شارح الدرس: المتباينات التربيعية في متغيِّر واحد الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد مجموعة حل متباينة خطية

أوجد مجموعة حل المتباينة . اكتب إجابتك على صورة فترة.

الحل

بدايةً، نطرح ٣ من كلا طرفَي المتباينة ، لنحصل من ذلك على:

يمكننا الآن قسمة كل طرف على ، وتذكَّر أنه عند قسمة أي متباينة على عدد سالب، علينا تبديل اتجاه علامة المتباينة. نحصل من ذلك على:

إذن هو كل الأعداد الأكبر من أو تساوي .

للتعبير عن الحل على صورة فترة، يجب علينا تمثيل كل الأعداد من إلى ما لا نهاية، ويشمل ذلك . لذا، نبدأ الفترة بقوس مربع مغلق، وننتهي برمز ما لا نهاية بقوس مفتوح: .

مثال ٢: حل متباينة تربيعية باستخدام مخطط الإشارات

صِفْ كل الحلول للمتباينة .

الحل

للبدء في حل المتباينة ، نحوِّلها أولًا ثم نُعيد ترتيبها للحصول على معامل موجب لـ . يمكننا ضرب جميع عوامل الحدود في ، مع تذكُّر أنه عند ضرب متباينة في عدد سالب، علينا تبديل اتجاه المتباينة. نحصل من ذلك على:

علينا الآن حل ؛ حيث . يمكننا تحليل المعادلة لكي تصبح:

من ثَمَّ:

إذن:

لحل المتباينة ، علينا تحديد الفترات التي تحقِّق هذه المتباينة. ومعرفة إذا ما كانت أو لا تعتمد على إشارتَي العاملين ، .

يمكننا تكوين شبكة لتحديد إذا ما كان كل عامل سيصبح موجبًا أو سالبًا في الفترات أصغر من، وأكبر من، وبين الحلين ، . في الشبكة، يمكننا وضع الفترات بين الحلول أفقيًّا وعوامل رأسيًّا، مع وجود حاصل ضرب العاملين بالأسفل. يمكننا بعد ذلك حساب إذا ما كان حاصل ضرب العاملين موجبًا أو سالبًا.

في الشبكة السابقة، في عمود النتائج الأول، يمكننا ملاحظة أنه عند ، تصبح القيمتان ، سالبتين؛ من ثَمَّ، يكون حاصل ضرب هاتين القيمتين السالبتين، ، موجبًا.

وبالتحقُّق من إشارات في الشبكة، نلاحظ أنها تكون موجبة؛ أي ، في الفترتين ، . لذلك، يمكننا التعبير عن الإجابة على الصورة .

مثال ٣: حل متباينة تربيعية

أوجد مجموعة حل المتباينة .

الحل

للبدء في حل هذه المتباينة، نفك الأقواس أولًا. لاحظ أنه علينا عدم أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين هنا؛ لأن هذا قد يؤدِّي بنا إلى إجابة غير صحيحة.

بفك الأقواس نحصل على:

علينا الآن تجميع كل الحدود في طرف واحد من المتباينة. وللحفاظ على معامل موجبًا، يمكننا طرح كل الحدود على الطرف الأيسر من كلا طرفَي المتباينة، لنحصل على:

وبتبسيط المتباينة، يصبح لدينا:

يمكننا أيضًا كتابة هذا على الصورة: مع ملاحظة أننا بدَّلنا اتجاه المتباينة.

وبما أن العدد ٢٤ عاملٌ مشتركٌ، إذن يمكننا قسمة كل الحدود على ٢٤، لنحصل على:

وبجعل ، ثم بالتحليل نحصل على:

إذن:

لحل المتباينة ، علينا تحديد الفترات التي تحقِّق هذه المتباينة. ومعرفة إذا ما كانت أو لا تعتمد على إشاراتَي العاملين ، .

يمكننا إنشاء شبكة لتحديد إذا ما كان كل عامل سيصبح موجبًا أو سالبًا في الفترات أصغر من، وأكبر من، وبين الحلين ، . وبما أن لدينا متباينة غير تامة، إذن يمكننا أيضًا تسجيل القيم عند ، . يمكننا بعد ذلك حساب إذا ما كان حاصل ضرب هذين العاملين سيكون موجبًا أو سالبًا.

من الشبكة، يمكننا ملاحظة أن الفترات التي تكون فيها هي عند وعند . يمكننا كتابة ذلك على صورة فترة هكذا: .

وبطريقة بديلة، كان بإمكاننا رسم تمثيل بياني للدالة . وبما أن معامل موجب، إذن نعلم أن منحنى القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأعلى. وبما أن جذرَي المعادلة هما ، ، فهذا يعني أن المنحنى سيمر بالإحداثيات و.

لحل المتباينة ، سنضع في اعتبارنا النقاط الموجودة على التمثيل البياني للدالة ؛ حيث . ستكون هذه النقاط أعلى المحور ، عند القيم التي فيها ، . يمكننا التعبير عن هذه الإجابة على صورة فترة هكذا: .

مثال ٤: حل متباينة تربيعية في سياق واقعي

لدى شركة هواتف خلوية دالَّتا التكلفة والإيرادات الآتيتان: و: حيث هو عدد الهواتف الخلوية.

اكتب مدى عدد الهواتف الخلوية التي يُمكِن إنتاجها مع تحقيق ربح. قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح يضمن الربح.

الحل

في بداية هذا السؤال، علينا تطبيق بعض العمليات الرياضية في الحياة الواقعية. يمكننا حساب الربح باستخدام العملية الحسابية الآتية:

يمكننا تعريف الربح على صورة الدالة ، والتعويض بالدالتين المُعطاتين للتكلفة، ، والإيرادات، ، ليصبح لدينا:

وبتبسيط الحدود، يصبح لدينا:

المطلوب منا هو إيجاد المدى الذي يمكن تحقيق ربح فيه. سيكون هذا ربحًا أكبر من صفر، ويمكننا كتابة ذلك على صورة المتباينة:

لحل المتباينة، نرسم تمثيلًا بيانيًّا للدالة . ولكي نقوم بذلك، علينا أولًا حل المعادلة ؛ وذلك لإيجاد النقاط التي تتقاطع عندها المعادلة مع المحور . لبدء الحل، نستخدم القانون العام.

تذكَّر أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية على الصورة ؛ حيث ، ، ثوابت، باستخدام القانون العام:

من ثَمَّ، لحل المعادلة ، يمكننا التعويض بالقيم ، ، في القانون العام وتبسيطها للحصول على:

إذن:

يمكننا باستخدام الآلة الحاسبة إيجاد قيمة لأقرب منزلة عشرية، وسنحصل بذلك على:

بعد ذلك، يمكننا رسم تمثيل بياني مع تحديد إحداثيات الجذرين عند و. لاحظ أن هذا مجرد رسم للمساعدة في توضيح شكل المتباينة، إذن ليس من الضروري أن يكون دقيقًا. بما أن المعادلة لها معامل () أصغر من الصفر، إذن يصبح منحنى المعادلة مفتوحًا لأسفل. من ثَمَّ، يبدو التمثيل البياني كالآتي:

بعد ذلك، علينا تحديد النقاط التي تكون عندها . منحنى الدالة ذو قيم أكبر من الصفر بين قيمتَي : ٢٧٫٨ و٧٠٫٤. هذا يعني أن مدى عدد الهواتف الخلوية التي يمكن إنتاجها مع تحقيق ربح يكون بين ٢٧٫٨ و٧٠٫٤ هاتفًا خلويًّا. لكن بما أننا نريد تقريب الإجابة لأقرب عدد صحيح، فالإجابة النهائية هي ٢٨-٧٠ هاتفًا خلويًّا.

مثال ٥: حل متباينة تربيعية باستخدام تمثيل بياني

حُلَّ المتباينة .

الحل

للبدء في حل هذه المتباينة، سنجري العملية نفسها على كلا طرفيها. يمكننا طرح من كلا الطرفين، لنحصل على:

يمكننا بعد ذلك إضافة ٢٧ إلى كلا طرفَي المتباينة، لنحصل على:

لحل المتباينة، نرسم تمثيلًا بيانيًّا للدالة . ولكي نقوم بذلك، علينا أولًا إيجاد النقاط التي تتقاطع عندها المعادلة مع المحور ، وعادةً ما يُسمَّى ذلك بجذرَي المعادلة.

بجعل ، يمكننا تحليلها لكي نحصل على:

ومن ثَمَّ:

إذن:

علينا الآن استنتاج شكل منحنى الدالة . بما أن معامل ، ٢ موجب، إذن هذا يعني أن منحنى القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأعلى.

وبما أن جذرَي المعادلة هما ، ، إذن يمكننا تمثيل الإحداثيات و ورسم منحنى القطع المكافئ كما هو موضَّح أدناه.

بعد ذلك، علينا تحديد الفترات التي تتحقَّق فيها المتباينة: من الرسم، يمكننا ملاحظة أن تقع عند قيم أصغر من الصفر بين القيمتين ، . إذن هذه هي فترة المتباينة. يمكننا كتابة ذلك على صورة فترة هكذا: .

بما أن القيم يمكن أن تساوي أيضًا كلًّا من ٣ و٤٫٥، إذن فلاحظ أننا سنستخدم قوسين مربعين مغلقين بجانب كل قيمة.

مثال ٦: حل متباينة تربيعية باستخدام تمثيل بياني

حُلَّ المتباينة .

الحل

للبدء في حل هذه المتباينة، نضرب القوسين أولًا، لنحصل على:

علينا الآن تجميع كل الحدود في طرف واحد من المتباينة. بإضافة لكلا الطرفين، يصبح لدينا:

يمكننا بعد ذلك طرح ٣٥ من كلا الطرفين، لنحصل على:

لحل المتباينة، نرسم تمثيلًا بيانيًّا للدالة . ولكي نقوم بذلك، علينا أولًا إيجاد النقاط التي تتقاطع عندها المعادلة مع المحور . ويمكن إيجاد هذين الجذرين بجعل ثم حلها، ما يعطينا:

وبالتحليل، يصبح لدينا:

إذن:

بما أن معامل في المعادلة هو ١؛ أي إن قيمته أكبر من صفر، فسيكون منحنى القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى. وبما أن جذرَي المعادلة هما ، ، إذن فهذا يعني أن المنحنى يمر بالإحداثيات و. يمكننا رسم التمثيل البياني كما هو موضَّح أدناه.

لحل المتباينة ، نضع في اعتبارنا النقاط الموجودة على التمثيل البياني للدالة ؛ حيث . ستكون هذه النقاط أعلى المحور عند القيم التي يكون عندها أصغر من صفر، ويكون أكبر من ٧. وبما أننا ليس لدينا متباينة تامة، إذن يمكن أن يساوي كذلك صفر أو ٧. ثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن نقول إن هو جميع القيم عدا النقاط التي يقع عندها بين صفر و٧. يمكننا التعبير عن هذه الإجابة النهائية على صورة فترة كالآتي: