شارح الدرس: تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا بإنشاء الجداول

اعتبر الدالة .

1. أكمل الجدول.

   		٠	١

2. حدِّد النقاط الثلاث الواقعة على الخط المستقيم .

   

الحل

الجزء الأول

لكي نكمل الجدول، علينا حساب قيم الدالة المرتبطة بكل قيمة من قيم الثلاث المُعطاة: ، ١. نفعل ذلك بالتعويض بكل قيمة من القيم الثلاث على الترتيب في الدالة كالآتي:

يمكننا الآن إكمال الجدول بهذه القيم الثلاث.

الجزء الثاني

مطلوب منا أيضًا تحديد النقاط الثلاث في التمثيل البياني الواقعة على الخط المستقيم . والآن، عند إنشاء جدول قيم لدالة، فإننا نكوِّن أزواجًا مرتبة، وهي إحداثيات على التمثيل البياني لهذه الدالة. من الجدول، نلاحظ أن الأزواج المرتبة الثلاثة للدالة هي ، ، . إذا حدَّدنا هذه الأزواج على التمثيل البياني، فسنعرف أيٌّ من النقاط المُعطاة هنا تتطابق معها. بتحديد النقطة الأولى، ، نلاحظ أنها تتطابق مع النقطة ط الموجودة على التمثيل البياني.

النقطة الآتية، ، تتطابق مع النقطة ح على التمثيل البياني.

وأخيرًا، نحدِّد النقطة الثالثة، ، ونلاحظ أنها تتطابق مع النقطة ز على التمثيل البياني.

ولذلك، فإن النقاط الثلاث الواقعة على الخط المستقيم هي النقاط ط، ح، ز، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

مثال ٢: التعرُّف على التمثيل البياني لعلاقة خطية بمعلومية قيم مأخوذة من جدول وتحديد القيم المجهولة باستخدام التمثيل البياني

يمثِّل الجدول الآتي دالة خطية.

1. أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل هذا المستقيم؟

   

   

   

   

   

2. أوجد قيمة كلٍّ من ، .
3. اكتب معادلة الخط المستقيم على الصورة .

الحل

الجزء الأول

في الجدول، لدينا قيم ، ، للزوج المرتب، ، من العلاقة الخطية. إنها ، وهو ما يمثِّل نقطتين على الخط المستقيم. بمقارنة التمثيلات البيانية المُعطاة، نلاحظ أن الخطين المستقيمين في التمثيلين البيانيين (ب) و(ج) هما اللذان يمران فقط بالنقطة . وفي الواقع، يمر التمثيل البياني (ب) فقط بالنقطتين المُعطاتين.

إذن التمثيل البياني (ب) هو الذي يمثِّل العلاقة الخطية.

الجزء الثاني

يمكننا الآن استخدام التمثيل البياني (ب) لإيجاد قيمتَي ، . بما أننا نعرف أن قيمتَي المرتبطتين بكلٍّ من ، هما ، ، على الترتيب، إذن يمكننا قراءة قيمتَي ، مباشرةً من الخط المستقيم، كما هو موضَّح في الآتي:

نلاحظ أنه على الخط المستقيم، عندما تكون ، فإن ، وعندما تكون ، فإن . إذن ، .

الجزء الثالث

مطلوبٌ منا كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة . بما أن التمثيل البياني (ب) يمر بالنقطة ، إذن نعرف أنه عندما تكون ، فإن . بالتعويض بهاتين القيمتين في الدالة ، نحصل على:

إذن . والآن، باستخدام هذه القيمة لـ في الدالة ، مع نقطة أخرى على الخط المستقيم، نفترض أنها ، يمكننا إيجاد قيمة كالآتي. بالتعويض بقيم ، ، ، نحصل على:

بإيجاد قيمة ، نجد أن . إذن، عند ، ، تكون معادلة الخط المستقيم هي .

مثال ٣: تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا بتحديد النقاط

لدينا الدالة الخطية .

1. يمكننا رسم خط مستقيم لتمثيل هذه الدالة. أكمل الجدول لإيجاد إحداثيات النقاط التي تقع على الخط المستقيم.

   			٠	١	٢

2. أيٌّ من الآتي يُعَد التمثيل البياني للدالة؟

   

   

   

   

3. أيُّ النقاط لا تقع على الخط المستقيم؟

الحل

الجزء الأول

نبدأ باستخدام المعادلة لتحديد قيم المناظرة لقيم المُعطاة في الجدول. إنها ، ٢. بالتعويض بكل قيمة من هذه القيم على الترتيب في المعادلة، نحصل على:

إذن يمكننا إكمال الجدول على النحو الآتي:

الجزء الثاني

والآن، يمكننا من الجدول تكوين الأزواج المرتبة، ، المناظرة للنقاط الواقعة على الخط المستقيم. إنها ، ، ، ، . يجب أن تقع جميع هذه النقاط الخمس على التمثيل البياني للخط المستقيم ، ونلاحظ أن هذه الحالة تنطبق فقط في التمثيل البياني (ب).

إذن التمثيل البياني (ب) هو التمثيل البياني للمعادلة .

الجزء الثالث

بعد ذلك، علينا أن نحدِّد أيُّ نقطة من النقاط ، ، ، ، لا تقع على الخط المستقيم. بما أننا نعلم أن التمثيل البياني (ب) يمثِّل معادلة الخط المستقيم، إذن يمكننا محاولة تحديد النقاط المُعطاة على التمثيل البياني (ب) لمعرفة أيُّها تقع على الخط المستقيم وأيُّها لا تقع. لكن الطريقة الأكثر دقةً هي التعويض بقيمة كلٍّ من ، لكل نقطة في المعادلة المُعطاة، . إذا كان الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر بعد إيجاد القيمة، فإن النقطة تقع على الخط المستقيم. إذا لم يكُن الأمر كذلك، فإن النقطة لا تقع على الخط المستقيم. هيا نفعل ذلك مع النقاط الخمس:

النقطة الوحيدة التي لا تحقِّق المعادلة هي النقطة . إذن النقطة لا تقع على الخط المستقيم.

مثال ٤: إنشاء جدول للقيم من أجل تحديد أيُّ دالة تُطابِق التمثيل البياني

من خلال إنشاء جدول للقِيَم، حدِّد أيٌّ من الآتي يُمثِّل الدالة الموضَّحة بالتمثيل البياني المُعطَى.

الحل

نلاحظ من التمثيل البياني أن هناك ثلاث نقاط سيكون التعامل معها مناسبًا؛ لأن إحداثياتها أعداد صحيحة؛ أيْ قيم لأعداد كلية.

هذه النقاط إحداثياتها ، ، . يمكننا الآن إنشاء جدول يحتوي على قيم ، لهذه النقاط باعتبارها قيمًا لخلايا الجدول.

باستخدام هذه النقاط الثلاث، يمكننا تحديد الدالة الصحيحة على النحو الآتي.

أولًا بأخذ النقطة التي إحداثياتها ، نحن نعلم أنها تقع على الخط المستقيم، عندما تكون ، فإن . بالتعويض بقيمة كلٍّ من ، في كل دالة من الدوال المُعطاة، نحصل على:

وبما أن في الخيارين (أ) و(هـ) فقط، إذن يمكننا استبعاد الخيارات (ب) و(ج) و(د). والآن، باتباع الخطوات نفسها مع النقطتين المتبقيتين، ، ، في الخيارين (أ) و(هـ)، نحصل على:

نلاحظ أنه بالنسبة إلى كلتا النقطتين، تحقِّق الدالة الموجودة في الخيار (أ) المعادلة، وأن الدالة التي في الخيار (ب) لا تحقِّق ذلك. في الحقيقة، ليس علينا تجربة النقطتين؛ لأن أيًّا منهما ستُعطينا النتيجة المطلوبة. أي إن الخيار (أ)، ، يمثِّل الدالة الصحيحة.

مثال ٥: تحديد التمثيل البياني لدالة ثابتة

حدِّد أيُّ التمثيلات البيانية يمثِّل الدالة .

الحل

نتذكَّر أن الدالة الخطية هي دالة على الصورة ؛ حيث ، عددان حقيقيان. نحن نعلم أيضًا أن الدالة الخطية تُمثَّل بيانيًّا بخط مستقيم. في الحالة الخاصة التي يكون فيها ؛ حيث ، تُسمَّى الدالة دالة ثابتة. تمثَّل الدالة الثابتة بيانيًّا بخط مستقيم أفقي يمر بالنقطة على المحور .

الدالة التي لدينا، ، تكون على هذه الصورة؛ لأنه في هذه الحالة، ، . هذا يعني أن الدالة تُمثَّل بيانيًّا بخط مستقيم أفقي يمر بالنقطة .

بالنظر إلى كلٍّ من التمثيلين البيانيين الموضَّحين، نلاحظ أنه على الرغم من أن التمثيل البياني (أ) خط مستقيم أفقي، فإنه يمر بالنقطة ، ولا يمر بالنقطة . لذا، فإن التمثيل البياني (أ) لا يمكن أن يمثِّل الدالة. التمثيل البياني (ب) خط مستقيم رأسي، وكذلك التمثيل البياني (د)؛ لذا يمكننا استبعادهما. وأخيرًا، التمثيل البياني (ج) ليس خطًّا مستقيمًا أفقيًّا. التمثيل البياني الوحيد الذي يمثِّل خطًّا مستقيمًا أفقيًّا يمر بالنقطة هو التمثيل البياني (هـ).

إذن التمثيل البياني (هـ) يمثِّل الدالة .