تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل يمرُّ به تيار عند وضْعه في مجال مغناطيسي الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل يمرُّ به تيار عند وضعه في مجال مغناطيسي منتظم.

نبدأ بالنظر إلى ملف مستطيل موضوع على مستوى أفقي، ويمر به تيار شدته 𝐼. يقع مجال مغناطيسي شدته 𝐵 في المستوى الأفقي أيضًا. يوضِّح الشكل الآتي هذا الملف.

ننظر إلى الملف المستطيل بمزيد من التفصيل. يوضِّح الشكل كل جانب من جوانب الملف مشارًا إليه برقم.

وكما نرى، يحتوي الملف المستطيل على سلكين يعملان على نقل التيار من منتصف قاعدة المستطيل. المسافة بين هذين الملفين هي 𝑑، وهي صغيرة للغاية:𝑑0.

نفترض أيضًا أن طول هذين السلكين الحاملين للتيار صغير. هذا يعني أن علينا التركيز على الجزء المستطيل (من 2 إلى 5) فقط.

تذكَّر أن القوة، 𝐹، المؤثِّرة على سلك طوله 𝑙 يحمل تيارًا 𝐼، والعمودية على مجال مغناطيسي 𝐵، تساوي: 𝐹=𝐵𝐼𝑙.

إذا نظرنا إلى كل جانب من جوانب الملف، فسنلاحظ وجود قوة تؤثِّر فقط على الجانبين 3 و5. وباعتبار الاتجاه الرأسي لأعلى موجبًا، فإن القوة المؤثِّرة على كلٍّ من هذين الجانبين تساوي: 𝐹=𝐵𝐼𝑑,𝐹=𝐵𝐼𝑑.

إذن تؤثِّر على جانبي الملف قوتان متساويتان في المقدار، ولكن في اتجاهين متعاكسين. يمكننا إيجاد اتجاه القوة باستخدام قاعدة اليد اليسرى لفلمنج.

قاعدة اليد اليسرى لفلمنج هي قاعدة تُستخدم لإيجاد اتجاه القوة المؤثِّرة على سلك ما بدلالة اتجاه المجال المغناطيسي الذي يقع فيه السلك، واتجاه التيار عبر السلك. يوضِّح الشكل الآتي قاعدة اليد اليسرى لفلمنج والمحاور المكوَّنة من المجال المغناطيسي، والقوة، والتيار.

وفقًا لقاعدة اليد اليسرى لفلمنج، يشير الإبهام إلى اتجاه القوة، وتشير السبابة إلى اتجاه المجال المغناطيسي، وتُشير الإصبع الوسطى إلى اتجاه التيار عبر السلك.

يمكننا استخدام قاعدة اليد اليسرى لفلمنج لإيجاد اتجاه القوة المؤثِّرة على الجانبين 3 و5 من الملف. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.

كما نلاحظ، فإن القوة المؤثِّرة على الجانب 3 من الملف تؤثِّر لأسفل، والقوة المؤثِّرة على الجانب 5 من الملف تؤثِّر لأعلى. يوضِّح الشكل الآتي القوى المؤثِّرة على الملف المستطيل؛ حيث تؤثِّر 𝐹 لأسفل، وتؤثِّر 𝐹 لأعلى.

والآن، ننظر إلى المحور الذي يمر عبر مركز المستطيل، والذي يمثِّله الخط المتقطع في الشكل الآتي.

يمكن حساب عزم الدوران حول هذا المحور بضرب كل قوة في المسافة العمودية منها إلى المحور:𝜏=𝐹𝑑2+𝐹𝑑2.

بالتعويض عن 𝐹 و𝐹 نحصل على: 𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑2+𝐵𝐼𝑑𝑑2𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑.

نلاحظ أن هذه العلاقة تحتوي على 𝑑 مضروبًا في𝑑؛ أي مساحة المستطيل، 𝐴. ومن ثمَّ، يمكن كتابة عزم الدوران على الصورة:𝜏=𝐵𝐼𝐴.

يمكننا أيضًا حساب عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف. يُعرَّف عزم ثنائي القطب المغناطيسي بأنه عزم الدوران المؤثِّر على الملف مقسومًا على شدة المجال المغناطيسي:𝑚=𝜏𝐵.

تعريف: عزم ثنائي القطب المغناطيسي

يُعرَّف عزم ثنائي القطب المغناطيسي لملف يحمل تيارًا وموضوع في مجال مغناطيسي بأنه عزم الدوران المؤثِّر على الملف مقسومًا على شدة المجال المغناطيسي:𝑚=𝜏𝐵.

بالنسبة إلى الملف المستطيل، يمكننا التعويض بتعبير عزم الدوران الذي أوجدناه سابقًا:𝑚=𝐵𝐼𝐴𝐵𝑚=𝐼𝐴.

نتناول الآن مثالًا لحساب عزم الدوران وعزم ثنائي القطب المغناطيسي لملف مستطيل.

مثال ١: حساب عزم الدوران وعزم ثنائي القطب المغناطيسي لملف مستطيل يحمل تيارًا عند وضعه في مجال مغناطيسي

يوضِّح الشكل ملفًّا مستطيلًا يمر به تيار موضوعًا بين قطبي مغناطيس. جانبا الملف الموازيان للخط 𝑑 يوازيان المجال المغناطيسي، ويتعامد جانبا الملف الموازيان للخط 𝑑 على المجال المغناطيسي. شدة التيار المار في الملف 350 mA، وشدة المجال المغناطيسي 0.12 T. طول 𝑑=0.025m، وطول 𝑑=0.015m.

  1. أوجد عزم الدوران المؤثِّر على الملف لأقرب ميكرو نيوتن ⋅ متر.
  2. أوجد عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف لأقرب ميكرو نيوتن ⋅ متر لكل تسلا.

الحل

الجزء الأول

يُمكن إيجاد عزم الدوران المؤثِّر على الملف، 𝜏، باستخدام الصيغة: 𝜏=𝐵𝐼𝐴, حيث 𝐵 شدة المجال المغناطيسي، 𝐼 شدة التيار المار في الملف، 𝐴 مساحة الملف.

بدايةً، نحوِّل شدة التيار المار في الملف إلى وحدة النظام الدولي، الأمبير:𝐼=350𝐼=0.35.mAA

وبما أن الملف مستطيل الشكل، إذن مساحة الملف هي ببساطة: 𝐴=𝑑𝑑, حيث 𝑑=0.025m، 𝑑=0.015m، كما هو موضَّح في نص السؤال. وهذا يُعطينا مساحة: 𝐴=3.75×10.m

بالتعويض بقيم 𝐼 و𝐴 في معادلة عزم الدوران، بالإضافة إلى شدة المجال المغناطيسي 𝐵=0.12T، نحصل على: 𝜏=0.12×0.35×3.75×10𝜏=1.575×10.TAmNm

بوحدة ميكرو نيوتن ⋅ متر، هذا يساوي: 𝜏=15.75.μNm

وبالتقريب لأقرب ميكرو نيوتن ⋅ متر، يساوي عزم الدوران المؤثِّر على الملف 16 μN⋅m.

الجزء الثاني

عزم ثنائي القطب المغناطيسي، 𝑚، لملف يمر به تيار وموضوع في مجال مغناطيسي يساوي عزم الدوران المؤثِّر على الملف، 𝜏، مقسومًا على شدة المجال المغناطيسي، 𝐵:𝑚=𝜏𝐵.

بالتعويض بالقيمة 𝜏=1.575×10Nm المحسوبة سابقًا، والقيمة المُعطاة 𝐵=0.12T، نحصل على: 𝑚=1.575×100.12𝑚=1.313×10/.NmTNmT

بوحدة ميكرو نيوتن ⋅ متر لكل تسلا، هذا يساوي: 𝑚=131.3/.μNmT

إذن عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف لأقرب ميكرو نيوتن ⋅ متر لكل تسلا يساوي 131 μN⋅m/T.

الآن، نتناول ما يحدث إذا كان لدينا عدة حلقات أو لفات من الملف المستطيل. يوضِّح الشكل الآتي الملف المستطيل نفسه الذي تناولناه من قبل، إلا أنه الآن يحتوي على عدة لفات.

كل جزء من الملف يساهم بالقدر نفسه من القوة. إذا كان لدينا عدد 𝑁 من الملفات، فإن عزم الدوران المؤثِّر على المحور يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁.

نتناول الآن مثالًا يتضمَّن ملفًا مستطيلًا يحتوي على عدة لفات.

مثال ٢: حساب عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل متعدد اللفات يحمل تيارًا عند وضعه في مجال مغناطيسي

يوضِّح الشكل ملفًّا موصِّلًا مستطيلًا يتكوَّن من ثلاث لفات موضوعًا في مجال مغناطيسي. يمرُّ بالملف تيار شدته 8.5 A. جانبا الملف الموازيان للخط 𝑑 يوازيان المجال المغناطيسي، ويتعامد جانبا الملف الموازيان للخط 𝑑 مع المجال المغناطيسي. طول 𝑑=0.035m، وطول 𝑑=0.025m. يبلغ عزم الدوران المؤثِّر على الملف 15 mN⋅m. أوجد شدة المجال المغناطيسي لأقرب مللي تسلا.

الحل

صيغة حساب عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل يتكوَّن من عدة لفات ويحمل تيارًا في مجال مغناطيسي هي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁.

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد شدة المجال المغناطيسي، 𝐵:𝐵=𝜏𝐼𝐴𝑁.

بدايةً، يمكننا حساب مساحة الملف المستطيل، 𝐴، من خلال ضرب 𝑑 في 𝑑: 𝐴=𝑑×𝑑𝐴=0.035×0.025𝐴=0.000875.mmm

يمكن تحويل عزم الدوران في الملف إلى وحدة النظام الدولي، نيوتن ⋅ متر:𝜏=15=0.015.mNmNm

يمكن التعويض بهاتين القيمتين في معادلة شدة المجال المغناطيسي، إلى جانب القيم المُعطاة 𝐼=8.5A و𝑁=3: 𝐵=0.0158.5×0.000875×3𝐵=0.672.NmAmT

بالتقريب لأقرب مللي تسلا، هذا يساوي: 𝐵=672.mT

بعد ذلك، نتناول ما يحدث عندما يدور الملف حول المحور. نقيس الزاوية، 𝜃، من الاتجاه العمودي على الملف (الاتجاه العمودي على المستطيل) إلى المجال المغناطيسي.

الآن، تختلف القوى المؤثِّرة على الملف.

تظل القوى المؤثِّرة على الجانبين 3 و5 كما هي، وتؤثِّر رأسيًّا. بيد أن الجانبين 2 و4 ليسا موازيين للمجال المغناطيسي الآن. وهذا يعني وجود قوة عمودية على اتجاه المجال المغناطيسي واتجاه التيار في هذين الجانبين.

هذا يعني أن القوى المؤثِّرة على هذين الجانبين من الملف تقع على محور الدوران، وفي اتجاهين متعاكسين؛ لذا لا تولِّد هذه القوى عزم دوران حول المحور.

يمكننا أن نوضِّح هذه القوى على مخطط الملف.

ونستطيع حساب عزم الدوران المؤثِّر على الملف بضرب كل قوة في المسافة العمودية على المحور. بالنسبة إلى الملف الذي يدور بزاوية 𝜃، المسافة العمودية، 𝑥، من الجانب 3 إلى المحور، تُعطى بالعلاقة: 𝑥=𝑑2𝜃.sin

وبالمثل، بالنسبة إلى المسافة العمودية، 𝑥، من الجانب 5 إلى المحور:𝑥=𝑑2𝜃.sin

يمكننا استخدام هذه القيم لحساب عزم الدوران المؤثِّر على المحور:𝜏=𝐹𝑥+𝐹𝑥.

بالتعويض بتعبيرات 𝑥 و𝑥، نحصل على: 𝜏=𝐹𝑑2𝜃+𝐹𝑑2𝜃.sinsin

وبالتعويض بالتعبيرات المعلومة لدينا 𝐹=𝐵𝐼𝑑 و𝐹=𝐵𝐼𝑑، نحصل على: 𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑2𝜃𝐵𝐼𝑑𝑑2𝜃𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑𝜃.sinsinsin

مرة أخرى، يمكن كتابة ذلك بدلالة مساحة المستطيل، 𝐴:𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜃.sin

إذا كان لدينا عدد 𝑁 من اللفات في الملف، فإن عزم الدوران يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃.sin

تعريف: عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل موضوع في مجال مغناطيسي

عزم الدوران، 𝜏، المؤثِّر على ملف مستطيل مساحته 𝐴 وعدد لفاته 𝑁 يحمل تيارًا 𝐼 وموضوع في مجال مغناطيسي شدته 𝐵 ويصنع زاوية 𝜃 مع العمودي على المجال المغناطيسي، يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃.sin

نتناول الآن مثالًا يصنع فيه الملف المستطيل زاوية مع المجال المغناطيسي.

مثال ٣: حساب عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل يحمل تيارًا وموضوع في مجال مغناطيسي بزاوية

يوضِّح الشكل ملفًّا مستطيلًا يمُرُّ به تيار موضوع بين قطبين مغناطيسيين. جانبا الملف ab وdc عموديان على المجال المغناطيسي. يصنع قطرا الملف bc وad زاوية 𝜃=33 مع اتجاه المجال المغناطيسي. شدة التيار في الملف 1.75 A، وشدة المجال المغناطيسي 0.15 T. طول acm=0.065، وطول abm=0.045. أوجد عزم الدوران المؤثِّر على الملف، لأقرب ميكرو نيوتن ⋅ متر.

الحل

المطلوب منا في هذا السؤال هو حساب عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل يحمل تيارًا وموضوع في مجال مغناطيسي بزاوية.

بدايةً، يمكننا حساب مساحة المستطيل، 𝐴، من خلال ضرب طولي الضلعين، ab وac:𝐴=×𝐴=0.045×0.065𝐴=0.0029.abacmmm

بعد ذلك، يمكننا حساب الزاوية، 𝜙، التي يصنعها العمودي على المستطيل مع المجال المغناطيسي. الزاوية المُعطاة في السؤال، 𝜃، هي الزاوية التي يصنعها المستطيل مع المجال المغناطيسي، إذن: 𝜙=90𝜃𝜙=9033𝜙=57.

يمكن حساب عزم الدوران المؤثِّر على الملف باستخدام الصيغة: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜙,sin حيث 𝐵=0.15T و𝐼=1.75A، كما هو موضَّح في نص السؤال.

إذن: 𝜏=0.15×1.75×0.0029×57𝜏=0.000644.TAmsinNm

بوحدة ميكرو نيوتن ⋅ متر، هذا يساوي: 𝜏=644.μNm

نلقي الآن نظرة على سؤال يتناول كيفية تأثير زاوية الملف على عزم الدوران المؤثِّر على الملف.

مثال ٤: تأثير الزاوية على عزم الدوران المؤثِّر على ملف مستطيل يحمل تيارًا عند وضعه في مجال مغناطيسي

يوضِّح الشكل ملفًّا على شكل مستطيل يحمل تيارًا بين قطبَيْ مغناطيس. أطول ضلعين للملف يوازيان المجال المغناطيسي ابتدائيًّا، وأقصر ضلعين للملف مُتعامِدان على المجال المغناطيسي ابتدائيًّا. يدور الملف بعد ذلك 90؛ بحيث تكون جميع أضلاعه مُتعامِدة على المجال المغناطيسي. أيٌّ من الخطوط الموضَّحة على التمثيل البياني يُمثِّل تمثيلًا صحيحًا التغيُّر في عزم الدوران الذي يؤثِّر على الملف مع تغيُّر الزاوية التي يصنعها أطول ضلعين مع اتجاه المجال المغناطيسي من 0 إلى 90؟

  1. الأزرق
  2. الأخضر
  3. الأحمر
  4. البرتقالي
  5. ليس أيٌّ من هذه الخطوط

الحل

في هذه المسألة، علينا التفكير في عزم الدوران المؤثِّر على ملف عند تغيُّر زاوية الملف.

تذكَّر أن عزم الدوران، 𝜏، المؤثِّر على ملف مستطيل يحمل تيارًا وموضوع في مجال مغناطيسي، يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜙,sin حيث 𝐵 شدة المجال المغناطيسي، 𝐼 شدة التيار المار بالملف، 𝐴 مساحة الملف المستطيل، 𝜙 الزاوية التي يصنعها العمودي على المستطيل مع المجال المغناطيسي.

لكن في هذا السؤال، تُقاس الزاوية من جوانب المستطيل إلى المجال المغناطيسي. هذه الزاوية مكتوبة على الصورة 𝜃:𝜙=90𝜃.

إذن، يمكن كتابة معادلة عزم الدوران على الصورة:𝜏=𝐵𝐼𝐴(90𝜃).sin

وبالأخذ في الاعتبار أن sincos(90𝜃)=𝜃، يمكننا كتابة ذلك على الصورة: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜃.cos

إذن عند 𝜃=0 يكون عزم الدوران عند أقصى قيمة له، وعند 𝜃=90 يساوي عزم الدوران صفرًا. والخط الذي يطابق ذلك على التمثيل البياني هو الخط الأحمر.

إذن الإجابة هي الخيار (ج)، «الأحمر».

وأخيرًا، نتناول مثالًا يتضمَّن كل ما تعلَّمناه.

مثال ٥: حساب عزم الدوران المؤثِّر على ملف يحمل تيارًا في مجال مغناطيسي بمعلومية عزم ثنائي القطب المغناطيسي

يوضِّح الشكل ملفًّا مستطيلًا يمرُّ به تيار موضوع بين قطبين مغناطيسيين ينتجان مجالًا شدته 250 mT. جانبا الملف الطويلان يوازيان المجال المغناطيسي ابتدائيًّا، وجانبا الملف القصيران يتعامدان على المجال المغناطيسي ابتدائيًّا. عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف يساوي 500 μN⋅m/T. يدور الملف بعد ذلك من خلال عزم دوران خارجي بزاوية 90؛ بحيث تكون جميع جوانبه متعامدة على المجال المغناطيسي.

  1. ما مقدار التغيُّر في عزم الدوران المؤثِّر على الملف بسبب دورانه؟ اكتب إجابتك لأقرب ميكرو نيوتن ⋅ متر.
  2. عندما يزيد الملف من زاوية دورانه إلى قيم أكبر من 90، ولكن أقل من 180، كيف يمكن مقارنة اتجاه عزم الدوران المؤثِّر على الملف باتجاه عزم الدوران المؤثِّر عليه نتيجة المجال المغناطيسي؟
    1. اتجاه عزم الدوران المؤثِّر على الملف هو عكس اتجاه عزم الدوران المؤثِّر عليه نتيجة المجال المغناطيسي.
    2. اتجاه عزم الدوران المؤثِّر على الملف هو نفس اتجاه عزم الدوران المؤثِّر عليه نتيجة المجال المغناطيسي.

الحل

الجزء الأول

هذا الجزء من السؤال يطلب منا حساب عزم الدوران على الملف قبل وبعد الدوران بزاوية 90.

تذكَّر أن عزم الدوران، 𝜏، المؤثِّر على ملف يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃,sin حيث شدة المجال المغناطيسي 𝐵=250mT، 𝐼 شدة التيار الذي يحمله الملف، 𝐴 مساحة الملف المستطيل، 𝑁 عدد لفات الملف، 𝜃 الزاوية التي يصنعها العمودي على الملف مع المجال المغناطيسي.

قبل الدوران، كان العمودي على الملف عموديًّا على المجال المغناطيسي، إذن 𝜃=90. بعد دوران الملف بزاوية 90، أصبح العمودي على الملف موازيًا للمجال المغناطيسي، إذن عزم الدوران عند هذه النقطة يساوي صفرًا.

والتغيُّر في عزم الدوران الناتج عن هذا الدوران يساوي ببساطة عزم الدوران قبل حدوث الدوران.

في هذه الحالة، مُعطى لنا عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف قبل الدوران وشدة المجال المغناطيسي. تذكَّر أن عزم ثنائي القطب المغناطيسي، 𝑚، يرتبط بعزم الدوران المؤثِّر على الملف، 𝜏، وشدة المجال المغناطيسي، 𝐵، من خلال المعادلة الآتية:𝑚=𝜏𝐵.

يمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد عزم الدوران المؤثِّر على الملف:𝜏=𝑚𝐵.

مُعطى لنا قيم 𝑚=500/μNmT، 𝐵=250mT. بتحويل هذه القيم إلى وحدات النظام الدولي، نحصل على: 𝑚=500/𝑚=0.0005/,𝐵=250𝐵=0.25.μNmTNmTmTT

يمكننا الآن حساب عزم الدوران على الملف: 𝜏=𝑚𝐵𝜏=0.0005/×0.25𝜏=0.000125.NmTTNm

بوحدة ميكرو نيوتن ⋅ متر، هذا يساوي: 𝜏=125.μNm

الجزء الثاني

مطلوب منا في هذا الجزء من السؤال التفكير فيما يحدث لعزم الدوران المؤثِّر على الملف عندما يدور أكثر من 90 من زاويته الابتدائية.

يمكننا رسم مخطط لهذا الترتيب.

كما هو موضَّح، توجد قوة تؤثِّر لأسفل على الجزء الأيمن من الملف، وتوجد قوة تؤثِّر لأعلى على الجزء الأيسر من الملف.

وهذا يعني وجود عزم مغناطيسي يؤثِّر في اتجاه عقارب الساعة على الملف عندما يدور الملف بين 90 و180.

كما أن عزم الدوران المُطبق على الملف لكي يدور من 90 إلى 180 يؤثِّر في اتجاه عقارب الساعة أيضًا.

وهذا يعني أن اتجاه عزم الدوران المُطبق على الملف هو نفس اتجاه عزم الدوران المغناطيسي على الملف. إذن الإجابة هي الخيار (ب).

يمكننا تلخيص ما تعلَّمناه في هذا الشارح في النقاط الرئيسية الآتية.

النقاط الرئيسية

  • عزم ثنائي القطب المغناطيسي، 𝑚، لملف يحمل تيارًا وموضوع في مجال مغناطيسي يساوي عزم الدوران المؤثِّر على الملف، 𝜏، مقسومًا على شدة المجال المغناطيسي، 𝐵:𝑚=𝜏𝐵.
  • عزم الدوران، 𝜏، المؤثِّر على ملف مستطيل مساحته 𝐴، يحمل تيارًا 𝐼، وموضوع في مجال مغناطيسي شدته 𝐵، عندما يكون الملف موازيًا للمجال المغناطيسي، يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴.
  • عندما يتكوَّن الملف المستطيل من عدد 𝑁 من اللفات، فإن عزم الدوران المؤثِّر على الملف يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁.
  • إذا كان العمودي على الملف يصنع زاوية 𝜃 مع المجال المغناطيسي، فإن عزم الدوران المؤثِّر على الملف يساوي: 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃.sin

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.