تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: حلُّ أنظمة المعادلات الخطية باستخدام حذْف متغيِّر الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ أنظمة المعادلات الخطية باستخدام حذْف متغيِّر.

عندما يُطلَب منَّا حلُّ نظام معادلات، فهذا يعني أننا نبحث عن مجموعة من القيم للمتغيِّرات تُحقِّق كل معادلة. على سبيل المثال، انظر إلى نظام المعادلات: 𞸎+𞸑=١،𞸎𞸑=٣.

نريد إيجاد قيمة لـ 𞸎 وقيمة لـ 𞸑؛ بحيث تتحقَّق كلتا المعادلتين. بعبارة أخرى، نبحث عن قيمتين مجموعهما ١ والفرق بينهما ٣. يمكننا القيام بذلك عن طريق التجربة والخطأ، لكنَّ هذا لن يصلح في الأنظمة الأكثر تعقيدًا.

بدلًا من ذلك، سنستخدم حقيقة أنه يمكننا حلُّ أيِّ معادلة خطية في متغيِّر واحد. هذا يعني أنه إذا تمكَّنا من إيجاد معادلة خطية في أيٍّ من المتغيِّرين، فإنه يمكننا حلُّها لإيجاد قيمة هذا المتغيِّر. للقيام بذلك، يمكننا ملاحظة أن كلتا المعادلتين يجب أن تتحقَّق، إذن طرفَا المعادلة متساويان (لكلتا المعادلتين). هذا يعني أنه يمكننا جمع المعادلتين معًا: 𞸎+𞸑=١+(𞸎𞸑=٣)٢𞸎+𞸑=٤.

نجمع الطرف الأيمن لكلتا المعادلتين لنحصل على ٢𞸎، ونجمع الطرف الأيسر لكلتا المعادلتين لنحصل على ٤. إذن: ٢𞸎=٤، ويمكننا حلُّها بقسمة الطرفين على ٢، لنحصل على: 𞸎=٢.

وأخيرًا، نُعوِّض بـ 𞸎=٢ في المعادلة الأولى، لنحصل على: ٢+𞸑=١، ثم نطرح ٢ من كِلا طرفَي المعادلة، لنحصل على: 𞸑=١.

إذن، 𞸎=٢، 𞸑=١، حل لهذا النظام من المعادلات. يمكننا التحقُّق من صحَّة هذا الحل بالتعويض بهاتين القيمتين في نظام المعادلات للتأكُّد من أن المعادلتين صحيحتان، غير أن الأكثر فعالية هو التعويض فقط في المعادلة التي لم نستعملها في إيجاد القيمتين. لدينا: 𞸎+𞸑=٢+(١)=١،𞸎𞸑=٢(١)=٣.

هذا يتَّفق مع نظام المعادلات، ويُؤكِّد أن الحل صحيح.

لإيجاد هذا الحل جمعنا المعادلتين معًا، ولكن نجح هذا فقط لأن الحدين 𞸑، 𞸑، حُذِفا معًا لتصبح لدينا معادلة خطية في المتغيِّر 𞸎. لهذا تُسمَّى هذه العملية الحذف لأننا حذفنا أحد المتغيِّرين. هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها حذف متغيِّر من المعادلتين؛ إذ يمكننا أيضًا طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، لنحصل على: 𞸎+𞸑=١(𞸎𞸑=٣)𞸎+٢𞸑=٢.

يمكننا الآن الحل لإيجاد قيمة 𞸑، لنحصل على 𞸑=١، ثم نُعوِّض بـ 𞸑=١ في المعادلة الأولى، لنحصل على 𞸎+(١)=١؛ إذن 𞸎=٢.

في كلتا الحالتين، استطعنا حذف متغيِّر باستخدام حقيقة أن القيمتين المُطلَقتين لمُعاملَي أحد المتغيِّرين في المعادلتين متساويتان. بعبارة أخرى، بما أن معامل 𞸎 يساوي ١ في كلتا المعادلتين، فإنه يمكننا حذف 𞸎 بطرح المعادلتين. وبالمثل، نظرًا لأن معاملَي 𞸑 يساويان ١، ١، في المعادلتين، أي لهما المقدار نفسه ولكن بإشارتين مختلفتين، فقد تمكَّنا من جمع المعادلتين لحذف 𞸑.

هذا ليس الحال دومًا؛ لذا دعونا نرَ كيفية تطبيق هذه الطريقة لحلِّ النظام الآتي من المعادلات الخطية: ٢𞸎+𞸑=١،𞸎٣𞸑=١.

نلاحظ أن مقدارَي معاملَي كلٍّ من المجهولين غير متساويين؛ لذا لا يمكننا جمع المعادلتين أو طرحهما لحذف متغيِّر. بدلًا من ذلك، سنحتاج إلى إعادة كتابة إحدى المعادلتين لكي يتحقَّق ذلك. سنضرب المعادلة الثانية في ٢ لنحصل على ٢𞸎٦𞸑=٢. والآن، أصبح لدينا النظام الآتي من المعادلات الخطية: ٢𞸎+𞸑=١،٢𞸎٦𞸑=٢.

يمكننا طرح المعادلة الثانية من الأولى لنحذف المتغيِّر 𞸎، وهذا يعطينا: ٢𞸎+𞸑=١(٢𞸎٦𞸑=٢)٧𞸑=١.

بقسمة الطرفين على ٧ نحصل على: 𞸑=١٧.

يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة الأولى، لنحصل على: ٢𞸎١٧=١.

يمكننا بعد ذلك حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎 بإضافة ١٧ إلى طرفَي المعادلة: ٢𞸎=٨٧.

وأخيرًا، نقسم الطرفين على ٢ لنحصل على: 𞸎=٤٧.

تجدر الإشارة إلى أنه كان بإمكاننا أيضًا ضرب طرفَي المعادلة الأولى في ٣، ثم جمع المعادلتين لحذف المتغيِّر 𞸑.

قبل الانتقال إلى الأمثلة، هناك نوع آخَر من أنظمة المعادلتين الخطيتين. في هذه الأنظمة، لا تكون مُعامِلات المتغيِّرين مضاعفات مباشرة أحدها للآخَر؛ لذا علينا ضرب كلتا المعادلتين لنحذف متغيِّرًا. لنرَ مثالًا على ذلك في نظام المعادلات الآتي: ٢𞸎+٣𞸑=٠١،٣𞸎٤𞸑=٢.

نلاحظ أن معاملَي المتغيِّر نفسه ليسَا مضاعفين مباشرين أحدهما للآخَر؛ لذا بدلًا من ذلك سنضرب المعادلة الأولى في ٣ والمعادلة الثانية في ٢ لكي يتساوى مقدارَا معاملَي 𞸎. هذا يعطينا: ٣×(٢𞸎+٣𞸑)=٣×٠١٦𞸎+٩𞸑=٠٣،٢×(٣𞸎٤𞸑)=٢×(٢)٦𞸎٨𞸑=٤.

وبذلك، نكون قد أعدنا كتابة النظام على الصورة: ٦𞸎+٩𞸑=٠٣،٦𞸎٨𞸑=٤.

يمكننا بعد ذلك طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى لحذف المتغيِّر 𞸎: ٦𞸎+٩𞸑=٠٣(٦𞸎٨𞸑=٤)٧١𞸑=٤٣.

يمكننا حينها إيجاد قيمة 𞸑 بقسمة الطرفين على ١٧، لنحصل على: 𞸑=٤٣٧١=٢.

وأخيرًا، نُعوِّض بـ 𞸑=٢ في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة 𞸎: ٢𞸎+٣(٢)=٠١٢𞸎=٤𞸎=٢.

هيا نلخِّص الآن كيفية استخدام طريقة الحذف لحلِّ أنظمة المعادلتين الخطيتين.

كيفية حلِّ نظام من معادلتين خطيتين في متغيِّرين باستخدام طريقة الحذف

فيما يأتي خطوات حلِّ نظام من معادلتين خطيتين باستخدام طريقة الحذف:

  1. حدِّد إذا ما كان النظام يحتوي على معاملين لأيٍّ من المجهولين لهما المقدار نفسه.
  2. إذا كان النظام لا يحتوي على معاملين متساويين في المقدار، فاضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في ثابت للحصول على معاملين متساويين في المقدار.
  3. بمجرَّد أن يحتوي النظام على معاملين متساويين في المقدار، اطرح المعادلتين إذا كان المعاملان متساويين، واجمع المعادلتين إذا كانت للمعاملين إشارتان مختلفتان؛ لكي نحذف المتغيِّر.
  4. حُلَّ المعادلة الخطية الناتجة لإيجاد أحد المجهولين.
  5. عوِّض بهذه القيمة في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد المجهول الآخَر.

هيا نرَ بعض الأمثلة على كيفية تطبيق طريقة الحذف هذه لحلِّ أنظمة المعادلات.

مثال ١: حلُّ معادلتين خطيتين آنيتين معاملَا المتغيِّر ص فيهما متساويان في المقدار ومختلفان في الإشارة

باستخدام الحذف، حلَّ المعادلتين الآنيتين: ٣𞸎+٢𞸑=٤١،٦𞸎٢𞸑=٢٢.

الحل

لحل معادلتين آنيتين باستخدام الحذف، علينا جمع أو طرح مضاعفين للمعادلتين لحذف متغيِّر. في هذه الحالة، نلاحظ أنه يمكننا جمع حدَّي المتغيِّر 𞸑 في كل معادلة لحذف المتغيِّر 𞸑؛ لذا نجمع المعادلتين معًا: ٣𞸎+٢𞸑=٤١+٦𞸎٢𞸑=٢٢٩𞸎=٦٣.

يمكننا بعد ذلك قسمة المعادلة الناتجة على ٩ لإيجاد 𞸎. نحصل على: 𞸎=٦٣٩=٤.

والآن نُعوِّض بـ 𞸎=٤ في المعادلة الأصلية لإيجاد قيمة 𞸑، لنحصل على: ٣(٤)+٢𞸑=٤١٢١+٢𞸑=٤١.

بعد ذلك، نطرح ١٢ من طرفَي المعادلة لنجد أن: ٢𞸑=٢.

وأخيرًا، نقسم الطرفين على ٢ لنرى أن: 𞸑=١.

إذن، حلُّ نظام المعادلات هو: 𞸎=٤، 𞸑=١.

مثال ٢: حلُّ معادلتين آنيتين بالحذف

استخدم طريقة الحذف لحلِّ المعادلتين الآنيتين التاليتين ٣󰏡+٢𞸁=٤١،٤󰏡+٢𞸁=٦١.

الحل

لحلِّ معادلتين آنيتين باستخدام الحذف، نريد جمع مضاعفين للمعادلتين أو طرحهما لحذف متغيِّر. في هذه الحالة، نلاحظ أن الفرق بين حدَّي المتغيِّر 𞸁 في المعادلتين يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، يمكننا طرح المعادلتين لحذف المتغيِّر 𞸁، لنحصل على: ٣󰏡+٢𞸁=٤١(٤󰏡+٢𞸁=٦١)󰏡=٢.

يمكننا بعد ذلك ضرب طرفَي المعادلة الناتجة في ١ لإيجاد قيمة 󰏡، ونحصل على: 󰏡=٢.

والآن، نُعوِّض بـ 󰏡=٢ في المعادلة الأصلية لإيجاد قيمة 𞸁. نحصل على: ٣󰏡+٢𞸁=٤١٦+٢𞸁=٤١.

بعد ذلك، نطرح ٦ من كِلا طرفَي المعادلة لنحصل على: ٢𞸁=٨.

وأخيرًا، نقسم الطرفين على ٢ لنحصل على: 𞸁=٤.

هذا يكفي للإجابة عن السؤال، ولكن يمكننا أيضًا التحقُّق من إجابتنا بالتعويض بهاتين القيمتين في نظام المعادلات للتأكُّد من تحقُّق كلتا المعادلتين.

نُعوِّض بـ 󰏡=٢، 𞸁=٤، في الطرف الأيمن من المعادلة الأولى، لنحصل على: ٣(٢)+٢(٤)=٦+٨=٤١، وهو ما يساوي الطرف الأيسر من المعادلة الأولى.

نُعوِّض بـ 󰏡=٢، 𞸁=٤، في الطرف الأيمن من المعادلة الثانية، لنحصل على: ٤(٢)+٢(٤)=٨+٨=٦١، وهو ما يساوي الطرف الأيسر من المعادلة الثانية. وبما أن المعادلتين متحقِّقتان، فهذا يُؤكِّد أن الحل صحيح.

إذن، حلُّ المعادلتين الآنيتين هو: 󰏡=٢، 𞸁=٤.

في المثال التالي، علينا ضرب إحدى المعادلتين في ثابت لحذف متغيِّر.

مثال ٣: حلُّ معادلتين آنيتين باستخدام الحذف؛ حيث تلزم مضاعفة إحدى المعادلتين

باستخدام الحذف، حُلَّ المعادلتين الآنيتين: ٥𞸎+٤𞸑=٧٢،٣𞸎+٢١𞸑=٥٤.

الحل

لحذف أحد المتغيِّرين من هاتين المعادلتين، نحتاج إلى أن يتساوى مقدارَا معاملَي أحد المتغيِّرين في المعادلتين. يمكننا تحقيق ذلك بملاحظة أن ٣×٤𞸑=٢١𞸑؛ إذن يمكننا ضرب المعادلة الأولى في ٣ لحذف المتغيِّر 𞸑. هذا يعطينا: ٣×(٥𞸎+٤𞸑)=٣×٧٢٥١𞸎+٢١𞸑=١٨.

إذن، أصبحت المعادلتان الآنيتان الآن: ٥١𞸎+٢١𞸑=١٨،٣𞸎+٢١𞸑=٥٤.

يمكننا بعد ذلك طرح إحدى المعادلتين من المعادلة الأخرى لنحذف 𞸑: ٥١𞸎+٢١𞸑=١٨(٣𞸎+٢١𞸑=٥٤)٢١𞸎=٦٣.

نقسم الطرفين على ١٢ لإيجاد 𞸎، ونرى أن: 𞸎=٣.

والآن نُعوِّض بـ 𞸎=٣ في المعادلة الأولى، ونحلُّها لإيجاد قيمة 𞸑؛ لنحصل على: ٥(٣)+٤𞸑=٧٢٥١+٤𞸑=٧٢.

نطرح ١٥ من طرفَي المعادلة لنحصل على: ٤𞸑=٢١.

وأخيرًا، نقسم طرفَي المعادلة على ٤، لنحصل على: 𞸑=٣.

ومن ثَمَّ، فإن حلَّ المعادلتين الآنيتين هو: 𞸎=٣، 𞸑=٣.

في المثال التالي، لكي نحذف متغيِّرًا من المعادلتين الآنيتين، علينا ضرب كلتا المعادلتين في ثابت.

مثال ٤: حلُّ معادلتين آنيتين باستخدام الحذف؛ حيث تلزم مضاعفة كلتا المعادلتين

باستخدام الحذف، حُلَّ المعادلتين الآنيتين: ٤𞸎+٦𞸑=٠٤،٣𞸎+٧𞸑=٠٤.

الحل

لحذف أحد المتغيِّرين من هذه المعادلة، يجب أن يكون مقدارَا معاملَي أحد المتغيِّرين في المعادلتين متساويين. لا يمكننا تحقيق ذلك بضرب معادلة واحدة فقط في ثابت؛ لأن معاملَي المتغيِّر نفسه ليسَا مضاعفين صحيحين أحدهما للآخَر.

ولذا، بدلًا من ذلك، سنُضاعِف كلتا المعادلتين؛ بحيث يتساوى معاملَا المتغيِّر 𞸎. سنضرب المعادلة الأولى في ٣، والمعادلة الثانية في ٤. هذا يعطينا: ٢١𞸎+٨١𞸑=٠٢١،٢١𞸎+٨٢𞸑=٠٦١.

يمكننا الآن طرح إحدى المعادلتين من الأخرى لحذف المتغيِّر 𞸎، وهذا يعطينا: ٢١𞸎+٨١𞸑=٠٢١(٢١𞸎+٨٢𞸑=٠٦١)٠١𞸑=٠٤.

والآن، نقسم طرفَي المعادلة الناتجة على ٠١ لنحلَّها لإيجاد قيمة 𞸑. نحصل على: 𞸑=٠٤٠١=٤.

يمكننا بعد ذلك التعويض بـ 𞸑=٤ في المعادلة الأولى لتكوين معادلة خطية في 𞸎، لنحصل على: ٤𞸎+٦(٤)=٠٤٤𞸎+٤٢=٠٤.

نطرح ٢٤ من الطرفين، لنحصل على: ٤𞸎=٦١.

وأخيرًا، نقسم طرفَي المعادلة على ٤، لنحصل على: 𞸎=٤.

هذا يكفي للإجابة عن السؤال، ولكن يمكننا أيضًا التحقُّق من إجابتنا بالتعويض بهاتين القيمتين في نظام المعادلات للتأكُّد من تحقُّق المعادلتين.

نُعوِّض بـ 𞸎=٤، 𞸑=٤، في الطرف الأيمن من المعادلة الأولى، لنحصل على: ٤(٤)+٦(٤)=٦١+٤٢=٠٤، وهو ما يساوي الطرف الأيسر من المعادلة الأولى.

نُعوِّض بـ 𞸎=٤، 𞸑=٤، في الطرف الأيمن من المعادلة الثانية، لنحصل على: ٣(٤)+٧(٤)=٢١+٨٢=٠٤، وهو ما يساوي الطرف الأيسر من المعادلة الثانية. وبما أن المعادلتين مُتحقِّقتان، فهذا يُؤكِّد أن الحل صحيح.

ومن ثَمَّ، حلُّ المعادلتين الآنيتين هو: 𞸎=٤، 𞸑=٤.

في المثال الأخير، سنطبِّق طريقة الحذف لحلِّ مسألة هندسية تتضمَّن نظامًا من المعادلات الخطية.

مثال ٥: حلُّ نظام من المعادلات الخطية لإيجاد أطوال أضلاع مجهولة في مثلث باستخدام محيطه

󰏡𞸁𞸢 مثلث فيه 𞸁𞸢=٥٥، 󰏡𞸢󰏡𞸁=٣١، ومحيطه ١٢٤ سم. أوجد طول كلٍّ من 󰏡𞸢، 󰏡𞸁 لأقرب سنتيمتر.

الحل

نتذكَّر أولًا أن محيط المضلع يساوي مجموع أطوال أضلاعه. وبما أن 󰏡𞸁𞸢 مثلث، فإن محيطه يساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة. نعلم أن محيط هذا المثلث ١٢٤ سم، إذن: 󰏡𞸁+𞸁𞸢+󰏡𞸢=٤٢١.

نعلم أيضًا من السؤال أن 𞸁𞸢=٥٥. بالتعويض بذلك في معادلة المحيط، نحصل على: 󰏡𞸁+٥٥+󰏡𞸢=٤٢١.

يمكننا طرح ٥٥ من الطرفين، لنحصل على: 󰏡𞸁+󰏡𞸢=٩٦.

يخبرنا السؤال أيضًا بأن: 󰏡𞸢󰏡𞸁=٣١.

وبذلك، تصبح لدينا معادلتان في مجهولين، ويمكننا محاولة حلِّهما بحذف أحد المجهولين. بإعادة ترتيب المعادلة الثانية، تصبح لدينا هاتان المعادلتان الآنيتان: 󰏡𞸁+󰏡𞸢=٩٦،󰏡𞸁+󰏡𞸢=٣١.

نلاحظ أن جمع المعادلتين سيحذف 󰏡𞸁 من المعادلة؛ لذا نجمع المعادلتين لنحصل على: 󰏡𞸁+󰏡𞸢=٩٦+󰏡𞸁+󰏡𞸢=٣١٢󰏡𞸢=٢٨.

والآن نقسم طرفَي المعادلة الناتجة على ٢، لنحصل على: 󰏡𞸢=١٤.

نُعوِّض بـ 󰏡𞸢=١٤ في المعادلة 󰏡𞸁+󰏡𞸢=٩٦، لنحصل على: 󰏡𞸁+١٤=٩٦.

نطرح ٤١ من كِلا طرفَي المعادلة لنجد أن: 󰏡𞸁=٨٢.

إذن، إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا فيه 𞸁𞸢=٥٥، 󰏡𞸢󰏡𞸁=٣١، ومحيطه ١٢٤ سم؛ فإن 󰏡𞸢=١٤، 󰏡𞸁=٨٢.

قبل أن ننتهي من الشارح، تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن دائمًا حلُّ الأنظمة من معادلتين خطيتين باستخدام الحذف. على سبيل المثال، تخيَّل أننا علمنا أن مجموع عددين يساوي ٣، وأن مجموع عددين يساوي ٢. نحن بالطبع نعلم أن هذا غير ممكن، لكن ما زال بإمكاننا تكوين نظام من معادلتين يُمثِّل كلَّ عملية جمع. نحصل على: 𞸎+𞸑=٣،𞸎+𞸑=٢.

إذا حاولنا حلَّ هذا النظام باستخدام الحذف فسنطرح المعادلات، لنحصل على: 𞸎+𞸑=٣(𞸎+𞸑=٢)٠=١.

نعرف أن الصفر لا يساوي ١، وفي الواقع يمكننا أيضًا القول إنه لا تُوجَد قيم لـ 𞸎، 𞸑، تجعل الصفر يساوي ١. بعبارة أخرى، لا تُوجَد قيم لـ 𞸎، 𞸑، تُحقِّق هذه المعادلة.

جدير بالذِّكر أيضًا أنه يمكن وجود عدد لا نهائي من الحلول. على سبيل المثال، انظر إلى النظام الآتي: ٢𞸎+٢𞸑=٢،𞸎+𞸑=١.

يمكننا محاولة حلِّه باستخدام الحذف، وعلينا ضرب المعادلة الثانية في ٢، لنحصل على: ٢𞸎+٢𞸑=٢.

نحصل حينها على معادلة مطابقة للمعادلة الأولى، ومن ثَمَّ عندما نحذف المتغيِّر نحصل على: ٢𞸎+٢𞸑=٢(٢𞸎+٢𞸑=٢)=.

نلاحظ حينها أن صفرًا يساوي دائمًا صفرًا لأيِّ قيمتين لـ 𞸎، 𞸑. ومن ثَمَّ، أيُّ قيمة لـ 𞸎 ستعطينا قيمة مقابلة لـ 𞸑 تحلُّ المعادلة؛ أي إنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول لهذا النظام. لن نتناول هذه الحالات بالتفصيل؛ لأنها تقع خارج نطاق الشارح، ولكن من المهمِّ أن نلاحظ أن هذه الحالات موجودة.

نختم الآن بإلقاء نظرة على بعض النقاط المهمَّة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • فيما يأتي خطوات حلِّ نظام من معادلتين خطيتين باستخدام الحذف:
    1. حدِّد إذا ما كان النظام يحتوي على معاملين متساويين في المقدار لأيٍّ من المجهولين.
    2. إذا كان النظام لا يحتوي على معاملين متساويين في المقدار، فاضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في ثابت للحصول على معاملين متساويين في المقدار.
    3. بمجرَّد أن يصبح للنظام معاملان متساويان في المقدار، اجمع المعادلتين أو اطرحهما لحذف المتغيِّر.
    4. حلَّ المعادلة الناتجة لإيجاد أحد المجهولين.
    5. عوِّض بهذه القيمة في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد المجهول الآخَر.
  • يعطينا حلُّ معادلتين آنيتين باستخدام الحذف حلولًا دقيقة.
  • يمكننا التحقُّق من الحلِّ بالتعويض بالقيمتين في المعادلتين للتحقُّق من صحتهما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.