في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الاشتقاق لإيجاد السرعة المتجهة اللحظية لجسم وسرعته اللحظية وعجلته اللحظية.
السرعة المتجهة المتوسطة، ، هي معدل التغيُّر في الموضع بين زمنين محددين، ، . إذا كان لدينا جسم يتحرَّك في خط مستقيم، فيمكن وصف موضع هذا الجسم عند الزمن بواسطة متجه الموضع، ، للجسم الذي يتحرَّك على طول محور الحركة. نكتب ذلك أحيانًا هكذا كي نتذكَّر أن دالة في الزمن . يُسمَّى التغيُّر في الموضع بالإزاحة، ونرمز لها بـ :
ونحصل على السرعة المتجهة اللحظية، ، عن طريق حساب النهاية لخارج القسمة السابق عندما يقترب من الصفر:
يتوافق التعبير الخاص بـ مع تعريف مشتقة الدالة .
تعريف: السرعة المتجهة اللحظية
السرعة المتجهة اللحظية، ، لجسم عند الزمن تساوي مشتقة متجه الموضع للجسم، ، بالنسبة إلى الزمن:
وبالنسبة إلى الحركة في خط مستقيم، يكون ، ؛ حيث ، هما مركبتا متجهَي الموضع والسرعة اللحظية على طول محور الحركة على الترتيب.
ومن ثَمَّ، يكون: ونظرًا لأن ليست دالة في الزمن، نحصل على: ومن ثَمَّ، فإن:
تجدر الإشارة إلى أننا عادةً ما نكتب ذلك ببساطة هكذا: .
أحيانًا، نعبِّر عن التعريف المذكور سابقًا بدلالة الإزاحة وليس الموضع. فإذا عرَّفنا الإزاحة على أنها التغيُّر في الموضع بالنسبة إلى ، يصبح لدينا إذن: وهو ما يعطينا:
وبناءً على ذلك، يمكننا كتابة الآتي:
تذكَّر أن الموضع، والإزاحة، والسرعة المتجهة هي متجهات، وبما أننا نتعامل هنا مع الحركة في خط مستقيم، إذن هذه المتجهات أحادية البُعد. ويكون كلٌّ من ، ، المركبة الوحيدة لهذه المتجهات على طول محور الحركة. ومن ثَمَّ، يمكن أن تكون لهذه الدوال قيم سالبة. فالموضع السالب يعني أن الجسم يقع على الجانب السالب من محور الحركة بالنسبة إلى نقطة الأصل. والإزاحة السالبة تعني أن الجسم قد تحرَّك في الاتجاه السالب في هذه الفترة الزمنية. والسرعة المتجهة اللحظية السالبة تعني أن الجسم يتحرَّك في الاتجاه السالب في هذه اللحظة.
على النقيض من ذلك، فإن السرعة القياسية ليست متجهًا ولا مركبة متجه. وتُعرَف السرعة القياسية بأنها المسافة المقطوعة لكل وحدة زمنية. لذلك، فهي موجبة دائمًا. ومن ثَمَّ، فإن السرعة اللحظية هي ببساطة مقدار السرعة المتجهة اللحظية.
تعريف: السرعة اللحظية
السرعة اللحظية لجسم عند الزمن تساوي مقدار متجه السرعة اللحظية، ، بالنسبة إلى الزمن:
وفي حالة الحركة في خط مستقيم، فإن: حيث مركبة متجه الموضع على طول محور الحركة.
نلقي نظرة على مثالين حول كيفية استخدام تعريفَي السرعة والسرعة المتجهة.
مثال ١: إيجاد السرعة المتجهة لجسم باستخدام تعبير للموضع باعتباره دالة في الزمن
بدأ جسم في الحركة في خط مستقيم. بعد ثانية، كان موضعه بالنسبة إلى نقطة ثابتة يُعبَّر عنه بالعلاقة: ، . أوجد سرعة الجسم عند .
الحل
في هذا السؤال، لدينا تعبير لموضع الجسم بالنسبة إلى نقطة ثابتة، ، باعتباره دالة في الزمن، . لأن الجسيم يتحرَّك في خط مستقيم، تكون الدالة هي مركبة متجه الموضع للجسم على طول محور الحركة.
وبما أن السرعة، ، تُعطى بالعلاقة: إذن نحصل على:
نريد إيجاد سرعة الجسم عند ؛ لذا، نعوِّض بهذه القيمة عن :
بما أن وحدة قياس هي متر، ووحدة قياس هي ثانية، إذن تكون وحدة قياس السرعة المتجهة هي متر لكل ثانية، إذن السرعة المتجهة عند تساوي ١٤ م/ث.
مثال ٢: إيجاد الزمن الذي تصل فيه السرعة إلى قيمة محددة، عندما تكون الإزاحة دالة في الزمن
يتحرَّك جسم على طول المحور . تُعطى إزاحة الجسم من نقطة الأصل عند اللحظة ثانية، بالعلاقة: ، . أوجد جميع قيم الممكنة بالثانية، والتي تبلغ عندها سرعة الجسم .
الحل
يتحرَّك الجسم على طول المحور . إزاحته من نقطة الأصل هي موضعه نفسه، وهي . نعلم أن سرعة الجسم تساوي مشتقة . المطلوب هنا هو إيجاد جميع قيم الممكنة التي عندها تبلغ السرعة القياسية ٤ م/ث. وبما أن السرعة القياسية هي مقدار السرعة المتجهة، إذن تشير القيمة ٤ م/ث إلى أن السرعة المتجهة إما ٤ م/ث (الجسم يتحرَّك في الاتجاه الموجب للمحور ) وإما م/ث (الجسم يتحرَّك في الاتجاه السالب للمحور ).
هيا نُوجِد السرعة المتجهة باعتبارها دالة في الزمن:
نريد إيجاد قيمة التي عندها ؛ أي التي عندها أو .
نحصل على: أو:
ومن ثَمَّ، فإن القيم الممكنة لـ التي تبلغ عندها السرعة القياسية للجسم هي ث، ث.
وبالطريقة نفسها، بما أن السرعة المتجهة اللحظية للجسم تساوي معدل التغيُّر في إزاحته، إذن تكون العجلة اللحظية للجسم هي معدَّل تغيُّر سرعته المتجهة. إذا تحرَّك جسم (سرعته المتجهة لا تساوي صفرًا)، يتغيَّر موضعه؛ وإذا كانت عجلة جسم لا تساوي صفرًا، فإن سرعته المتجهة تتغيَّر.
تعريف: العجلة اللحظية
العجلة اللحظية، ، لجسم عند الزمن تساوي مشتقة السرعة المتجهة للجسم، ، بالنسبة إلى الزمن:
في حالة الحركة في خط مستقيم، يكون ، ؛ حيث ، هما مركبتا متجهَي السرعة المتجهة والعجلة على طول محور الحركة على الترتيب.
وهذا يعني أن: ولأن ليست دالة في الزمن، فإن: ومن ثَمَّ، فإن:
لاحظ أننا عادةً نكتب ذلك ببساطة هكذا: .
في المثال التالي، علينا إيجاد عجلة جسم بمعلومية سرعته المتجهة.
مثال ٣: إيجاد عجلة جسيم سرعته المتجهة مُعطاة باعتبارها دالة في الزمن
يتحرَّك جسم في خط مستقيم، وتُعطى سرعته المتجهة عند الزمن ثانية بالعلاقة: ، . أوجد مقدار عجلة الجسم عندما تصل سرعته المتجهة إلى ٩٤ م/ث.
الحل
في هذا السؤال، لدينا مقدار يعبِّر عن السرعة المتجهة لجسم، ، باعتبارها دالة في الزمن، . يمكننا إذن استخدام المعادلة الآتية: للحصول على مقدار عجلة الجسم، ، عند الزمن :
لكن لكي نستخدم هذه المعادلة، نحتاج إلى إيجاد قيمة الزمن. قيمة الزمن غير مُعطاة في السؤال، لكن لدينا قيمة السرعة المتجهة، والتي يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة الزمن. دعونا أولًا نُعيد ترتيب معادلة السرعة المتجهة لنجعل الزمن هو المتغيِّر التابع:
هذه المعادلة لها حل موجب وحل سالب. لكن كما عَلِمنا من رأس السؤال أن ؛ لذا، فإن الحل الذي يصلح هنا هو الحل الموجب فقط. ولذلك، فإن:
هيا نعوِّض الآن بهذه القيمة لإيجاد قيمة عندما يكون :
نحن إذن نبحث عن عجلة الجسم عند . نعوِّض بهذه القيمة في معادلة العجلة:
وبناءً على ما سبق، فإن عجلة الجسم عندما تكون سرعته المتجهة ٩٤ م/ث هي ٣٦ م/ث٢.
والآن، نُوجِد السرعة المتجهة والعجلة بمعلومية الإزاحة.
مثال ٤: إيجاد السرعة المتجهة لجسم وعجلته باستخدام مقدار يعبِّر عن إزاحته باعتبارها دالة في الزمن
تحرَّك جسم في خط مستقيم، وكانت إزاحته من نقطة الأصل بعد ثانية تُعطى بالعلاقة: ، . أوجد السرعة المتجهة عندما يكون ، والعجلة عندما يكون .
الحل
في هذا السؤال، لدينا مقدار يعبِّر عن موضع الجسم، ، باعتباره دالة في الزمن، . (الموضع على محور الحركة، المحور ، هو الإزاحة نفسها من نقطة الأصل.) المطلوب هو إيجاد السرعة المتجهة للجسم وعجلته عند زمنين مُعطيين. يمكننا استخدام المعادلة الآتية: للحصول على مقدار يعبِّر عن السرعة المتجهة لجسم باعتبارها دالة في الزمن:
عندما يكون ، فإن السرعة المتجهة تساوي:
وبما أن ، إذن نجد أن:
وعندما يكون ، فإن العجلة تساوي:
في المثال السابق، اشتققنا دالة الموضع لإيجاد دالة السرعة المتجهة، واشتققنا دالة السرعة المتجهة لإيجاد دالة العجلة. وهو ما يعني أنه لإيجاد دالة العجلة، فقد اشتققنا دالة الموضع مرتين. وفي الواقع، بما أن سرعة الجسم هي مشتقة الموضع نفسها على طول محور الحركة (في حالة الحركة في خط مستقيم) بالنسبة إلى الزمن، إذن يمكننا كتابة الآتي: وهو ما يمكن كتابته أيضًا هكذا: أو هكذا:
هيا نرَ كيف نستخدم ذلك في مثال أخير.
مثال ٥: إيجاد العجلة بدلالة الزمن عندما تكون الإزاحة مُعطاة باعتبارها دالة في الزمن
يتحرَّك جسم في خط مستقيم، وتُعطى إزاحته بعد ثانية بالعلاقة: ؛ حيث . أوجد العجلة، ، بدلالة الزمن.
الحل
لدينا الإزاحة مُعطاة باعتبارها دالة في الزمن؛ حيث . نعرف الإزاحة هنا بأنها التغيُّر في الموضع بدايةً من الموضع عند . بمعلومية أن العجلة هي مشتقة السرعة المتجهة، وأن السرعة المتجهة هي مشتقة الإزاحة، نحصل إذن على:
هيا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- السرعة المتجهة اللحظية، ، لجسم يتحرَّك في خط مستقيم تساوي مشتقة موضع الجسم، ، بالنسبة إلى الزمن: حيث ، هما مركبتا متجهَي الموضع والسرعة المتجهة على طول محور الحركة على الترتيب.
- السرعة اللحظية، عند الزمن ، لجسم يتحرَّك في خط مستقيم تساوي القيمة المطلقة للسرعة المتجهة اللحظية، ، بالنسبة إلى الزمن: حيث ، هما مركبتا متجهَي الموضع والسرعة المتجهة على طول محور الحركة على الترتيب.
- العجلة اللحظية، ، لجسم يتحرَّك في خط مستقيم تساوي مشتقة السرعة المتجهة للجسم، ، بالنسبة إلى الزمن: حيث ، هما مركبتا متجهَي السرعة المتجهة والعجلة على طول محور الحركة على الترتيب.
