شارح الدرس: أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية.

تظهر أنظمة المعادلات في العديد من مجالات العلوم؛ ومنها الماليات والحوسبة والميكانيكا. ويعني حل نظام المعادلات إيجاد قيم المتغيِّرات التي تجعل كل معادلة صحيحة.

كيفية إيجاد حلول نظام معادلات بالتعويض

على سبيل المثال، إذا كان لدينا المعادلتان: يمكننا إذن، بتدقيق النظر فيهما، أن نجد أن ، هو أحد الحلول. وبالتعويض بهاتين القيمتين في كل معادلة، نحصل على:

بما أن كلتا المعادلتين صحيحتان، إذن نكون قد أثبتنا أن أحد حلول هذا النظام هو ، . يمكننا إيجاد هذا الحل من المعادلات بطرق مختلفة؛ مثل الحذف والتعويض والتمثيل البياني، وهذا على سبيل المثال لا الحصر. في هذا الشارح، سنركِّز على طريقة التعويض.

لحل هذا النظام المكوَّن من معادلتين بالتعويض، علينا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لإيجاد تعبير لأحد المتغيِّرَيْن. وإحدى طرق إجراء ذلك هي إعادة ترتيب المعادلة الأولى كالآتي:

ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى زوج القيم ، ، يجب أن يكون لحل هذا النظام. يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير عن في المعادلة الأخرى التي يجب أن تحقِّقها على النحو الآتي:

ثم، نَحُل هذه المعادلة لإيجاد قيمة كالآتي:

إذن في أحد حلول هذا النظام المكوَّن من معادلتين. علينا أيضًا إيجاد قيمة ؛ ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بقيمة هذه في أيٍّ من المعادلتين. هذا يُعطينا:

إذن حل نظام المعادلات هذا هو ، . يمكننا بعد ذلك التأكُّد من الحل بالتعويض بهاتين القيمتين في نظام المعادلات. يمكننا أن نرى سبب صحة هذا الحل من خلال تمثيل كلتا المعادلتين بيانيًّا.

إن نقطة تقاطع التمثيلين البيانيين هي النقطة التي تتحقَّق فيها كلتا المعادلتين. يمكننا ملاحظة وجود تقاطع واحد فقط عند ، وهو ما يؤكِّد أن الحل صحيح.

يُسمَّى نظام المعادلات في المثال السابق نظام معادلات من الدرجة الأولى. وهذا لأن كل معادلة تكون خطية (في الواقع، كل معادلة هي كثيرة حدود من الدرجة الأولى). أما في بقية الشارح، فسنركِّز على إيجاد حلول لأنظمة من الدرجة الثانية، والتي نُعرِّفها كالآتي.

تعريف: نظام المعادلات الخطية والتربيعية

نظام المعادلات الخطية والتربيعية هو نظام معادلات يتكوَّن من معادلة واحدة كثيرة حدود من الدرجة الأولى، ومعادلة واحدة كثيرة حدود من الدرجة الثانية.

ولكي نفهم ذلك فهمًا كاملًا، علينا أن نفهم المقصود بكثيرة حدود في متغيِّرَيْن، وكيف نُحدِّد درجتها.

تعريف: الدوال الكثيرات الحدود في متغيِّرَيْن

كثيرة الحدود في متغيِّرَيْن هي دالة يكون كلُّ حدٍّ فيها عبارة عن وحيدة الحد. وعلى وجه التحديد، لا بد أن يكون للمتغيِّرات أسس صحيحة غير سالبة.

وتكون درجة كثيرة الحدود هي المجموع الأعلى لدرجات المتغيِّرات في كل حدٍّ منفردًا.

على سبيل المثال، يعني ذلك أن معادلات مثل: يمكن أن تظهر في أنظمة من الدرجة الثانية؛ لأن جميعها كثيرات حدود من الدرجة الثانية على الأكثر. يمكننا إيجاد درجة كل كثيرات الحدود هذه على النحو الآتي:

كثيرة حدود من الدرجة الثانية؛ لأن الحدين ، حدان أسُّ كلٍّ منهما هو اثنان.
كثيرة حدود من الدرجة الثانية أيضًا؛ علينا حساب مجموع أُسَّي المتغيِّرَيْن. نلاحظ أن ، ، إذن كثيرة الحدود هذه من الدرجة الثانية.
كثيرة حدود من الدرجة الثانية؛ لأنها معادلة تربيعية في المتغيِّر .
كثيرة حدود من الدرجة الأولى؛ لأنها معادلة خطية.

وجدير بالملاحظة أيضًا أننا نُشير إلى كثيرات الحدود من الدرجة الثانية في متغيِّرَيْن على أنها معادلات تربيعية في متغيِّرَيْن. على سبيل المثال، معادلة تربيعية في متغيِّرَيْن، ، ، ، ، ، ثوابت حقيقية.

نناقش الآن كيفية حل نظام مكوَّن من معادلتين من الدرجة الثانية تكون فيه إحدى المعادلتين خطية.

كيفية إيجاد حلول نظام معادلات خطية وتربيعية بالتعويض

هيا نحاول حل نظام المعادلتين الخطية والتربيعية:

بما أن إحدى المعادلتين المُعطاتين معادلة خطية، إذن يمكننا إيجاد تعبير لـ بدلالة بإعادة ترتيبها كالآتي:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير عن في المعادلة غير الخطية والتبسيط كالآتي:

وبإخراج العامل المشترك ٢، نحصل على:

إذن هذه هي معادلة تربيعية في ؛ وإحدى طرق حل هذه المعادلة هي التحليل. علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ٣ ومجموعهما . نلاحظ أن ، ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تحليل المعادلة التربيعية هكذا:

لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العاملين مساويًا لصفر؛ ومن ثَمَّ، يكون:

بحل المعادلة الأولى، نحصل على ، وبحل المعادلة الثانية، نحصل على . يمكننا إيجاد قيمتَي المناظرتين بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة الخطية.

في البداية، نعوِّض بـ في المعادلة، وهو ما يُعطينا:

ثم نعوِّض بـ في المعادلة، وهو ما يُعطينا:

وهكذا نكون قد أوجدنا حلَّيْن مختلفين هما: إما ، وإما ، . ومن الجدير بالملاحظة أن هذه الحلول لا تكون صحيحة إلا في صورة أزواج. بمعنى أن ، هو أحد حلول نظام المعادلات. وبالمثل، ، هو الحل الآخر؛ فلا يمكن أن يكون ، معًا؛ وذلك لأنهما معًا لن يحلا النظام.

يمكننا التحقُّق من الحلين بالتعويض بهما في نظام المعادلات، والتأكُّد من أنهما يحقِّقان المعادلتين.

في مثالنا الأول، نُوجِد جميع الحلول لزوج من معادلتين آنيتين؛ حيث تكون إحدى المعادلتين خطية والأخرى غير خطية.

مثال ١: حل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية

إذا كان ، ، فأوجد قيمة .

الحل

علينا إيجاد قيمة التي تحقِّق هاتين المعادلتين. يمكننا فعل ذلك بإيجاد أزواج قيم ، التي تحقِّق كلتا المعادلتين. نفعل ذلك باستخدام التعويض. يمكننا البدء بإعادة ترتيب المعادلة الخطية لإيجاد تعبير لأيٍّ من المتغيِّرَيْن ، . لكن قبل أن نفعل ذلك، يمكننا إلقاء نظرة على المعادلة غير الخطية المُعطاة: . في هذه المعادلة، أعلى قوة لـ تساوي واحدًا، لكن أعلى قوة لـ تساوي ٢؛ وهذا يعني أنه سيكون من السهل التعويض بتعبير يدل على ؛ لأننا لن نحتاج إلى تربيع مقدار ذي حدين.

نبدأ إذن بإيجاد تعبير لـ :

نعوِّض إذن بهذا التعبير في المعادلة غير الخطية ونبسِّط كالآتي:

ثم يمكننا الحل لإيجاد قيمة بقسمة الطرفين على ٦. هذا يُعطينا:

ومن ثَمَّ، إذا كان ، ، فإن .

في المثالين التاليين، نَحُل نظامًا من المعادلات لإيجاد إحداثيات نقاط تقاطع تمثيلين بيانيين.

مثال ٢: حل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية لإيجاد مجموعة نقاط تقاطع تمثيلين بيانيين مُعطيين

أوجد مجموعة نقاط تقاطع التمثيلين البيانيين لكلٍّ من ، .

الحل

نتذكَّر أن التمثيلين البيانيين لمعادلتين يتقاطعان عندما تتساوى قيم الإحداثي ، وتتساوي قيم الإحداثي فيهما؛ ولذلك علينا إيجاد قيم كلٍّ من ، التي تحقِّق كلتا المعادلتين.

يوجد العديد من الطرق المختلفة لحل المعادلات الآنية؛ وبما أن لدينا معادلة خطية، ومعادلة غير خطية، إذن نستخدم التعويض. لاستخدام التعويض، علينا إيجاد تعبير لأحد متغيِّرَي المعادلة الخطية. لدينا:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة عن في المعادلة غير الخطية والتبسيط، للحصول على:

ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، ونلاحظ أننا سنحصل على حل موجب وسالب كالآتي:

ومن ثَمَّ، فإن مجموعة نقاط تقاطع التمثيلين البيانيين لكلٍّ من ، هي .

مثال ٣: حَلُّ أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية لإيجاد مجموعة نقاط تقاطع تمثيلين بيانيين

أوجد مجموعة نقاط تقاطع التمثيلين البيانيين لكلٍّ من ، .

الحل

لكي تقع نقطة على كلا التمثيلين البيانيين، يجب أن تحقِّق إحداثياتها كلتا المعادلتين. ومن ثَمَّ، لإيجاد مجموعة نقاط التقاطع للمعادلتين المُعطاتين، علينا حل المعادلتين الآنيتين:

وبما أن إحدى المعادلتين خطية، إذن نحاول حل هاتين المعادلتين بالتعويض. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة الخطية ليكون المتغيِّر التابع كالآتي:

ثم نعوِّض بتعبير هذا في المعادلة الأخرى، ونبسِّط كالآتي:

يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة بإعادة الترتيب والتحليل كالآتي:

لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يساوي أحد العوامل صفرًا؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

لإيجاد قيم الإحداثي لنقاط التقاطع، يمكننا التعويض بقيم الإحداثي في أيٍّ من المعادلتين. وبما أن معادلة خطية، إذن يكون من السهل استخدام هذه المعادلة.

في البداية، نعوِّض بـ في المعادلة، وهو ما يُعطينا:

وبعد ذلك، نعوِّض بـ في المعادلة، ما يُعطينا:

وبهذا نحصل على نقطتَي التقاطع: ، .

وأخيرًا، يمكننا التحقُّق من صحة هذين الحلين بالتعويض بهما في المعادلتين الآنيتين. على سبيل المثال، لدينا ، ، ونعوِّض بهما في المعادلتين الآتيتين على الترتيب:

بما أن كلتا المعادلتين صحيحتان لقيم كلٍّ من ، هذه، نكون قد تحقَّقنا من أن هذا أحد حلول المعادلتين الآنيتين. يمكننا أيضًا التحقُّق من الحل ، بالطريقة نفسها.

وبما أن السؤال يطلب منا إيجاد مجموعة نقاط التقاطع، إذن نكتبها في مجموعة على الصورة .

في المثالين التاليين، نَحُل معادلتين آنيتين لهما عدة حلول؛ حيث تكون إحدى المعادلتين معادلة خطية والأخرى معادلة غير خطية.

مثال ٤: حل أنظمة المعادلات غير الخطية

حُلَّ المعادلتين الآنيتين: مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يمكننا محاولة حل نظام من المعادلات باستخدام التعويض. المعادلة الخطية مُعطاة بالفعل؛ حيث هو المتغيِّر التابع، إذن نعوِّض بهذا التعبير في المعادلة غير الخطية، وهو ما يُعطينا:

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، نحتاج إلى التوزيع والتبسيط. يمكننا البدء بفك القوس التربيعي:

ثم استخدام ذلك لتبسيط المعادلة كالآتي:

ثم بالقسمة على أربعة، نحصل على:

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام القانون العام، الذي ينص على أن حلول المعادلة التربيعية هي: بشرط أن يكون المميز غير سالب، .

لدينا ، ، . بالتعويض بهذه القيم، نحصل على:

بحساب قيمتَي هذين الجذرين لأقرب منزلتين عشريتين، يكون ، .

يمكننا إيجاد قيم بتذكُّر أن . ومن ثَمَّ:

بحساب قيمتَي لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ، ، ، .

مثال ٥: حل نظام المعادلات الخطية والتربيعية

أوجد جميع حلول المعادلتين الآنيتين ، . قرِّب القيم لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير عن في المعادلة غير الخطية كالآتي:

علينا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ؛ يمكننا فعل ذلك بتوزيع الأقواس أولًا. نوزِّع كل قوسين على حدة.

أولًا، لدينا:

ثانيًا، لدينا:

بالتعويض بهذين التعبيرين في المعادلة والتبسيط، نحصل على:

يمكننا التبسيط بقسمة جميع الحدود على خمسة. هذا يُعطينا:

وهذه إذن معادلة تربيعية في . يمكننا حل هذه المعادلة بتطبيق القانون العام، الذي ينص على أن حلول المعادلة التربيعية هي: بشرط أن يكون المميز غير سالب، . في هذه المعادلة التربيعية ، ، . بالتعويض بهذه القيم، يصبح لدينا:

بحساب قيمة كلا الجذرين لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن ، . ولكن، علينا استخدام القيم الدقيقة لإيجاد قيمتَي . ونفعل ذلك بالتعويض بقيمتَي في المعادلة .

هذا يُعطينا:

يمكننا حساب هاتين القيمتين لأقرب منزلتين عشريتين لنحصل على ، ، ، . يمكننا كتابة هذين الحلين في صورة مجموعة، وهو ما يُعطينا .

في المثال الأخير، نرى كيف تتضمَّن مسألة من الحياة الواقعية حل نظام من المعادلات الخطية والتربيعية.

مثال ٦: حل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية

يزيد عُمْر أب بمقدار ١٠ عن ضعف عُمْر ابنه. مجموع مربعي عُمْرَيهما يزيد بمقدار ٤ عن ٣ أمثال حاصل ضرب عُمْرَيْهما. ما عُمْر كلٍّ منهما؟

الحل

هيا نبدأ بتكوين المعادلات من المُعطيات. نرمز إلى عُمْر الأب بالرمز ، وعُمْر الابن بالرمز . وبما أن عُمْر الأب يزيد بمقدار ١٠ عن ضعف عُمْر ابنه، إذن لا بد أن يكون لدينا:

بعد ذلك، بما أن مجموع مربع عُمْرَيْهما يزيد بمقدار ٤ على ٣ أمثال حاصل ضرب عُمْرَيْهما، إذن لا بد أن يكون لدينا أيضًا:

هاتان معادلتان آنيتان؛ إحداهما معادلة خطية والأخرى غير خطية. ويمكننا حلهما باستخدام التعويض. نبدأ بالتعويض بالتعبير الدال عن في المعادلة غير الخطية، وهو ما يُعطينا:

هذه إذن معادلة في . ويمكننا حلها عن طريق توزيع الأقواس أولًا والتبسيط كالآتي:

يمكننا حل هذه المعادلة بالتحليل. نلاحظ أن ، ، إذن يمكننا تحليل المعادلة التربيعية؛ ومن ثَمَّ، نحصل على:

بمساواة كل عامل بصفر، نحصل على حلَّيْن للمعادلتين الآنيتين هما: ، . لكن هو عُمْر الابن بالسنوات، إذن لا يمكن أن يكون سالبًا. ومن ثَمَّ، فإن هناك حلًّا واحدًا فقط يكون عند .

يمكننا إيجاد عُمْر الأب بالتعويض بـ في المعادلة ، وهو ما يُعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن عُمْر الأب ٤٢ سنة، وعُمْر الابن ١٦ سنة. يمكننا أن نلاحظ أن هذه الأعمار تبدو منطقية بالنسبة إلى عُمْرَي الأب والابن، ويمكننا أيضًا التحقُّق من ذلك عن طريق التعويض بـ ، مرةً أخرى في المعادلتين الآنيتين. هذا يُعطينا:

وبما أن كلتا المعادلتين صحيحتان، إذن يمكننا استنتاج أن هذين هما الحلان. إذن عُمْر الأب هو ٤٢ سنة، وعُمْر الابن هو ١٦ سنة.

هيا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

نظام المعادلات الخطية والتربيعية هو نظام من المعادلات يتكوَّن من معادلة خطية ومعادلة تربيعية.
يمكن أن يحتوي نظام المعادلات الخطية والتربيعية على حلين، أو حل واحد، أو لا يحتوي على حلول.
يمكننا إيجاد حلول أنظمة المعادلات هذه عن طريق إعادة ترتيب المعادلة الخطية لإيجاد تعبير لأحد المتغيِّرَيْن، ثم التعويض بالتعبير في المعادلة غير الخطية.
يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد إحداثيات نقاط تقاطع بعض التمثيلات البيانية.