شارح الدرس: الموضع والإزاحة والمسافة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نميِّز بين الموضع والإزاحة والمسافة المقطوعة، ونتناول المسائل التي تَستخدم ترميز المتجه.

يمكن التعبير عن موضع جسم بالإحداثيات في النظام الإحداثي. يناظر إحداثي الموضع المتجه 󰄮𞸓 الذي يبدأ عند نقطة أصل النظام الإحداثي وينتهي عند النقطة المناظرة لموضع الجسم، كما هو موضح في الشكل الآتي:

إذا تغير متجه موضع الجسم من 󰄮𞸓𞸀 إلى 󰄮𞸓𞸁 يمكن تمثيل إزاحة الجسم من النقطة 𞸀 بالمتجه: 󰄮𞸓󰄮𞸓=󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁=󰄮𞸆،𞸁𞸀 كما هو موضح في الشكل الآتي:

مقدار 󰄮𞸆 هو طول 𞸀𞸁. واتجاه 󰄮𞸆 من 𞸀 إلى 𞸁.

دعونا نحدد الإزاحة بدلالة موضع الجسم عند لحظتين، حيث يمثل 𞸀، 𞸁 موضعي الجسم عند الزمن 𞸍٠ والزمن 𞸍 على الترتيب.

تعريف: الإزاحة من نقطة إلى نقطة أخرى

إذا كان لجسم ما عند اللحظة 𞸍٠ موضعٌ مُعطًى بالمتجه 󰄮𞸓𞸀 وفي لحظة لاحقة 𞸍 موضعٌ مُعطًى بالمتجه 󰄮𞸓𞸁، فإن الإزاحة من 𞸀 إلى 𞸁، 󰄮𞸆، تُعطى بالعلاقة: 󰄮𞸆=󰄮𞸓󰄮𞸓.𞸁𞸀

من المهم أن ندرك أن إزاحة الجسم من 𞸀 إلى 𞸁 لا تحدِّد المسار الذي يقطعه الجسم بين 𞸀، 𞸁. نفرض أن الجسم يتبع المسار المنحني المتقطع الموضَّح في الشكل التالي:

نلاحظ أن متجها الموضع لـ 𞸀، 𞸁 متماثلان كما لو أن الجسم قد تَحرَّك في اتجاه القطعة المستقيمة 𞸀𞸁. يُنتج أيُّ مسار يتحرك فيه الجسم بين 𞸀 و𞸁 نفس متجهي الموضع، ومن ثم نفس الإزاحة. لا تعتمد إزاحة الجسم من نقطة إلى أخرى على المسار المُتبع بين هاتين النقطتين؛ ولا يحدِّد إزاحةَ الجسم سوى موضعَي بداية ونهاية حركة الجسم.

على عكس الإزاحة، تعتمد المسافة التي يقطعها الجسم بين نقطتين على المسار المُتبع بين النقطتين. دعونا نعرِّف المسافة.

تعريف: المسافة

المسافة كمية قياسية تساوي طول المسار المقطوع بين نقطتين، وتكون موجبة دائمًا. وأقصر مسافة بين نقطتين هي مقدار إزاحة أيٍّ من النقطتين من النقطة الأخرى، وهي مسافة القطعة المستقيمة بين النقطتين، 𞸀𞸁.

أثناء التحرك من 𞸀 إلى 𞸁، يمكن أن يقطع الجسم مسافة أكبر من 𞸀𞸁 بتغيير اتجاه حركته. على سبيل المثال، لكي يقطع الجسم المسار المنحني المتقطع الموضح في الشكل السابق، فلا بد أن يغير الجسم اتجاهه أثناء حركته.

نفرض أن الجسم يتحرك بانتظام في مسار دائري، كما هو موضح في الشكل التالي. يبدأ الجسم حركته عند 𞸅 وينهيها أيضًا عند 𞸅.

إزاحة الجسم تساوي صفر لأن للجسم متجه الموضع نفسه عند بداية حركته وعند نهايتها. لا يمكن تحديد المسافة التي قطعها الجسم بمعلومية متجهي الموضع الابتدائي والنهائي للحركة فقط. من الممكن فقط، في حالة المسار الدائري بصفة خاصة، تحديد أن المسافة المقطوعة لا بد أن تكون عددًا صحيحًا مضاعفًا لمحيط الدائرة التي تحدد المسار، حيث يساوي العدد الصحيح عدد المرات الكاملة التي تَحرَّكها الجسم حول المسار الدائري.

لنتناول مثالًا يوضح كيفية تحديد المسافة التي قطعها جسم يغير اتجاهه خلال حركته.

مثال ١: إيجاد المسافة الكلية التي قطعها شخص بمعلومية المسافة والاتجاه

ركض شخص ١٦٠ م في اتجاه الشرق، ثم ١٧٥ م في اتجاه الشمال. أوجد المسافة الكلية التي قطعها.

الحل

حركة الشخص في اتجاه الشرق هي حركة في خط مستقيم. والمسافة المقطوعة في اتجاه الشرق تساوي الإزاحة في اتجاه الشرق، ١٦٠ م. وحركة الشخص في اتجاه الشمال هي حركة في خط مستقيم أيضًا. والمسافة المقطوعة في اتجاه الشمال تساوي الإزاحة في اتجاه الشمال، ١٧٥ م. ويوضح الشكل الآتي المسافات التي قطعها الشخص:

يوضح الشكل الإزاحة، 󰄮𞸆، لكن ليس هذا ما يطلب السؤال إيجاده. وإنما يطلب إيجاد المسافة. المسافة المقطوعة تساوي مجموع المسافات المقطوعة في كلا الاتجاهين اللذَين تَحرَّك فيهما الشخص؛ إذن 𞸐، المسافة المقطوعة، تُعطى بالعلاقة: 𞸐=𞸐+𞸐.ًً

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن: 𞸐=٠٦١+٥٧١=٥٣٣.م

في المثال السابق، نلاحظ أن المسافة المقطوعة أكبر من الإزاحة لأن الحركة لم تكن في خط مستقيم بين نقطتين. ومن الجدير بالملاحظة أيضًا أنه حتى إذا تَحرَّك جسم من نقطة 𞸀 إلى نقطة 𞸁 في اتجاه 𞸀𞸁 فقط، فمن الممكن أن يقطع الجسم مسافة أكبر من 𞸀𞸁.

ويكون ذلك ممكنًا إذا عكس الجسم اتجاه حركته بين 𞸀، 𞸁. إذا تَحرَّك الجسم في اتجاه 𞸀𞸁، وأثناء ذلك، تَحرَّك أحيانًا نحو 𞸁 وفي أحيان أخرى تَحرَّك نحو 𞸀، فإن المسافة التي يقطعها الجسم في أيٍّ من الاتجاهين تزيد من طول المسار الذي يقطعه الجسم. يمكن للجسم أن يتحرك بشكل متردد بطول جزء من القطعة المستقيمة في اتجاهين متعاكسين، وهو ما يزيد المسافة المقطوعة مع كل تكرار.

دعونا نتناول مثالًا يوضح كيف تختلف إزاحة جسم والمسافة التي يقطعها عند حركته في خط مستقيم.

مثال ٢: إيجاد المسافة الكلية المقطوعة والإزاحة لجسم يتحرك في خط مستقيم

باستخدام الشكل التالي، احسب المسافة 𞸐 والإزاحة 𞸆 لجسم يتحرك من النقطة 𞸀 إلى النقطة 𞸢، ثم يعود إلى النقطة 𞸁.

الحل

يتحرك الجسم في مسار مستقيم طوال حركته، ويعكس اتجاه حركته عندما يصل إلى نهاية الخط المستقيم.

يمكن تقسيم حركة الجسم إلى ثلاثة أجزاء: 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁.

يقطع الجسم مسافة قدرها ٢٨ سم في 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁 ومسافة قدرها ٢٤ سم في 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 ثم مسافة قدرها ٢٤ سم في 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁. كل جزء من حركة الجسم يزيد من المسافة التي يقطعها الجسم. وتُعد المسافات المقطوعة في كلا الاتجاهين السالب والموجب مسافة موجبة القيمة.

تُعطى المسافة المقطوعة، 𞸐، بالعلاقة: 𞸐=٨٢+٤٢+٤٢=٦٧.

حركة الجسم في هذا السؤال حركة في بُعد واحد، ومن ثم يكون اتجاها الإزاحة الممكنان متضادين، ويمكن تمثيلهما بقيم موجبة أو سالبة للإزاحة. ولدينا حرية افتراض أن الإزاحة في اتجاه اليمين 𞸀 موجبة.

نقطة بداية حركة الجسم هي 𞸀 ونقطة النهاية هي 𞸁. والمسافة المستقيمة من 𞸀 إلى 𞸁 هي ٢٨ سم و𞸁 تقع على يمين 𞸀، ولذا 𞸆=٨٢.

تناول المثال السابق الإزاحة في بُعد واحد. والآن دعونا نرى مثالًا يتناول المسافة والإزاحة لجسم يتحرك في بُعدين.

مثال ٣: المقارنة بين المسافة المقطوعة والإزاحة لجسم يتحرك في مسار معلوم مُمثَّل هندسيًّا

وفقًا للشكل التالي، تحرَّك جسم من 𞸀 إلى 𞸁 في اتجاه القطعة المستقيمة 𞸀𞸁 ثم تحرَّك إلى 𞸢 في اتجاه 𞸁𞸢. في النهاية، تحرَّك إلى 𞸃 في اتجاه 𞸢𞸃 وتوقف عند هذه النقطة. أوجد المسافة، 𞸐١، التي قطعها الجسم، ومقدار إزاحته، 𞸐٢.

الحل

المسافة التي قطعها الجسم تساوي مجموع 𞸀𞸁، 𞸁𞸢، 𞸢𞸃 ومن ثم تُعطى 𞸐١ بالعلاقة: 𞸐=٦٫٦+٨٫٨+٤٫٦١+٣٫٢١=١٫٤٤.١

مقدار إزاحة الجسم يساوي طول 𞸀𞸃. ويمكن إيجاد ذلك عن طريق جمع الإزاحات الأفقية والرأسية للجسم ومساواتها بضلعي المقابل والمجاور في مثلث قائم الزاوية، كما هو موضح في الشكل التالي:

وتر المثلث طوله يساوي 𞸐٢: 𞸐=󰋴(٨٫٨+٤٫٦١)+(٣٫٢١+٦٫٦)𞸐=󰋴(٢٫٥٢)+(٩٫٨١)𞸐=٥٫١٣.٢٢٢٢٢٢٢

الجسم الذي يتحرك بين نقطتين يستغرق زمنًا للقيام بذلك، لذا يصبح موضع الجسم، 󰄮𞸓، دالة في الزمن، 󰄮𞸓(𞸍). دعونا نلقي نظرة على مثال يتناول إزاحة جسم خلال فترة زمنية معينة.

مثال ٤: إيجاد إزاحة جسم يتحرك في خط مستقيم وموضعه مُعطى كدالة في الزمن

تحرَّك جسيم في خط مستقيم. بعد 𞸍 ثانية، كان موضعه بالنسبة إلى نقطة ثابتة يُعطى بالعلاقة: 𞸓=󰁓𞸍٤𞸍+٧󰁒٢م، 𞸍٠. أوجد إزاحة الجسيم خلال أول ٥ ثوانٍ.

الحل

يتضمن هذا السؤال جسيمًا يتحرك في مسار مستقيم. يمكن تمثيل إزاحة الجسم في اتجاه الخط المستقيم بقيمة موجبة أو سالبة.

نحدد مقدار إزاحة الجسيم عند 𞸍=٥ بالتعويض بخمسة باعتبارها قيمة 𞸍 في المعادلة 𞸓=󰁓𞸍٤𞸍+٧󰁒٢. وبذلك نحصل على: 𞸓(٥)=󰁓٥(٤×٥)+٧󰁒𞸓(٥)=(٥٢(٠٢)+٧)𞸓(٥)=٢١.٢م

لكن من المهم أن نلاحظ أنه عند 𞸍=٠ تُعطى قيمة 𞸓 بالعلاقة: 𞸓(٠)=󰁓٠(٤×٠)+٧󰁒=٧،٢م إذن بين 𞸍=٠ و𞸍=٥ تكون إزاحة الجسيم هي ٢١٧=٥م.

من المهم أن ندرك أن الدالة 𞸓(𞸍) للجسيم عبارة عن دالة تربيعية، ومعامل 𞸍٢ فيها موجب ومن ثم يكون لإزاحة الجسيم قيمة صغرى عند الزمن 𞸍ى. قيمة 𞸍ى بالنسبة إلى دالة 𞸍 التربيعية، 󰎨(𞸍)، التي تُعطى بالعلاقة: 󰎨(𞸍)=󰏡𞸍+𞸁𞸍+𞸢،٢ هي: 𞸍=𞸁٢󰏡.ى

في هذا المثال، 𞸍=(٤)٢=٢.ىث

الإزاحة عند 𞸍=٢ هي: 𞸓(٢)=٢(٤×٢)+٧=٣.٢م

وهذا يوضح أن الجسيم يغير اتجاهه بعد تحرُّكه ٣ أمتار من نقطة البداية وتكون إزاحته عند 𞸍=٥ في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركته الابتدائية.

يمكن تمثيل موضع الجسم بمتجه موضع. وإذا تَغيَّر متجه الموضع 󰄮𞸓 بمرور الزمن، فإن التغير في 󰄮𞸓 بمرور الزمن خلال فترة زمنية معينة 𞸍 تكون قيمتها الابتدائية ٠ يمكن التعبير عنه بالصورة: 󰄮𞸆(𞸍)=󰄮𞸓(𞸍)󰄮𞸓(٠).

يوضح المثال التالي الفرق بين متجه الموضع لجسم وإزاحة هذا الجسم في فترة زمنية معينة.

مثال ٥: إيجاد تعبير لإزاحة جسم بمعلومية تعبير لموضعه بالنسبة إلى الزمن

إذا كان متجه موضع جسم عند اللحظة 𞸍 يُعطى بالتعبير 󰄮𞸓(𞸍)=󰁓٣𞸍٥󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+(٤𞸍٦)󰄮󰄮󰄮𞹑٢، فأوجد إزاحته 󰄮𞸆(𞸍).

الحل

يطلب منا السؤال إيجاد دالة إزاحة الجسم بمرور الزمن. يمكننا إيجادها باستخدام الصيغة: 󰄮𞸆(𞸍)=󰄮𞸓(𞸍)󰄮𞸓(٠)،؛ حيث 󰄮𞸓(٠)=٥󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑.

يُعطى التغير في الإزاحة بمرور الزمن بالعلاقة: 󰄮𞸆(𞸍)=󰁓󰁓٣𞸍٥󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+(٤𞸍٦)󰄮󰄮󰄮𞹑󰁓٥󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁒.٢

ويمكن تبسيط ذلك إلى: 󰄮𞸆(𞸍)=󰁓٣𞸍󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+(٤𞸍)󰄮󰄮󰄮𞹑.٢

فقط حدود 󰄮𞸓(𞸍) التي تتغير بمرور الزمن لا تساوي صفر بالنسبة إلى 󰄮𞸆(𞸍). ويمثل الحدَّان ٥󰄮󰄮󰄮𞹎 و٦󰄮󰄮󰄮𞹑 في 󰄮𞸓(𞸍) موضع الجسم عند 𞸍=٠. ولا يؤثر موضع الجسم عند 𞸍=٠ على التغير في موضع الجسم بمرور الزمن.

النقاط الرئيسية

  • يمكن التعبير عن موضع الجسم بالإحداثيات في النظام الإحداثي، وهو ما يناظر متجه 󰄮𞸓 يبدأ من نقطة الأصل في النظام الإحداثي إلى النقطة المناظرة لموضع الجسم.
  • إذا كان للنقطة 𞸀 موضع مُعطًى بالمتجه 󰄮𞸓𞸀 وكان للنقطة 𞸁 موضع مُعطًى بالمتجه 󰄮𞸓𞸁، فإن الإزاحة من 𞸀 إلى 𞸁، 󰄮𞸆، تُعطى بالعلاقة: 󰄮𞸆=󰄮𞸓󰄮𞸓.𞸁𞸀
  • طول المسار المُتبع بين نقطتين هو المسافة المقطوعة بين هاتين النقطتين.
  • إذا غيَّر الجسم اتجاهه أثناء حركته من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، فإن المسافة التي يقطعها تساوي مجموع المسافات التي يقطعها في جميع الاتجاهات التي يتحرك فيها.
  • إذا غيَّر الجسم اتجاهه أثناء حركته، فلا بد أن تكون المسافة التي يقطعها بين نقطتين أكبر من الإزاحة بين هاتين النقطتين.
  • يمكن تمثيل إزاحة جسم متحرك بدالة في الزمن عن طريق التغير في متجه موضع الجسم بين اللحظتين صفر و𞸍 بالعلاقة: 󰄮𞸆(𞸍)=󰄮𞸓(𞸍)󰄮𞸓(٠).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.