شارح الدرس: حلُّ أنظمة المعادلات الخطية باستخدام حذْف متغيِّر الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ أنظمة المعادلات الخطية باستخدام حذْف متغيِّر.

عندما يُطلَب منَّا حلُّ نظام معادلات، فهذا يعني أننا نبحث عن مجموعة من القيم للمتغيِّرات تُحقِّق كل معادلة. على سبيل المثال، انظر إلى نظام المعادلات:

نريد إيجاد قيمة لـ وقيمة لـ ؛ بحيث تتحقَّق كلتا المعادلتين. بعبارة أخرى، نبحث عن قيمتين مجموعهما ١ والفرق بينهما ٣. يمكننا القيام بذلك عن طريق التجربة والخطأ، لكنَّ هذا لن يصلح في الأنظمة الأكثر تعقيدًا.

بدلًا من ذلك، سنستخدم حقيقة أنه يمكننا حلُّ أيِّ معادلة خطية في متغيِّر واحد. هذا يعني أنه إذا تمكَّنا من إيجاد معادلة خطية في أيٍّ من المتغيِّرين، فإنه يمكننا حلُّها لإيجاد قيمة هذا المتغيِّر. للقيام بذلك، يمكننا ملاحظة أن كلتا المعادلتين يجب أن تتحقَّق، إذن طرفَا المعادلة متساويان (لكلتا المعادلتين). هذا يعني أنه يمكننا جمع المعادلتين معًا:

نجمع الطرف الأيمن لكلتا المعادلتين لنحصل على ، ونجمع الطرف الأيسر لكلتا المعادلتين لنحصل على ٤. إذن: ويمكننا حلُّها بقسمة الطرفين على ٢، لنحصل على:

وأخيرًا، نُعوِّض بـ في المعادلة الأولى، لنحصل على: ثم نطرح ٢ من كِلا طرفَي المعادلة، لنحصل على:

إذن، ، ، حل لهذا النظام من المعادلات. يمكننا التحقُّق من صحَّة هذا الحل بالتعويض بهاتين القيمتين في نظام المعادلات للتأكُّد من أن المعادلتين صحيحتان، غير أن الأكثر فعالية هو التعويض فقط في المعادلة التي لم نستعملها في إيجاد القيمتين. لدينا:

هذا يتَّفق مع نظام المعادلات، ويُؤكِّد أن الحل صحيح.

لإيجاد هذا الحل جمعنا المعادلتين معًا، ولكن نجح هذا فقط لأن الحدين ، ، حُذِفا معًا لتصبح لدينا معادلة خطية في المتغيِّر . لهذا تُسمَّى هذه العملية الحذف لأننا حذفنا أحد المتغيِّرين. هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها حذف متغيِّر من المعادلتين؛ إذ يمكننا أيضًا طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، لنحصل على:

يمكننا الآن الحل لإيجاد قيمة ، لنحصل على ، ثم نُعوِّض بـ في المعادلة الأولى، لنحصل على ؛ إذن .

في كلتا الحالتين، استطعنا حذف متغيِّر باستخدام حقيقة أن القيمتين المُطلَقتين لمُعاملَي أحد المتغيِّرين في المعادلتين متساويتان. بعبارة أخرى، بما أن معامل يساوي ١ في كلتا المعادلتين، فإنه يمكننا حذف بطرح المعادلتين. وبالمثل، نظرًا لأن معاملَي يساويان ١، ، في المعادلتين، أي لهما المقدار نفسه ولكن بإشارتين مختلفتين، فقد تمكَّنا من جمع المعادلتين لحذف .

هذا ليس الحال دومًا؛ لذا دعونا نرَ كيفية تطبيق هذه الطريقة لحلِّ النظام الآتي من المعادلات الخطية:

نلاحظ أن مقدارَي معاملَي كلٍّ من المجهولين غير متساويين؛ لذا لا يمكننا جمع المعادلتين أو طرحهما لحذف متغيِّر. بدلًا من ذلك، سنحتاج إلى إعادة كتابة إحدى المعادلتين لكي يتحقَّق ذلك. سنضرب المعادلة الثانية في ٢ لنحصل على . والآن، أصبح لدينا النظام الآتي من المعادلات الخطية:

يمكننا طرح المعادلة الثانية من الأولى لنحذف المتغيِّر ، وهذا يعطينا:

بقسمة الطرفين على ٧ نحصل على:

يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة الأولى، لنحصل على:

يمكننا بعد ذلك حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة بإضافة إلى طرفَي المعادلة:

وأخيرًا، نقسم الطرفين على ٢ لنحصل على:

تجدر الإشارة إلى أنه كان بإمكاننا أيضًا ضرب طرفَي المعادلة الأولى في ٣، ثم جمع المعادلتين لحذف المتغيِّر .

قبل الانتقال إلى الأمثلة، هناك نوع آخَر من أنظمة المعادلتين الخطيتين. في هذه الأنظمة، لا تكون مُعامِلات المتغيِّرين مضاعفات مباشرة أحدها للآخَر؛ لذا علينا ضرب كلتا المعادلتين لنحذف متغيِّرًا. لنرَ مثالًا على ذلك في نظام المعادلات الآتي:

نلاحظ أن معاملَي المتغيِّر نفسه ليسَا مضاعفين مباشرين أحدهما للآخَر؛ لذا بدلًا من ذلك سنضرب المعادلة الأولى في ٣ والمعادلة الثانية في ٢ لكي يتساوى مقدارَا معاملَي . هذا يعطينا:

وبذلك، نكون قد أعدنا كتابة النظام على الصورة:

يمكننا بعد ذلك طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى لحذف المتغيِّر :

يمكننا حينها إيجاد قيمة بقسمة الطرفين على ١٧، لنحصل على:

وأخيرًا، نُعوِّض بـ في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة :

هيا نلخِّص الآن كيفية استخدام طريقة الحذف لحلِّ أنظمة المعادلتين الخطيتين.

هيا نرَ بعض الأمثلة على كيفية تطبيق طريقة الحذف هذه لحلِّ أنظمة المعادلات.

في المثال التالي، علينا ضرب إحدى المعادلتين في ثابت لحذف متغيِّر.

في المثال التالي، لكي نحذف متغيِّرًا من المعادلتين الآنيتين، علينا ضرب كلتا المعادلتين في ثابت.

في المثال الأخير، سنطبِّق طريقة الحذف لحلِّ مسألة هندسية تتضمَّن نظامًا من المعادلات الخطية.

قبل أن ننتهي من الشارح، تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن دائمًا حلُّ الأنظمة من معادلتين خطيتين باستخدام الحذف. على سبيل المثال، تخيَّل أننا علمنا أن مجموع عددين يساوي ٣، وأن مجموع عددين يساوي ٢. نحن بالطبع نعلم أن هذا غير ممكن، لكن ما زال بإمكاننا تكوين نظام من معادلتين يُمثِّل كلَّ عملية جمع. نحصل على:

إذا حاولنا حلَّ هذا النظام باستخدام الحذف فسنطرح المعادلات، لنحصل على:

نعرف أن الصفر لا يساوي ١، وفي الواقع يمكننا أيضًا القول إنه لا تُوجَد قيم لـ ، ، تجعل الصفر يساوي ١. بعبارة أخرى، لا تُوجَد قيم لـ ، ، تُحقِّق هذه المعادلة.

جدير بالذِّكر أيضًا أنه يمكن وجود عدد لا نهائي من الحلول. على سبيل المثال، انظر إلى النظام الآتي:

يمكننا محاولة حلِّه باستخدام الحذف، وعلينا ضرب المعادلة الثانية في ٢، لنحصل على:

نحصل حينها على معادلة مطابقة للمعادلة الأولى، ومن ثَمَّ عندما نحذف المتغيِّر نحصل على:

نلاحظ حينها أن صفرًا يساوي دائمًا صفرًا لأيِّ قيمتين لـ ، . ومن ثَمَّ، أيُّ قيمة لـ ستعطينا قيمة مقابلة لـ تحلُّ المعادلة؛ أي إنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول لهذا النظام. لن نتناول هذه الحالات بالتفصيل؛ لأنها تقع خارج نطاق الشارح، ولكن من المهمِّ أن نلاحظ أن هذه الحالات موجودة.

نختم الآن بإلقاء نظرة على بعض النقاط المهمَّة في هذا الشارح.