شارح الدرس: تحليل الدوائر الكهربية المُركَّبة الفيزياء • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد المقاومة المكافئة لدائرة كهربية مُركَّبة

تحتوي الدائرة الكهربية الموضَّحة على عدة مقاومات موصَّلة على التوالي والتوازي.

1. ما شدة التيار الكلي المار في الدائرة الكهربية الموضَّحة؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
2. ما القدرة الكلية المُبدَّدة في الدائرة الكهربية؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

الجزء الأول

في الجزء الأول من هذا السؤال، علينا حساب شدة التيار الكلي المارِّ في الدائرة الكهربية. وللقيام بذلك، علينا إيجاد المقاومة المكافئة للدائرة الكهربية.

سنبدأ بتسمية المكوِّنات على مخطط الدائرة الكهربية.

الخطوة الأولى لحساب المقاومة المكافئة للدائرة الكهربية هي إيجاد المقاومة المكافئة للجزء الموصَّل على التوازي، المُكوَّن من و. نرمز إلى المقاومة المكافئة لهذا الجزء الموصَّل على التوازي بـ :

بالتعويض بقيم و، نحصل على:

يُمكننا الآن حساب المقاومة المكافئة، ، للدائرة الكهربية بأكملها:

بالتعويض بـ و، وبقيمة التي حسبناها ووجدنا أنها تساوي 1.40 Ω، نحصل على:

بعد ذلك، يُمكننا استخدام قانون أوم لحساب شدة التيار الكلي المار في الدائرة الكهربية، علمًا بأن :

ومن ثَمَّ، فإن شدة التيار الكلي المار في الدائرة الكهربية، لأقرب منزلة عشرية، تساوي:

الجزء الثاني

يُمكن حساب القدرة الكلية المُبدَّدة في الدائرة الكهربية عن طريق ضرب شدة التيار المار في الدائرة الكهربية في مقدار الانخفاض الكلي في الجهد عبر الدائرة الكهربية:

ومن ثَمَّ، فإن القدرة الكلية المُبدَّدة في الدائرة الكهربية، لأقرب منزلة عشرية، تساوي:

مثال ٢: تحليل الدوائر الكهربية التي تحتوي على مركبات غير المقاومات

في الدائرة الموضَّحة في الشكل، تُقاس شدة التيار باستخدام الأميتر. مقاومة الأميتر 2.5 µΩ.

1. ما قراءة الأميتر؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
2. ما قراءة الأميتر إذا كان موصَّلًا على التوازي مع المقاومة التي قيمتها 3.5 Ω؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

الجزء الأول

يطلب منا الجزء الأول من السؤال حساب شدة التيار المار عبر الدائرة الكهربية. ولهذا الغرض، يُمكننا استبدال الأميتر بمقاومة ذات مقاومة مكافئة.

يُمكننا تلخيص ذلك على الشكل؛ حيث نضع مسمى لكل مقاومة. ويكون هو المقاومة المكافئة للأميتر.

المقاومة الكلية للدائرة الكهربية تساوي:

يُمكن إذن حساب شدة التيار المار عبر الدائرة الكهربية باستخدام قانون أوم:

بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، ستكون قراءة الأميتر 2.0 A. هيا نُقارن ذلك بأميتر مثالي له مقاومة داخلية تساوي صفرًا.

المقاومة الكلية للدائرة الكهربية ستساوي مجموع المقاومتين:

يعني هذا أن شدة التيار المار في الدائرة الكهربية تساوي:

ومن ثَمَّ، سيعطينا الأميتر القراءة 2.0 A بالضبط. وهذا يبين أهمية استخدام أميتر ذي مقاومة داخلية منخفضة للغاية. وإذا كانت المقاومة الداخلية منخفضة كفاية، كما هو الحال في هذا المثال، فيُمكن إهمالها في العمليات الحسابية.

الجزء الثاني

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال التفكير فيما سيحدث إذا كان الأميتر موصَّلًا على التوازي مع المقاومة التي قيمتها 3.5 Ω.

باستبدال الأميتر بمقاومته المكافئة، يُمكننا أن نرسم شكلًا.

علينا الآن حساب المقاومة المكافئة، ، للجزء الموصَّل على التوازي من الدائرة الكهربية:

نلاحظ هنا أن مقاومة الأميتر منخفضة للغاية مقارنةً بالمقاومة التي قيمتها 3.5 Ω؛ لذا فهي تهيمن بالكامل على المقاومة المكافئة للمقاومتين.

إذن المقاومة الكلية للدائرة الكهربية تساوي:

يُمكن إذن حساب شدة التيار المار عبر الدائرة الكهربية باستخدام قانون أوم:

وبالتقريب لأقرب منزلة عشرية، ستكون قراءة الأميتر هي 4.8 A.

هيا نحسب شدة التيار إذا كانت المقاومة المكافئة للجزء الموصَّل على التوازي مُهمَلة في العملية الحسابية:

كما رأينا، المقاومة الداخلية للأميتر منخفضة للغاية لدرجة أنه يُمكن إهمال المقاومة المكافئة للجزء الموصَّل على التوازي.

مثال ٣: تحليل عدة دوائر كهربية متشابهة

الدائرتان الكهربيتان a وb تبدوان متشابهتين للغاية، لكنَّ هناك فرقًا بسيطًا بينهما. ما الفرق بين شدة التيار الكلي في الدائرة الكهربية الموضَّحة في الشكل a والدائرة الكهربية الموضَّحة في الشكل b؟ قرَّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

هيا نبدأ بتحليل الدائرة الكهربية b.

يُمكننا استخدام قانون كيرشوف الثاني المتعلق بمسار مغلق في دائرة كهربية. تذكَّر أن قانون كيرشوف الثاني يَنُص على أن مجموع فروق الجهد عبر مكونات مسار مغلق يجب أن يساوي صفرًا.

نُطلِق على فرق الجهد عبر المقاومة التي مقدارها 880 mΩ، ، وعلى فرق الجهد عبر المقاومة التي مقدارها 960 mΩ، .

يُمكن تحويل المقاومتين إلى مقاومة واحدة مكافئة، سنُطلِق عليها ، ويكون مقدار مقاومتها كالآتي:

فرق الجهد عبر هذه المقاومة المكافئة هو ، ويساوي:

يُمكن كتابة مجموع فروق الجهد عبر مكونات الدائرة b على الصورة: أو، باستعمال المقاومة المكافئة ، يُمكن كتابة فرق الجهد على الصورة:

إذن فرق الجهد عبر هذه المقاومة المكافئة يساوي 3.9 V.

يُمكن بعد ذلك حساب شدة التيار المار عبر الدائرة الكهربية b، ، باستخدام قانون أوم، نبدأ بتحويل المقاومة من مللي أوم إلى أوم:

والآن، نحلِّل الدائرة الكهربية a.

إن الدائرة الكهربية a مطابقة تقريبًا للدائرة b، فيما عدا أن البطارية التي جهدها 1.4 V مقلوبة. وعندما نُطبِّق قانون كيرشوف الثاني هذه المرة، فإن هذه البطارية ستساهم بفرق جهد سالب في المعادلة.

بدمج المقاومتين في مقاومة واحدة مكافئة، كما فعلنا من قبل، يُمكننا كتابة:

ومن ثَمَّ، فإن فرق الجهد عبر هذه المقاومة المكافئة يساوي 1.1 V.

يُمكن بعد ذلك حساب شدة التيار المار عبر الدائرة الكهربية a، ، باستخدام قانون أوم، نبدأ بتحويل المقاومة من مللي أوم إلى أوم:

ومن ثّمَّ، فإن الفرق في شدة التيار بين الدائرتين الكهربيتين يساوي:

الفرق في شدة التيار الكلي بين الدائرة الكهربية الموضَّحة في الشكل a والدائرة الكهربية الموضَّحة في الشكل b يساوي 1.5 A، لأقرب منزلة عشرية.

مثال ٤: استخدام قانونَي كيرشوف لتحليل الدوائر الكهربية المُركَّبة

يوضِّح الشكل دائرة كهربية تحتوي على بطاريتين.

1. ما شدة التيار المارِّ عبر المقاومة التي قيمتها 20 Ω؟
2. ما شدة التيار عند الطرف السالب للبطارية التي جهدها 5.0 V؟
3. ما شدة التيار عند الطرف السالب للبطارية التي جهدها 10.0 V؟

الحل

الجزء الأول

هيا نبدأ بوضع مسمَّيات على الدائرة الكهربية.

تُسمَّى التيارات في كلٍّ من فروع الدائرة الكهربية اعتمادًا على النقطة الموجودة في أسفل الدائرة الكهربية. التيار الذي يخرج من البطارية التي جهدها 10.0 V ليدخل إلى النقطة يُسمَّى ، ويُعد تيارًا داخلًا إلى النقطة. والتيار الذي يخرج من النقطة ليدخل إلى البطارية التي جهدها 20 Ω يُسمَّى ، ويُعد تيارًا خارجًا من النقطة. والتيار الخارج من النقطة ليدخل إلى البطارية التي جهدها 5.0 V يُسمَّى ، ويُعد تيارًا خارجًا من النقطة.

يُمكننا تطبيق قانون كيرشوف الثاني على كلٍّ من مسارات الدائرة الكهربية لإيجاد فرق الجهد عبر كل مقاومة.

بدءًا بالمسار المغلق الذي يحتوي على و، نحصل على: إذن فرق الجهد عبر يساوي:

باستخدام قانون أوم، يُمكننا حساب شدة التيار عبر :

هذه هي قيمة شدة التيار . وشدة التيار المار عبر المقاومة التي قيمتها 20 Ω هي ، وتساوي 0.5 A.

الجزء الثاني

بعد ذلك، يُمكننا تناول المسار الذي يحتوي على و و:

إذن فرق الجهد عبر يساوي:

باستخدام قانون أوم، يُمكننا حساب شدة التيار المار عبر :

هذه هي قيمة شدة التيار . إذن شدة التيار المار عند الطرف السالب للبطارية التي جهدها 5.0 A هي ، وتساوي 1.0 A.

الجزء الثالث

باستخدام قانون كيرشوف الأول، يُمكننا حساب شدة التيار الخارج من النقطة في الجزء السفلي من الدائرة الكهربية:

إذن شدة التيار المار عند الطرف السالب للبطارية التي جهدها 10.0 V هي ، وتساوي 1.5 A.

مثال ٥: استخدام قانونَي كيرشوف لتحليل دوائر كهربية مُركَّبة ذات مكونات مجهولة القيمة

في الدائرة الكهربية الموضَّحة، إحدى المقاومات مجهولة القيمة. شدة التيار الكلي المار في الدائرة تساوي 0.25 A.

1. أوجد شدة التيار . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
2. أوجد شدة التيار . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
3. أوجد فرق الجهد عَبْرَ المقاومة المجهولة. قرِّب إجابتك لأقرب فولت.

الحل

الجزء الأول

سنبدأ بوضع مسمَّيات لمكونات الدائرة الكهربية.

يطلب منا الجزء الأول من السؤال إيجاد ؛ أي التيار المار عبر . ولفعل ذلك، علينا إيجاد فرق الجهد عبر الجزء الموصَّل على التوازي من الدائرة الكهربية.

يُمكننا تحويل الجزء الموصَّل على التوازي من الدائرة الكهربية إلى مقاومة مكافئة باستخدام المعادلة الآتية:

بالتعويض بالقيمتين و، نحصل على:

بمعرفة أن شدة التيار في الدائرة الكهربية هي 0.25 A، يُمكننا حساب فرق الجهد عبر المقاومة المكافئة باستخدام قانون أوم:

يكون فرق الجهد هذا متساويًا عبر كلا فرعَي الجزء الموصَّل على التوازي من الدائرة الكهربية. ويُمكن حساب شدة التيار، ، باستخدام قانون أوم:

الجزء الثاني

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال حساب شدة التيار .

لقد حسبنا بالفعل فرق الجهد عبر الجزء الموصَّل على التوازي من الدائرة الكهربية؛ ومن ثَمَّ، يُمكننا تطبيق قانون أوم على :

الجزء الثالث

يطلب منا الجزء الثالث من هذا السؤال حساب فرق الجهد عبر المقاومة المجهولة.

يُمكننا استخدام قانون كيرشوف الثاني لحل هذه المسألة. يَنُص قانون كيرشوف الثاني على أن مجموع فروق الجهد عبر المكونات في مسار مغلق يساوي صفرًا. وبالنسبة إلى هذه الدائرة الكهربية، نرمز إلى فرق الجهد عبر بالرمز ، وعبر الجزء الموصَّل على التوازي بالرمز ، وعبر بالرمز :

حسبنا بالفعل . ومن ثَمَّ، يُمكننا حساب باستخدام قانون أوم:

يُمكننا التعويض بهذه القيم في معادلة قانون كيرشوف الثاني، مع الوضع في الاعتبار أن هذه القيم تُمثِّل انخفاضات في الجهد؛ ومن ثَمَّ فهي سالبة:

يُمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة فرق الجهد عبر ؛ أي المقاومة المجهولة:

إذن فرق الجهد عبر المقاومة المجهولة، لأقرب فولت، هو 11 V.