شارح الدرس: محدِّدات الرُّتبة الثالثة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢

أوجد محدِّد المصفوفة التالية:

الحل

نسمِّي المصفوفة:

بعد ذلك، نحسُب المحدِّد كما يلي:

ومن ثَمَّ، نجد أن: .

مثال ٢: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢

أوجد محدِّد المصفوفة التالية:

الحل

نسمِّي المصفوفة:

بعد ذلك، نحسُب:

وعليه، تكون الإجابة: .

مثال ٣: محدِّدات ٢ × ٢ تتضمَّن دوالَّ مثلثية

أوجد قيمة:

الحل

نعرِّف المصفوفة:

ثم، نحسُب المحدِّد كالمعتاد:

على الرغم من أن المحدِّد على هذه الصورة صحيح، فمن المحتمل وجود تعبير مكافئ وله صورة أبسط. ولهذا السبب، سنحاول تبسيط التعبير أعلاه. بتذكُّر أن: يمكننا كتابة أن:

ولإيجاد مقام مشترَك بين جميع الحدود، يمكننا أيضًا كتابة: ؛ لإيجاد:

وأخيرًا، نعلم أن ، وهو ما يعطينا: . وهو ما يعني أن . هذا التعبير يكافئ صورة المحدِّد الذي حسبناه في البداية، لكنه مختصر أكثر. أن تساوي المحدِّدات صفرًا على وجه التحديد يعني أن المصفوفة الأصلية غير قابلة للعكس، بغض النظر عن قيمة .

مثال ٤: محدِّدات ٣ × ٣

أوجد قيمة محدِّد المصفوفة:

الحل

لدينا مصفوفة رتبتها ، سنسمِّيها كما يلي:

يمكننا حساب من خلال اختيار إما صفٍّ واحد أو عمود واحد أوَّلًا. لأسباب سنوضِّحها بعد قليل، فإن البحث عن صفٍّ أو عمود يحتوي على أكبر عدد من الأصفار هو عادة طريقة جيدة. بالنسبة إلى المصفوفة ، قد نختار إما الصف الثالث أو العمود الأول اللَّذين يحتوي كلاهما على عنصر قيمته صفر في الموضع . نختار العمود الأول، كما هو موضَّح:

هذه العناصر هي: ، ، . والآن، نحسُب المصفوفات الصغرى المناظرة:

باستخدام طريقة حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرتبة ، وهي التي سبق أن استخدمناها في هذا الشارح، نجد أن:

الخطوة التحضيرية الأخيرة هي حساب القيم:

نعلم أنه يمكننا الفكُّ باستخدام العمود من خلال الصيغة:

والآن، يتَّضح لنا أننا لم نكن بحاجة إلى حساب ؛ لأن هذه القيمة ستُضرَب في . بكتابة العملية الحسابية بالكامل نحصل على:

وهذا سيعطينا الناتج النهائي: .

مثال ٥: محدِّدات ٣ × ٣

احسب قيمة عندما تكون:

الحل

لتبسيط العمليات الحسابية التالية، سنحدِّد الصف أو العمود الذي يتضمَّن أكبر عدد من العناصر التي تساوي صفرًا. في هذه الحالة، نختار الصف الثاني من ، كما وضَّحنا:

وتكون العناصر ذات الصلة هي: ، ، . عنصران من هذه العناصر يساويان صفرًا، وهو ما يعني أنه ليس علينا حساب مصفوفتين صُغريَينِ؛ لأننا سنضرب محدِّداتهما في النهاية في صفر. واستكمالًا للشرح، نكتب جميع المصفوفات الصغرى ذات الصلة:

وبهذا، تكون محدِّدات هذه المصفوفات الصغرى هي:

يتمثَّل الجزء الأخير في حساب القيم:

يمكننا حساب قيمة محدِّدِ عن طريق الفكِّ باستخدام الصف باستخدام الصيغة:

نلاحظ وجود مصفوفتين صُغريَينِ لسنا بحاجة إلى أخذهما في الاعتبار؛ لأن محدِّداتهما مضروبة في حدٍّ صفري. لكننا نحسُب:

وهذا يعطينا الإجابة: .

مثال ٦: محدِّد مصفوفة من الرتبة ٤ × ٤

أوجد محدِّد المصفوفة:

الحل

نفترض أن المصفوفة أعلاه تساوي . ومن ثَمَّ، سيكون من الجيد اختيار الفكِّ إما باستخدام الصف الثالث أو العمود الرابع من ؛ لأن كليهما يحتوي على عنصر واحد قيمته صفر. ولأنه لا يوجد سبب لتفضيل أحد هذين الخيارين، سنختار الصف الثالث اعتباطيًّا:

العناصر المميزة هي: ، ، ، . والمصفوفات الصغرى المناظرة لهذه العناصر هي:

بإمكاننا الآن حساب محدِّدات هذه المصفوفات الصغرى. وبمعلومية أن ، ففي الواقع لا داعي لحساب ، على الرغم من أننا سنفعل ذلك بغرض إكمال الشرح. وتكون النواتج هي:

من حسن الحظ أن اثنتين من المصفوفات الصغرى لهما محدِّدان يساويان صفرًا؛ حيث إن هذا سيُبسِّط حساب ناتج . ونحصل في الخطوة التحضيرية الأخيرة على القيم:

سنحسُب قيمة عن طريق فكِّه باستخدام الصف :

باستخدام كلِّ القيم المميزة أعلاه، يصبح لدينا:

إن وجود عدد كبير من الأصفار يعني أنه يمكننا سريعًا استنتاج أن: .

مثال ٧: محدِّدات ٤ × ٤

احسب عندما تكون:

الحل

يحتوي العمود الرابع على أكبر عدد من الأصفار في أيِّ صفٍّ أو عمود، لذا سنفكُّ باستخدام هذا العمود من خلال تمييز العناصر ذات الصلة أوَّلًا:

العناصر المميزة هي: ، ، ، ، وبما أن ، فلا داعي لحساب المصفوفة الصغرى ، ولا المصفوفة الصغرى ، ولا محدِّداتهما. المصفوفات الصغرى المناسبة هي:

من ذلك، نستخدم طرق حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرتبة لإيجاد:

وكلُّ ما يتبقَّى هو حساب:

يمكننا الآن استنتاج محدِّد من خلال الفكِّ باستخدام العمود . ويعطينا تعريف المحدِّد الصيغة:

ومن ثَمَّ، يكون المحدِّد هو:

وكما نعلم، الحدَّان: ، مضروبان في صفر، لذا لا بد من حساب هذين المقدارين في هذا المثال تحديدًا. وبتبسيط ما سبق، تكون الإجابة هي: .