارح كيف يُمكن أن يكون من المُفيد الاستدلال على الأوصاف المكافئة لأنظمة المعادلات الخطية. إلا أن الطريقة المُشار إليها سابقًا ليست مُفيدة إلا عندما يكون عدد المعادلات في نظام المعادلات الخطية هو نفس عدد المتغيِّرات، وهو ما يعني أن تكون مصفوفة المعاملات مصفوفة مربعة، وبهذا يكون المعكوس الضربي لها معرَّفًا تعريفًا جيِّدًا (وهو ما لا يعني أن هذا المعكوس موجود دائمًا، فالأمر ليس بالضرورة أن يكون كذلك). غالبًا ما يكون التعبير عن نظام المعادلات الخطية بدلالة المصفوفة الموسَّعة هو نقطة البداية الأكثر فائدة؛ حيث إنها تتضمَّن جميع المُعطَيات الخاصة بالمعاملات والحدود الثابتة، كما توفِّر مساحة طبيعية للعمليات الصفية التي يجب إجراؤها باعتبارها جزءًا من طريقة «جاوس-جوردان للحذف».

نلاحِظ أنه إذا كان نظام المعادلات الخطية يحتوي على 𞸌 من المعادلات في 𞸍 من المتغيِّرات، فإن مصفوفة المعاملات ستحتوي على 𞸌 من الصفوف، 𞸍 من الأعمدة، ومن ثَمَّ، يكون لها «البُعد» 𞸌×𞸍. وتتضمَّن المصفوفة الموسَّعة عمودًا إضافيًّا لحدود كلِّ معادلة في الطرف الأيسر من علامة يساوي. وعليه، فإن المصفوفة الموسَّعة تحتوي على 𞸌 من الصفوف، 𞸍+١ من الأعمدة، ومن ثَمَّ يُمكننا القول إن بُعدها هو 𞸌×(𞸍+١).

هذا التعريف السابق تعريف عام للغاية سنتناوله بعد قليل في العديد من الأمثلة. ومن الجدير بالذكر أن قابلية تطبيق هذه الطريقة تعتمد كليًّا على كتابة المتغيِّرات «بالترتيب نفسه» داخل كلِّ معادلة خطية، قبل فصل المعاملات ووضعها في المصفوفة الموسَّعة. في الأمثلة القليلة الأولى التي سنتناولها، رُتِّبت بالفعل المعادلات بهذه الطريقة. لكنْ في أمثلة لاحقة، لن تكون هذه الخطوة مكتملة، ومن ثَمَّ، علينا أن نحرص على ضمان إجراء ذلك قبل تكوين مصفوفات المعاملات أو المصفوفات الموسَّعة.

مثال ١: إيجاد المصفوفة الموسَّعة لنظام من معادلتين خطيتين في متغيِّرين

أوجد المصفوفة الموسَّعة لنظام المعادلات الآتي: 𞸎+٥𞸑=٣،٣𞸎+٥𞸑=١.

الحل

نبدأ بكتابة نظام المعادلات الخطية، مع تمييز المتغيِّر 𞸎 باللون الوردي، والمتغيِّر 𞸑 باللون الأزرق:

𞸎+٥𞸑=٣،٣𞸎+٥𞸑=١.()٢

كما نرى، لدينا معادلتان في متغيِّرين، وهاتان المعادلتان مُرتَّبتان بالفعل بحيث إن الحدَّيْن المشتملين على 𞸎 موضوعان أولًا، يَلِيهما الحدَّان المشتملان على 𞸑، ثم علامة يساوي لكلِّ مُعادلة. وهذا يعني أن المصفوفة الموسَّعة تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة، ومن ثَمَّ تكون على الصورة الآتية: 󰃭󰃬.

لكتابة عناصر هذه المصفوفة، علينا أولًا النظر إلى معاملَيِ الحدَّيْن المُشتملين على 𞸎 في النظام المُشار إليه بالرقم (٢). في المعادلة الأولى، معامل الحدِّ المُشتمل على 𞸎 هو ١، وفي المعادلة الثانية معامل الحدِّ المُشتمل على 𞸎 هو ٣. وعليه، نكتب هذين المعاملين في العمود الأيمن من المصفوفة، وهو ما يُعطينا: 󰃭١٣󰃬.

ونكتب في عنصري العمود الأوسط معاملي 𞸑 في المعادلتين الأولى والثانية من النظام المُشار إليه بالرقم (٢). وهذان المعاملان قيمتهما ٥، وهو ما يعني أن المصفوفة الموسَّعة يجب أن تكون على الصورة الآتية: 󰃭١٥٣٥󰃬.

نكتب في العنصرين الأخيرين القيمتين اللتين على يسار علامة يساوي في كلتا المعادلتين من النظام المُشار إليه بالرقم (٢). هاتان القيمتان هما ٣، ١، على الترتيب، وبناءً على ما سبق فإن المصفوفة الموسَّعة المكتملة هي: 󰃭١٥٣٣٥١󰃬.

في المثال السابق، كان نظام المعادلات الخطية مكتوبًا في صورة مناسبة؛ حيث كان الحدُّ الأول في كلِّ معادلة هو الحدَّ المُشتمل على 𞸎، متبوعًا بالحدِّ المشتمل على 𞸑، ثم تأتي بعدهما مباشرةً علامة يساوي. وحيث إنه كانت الحالة كذلك بالفعل، فقد كانت كتابة المصفوفة الموسَّعة المُناظِرة عملية سهلة ومباشرة إلى حدٍّ ما، ولا تتطلَّب عدد الخطوات التي استعرضناها (إلَّا بغرض الإيضاح). أمَّا إذا كانت لدينا المصفوفة الموسَّعة، وكان مطلوبًا منَّا كتابة النظام المُناظِر من المعادلات الخطية، فسيكون الحلُّ بديهيًّا للغاية؛ لأن المصفوفة الموسَّعة ستكون بالفعل بالترتيب الدقيق المطلوب.

مثال ٢: إيجاد نظام من المعادلات الخطية ممثَّل بواسطة مصفوفة موسَّعة من الرُّتبة ٢ × ٣

أوجد نظام معادلات من المصفوفة الموسَّعة الآتية: 󰃭٧٢٧٥٤٦󰃬.

الحل

نبدأ بافتراض أن متغيِّرَيْ هذا النظام هما 𞸎، 𞸑؛ حيث يُناظِر 𞸎 العمود الأول من المصفوفة الموسَّعة، ويُناظِر 𞸑 العمود الثاني من المصفوفة الموسَّعة. وفي هذه الحالة، يجب أن يكون نظام المعادلات الخطية على الصورة: 𞸎+𞸑=،𞸎+𞸑=، حيث تُكتَب العناصر باستخدام المصفوفة الموسَّعة. يحتوي العمود الأول من المصفوفة الموسَّعة على المعاملين ٧، ٥، وهما معاملا الحدَّيْن المُشتملين على 𞸎 في نظام المعادلات الخطية السابق. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: ٧𞸎+𞸑=،٥𞸎+𞸑=.

ويحتوي العمود الأوسط في المصفوفة الموسَّعة على القيمتين ٢، ٤، اللتين تصبحان معاملَيِ الحدَّيْن 𞸑 للمعادلة الأولى والثانية، على الترتيب. وهذا يُعطينا نظام المعادلات الآتي: ٧𞸎+٢𞸑=،٥𞸎+٤𞸑=.

وأخيرًا، نستخدم العمود الموجود في أقصى يسار المصفوفة الموسَّعة لكتابة العناصر المتبقية من النظام الخطي. بالنظر إلى الصفين الأول والثاني، نجد أنهما ٧، ٦، على الترتيب؛ وعليه، فإن المجموعة الكاملة من المعادلات الخطية هي: ٧𞸎+٢𞸑=٧،٥𞸎+٤𞸑=٦.

نظرًا لأن المثال الوارد سابقًا لم يذكر تحديدًا أنه كان علينا استخدام المتغيِّرين 𞸎، 𞸑، كان بإمكاننا بسهولة استخدام أيِّ متغيِّرين آخَرين. على سبيل المثال، بدلًا من استخدام المتغيِّرين 𞸎، 𞸑، كان بإمكاننا استخدام المتغيِّرين 󰏡، 𞸁، وهو ما كان سيُعطينا: ٧󰏡+٢𞸁=٧،٥󰏡+٤𞸁=٦.

في المثالين الموضَّحين سابقًا، تناولنا فقط المصفوفات الموسَّعة التي تكون فيها جميع العناصر لا تساوي صفرًا. ويجب ألا يكون هذا هو الحال دائمًا؛ حيث من الممكن تمامًا أن نتناول مصفوفات موسَّعة تحتوي على عنصر واحد على الأقلِّ قيمته صفر. ولا ينبغي لهذا الأمر أن يُزعجنا؛ حيث إن حلَّ هذه المسائل يتطابق مع تلك المسائل التي تكون فيها جميع العناصر لا تساوي صفرًا. في المثال الآتي، سنوضِّح ذلك، وسنُقدِّم بعض الخطوات اللازمة لتوضيح كيفية التعامل مع هذه الأسئلة بشكل صحيح.

مثال ٣: إيجاد المصفوفة الموسَّعة لنظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات

أوجد المصفوفة الموسَّعة لنظام المعادلات الآتي: 𞸎+𞸑𞸏=٥،𞸑𞸏=٢،𞸎+𞸑𞸏=٢.

الحل

يحتوي النظام الوارد سابقًا على ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات. سنبدأ بكتابة كلِّ متغيِّر من هذه المتغيِّرات بلون مُمَيِّز على النحو الآتي:

𞸎+𞸑𞸏=٥،𞸑𞸏=٢،𞸎+𞸑𞸏=٢.()٣

وكما نرى، فإن الحدود المُشتملة على 𞸎 هي الحدود الأولى في كلِّ معادلة (تحتوي المعادلة الثانية على حدٍّ مُشتمل على 𞸎 معامله صفر، وهو غير مكتوب). والحدود الثانية في كلِّ معادلة هي الحدود المشتملة على 𞸑، والحدود الثالثة هي الحدود التي تتضمَّن المتغيِّر 𞸏.

يحتوي النظام الوارد سابقًا على ثلاث معادلات في ثلاثة متغيِّرات، وعليه يكون بُعد المصفوفة الموسَّعة ٣×٤، وبذلك تكون على الصورة: .

سنبدأ بكتابة عناصر هذه المصفوفة عمودًا عمودًا، بدءًا من العمود الموجود في أقصى اليمين. الحدُّ الأول في كلِّ معادلة في النظام المُشار إليه بالرقم (٣) هو الحدُّ المُشتمل على 𞸎. في المعادلة الأولى، المعامل يساوي ١، وفي المعادلة الثانية، المعامل يساوي صفرًا، وفي المعادلة الثالثة المعامل يساوي ١. ومن ثَمَّ، يُمكننا إكمال العمود الأول من المصفوفة الموسَّعة كما يأتي: ١٠١.

والآن لنر الحدود المُشتملة على 𞸑 في كلِّ معادلة من النظام المُشار إليه بالرقم (٣). في المعادلة الأولى والثانية والثالثة، جميع معاملات هذه الحدود تُساوي ١. وعليه، يُمكن إكمال العمود الثاني من المصفوفة الموسَّعة، وهو ما يُعطينا: ١١٠١١١.

ولإكمال العمود الثالث من هذه المصفوفة، ننظر إلى الحدود التي تتضمَّن 𞸏 في النظام المُشار إليه بالرقم (٣). معاملات جميع هذه الحدود تُساوي ١، وهو الأمر الذي يسمح لنا بإكمال العمود الثالث من المصفوفة الموسَّعة سريعًا كما يأتي: ١١١٠١١١١١.

وبالنسبة إلى العمود الأخير، سننظر إلى الحدود على يسار علامة يساوي في نظام المعادلات الخطية المُشار إليه بالرقم (٣). هذه الحدود تتضمن ٥، ٢، ٢، على الترتيب. وعليه، نكتب هذه القِيَم مكان العناصر المتبقية من المصفوفة الموسَّعة، وهو ما يُعطينا الناتِج النهائي: ١١١٥٠١١٢١١١٢.

الأسئلة السابقة التي تناولناها تضمَّنت متغيِّرات مكتوبة بالفعل بنفس ترتيب جميع معادلات النظام الخطي. لا يُوجَد سبب مُحدَّد لذلك، ولكن ربما من المحتمل أنه في مرحلة ما، سيكون علينا التعامل مع نظام معادلات خطية ليست مكتوبة بطريقة مُفيدة ومميزة. وفي هذه الحالة، سيتطلَّب الأمر خطوة إضافية واحدة فقط تُعتبَر جزءًا من طريقة إيجاد المصفوفة الموسَّعة. هذه الخطوة بسيطة، وسيُساعدنا فيها أن نميِّز كلَّ متغيِّر بلون مختلف، كما كان الحال في الأسئلة السابقة.

مثال ٤: إيجاد المصفوفة الموسَّعة لنظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات عندما يتطلَّب الأمر إعادة الترتيب

أوجد المصفوفة الموسَّعة لنظام المعادلات الآتي: ٨𞸎٣𞸏٧=٠،٦𞸑+٣𞸎=٠،٧𞸏٦𞸑+٨=٠.

الحل

بالنظر إلى نظام المعادلات الخطية الموضَّح سابقًا، يُمكننا مُلاحَظة أنه ليس مكتوبًا على صورة تُفيدنا كثيرًا. ولتقليل احتمال حدوث خطأ عند تكوين المصفوفة الموسَّعة، سنُعيد أولًا كتابة هذا النظام من المعادلات الخطية بتمييز المتغيِّر 𞸎 باللون الوردي، والمتغيِّر 𞸑 باللون الأزرق، والمتغيِّر 𞸏 باللون الأخضر. وهذا يُعطينا: ٨𞸎٣𞸏٧=٠،٦𞸑+٣𞸎=٠،٧𞸏٦𞸑+٨=٠.

وكما نرى من خلال تلك الألوان، فإن هذا النظام من المعادلات ليست الحدود فيه مُرتَّبة بالطريقة التي ستُساعدنا في تكوين المصفوفة الموسَّعة. وعليه، فإننا نختار إعادة كتابة هذا النظام من المعادلات الخطية على صورة مُفيدة أكثر من ذلك. لن تُغيِّر هذه الخطوة أيًّا من خصائص نظام المعادلات الخطية، الذي سيكون مطابقًا للنظام المُعطى سابقًا. وبتطبيق المُحاذاة الرأسية على أساس اللون، فإن النظام المكافئ هو:

٨𞸎٣𞸏=٧،٣𞸎+٦𞸑=٠،٦𞸑+٧𞸏=٨.()٤

يُمكننا الآن إكمال المصفوفة الموسَّعة بالرجوع إلى هذه التعبيرات المنسَّقة جيدًا. يحتوي النظام على ثلاث معادلات في ثلاثة متغيِّرات، ومن ثَمَّ، فإن بُعد المصفوفة الموسَّعة هو ٣×٤: .

نبدأ بكتابة العمود الأول من هذه المصفوفة. لإجراء ذلك، ننظر إلى معاملات الحدود التي تتضمَّن 𞸎 في النظام المُشار إليه بالرقم (٤). هذه المعاملات في المعادلة الأولى والثانية والثالثة هي ٨، ٣، ٠، على الترتيب. ومن ثَمَّ، فإن المصفوفة الموسَّعة تكون على الصورة: ٨٣٠.

نتابع الحلَّ وننظر إلى الحدود التي تتضمن 𞸑 في النظام المُشار إليه بالرقم (٤). وبالقراءة من أعلى إلى أسفل، نجد أن المعاملات هي ٠، ٦، ٦. ونُكمل العمود الثاني من المصفوفة الموسَّعة بهذه العناصر، وهو ما يُعطينا: ٨٠٣٦٠٦.

لإكمال العمود الثالث، ننظر إلى الحدود التي تتضمن 𞸏 في نظام المعادلات الخطية المُشار إليه بالرقم (٤). وتكون المعاملات في المعادلة الأولى والثانية والثالثة هي ٣، ٠، ٧، على الترتيب. ويُمكننا الآن إكمال العمود الثالث من المصفوفة الموسَّعة، وهو ما يُعطينا: ٨٠٣٣٦٠٠٦٧.

يُمكن إكمال الخطوة الأخيرة بالنظر إلى الحدود الموجودة على يسار علامة يساوي في كلِّ معادلة من النظام المُشار إليه بالرقم (٤). هذه الحدود هي ٧، ٠، ٨، على الترتيب، وهو ما يُعطينا المصفوفة المُوسَّعة النهائية: ٨٠٣٧٣٦٠٠٠٦٧٨.

في المثال الأخير من هذا الشارح، سنتناول مصفوفة موسَّعة، وسيكون مطلوبًا منَّا كتابتها على صورة نظام مناظِر من المعادلات الخطية. وقد قدَّمنا مثالًا واحدًا على هذا النوع سابقًا؛ حيث كان لدينا معادلتان ومتغيِّران في نظام المعادلات الخطية. المثال التالي سيكون أكثر تعقيدًا؛ إذ سنتعامل مع نظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيِّرات.

مثال ٥: إيجاد نظام المعادلات الخطية الممثَّل بواسطة مصفوفة موسَّعة من الرُّتبة ٣ × ٤

من المصفوفة الموسَّعة: ٢٠٩٥٠٤٩٥٤٩٠٠، أوجد نظام المعادلات.

الحل

نبدأ بافتراض أن المتغيِّرات المُناظِرة للعمود الأول والثاني والثالث يجب أن نُسمِّيها 𞸎، 𞸑، 𞸏، على الترتيب. وهذا مجرد اختيار عشوائي للمتغيِّرات، ويعني أنه علينا بعد ذلك كتابة العناصر الناقصة في النظام الآتي: 𞸎+𞸑+𞸏=،𞸎+𞸑+𞸏=،𞸎+𞸑+𞸏=.

يُمكن كتابة معاملات الحدود المُشتملة على 𞸎 في هذه المعادلات الثلاث على الفور بالنظر إلى العمود الموجود في أقصى اليمين في المصفوفة الموسَّعة. ومن ثَمَّ، فإن عناصر العمود الأول بالترتيب هي ٢، ٠، ٤. وبناءً عليه، يصبح نظام المعادلات كالآتي: ٢𞸎+𞸑+𞸏=،𞸑+𞸏=،٤𞸎+𞸑+𞸏=، حيث حذفنا الحدَّ المُشتمل على 𞸎 من المعادلة الثانية؛ نظرًا لأن معامل هذا الحدِّ يساوي صفرًا. ننظر الآن إلى العمود الثاني من المصفوفة الموسَّعة، الذي معاملاته (بالترتيب) هي ٠، ٤، ٩. وهذا يعني أننا أصبحنا نعرف الآن معاملات الحدود المُشتملة على 𞸑 في نظام المعادلات لدينا، وهو ما يُعطينا: ٢𞸎+𞸏=،٤𞸑+𞸏=،٤𞸎٩𞸑+𞸏=، حيث حُذِف الحدُّ المُشتمل على 𞸑 من المعادلة الأولى؛ نظرًا لأن معامل هذا الحدِّ يساوي صفرًا. سنكتب الآن معاملات الحدود المُشتملة على 𞸏 في كلِّ معادلة. يحتوي العمود الثالث من المصفوفة الموسَّعة على العناصر ٩، ٩، ٠. وبإدخالها في نظام المعادلات السابق، ثم بتجميع كل الحدود معًا، يصبح لدينا: ٢𞸎٩𞸏=،٤𞸑٩𞸏=،٤𞸎٩𞸑=.

أمَّا المجموعة الأخيرة من القِيَم الناقصة فيُمكن الحصول عليها من العمود الموجود في أقصى اليسار في المصفوفة الموسَّعة. وبالترتيب، تكون هذه العناصر ٥، ٥، ٠. هذا يُعطينا المجموعة الكاملة من المعادلات الخطية على النحو الآتي: ٢𞸎٩𞸏=٥،٤𞸑٩𞸏=٥،٤𞸎٩𞸑=٠.

لقد رأينا في هذا الشارح أنه عادةً ما يكون التحويل بين نظام المعادلات الخطية والمصفوفة الموسَّعة المُناظِرة عملية بسيطة. والأمر الوحيد الذي ينبغي الانتباه إليه عند الحلِّ بهذه الطريقة هو أن نظام المعادلات الخطية يجب أن يُكتَب بطريقة بحيث تَظهَر دائمًا المتغيرات بالترتيب نفسه في كلِّ معادلة من هذا النظام. وعندئذٍ، يكون التحويل بين نظام المعادلات الخطية والمصفوفة الموسَّعة بديهيًّا بشكل أساسي. بمجرد كتابة نظام المعادلات الخطية على صورة المصفوفة الموسَّعة الصحيحة، يُمكننا حلُّ نظام المعادلات من خلال التعامل مع المصفوفة الموسَّعة باستخدام العمليات الصفية باعتبارها جزءًا من طريقة «جاوس-جوردان للحذف».

النقاط الرئيسية

  • افترض أن لدينا نظامًا عامًّا من المعادلات الخطية، كما يأتي: 󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁.١١١١٢٢١𞸍𞸍١٢١١٢٢٢٢𞸍𞸍٢𞸌١١𞸌٢٢𞸌𞸍𞸍𞸌 إذن، تكون «مصفوفة المعاملات» هي: 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍 وتكون «المصفوفة الموسَّعة» هي: 󰏡󰏡󰏡𞸁󰏡󰏡󰏡𞸁󰏡󰏡󰏡𞸁.١١١٢١𞸍١٢١٢٢٢𞸍٢𞸌١𞸌٢𞸌𞸍𞸌
  • في نظام المعادلات الخطية الذي يحتوي على 𞸌 من المعادلات في 𞸍 من المتغيِّرات، فإن مصفوفة المعاملات تحتوي على 𞸌 من الصفوف، 𞸍 من الأعمدة ويكون لها إذن البُعد 𞸌×𞸍.
  • يكون للمصفوفة الموسَّعة لهذا النظام 𞸌 من الصفوف، 𞸍+١ من الأعمدة، وهو ما يعني أن لها البُعد 𞸌×(𞸍+١).
  • عند كتابة نظام المعادلات الخطية على صورة مصفوفة موسَّعة، فمن «الضروري» أن تُكتَب المتغيِّرات بالترتيب نفسه لكلِّ معادلة، قبل أن تُكتَب معاملات هذا النظام في المصفوفة الموسَّعة.
  • يُمكن أن يُساعد تلوين المتغيِّرات في معرفة إذا ما كان نظام المعادلات الخطية مكتوبًا بالفعل على صورة مُفيدة أو لا.
  • إذا كان هناك مقدار ليس متغيِّرًا ولا معاملًا لمتغيِّر، فهذا يعني أنه سيكون على يسار علامة يساوي قبل تكوين المصفوفة الموسَّعة.
  • إذا لم يكن هناك متغيِّر في إحدى المعادلات، فعندئذٍ يكون معامل هذا المتغيِّر صفرًا، ويجب أن تتضمَّن المصفوفة الموسَّعة القيمة صفر في العنصر المُناظِر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.