شارح الدرس: محدِّدات الرُّتبة الثالثة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد قيمة محدِّدات ٣×٣ باستخدام العوامل المرافِقة (مفكوك لابلاس)، أو طريقة ساروس.

عند التعامل مع مصفوفة مربَّعة، عادةً ما نهتمُّ بحساب المحدِّد لكي نحصل على معلومات مفيدة عن المصفوفة. بالإضافة إلى أن المحدِّد بإمكانه تحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا، فهو يزوِّدنا بمعلومات عن التحويل الفيزيائي للفراغ المُعطى في صورة المصفوفة ذات الصلة. توجد عدة أسباب أخرى بإمكانها تفسير لماذا نحسُب قيمة محدِّد مصفوفةٍ ما، لكنَّ جزءًا من ذلك هو المجموعة الكبيرة من الخواصِّ الرياضية التي يتميَّز بها المحدِّد والطرق المختلفة التي يمكن بها حساب هذه الكمية.

سيُقسَّم هذا الشارحُ إلى جزأين؛ حيث يمثِّل الجزء الأول تذكرة سريعة عن كيفية حساب محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢×٢. بعد ذلك، في الجزء الثاني، سنشرح كيفية حساب قيمة محدِّد مصفوفة مربَّعة رتبتها 𞸍×𞸍، باستخدام الطريقة المعروفة لمصفوفات من الرتبة ٢×٢. تمثِّل العملية التي سنوضِّحها تعميمًا لقاعدة ساروس على محدِّد مصفوفات من الرتبة ٣×٣، كما يمكن تطبيقها على أيِّ مصفوفة مربَّعة.

تعريف: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢

لكلِّ مصفوفة من الرتبة ٢×٢: 󰏡=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀، يُمثَّل «محدِّد» 󰏡 بالرمز |󰏡|، ويُعطى بالصيغة: |󰏡|=󰍾󰏡𞸁𞸢𞸃󰍾=󰏡𞸃𞸁𞸢.

عند حساب محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢×٢، عادةً ما تحدث الأخطاء الأكثر شيوعًا إذا كان أحد العناصر سالبًا. على وجه التحديد، إذا كانت قيمة 𞸁 أو 𞸢 سالبة، فهناك احتمال حدوث خطأ في الإشارة، عند استخدام الصيغة: |󰏡|=󰏡𞸃𞸁𞸢، في الحدِّ الموجود أقصى اليسار. في الأمثلة الآتية، سنوضِّح كيفية حساب المحدِّد لثلاث مصفوفات مختلفة، إضافةً إلى المثال الأخير الذي يتضمَّن مصفوفة بها عناصر في صورة دوالَّ مثلثية، بدلًا من أن تكون في صورة أعداد.

مثال ١: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢

أوجد محدِّد المصفوفة التالية: 󰂔٥١٠٥󰂓.

الحل

نسمِّي المصفوفة: 󰏡=󰂔٥١٠٥󰂓.

بعد ذلك، نحسُب المحدِّد كما يلي: |󰏡|=󰍻٥١٠٥󰍻=٥×٥١×٠=٥٢.

ومن ثَمَّ، نجد أن: |󰏡|=٥٢.

مثال ٢: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢

أوجد محدِّد المصفوفة التالية: 󰂔٥١١٥󰂓.

الحل

نسمِّي المصفوفة: 󰏡=󰂔٥١١٥󰂓.

بعد ذلك، نحسُب: |󰏡|=󰍻٥١١٥󰍻=٥×٥١×(١)=٥٢+١.

وعليه، تكون الإجابة: |󰏡|=٦٢.

مثال ٣: محدِّدات ٢ × ٢ تتضمَّن دوالَّ مثلثية

أوجد قيمة: |||||١𝜃١١+𝜃١𝜃|||||.٢

الحل

نعرِّف المصفوفة: 󰏡=١𝜃١١+𝜃١𝜃.٢

ثم، نحسُب المحدِّد كالمعتاد: |󰏡|=|||||١𝜃١١+𝜃١𝜃|||||=󰃁١𝜃󰃀×󰃁١𝜃󰃀١×󰁓١+𝜃󰁒=١𝜃󰁓١+𝜃󰁒.٢٢٢٢

على الرغم من أن المحدِّد |󰏡| على هذه الصورة صحيح، فمن المحتمل وجود تعبير مكافئ وله صورة أبسط. ولهذا السبب، سنحاول تبسيط التعبير أعلاه. بتذكُّر أن: 𝜃=𝜃𝜃، يمكننا كتابة أن: |󰏡|=١𝜃󰃁١+𝜃𝜃󰃀.٢٢٢

ولإيجاد مقام مشترَك بين جميع الحدود، يمكننا أيضًا كتابة: ١=𝜃𝜃٢٢؛ لإيجاد: |󰏡|=١𝜃󰃁١+𝜃𝜃󰃀=١𝜃󰃁𝜃𝜃+𝜃𝜃󰃀=١𝜃󰃁𝜃+𝜃𝜃󰃀=١󰁓𝜃+𝜃󰁒𝜃.٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

وأخيرًا، نعلم أن ٢٢𝜃+𝜃=١، وهو ما يعطينا: |󰏡|=١󰁓𝜃+𝜃󰁒𝜃=١١𝜃٢٢٢٢. وهو ما يعني أن |󰏡|=٠. هذا التعبير يكافئ صورة المحدِّد الذي حسبناه في البداية، لكنه مختصر أكثر. أن تساوي المحدِّدات صفرًا على وجه التحديد يعني أن المصفوفة الأصلية غير قابلة للعكس، بغض النظر عن قيمة 𝜃.

وبالفهم الجيد لمحدِّد المصفوفات التي رتبتها ٢×٢، يمكن الآن حساب محدِّد المصفوفات المربَّعة الأكبر. على الرغم من وجود قواعد محدَّدة لمحدِّدات المصفوفات ذات الرُّتبتين: ٣×٣، ٤×٤، فإنه من الأفضل إيجاد منهجية عامة؛ بحيث يمكن تطبيقها بطريقة تقلِّل عدد العمليات الحسابية التي علينا إجراؤها.

تعريف: المصفوفات الصغرى

افترض أن لدينا مصفوفة 󰏡، رتبتها 𞸌×𞸍. إذن، المصفوفة «الصغرى» 󰏡𞸑𞸏 هي المصفوفة الابتدائية 󰏡 بعد حذف الصف 𞸑 والعمود 𞸏. وهذا يعني أن 󰏡𞸑𞸏 هي مصفوفة رتبتها (𞸌١)×(𞸍١).

من الأسهل توضيح هذا المفهوم بمثال. افترض أن لدينا مصفوفة من الرتبة ٣×٣ موضَّحة كما يلي: 󰏡=󰃭٢٣٣٤٣٦٠٣٩󰃬.

سنبدأ بحساب المصفوفة الصغرى 󰏡٢٣، وهو ما يعني أننا سنحذف الصف الثاني والعمود الثالث من 󰏡، كما هو موضَّح: 󰏡=󰃭٢٣٣٤٣٦٠٣٩󰃬.

بعد ذلك، تتبقَّى جميع العناصر غير الملوَّنة في المصفوفة الصغرى: 󰏡=󰂔٢٣٠٣󰂓.٢٣

إذا أردنا حساب المصفوفة الصغرى 󰏡٣١؛ فسنحذف الصف الثالث من 󰏡، وكذلك العمود الأول. لذا، علينا حذف العناصر المميزة من: 󰏡=󰃭٢٣٣٤٣٦٠٣٩󰃬. وبهذا، تكون المصفوفة الصغرى الناتجة هي: 󰏡=󰂔٣٣٣٦󰂓.٣١

يمكن تطبيق هذا التعريف على حدٍّ سواءٍ على مصفوفات الرتبة ٤×٤، أو أيِّ مصفوفة مربَّعة ذات أبعاد أعلى، كما سنوضِّح لاحقًا في هذا الشارح.

تعريف: الصيغة العامة للمحدِّد

افترض أن لدينا مصفوفة مربَّعة 󰏡، رتبتها 𞸍×𞸍. ومن ثَمَّ، يُحسب محدِّد 󰏡 بإحدى طريقتين، كلتاهما تتضمَّن المحدِّد لمصفوفات صغرى معيَّنة من 󰏡. يمكننا اختيار حساب المحدِّد باستخدام صفٍّ معيَّن 𞸑 ومصفوفات صغرى كما يلي: |󰏡|=󰌇(١)󰏡|󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|++(١)󰏡|󰏡|.𞸍𞸏=١𞸑+𞸏𞸑𞸏𞸑𞸏𞸑+١𞸑١𞸑١𞸑+٢𞸑٢𞸑٢𞸑+𞸍𞸑𞸍𞸑𞸍

أو يمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام عمود واحد معيَّن 𞸏: |󰏡|=󰌇(١)󰏡|󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|++(١)󰏡|󰏡|.𞸍𞸑=١𞸑+𞸏𞸑𞸏𞸑𞸏١+𞸏١𞸏١𞸏٢+𞸏٢𞸏٢𞸏𞸍+𞸏𞸍𞸏𞸍𞸏

يبدو هذا التعريف صعبًا نوعًا ما للوهلة الأولى، على الرغم من أن تطبيقه أسهل بكثير مما يبدو عليه في البداية. يمكن تجنُّب الكثير من هذا الالتباس من خلال إجراء العمليات الحسابية بطريقة متَّسقة وواضحة، مع تحديد العناصر والنتائج ذات الصلة كجزء لا يتجزَّأ من الطريقة.

مثال ٤: محدِّدات ٣ × ٣

أوجد قيمة محدِّد المصفوفة: 󰃭١٢٣٣٢٢٠٩٨󰃬.

الحل

لدينا مصفوفة رتبتها ٣×٣، سنسمِّيها كما يلي: 󰏡=󰃭١٢٣٣٢٢٠٩٨󰃬.

يمكننا حساب |󰏡| من خلال اختيار إما صفٍّ واحد أو عمود واحد أوَّلًا. لأسباب سنوضِّحها بعد قليل، فإن البحث عن صفٍّ أو عمود يحتوي على أكبر عدد من الأصفار هو عادة طريقة جيدة. بالنسبة إلى المصفوفة 󰏡، قد نختار إما الصف الثالث أو العمود الأول اللَّذين يحتوي كلاهما على عنصر قيمته صفر في الموضع 󰏡٣١. نختار العمود الأول، كما هو موضَّح: 󰏡=󰃭١٢٣٣٢٢٠٩٨󰃬.

هذه العناصر هي: 󰏡=١١١، 󰏡=٣٢١، 󰏡=٠٣١. والآن، نحسُب المصفوفات الصغرى المناظرة: 󰏡=󰂔٢٢٩٨󰂓،󰏡=󰂔٢٣٩٨󰂓،󰏡=󰂔٢٣٢٢󰂓.١١٢١٣١

باستخدام طريقة حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢×٢، وهي التي سبق أن استخدمناها في هذا الشارح، نجد أن: |󰏡|=٢،|󰏡|=١١،|󰏡|=٢.١١٢١٣١

الخطوة التحضيرية الأخيرة هي حساب القيم: (١)=١،(١)=١،(١)=١.١+١٢+١٣+١

نعلم أنه يمكننا الفكُّ باستخدام العمود ١ من خلال الصيغة: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|.١+١١١١١٢+١٢١٢١٣+١٣١٣١

والآن، يتَّضح لنا أننا لم نكن بحاجة إلى حساب |󰏡|٣١؛ لأن هذه القيمة ستُضرَب في 󰏡=٠٣١. بكتابة العملية الحسابية بالكامل نحصل على: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|=(١)×(١)×(٢)+(١)×(٣)×(١١)+(١)×(٠)×(٢)=٢+٣٣+٠.١+١١١١١٢+١٢١٢١٣+١٣١٣١

وهذا سيعطينا الناتج النهائي: |󰏡|=١٣.

سنتناول مثالًا آخَر على مصفوفة من الرتبة ٣×٣، لكن هذه المرة مع استخدام خاصية الفكِّ باستخدام الصف، بدلًا من العمود كما في المثال السابق. هذه الطريقة مشابهة تمامًا لتلك الطريقة المستخدَمة أعلاه، وباستخدام الطريقة نفسها في الحلِّ، نلاحظ وجود اختلاف ضئيل بين هذا المثال والمثال السابق من حيث الشكل والعمليات الحسابية المتَّبَعة.

مثال ٥: محدِّدات ٣ × ٣

احسب قيمة |󰏡| عندما تكون: 󰏡=󰃭٣٠١٠١٠٢٢٤󰃬.

الحل

لتبسيط العمليات الحسابية التالية، سنحدِّد الصف أو العمود الذي يتضمَّن أكبر عدد من العناصر التي تساوي صفرًا. في هذه الحالة، نختار الصف الثاني من 󰏡، كما وضَّحنا: 󰏡=󰃭٣٠١٠١٠٢٢٤󰃬.

وتكون العناصر ذات الصلة هي: 󰏡=٠٢١، 󰏡=١٢٢، 󰏡=٠٢٣. عنصران من هذه العناصر يساويان صفرًا، وهو ما يعني أنه ليس علينا حساب مصفوفتين صُغريَينِ؛ لأننا سنضرب محدِّداتهما في النهاية في صفر. واستكمالًا للشرح، نكتب جميع المصفوفات الصغرى ذات الصلة: 󰏡=󰂔٠١٢٤󰂓،󰏡=󰂔٣١٢٤󰂓،󰏡=󰂔٣٠٢٢󰂓.٢١٢٢٢٣

وبهذا، تكون محدِّدات هذه المصفوفات الصغرى هي: |󰏡|=٢،|󰏡|=٤١،|󰏡|=٦.٢١٢٢٢٣

يتمثَّل الجزء الأخير في حساب القيم: (١)=١،(١)=١،(١)=١.٢+١٢+٢٢+٣

يمكننا حساب قيمة محدِّدِ 󰏡 عن طريق الفكِّ باستخدام الصف ٢ باستخدام الصيغة: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|.٢+١٢١٢١٢+٢٢٢٢٢٢+٣٢٣٢٣

نلاحظ وجود مصفوفتين صُغريَينِ لسنا بحاجة إلى أخذهما في الاعتبار؛ لأن محدِّداتهما مضروبة في حدٍّ صفري. لكننا نحسُب: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|=(١)×(٠)×(٢)+(١)×(١)×(٤١)+(١)×(٠)×(٦).٢+١٢١٢١٢+٢٢٢٢٢٢+٣٢٣٢٣

وهذا يعطينا الإجابة: |󰏡|=٤١.

من السهل تطبيق الأساليب التي استخدمناها في السؤال أعلاه على مصفوفات ذات رُتب أعلى. بالنسبة لمصفوفةٍ 󰏡 رتبتها 𞸌×𞸍، فإن المصفوفة الصغرى 󰏡𞸑𞸏 ستكون رتبتها (𞸌١)×(𞸍١). على سبيل المثال، وبتكرار الخطوات أعلاه، يمكن التعبير عن محدِّد مصفوفة من الرتبة ٤×٤ بدلالة مصفوفات صغرى معيَّنة جميعها من الرتبة ٣×٣.

مثال ٦: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٤ × ٤

أوجد محدِّد المصفوفة: ١٢٣٢١٣٢٢٤١٥٠١٢١٢.

الحل

نفترض أن المصفوفة أعلاه تساوي 󰏡. ومن ثَمَّ، سيكون من الجيد اختيار الفكِّ إما باستخدام الصف الثالث أو العمود الرابع من 󰏡؛ لأن كليهما يحتوي على عنصر واحد قيمته صفر. ولأنه لا يوجد سبب لتفضيل أحد هذين الخيارين، سنختار الصف الثالث اعتباطيًّا: 󰏡=١٢٣٢١٣٢٢٤١٥٠١٢١٢.

العناصر المميزة هي: 󰏡=٤٣١، 󰏡=١٣٢، 󰏡=٥٣٣، 󰏡=٠٣٤. والمصفوفات الصغرى المناظرة لهذه العناصر هي: 󰏡=󰃭٢٣٢٣٢٢٢١٢󰃬،󰏡=󰃭١٣٢١٢٢١١٢󰃬،󰏡=󰃭١٢٢١٣٢١٢٢󰃬،󰏡=󰃭١٢٣١٣٢١٢١󰃬.٣١٣٢٣٣٣٤

بإمكاننا الآن حساب محدِّدات هذه المصفوفات الصغرى. وبمعلومية أن 󰏡=٠٣٤، ففي الواقع لا داعي لحساب |󰏡|٣٤، على الرغم من أننا سنفعل ذلك بغرض إكمال الشرح. وتكون النواتج هي: |󰏡|=٤،|󰏡|=٠،|󰏡|=٠،|󰏡|=٢.٣١٣٢٣٣٣٤

من حسن الحظ أن اثنتين من المصفوفات الصغرى لهما محدِّدان يساويان صفرًا؛ حيث إن هذا سيُبسِّط حساب ناتج |󰏡|. ونحصل في الخطوة التحضيرية الأخيرة على القيم: (١)=١،(١)=١،(١)=١،(١)=١.٣+١٣+٢٣+٣٣+٤

سنحسُب قيمة |󰏡| عن طريق فكِّه باستخدام الصف ٣: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|.٣+١٣١٣١٣+٢٣٢٣٢٣+٣٣٣٣٣٣+٤٣٤٣٤

باستخدام كلِّ القيم المميزة أعلاه، يصبح لدينا: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|=(١)×(٤)×(٤)+(١)×(١)×(٠)+(١)×(٥)×(٠)+(١)×(٠)×(٢).٣+١٣١٣١٣+٢٣٢٣٢٣+٣٣٣٣٣٣+٤٣٤٣٤

إن وجود عدد كبير من الأصفار يعني أنه يمكننا سريعًا استنتاج أن: |󰏡|=٦١.

سنعرض مثالًا آخَر على مصفوفة من الرتبة ٤×٤، لتوضيح هذه الطريقة. في هذه المرحلة، قد يبدو أن الطريقة غامضة إلى حدٍّ ما، وهو أمر شائع بين كثير من مفاهيم الجبر الخطي عند دراسته في البداية. لكن مع التدريب تصبح هذه الطريقة سهلة التطبيق. علاوة على ذلك، بمجرد أن يكون عالم رياضيات على دراية بجميع حيل حساب المحدِّدات، سيتمكَّن عادة من إيجاد طرق مختصَرة يمكن استخدامها للحصول على الإجابة. يوفِّر المثال التالي توضيحًا آخَر لكيفية تبسيط العملية الحسابية عن طريق الاختيار الصحيح للصف أو العمود.

مثال ٧: محدِّدات ٤ × ٤

احسب |󰏡| عندما تكون: 󰏡=١٤٥٠٠٢٢٣١١٤١٢٣٠٠.

الحل

يحتوي العمود الرابع على أكبر عدد من الأصفار في أيِّ صفٍّ أو عمود، لذا سنفكُّ باستخدام هذا العمود من خلال تمييز العناصر ذات الصلة أوَّلًا: 󰏡=١٤٥٠٠٢٢٣١١٤١٢٣٠٠.

العناصر المميزة هي: 󰏡=٠١٤، 󰏡=٣٢٤، 󰏡=١٣٤، 󰏡=٠٤٤، وبما أن 󰏡=󰏡=٠١٤٤٤، فلا داعي لحساب المصفوفة الصغرى 󰏡١٤، ولا المصفوفة الصغرى 󰏡٤٤، ولا محدِّداتهما. المصفوفات الصغرى المناسبة هي: 󰏡=󰏡،󰏡=󰃭١٤٥١١٤٢٣٠󰃬،󰏡=󰃭١٤٥٠٢٢٢٣٠󰃬،󰏡=󰏡.١٤١٤٢٤٣٤٤٤٤٤

من ذلك، نستخدم طرق حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرتبة ٣×٣ لإيجاد: |󰏡|=|󰏡|،|󰏡|=٩٣،|󰏡|=٢٤،|󰏡|=|󰏡|.١٤١٤٢٤٣٤٤٤٤٤

وكلُّ ما يتبقَّى هو حساب: (١)=١،(١)=١،(١)=١،(١)=١.١+٤٢+٤٣+٤٤+٤

يمكننا الآن استنتاج محدِّد 󰏡 من خلال الفكِّ باستخدام العمود ٤. ويعطينا تعريف المحدِّد الصيغة: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|.١+٤١٤١٤٢+٤٢٤٢٤٣+٤٣٤٣٤٤+٤٤٤٤٤

ومن ثَمَّ، يكون المحدِّد هو: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|=(١)×(٠)×(|󰏡|)+(١)×(٣)×(٩٣)+(١)×(١)×(٢٤)+(١)×(٠)×(|󰏡|).١+٤١٤١٤٢+٤٢٤٢٤٣+٤٣٤٣٤٤+٤٤٤٤٤١٤٤٤

وكما نعلم، الحدَّان: |󰏡|١٤، |󰏡|٤٤ مضروبان في صفر، لذا لا بد من حساب هذين المقدارين في هذا المثال تحديدًا. وبتبسيط ما سبق، تكون الإجابة هي: |󰏡|=٩٥١.

في هذا الشارح، استخدمنا أداة واحدة فقط لحساب قيمة محدِّد مصفوفة مربَّعة، إلا أنها أداة قوية للغاية. إن إحدى السِّمات المثيرة للاهتمام عند دراسة قيمة المحدِّد، هي أن لدينا خيارات عدة لكيفية حسابه. على سبيل المثال، في المصفوفات من الرتبتين ٣×٣، ٤×٤؛ كان بإمكاننا اختيار الفكِّ باستخدام صفٍّ أو عمود معيَّن. ولكي نجعل العمليات الحسابية مختصَرة قدر الإمكان، بحثنا عن الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار.

وتوجد عدة طرق أخرى لحساب قيمة محدِّد المصفوفة المربَّعة، تتشارك معظمها نفس الهدف المتمثِّل في إيجاد طرق لزيادة عدد مرات وجود الصفر في العملية الحسابية. تَستخدِم إحدى هذه الطرق العمليات الصفية لاختزال مصفوفة مربَّعة إلى مصفوفة مثلثية عُليا، تحتوي على أصفار في كلِّ عنصر أسفل العناصر القطرية. لقد اخترنا في التعريف والأمثلة أعلاه أن نمنح الأولوية للصفوف والأعمدة التي تحتوي على أكبر عدد ممكن من الأصفار، وهي طريقةٌ عمليةٌ بالتأكيد. وهذه القاعدة العامة هي مبدأ أساسي عند حساب قيمة محدِّد مصفوفة مربَّعة، وهو الذي سيكون من غير الحكمة تجاهله!

النقاط الرئيسية

  • محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢×٢: 󰏡=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀 يُعطى بالصيغة |󰏡|=󰏡𞸃𞸁𞸢.
  • إذا كانت المصفوفة 󰏡 رتبتها 𞸌×𞸍، فإن المصفوفة الصغرى 󰏡𞸑𞸏 هي مصفوفة رتبتها (𞸌١)×(𞸍١)، وهي مطابقة لـ 󰏡 بعد حذف الصف 𞸑 والعمود 𞸏.
  • يمكن حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸍، 󰏡=(󰏡)𞸑𞸏، إما عن طريق الفكِّ باستخدام الصف 𞸑: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|++(١)󰏡|󰏡|،𞸑+١𞸑١𞸑١𞸑+٢𞸑٢𞸑٢𞸑+𞸍𞸑𞸍𞸑𞸍 أو عن طريق الفكِّ باستخدام العمود 𞸏: |󰏡|=(١)󰏡|󰏡|+(١)󰏡|󰏡|++(١)󰏡|󰏡|.١+𞸏١𞸏١𞸏٢+𞸏٢𞸏٢𞸏𞸍+𞸏𞸍𞸏𞸍𞸏
  • وعند الفكِّ باستخدام صفٍّ أو عمود معيَّن، فمن الأفضل اختيار الصف الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.