تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحل لإيجاد طول ضلع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد طول ضلع ناقص في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية مُعطاة.

نسب الجيب وجيب التمام والظل ثلاثٌ من الأدوات الأساسية للتعامل مع المثلثات القائمة الزاوية والدوائر. لفهم تعريف هذه النسب، سننظر أولًا إلى بعض الخواص الهندسية التي تستند إليها تعريفاتها.

أولًا، نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ٠٨١. هذا يعني أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، وقياس إحدى زاويتَيْه غير القائمتين هو 𝜃، فإن قياس الزاوية المتبقية يساوي ٠٩𝜃.

ثانيًا، نتذكَّر مسلَّمة تشابُه مثلثين بتطابق ثلاث زوايا، التي تُخبرنا أن المثلثين متشابهان إذا كانت لهما قياسات الزوايا الداخلية نفسها. وإذا تشابه مثلثان، يكون لهما الشكل نفسه، وتكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. بعبارةٍ أخرى، تمثِّل أطوال أضلاعهما مضاعفات قياسية بعضها بالنسبة إلى بعض.

ترشدنا هاتان الحقيقتان إلى ملاحظة خاصية مثيرة للاهتمام تتعلَّق بالمثلثات القائمة الزاوية، وهي أن قيمة النسبة بين طولَي أي ضلعين في مثلث قائم الزاوية لا تعتمد إلا على الزاوية واختيار الضلعين. بعبارةٍ أخرى، يمكننا تحديد قيمة طولَي ضلعين في مثلث قائم الزاوية من خلال قياس الزاوية.

ولمساعدتنا على فهم ذلك، نلاحظ أولًا أن جميع المثلثات القائمة الزاوية متشابهة إذا كانت تشترك في زاوية داخلية واحدة غير الزاوية القائمة. هذا لأنه إذا كان لدينا مثلثان قائما الزاوية، وقياسا زاويتين داخليتين في كلٍّ منهما هما 𝜃 و٠٩، فلا بد أن قياس الزاوية الثالثة يساوي ٠٩𝜃، إذن المثلثان متشابهان وفقًا لمسلَّمة تشابُه المثلثين بتطابق ثلاث زوايا. ونتذكَّر على وجه التحديد أن نسب أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة متساوية.

على سبيل المثال، بما أن جميع المثلثات القائمة الزاوية التي تتضمَّن زاوية داخلية قياسها ٠٦ متشابهة، إذن ننظر إلى المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸁𞸢.

بما أن هذين المثلثين متشابهان، إذن لا بد أن تكون نسب أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية، على سبيل المثال: 𞸁𞸢𞸁𞸢=󰏡𞸊󰏡=𞸊،󰏡𞸢󰏡𞸢=𞸁𞸊𞸁=𞸊.

ومن ثَمَّ: 𞸁𞸢𞸁𞸢=󰏡𞸢󰏡𞸢.

يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة، لنجد أن: 𞸁𞸢󰏡𞸢=𞸁𞸢󰏡𞸢.

ومن ثَمَّ، فإن كل المثلثات القائمة الزاوية التي تتضمَّن زاوية ٠٦ تتساوى نِسب أطوال أضلاعها المتناظرة. وبالطبع، لا يوجد شيء فريد من نوعه فيما يتعلَّق باختيارنا للزاوية ٠٦؛ فهذه النتيجة ستنطبق على أي زاوية نختارها.

قبل ذكر هذه النتيجة ومناقشة استخدامها، علينا توضيح ما تعنيه عبارة «الأضلاع المتناظرة». في المثال السابق، كان من السهل تحديد الأضلاع المتناظرة؛ لأننا عرفنا أيُّ الأضلاع تمثِّل مضاعفات قياسية بعضها بالنسبة إلى بعض. لكن بصورة عامة، الأمر ليس بهذه السهولة. ولذا، بدلًا من ذلك، يمكننا تسمية كلٍّ من أضلاع المثلث حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية.

ونظرًا لوجود ثلاثة أضلاع، سنحتاج إلى إيجاد ثلاثة أسماء لأضلاع المثلث. أولًا، نتذكَّر أن وتر المثلث القائم الزاوية هو أطول ضلع، وأنه دائمًا مقابل للزاوية القائمة. في المثلث 󰏡𞸁𞸢، نجد أن 󰏡𞸁 هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، إذن هذا هو الوتر. ثانيًا، يمكننا تسمية الأضلاع المتبقية حسب مواضعها بالنسبة إلى 󰌑𞸁. نجد أن 󰏡𞸢 يُقابل الزاوية؛ لذا، سنُسمِّيه الضلع المقابل، 𞸁𞸢 يقع بجوار الزاوية، لكنه ليس الوتر؛ لذا، سنُسمِّيه الضلع المجاور. وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

ممَّا سبق، نعلم أن خارج قسمة طول الضلع المقابل للزاوية ٠٦ وطول الضلع المجاور للزاوية ٠٦ في أي مثلث قائم الزاوية مقدار ثابت. يمكننا إذن تعريف الدوال التي تتضمَّن زاوية قياسها ما بين ٠ و٠٩ باعتبارها قيمًا مدخلة، ومخرجاتها هي قيم خوارج القسمة هذه، بأنها النسب المثلثية.

تعريف: النسب المثلثية

النسب المثلثية لزاوية 𝜃 هي النسب بين أطوال الأضلاع في مثلث قائم الزاوية. على وجه التحديد، إذا أشرنا إلى أضلاع أي مثلث قائم الزاوية وله زاوية داخلية غير قائمة 𝜃 بالوتر، والضلع المقابل، والضلع المجاور، فإن: اااوراااور𝜃=،𝜃=،𝜃=.

من الصعب تذكُّر أيُّ الأضلاع يقابل أي نسبة مثلثية. إذن لمساعدتنا في التذكُّر، نستخدم الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

اختصار: جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ

يمكننا أن نتذكَّر الأضلاع التي تقابل كل دالة مثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ). يُشير الحرف الأول من كل ثلاثية إلى الدالة المثلثية، ويُشير الحرف الذي يليه إلى بسط الكسر، ويُشير الحرف الأخير إلى مقام الكسر.

فَوْر تحديد الأضلاع ذات الصلة؛ ومن ثَمَّ النسبة الصحيحة في المثلث القائم الزاوية، يمكننا التعويض بأي قيم مُعطاة في المعادلة وحلها لإيجاد طول ضلع أو قياس زاوية.

ننتقل إلى المثال الأول الذي نحتاج فيه إلى تسمية أضلاع مثلث، ونستخدم الدوال المثلثية لتحديد طول ضلع مجهول.

مثال ١: إيجاد طول مجهول في مثلث قائم الزاوية عندما يقع المجهول في بسط الكسر

أوجد 𞸎 في الشكل المُعطى. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد تحديد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. ويمكننا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية. أولًا، علينا تحديد أي دالة مثلثية تربط بين طول الضلع المجهول والضلع الذي طوله ١١. يمكننا البدء بتسمية الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية ٨٦. نلاحظ أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، والضلع 𞸎 يُواجه الزاوية التي قياسها ٨٦، إذن فهو الضلع المقابل، وأخيرًا الضلع المتبقي الذي يقع بجوار الزاوية هو الضلع المجاور.

معلومٌ لدينا طول الضلع المجاور، ونريد إيجاد طول الضلع المقابل. هذا يعني أن علينا استخدام النسبة المثلثية التي تربط هذين الضلعين. يمكننا تذكُّر الدالة المثلثية التي تتضمَّن نسبة هذين الضلعين باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

ومن هنا نجد أن دالة الظل هي التي تمثِّل النسبة بين طولَي الضلع المقابل للزاوية، والضلع المجاور للزاوية في مثلث قائم الزاوية. ومن ثَمَّ، نحصل على: ٨٦=𞸒𞸢٨٦=𞸎١١.

يمكننا إيجاد 𞸎 عن طريق ضرب كلا الطرفين في ١١: 𞸎=١١٨٦.

يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار باستخدام آلة حاسبة، مع التأكُّد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات: 𞸎=٩٥٢٢٫٧٢.

بتقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𞸎٣٢٫٧٢.

في المثال السابق، استخدمنا دالة مثلثية لتحديد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية، بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. ويمكننا اتباع هذه الطريقة نفسها لتحديد أطوال أضلاع مجهولة في أي مثلث قائم الزاوية.

خطوات: إيجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية بمعلومية قياس زاوية وطول ضلع

  1. إذا لم يتوافر أيُّ شكل مُعطى، فارسم المعلومات المُعطاة في صورة مخطط.
  2. حدِّد أسماء أضلاع المثلث القائم الزاوية حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية المعلومة.
  3. استخدم الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ) لتحديد النسبة المثلثية التي تتضمَّن طول الضلع المعلوم وطول الضلع المطلوب.
  4. عوِّض بالقيم المعلومة، ثم أعِد الترتيب لحل المعادلة وإيجاد طول الضلع المجهول باستخدام الآلة الحاسبة.

نتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى إيجاد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية بمعلومية قياس زاوية وطول ضلع.

مثال ٢: استخدام النسب المثلثية لإيجاد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية

أوجد قيمتَي 𞸎، 𞸑 لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

نريد تحديد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. نتذكَّر أنه يمكننا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية.

أولًا، علينا تحديد أي دالة مثلثية تربط بين الضلعين المجهولين والضلع الذي طوله ٢٨ سم. يمكننا البدء بتسمية الأضلاع حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية ٧٤.

نتذكَّر أن الوتر هو الضلع الأطول، وهو يُقابل الزاوية القائمة. هذا هو الضلع الذي طوله 𞸑. الضلع المقابل للزاوية هو الضلع الذي طوله ٢٨ سم، وطول الضلع المتبقي المجاور للزاوية هو الضلع الذي طوله 𞸎. هذا يُعطينا التسميات الآتية.

يمكننا الآن إيجاد المعادلات التي تتضمَّن القيم المجهولة 𞸎، 𞸑 بتطبيق النسب المثلثية على هذا المثلث. يمكننا تذكُّر الأضلاع التي تناظر النسب المثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

نريد تحديد النسبة المثلثية التي تربط بين طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور لإيجاد 𞸎 والنسبة المثلثية التي تربط بين طول الضلع المقابل وطول الوتر لإيجاد 𞸑. نلاحظ أن هاتين الدالتين هما دالتا الظل وجيب الزاوية على الترتيب.

نبدأ بتحديد قيمة 𞸎: ٧٤=𞸒𞸢٧٤=٨٢𞸎.

نُعيد الترتيب لإيجاد 𞸎 بضرب الطرفين في 𞸎، والقسمة على ٧٤، وهذا يُعطينا: 𞸎=٨٢٧٤.

يمكننا حساب قيمة هذا المقدار باستخدام آلة حاسبة، مع التأكُّد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات: 𞸎=٤٠١١٫٦٢.

بتقريب هذه القيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على: 𞸎٠١١٫٦٢.

لدينا الآن عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة 𞸑؛ وسنستعرض اثنتين منها. أولًا، يمكننا استخدام دالة الجيب كالآتي: ٧٤=𞸒𞸅٧٤=٨٢𞸑.

نضرب الطرفين في 𞸑، ونقسم على ٧٤، لنحصل على: 𞸑=٨٢٧٤.

بعد ذلك، نوجد قيمة هذا المقدار: 𞸑=١٥٨٢٫٨٣.

يمكننا أن نقرِّب هذه القيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية، لنحصل على: 𞸑٥٨٢٫٨٣.

الطريقة الثانية التي يمكننا استخدامها لإيجاد 𞸑 هي نظرية فيثاغورس، التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر مجموع مربعَي طولَي الضلعين الآخرين. في هذه الحالة لدينا: 𞸑=𞸎+٨٢.٢٢٢

وجدنا سابقًا أن 𞸎=٨٢٧٤، ومن المهم أن نستخدم القيمة الفعلية لتقليل أخطاء التقريب. بالتعويض بذلك في المعادلة والتبسيط، نحصل على: 𞸑=󰂔٨٢٧٤󰂓+٨٢𞸑=󰂔٨٢٧٤󰂓+٤٨٧𞸑=١٤٥٧٫٥٦٤١.٢٢٢٢٢٢

بعد ذلك، نحل لإيجاد قيمة 𞸑 بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، مع ملاحظة أن 𞸑 يمثِّل قيمة طول؛ لذا، يجب أن يكون موجبًا: 𞸑=󰋴١٤٥٧٫٥٦٤١=١٥٨٢٫٨٣، وهذا يتوافق مع الطريقة الأخرى لحساب قيمة 𞸑.

ومن ثَمَّ، 𞸎=٠١١٫٦٢، 𞸑=٥٨٢٫٨٣، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نتناول الآن كيفية تطبيق هذه الطريقة على حل مسألة من الحياة الواقعية.

مثال ٣: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية في حل مسائل كلامية

طائرة ورقية، على ارتفاع عمودي ٤٤ م، مربوطة في خيط يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٠٦. أوجد طول الخيط لأقرب منزلة عشرية.

الحل

خطوتنا الأولى هي رسم المعلومات المُعطاة. قياس الزاوية مع الأفقي ٠٦، والارتفاع العمودي للطائرة الورقية يساوي ٤٤ م، هذا يُعطينا الآتي.

نريد تحديد طول الخيط، الذي أسميناه 𞸎؛ فهو يمثِّل طولًا مجهولًا في مثلث قائم الزاوية، ومعلومٌ لدينا طول ضلع وقياس زاوية. يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات.

أولًا، نُسمِّي أضلاع المثلث حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية ٠٦. نحن نعلم أن الضلع الذي طوله 𞸎 يُقابل الزاوية القائمة، إذن هذا هو الوتر. بعد ذلك، نلاحظ أن الضلع الذي طوله ٤٤ م هو الضلع المقابل للزاوية، وأن الأرض تمثِّل الضلع المتبقي المجاور للزاوية.

نحن نعرف طول الضلع المقابل للزاوية، ونريد إيجاد طول الوتر. يمكننا تذكُّر الأضلاع التي تناظر النسب المثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

نريد النسبة المثلثية التي تربط بين الضلع المقابل والوتر. نجد أن هذه النسبة هي دالة الجيب.

لدينا: ٠٦=𞸒𞸅=٤٤𞸎.

بضرب الطرفين في 𞸎، نحصل على: 𞸎٠٦=٤٤.

بقسمة الطرفين على ٠٦، نحصل على: 𞸎=٤٤٠٦.

والآن، نحسب قيمة هذا المقدار باستخدام الآلة الحاسبة: 𞸎=٦٠٨٫٠٥.م

وأخيرًا، نقرِّب هذه القيمة لأقرب منزلة عشرية، لنحصل على: 𞸎٨٫٠٥.م

في المثال الآتي، سنحدِّد جميع أطوال الأضلاع المجهولة وقياس الزاوية في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول ضلع واحد فقط وقياس زاوية غير قائمة.

مثال ٤: إيجاد جميع القيم المجهولة في المثلث القائم الزاوية

بمعلومية الشكل الآتي، أوجد طول كلٍّ من 󰏡𞸢، 𞸁𞸢، وقياس 󰌑𞸁󰏡𞸢 بالدرجات. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لإيجاد قياس 󰌑𞸁󰏡𞸢، نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي ٠٨١. ومن ثَمَّ: 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢+𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢+𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=٠٨١𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢+٠٩+٢٢=٠٨١𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=٠٨١٠٩٢٢𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=٨٦.

إذن لتحديد أطوال الأضلاع المجهولة، نطبِّق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. أولًا، علينا تسمية أضلاع المثلث، ونلاحظ أن 󰏡𞸢 هو الضلع الأطول (فهو الضلع المقابل للزاوية القائمة)، إذن هذا هو الوتر. بعد ذلك، نُسمِّي الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية ٢٢. نجد أن 󰏡𞸁 هو الضلع المقابل للزاوية، وأن 𞸁𞸢 هو الضلع المجاور للزاوية، وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

علينا الآن أن نتذكَّر الدوال المثلثية، وذلك باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

معلومٌ لدينا طول الضلع المقابل للزاوية 𞸢؛ لذا، يمكننا استخدام كلٍّ من النسبتين اللتين تتضمَّنان هذه القيمة لتحديد أطوال الأضلاع الأخرى.

أولًا، لدينا: ٢٢=𞸒𞸅=󰏡𞸁󰏡𞸢=٤󰏡𞸢.

نضرب الطرفين في 󰏡𞸢، ونقسمهما على ٢٢، لنحصل على: 󰏡𞸢=٤٢٢.

بحساب قيمة هذا المقدار والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين 󰏡𞸢٨٦٫٠١.

ثانيًا، لدينا: ٢٢=𞸒𞸢=󰏡𞸁𞸁𞸢=٤𞸁𞸢.

نضرب الطرفين في 𞸁𞸢، ونقسمهما على ٢٢، لنحصل على: 𞸁𞸢=٤٢٢.

بحساب قيمة هذا المقدار والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين: 𞸁𞸢٠٩٫٩.

إذن لأقرب منزلتين عشريتين، لدينا 󰏡𞸢=٨٦٫٠١، 𞸁𞸢=٠٩٫٩، 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=٠٠٫٨٦.

في المثال الآتي، سنحتاج إلى رسم شكل لكي نطبِّق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد جميع قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع المجهولة في مثلث قائم الزاوية، بمعلومية طول ضلع واحد وقياس زاوية غير قائمة.

مثال ٥: استخدام حساب المثلثات لحل المثلثات القائمة الزاوية حيث الزوايا مقيسة بالدرجات

󰏡𞸁𞸢 مثلث قائم الزاوية عند 𞸁؛ حيث 𞹟󰌑𞸢=٢٦، 󰏡𞸢=٧١. أوجد طولَي الضلعين 󰏡𞸁، 𞸁𞸢 لأقرب منزلتين عشريتين، وقياس 󰌑󰏡 لأقرب درجة.

الحل

نبدأ برسم المُعطيات على شكل. نحن نعلم أن الزاوية القائمة تقع عند النقطة 𞸁، وأن 𞹟󰌑𞸢=٢٦، وأن 󰏡𞸢=٧١. وهذا يُعطينا الآتي.

يمكننا إيجاد 𞹟󰌑󰏡 بتذكُّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ٠٨١. وهذا يُعطينا: 𞹟󰌑󰏡+𞹟󰌑𞸁+𞹟󰌑𞸢=٠٨١𞹟󰌑󰏡+٠٩+٢٦=٠٨١𞹟󰌑󰏡=٠٨١٠٩٢٦𞹟󰌑󰏡=٨٢.

بعد ذلك، نريد تحديد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية، بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. نتذكَّر هنا أنه يمكننا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية.

أولًا، علينا تحديد أيُّ دالة مثلثية تربط بين طولَي الضلعين المجهولين والضلع الذي طوله ١٧ سم. يمكننا البدء بتسمية الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية ٢٦.

نتذكَّر أن الوتر هو الضلع الأطول، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ أي 󰏡𞸢. الضلع المقابل للزاوية هو 󰏡𞸁، والضلع المتبقي، المجاور للزاوية، هو 𞸁𞸢. هذا يُعطينا التسميات الآتية.

يمكننا الآن إيجاد المعادلات التي تتضمَّن 𞸁𞸢، 󰏡𞸁 بتطبيق النسب المثلثية على هذا المثلث. يمكننا تذكُّر الأضلاع التي تناظر النسب المثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

نريد تحديد النسبة المثلثية التي تربط بين الضلع المقابل والوتر لإيجاد 󰏡𞸁، والنسبة المثلثية التي تربط بين طول الضلع المجاور وطول الوتر لإيجاد 𞸁𞸢. نلاحظ أن هاتين النسبتين هما دالتا الجيب وجيب التمام على الترتيب.

نبدأ بتحديد قيمة 󰏡𞸁: ٢٦=𞸒𞸅=󰏡𞸁󰏡𞸢=󰏡𞸁٧١.

نُعيد الترتيب لإيجاد 󰏡𞸁 عن طريق ضرب كلا الطرفين في ١٧: 󰏡𞸁=٧١٢٦.

يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار باستخدام آلة حاسبة، مع التأكُّد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات: 󰏡𞸁=٠١٠٫٥١.

بتقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𞸎١٠٫٥١.

يمكننا الآن تحديد طول 𞸁𞸢 باستخدام نسبة جيب التمام: ٢٦=𞸢𞸅=𞸁𞸢󰏡𞸢=𞸁𞸢٧١.

بعد ذلك نضرب الطرفين في ١٧، ونحسب كالآتي: 𞸁𞸢=٧١٢٦=١٨٩٫٧.

يمكننا أن نقرَّب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين، لنحصل على: 𞸁𞸢٨٩٫٧.

إذن لأقرب منزلتين عشريتين، 󰏡𞸁=١٠٫٥١، 𞸁𞸢=٨٩٫٧، ولأقرب درجة، 𞹟󰌑󰏡=٨٢.

في المثال الآتي، سنتناول مثلثًا متساوي الساقين باعتباره مكوَّنًا من مثلثين قائمَي الزاوية، وذلك لإيجاد طول قاعدته باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

مثال ٦: استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول قاعدة مثلث متساوي الساقين

󰏡𞸁𞸢 مثلث متساوي الساقين، فيه 󰏡𞸁=󰏡𞸢=٩، 󰏡󰎨𞸁𞸢، 𞹟󰌑𞸢=٤٣. أوجد طول 𞸁𞸢 لأقرب منزلة عشرية واحدة.

الحل

نلاحظ أولًا أن 𞹟󰌑󰏡󰎨𞸢=٠٩ بما أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ٠٨١. ونلاحظ أيضًا أن الزاويتين المقابلتين للضلعين المتساويين في المثلث المتساوي الساقين متساويتان في القياس، إذن 𞹟󰌑󰏡𞸁󰎨=٤٣. وهذا يعني أن 󰏡󰎨𞸢، 󰏡󰎨𞸁 مثلثان قائما الزاوية لهما قياسات الزوايا الداخلية نفسها، وأن 󰏡𞸢=󰏡𞸁. ومن ثَمَّ، وفقًا لمُسلَّمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، فإن هذين المثلثين متطابقان.

بما أن 𞸁𞸢=𞸁󰎨+𞸢󰎨، وأن هاتين القطعتين المستقيمتين متساويتان في الطول، إذن ليس علينا سوى تحديد طول قطعة واحدة من هاتين القطعتين المستقيمتين. وعلى وجه التحديد: 𞸁𞸢=𞸁󰎨+𞸢󰎨=𞸢󰎨+𞸢󰎨=٢𞸢󰎨.

بما أن 𞸢󰎨 ضلعٌ في مثلث قائم الزاوية ذي طول ضلع وقياس زاوية معلومين، إذن يمكننا استخدام حساب المثلثات لتحديد طوله. نبدأ بتسمية أضلاع المثلث 󰏡󰎨𞸢. الوتر هو الضلع الأطول، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو في هذه الحالة 󰏡𞸢. الضلع المقابل للزاوية ٤٣ هو 󰏡󰎨، والضلع المتبقي المجاور لهذه الزاوية هو 𞸢󰎨. وهذا يُعطينا الآتي.

يمكننا الآن استخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ) لكي نتذكَّر النسبة المثلثية التي تتضمَّن خارج قسمة الضلع المجاور وطول الوتر.

نلاحظ أن هذه النسبة هي دالة جيب التمام. بالتعويض عن قياس الزاوية وطول الضلع في الصيغة، نحصل على: ٤٣=𞸢𞸅=𞸢󰎨٩.

بضرب طرفَي المعادلة في ٩: 𞸢󰎨=٩٤٣.

يمكننا حساب هذه القيمة؛ لكننا نريد إيجاد ضعف هذه القيمة لإيجاد طول 𞸁𞸢؛ لذلك نضرب كلا طرفَي المعادلة في اثنين، لنحصل على: 𞸁𞸢=٢𞸢󰎨=٨١٤٣.

وبحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على: 𞸁𞸢=٢٩٫٤١.

وأخيرًا، بتقريب هذه القيمة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة، نحصل على: 𞸁𞸢٩٫٤١.

في المثال الأخير، سنستخدم قياسَي زاويتين معلومتين في مثلث وطول ضلع معلوم لتحديد طول ضلع آخر.

مثال ٧: تقسيم مثلث إلى مثلثين قائمَي الزاوية لحساب طول مجهول

في الشكل، 󰏡𞸢=٥٫٣.

ما الطول 󰏡𞸁؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نبدأ بإضافة طول الضلع، وحقيقة أن 𞹟󰌑󰏡󰎨𞸢=٠٩، إلى الشكل.

نريد إيجاد قيمة 󰏡𞸁، ولكن ليس لدينا أطوال أضلاع معلومة في المثلث 󰏡󰎨𞸁. بدلًا من ذلك، علينا أن نلاحظ أنه يمكننا استخدام طول الضلع المعلوم في المثلث القائم الزاوية 󰏡󰎨𞸢 لتحديد 󰏡󰎨 باستخدام حساب المثلثات. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام 󰏡󰎨 لإيجاد 󰏡𞸁.

نبدأ بإيجاد 󰏡󰎨 باستخدام حساب المثلثات. نحتاج إلى تسمية أضلاع المثلث 󰏡󰎨𞸢. أولًا، 󰏡𞸢 هو أطول ضلع؛ لأنه مقابل للزاوية القائمة؛ وهذا يجعله الوتر. ثانيًا، 󰏡󰎨 هو الضلع المقابل للزاوية ١٤، 󰏡𞸢 هو الضلع الباقي المجاور لهذه الزاوية.

لإيجاد قيمة 󰏡󰎨، علينا استخدام الدالة المثلثية التي تمثِّل خارج قسمة طول الضلع المقابل وطول الوتر. يمكننا تذكُّر ذلك باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

باستخدام هذا الاختصار، يمكننا تذكُّر أن دالة الجيب هي النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر. بالتعويض بالقيم من هذا المثلث القائم الزاوية، نحصل على: ١٤=𞸒𞸅=󰏡󰎨󰏡𞸢=󰏡󰎨٥٫٣.

يمكننا بعد ذلك إيجاد 󰏡󰎨 بضرب الطرفين في ٣٫٥: 󰏡󰎨=٥٫٣١٤.

يمكننا حساب قيمة هذا التعبير؛ لكن بما أننا سنستخدمه في حساب طول آخر، إذن الأفضل استخدام القيمة الفعلية.

لتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية 󰏡󰎨𞸁، نحتاج إلى تسمية أضلاعه. 󰏡𞸁 هو الوتر؛ لأنه الضلع المقابل للزاوية القائمة، 󰏡󰎨 هو الضلع المقابل للزاوية ٣٦، 𞸁󰎨 هو الضلع المتبقي المجاور للزاوية.

نريد إيجاد طول الوتر، ومعلومٌ لدينا طول الضلع المقابل؛ لذا، سنستخدم دالة الجيب: ٣٦=𞸒𞸅=󰏡󰎨󰏡𞸁=٥٫٣١٤󰏡𞸁.

يمكننا إيجاد 󰏡𞸁 بضرب الطرفين في 󰏡𞸁، وقسمتهما على ٣٦: 󰏡𞸁=٥٫٣١٤٣٦.

وبحساب قيمة المقدار، نحصل على: 󰏡𞸁=٧٧٥٫٢.

وأخيرًا، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين: 󰏡𞸁٨٥٫٢.

نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المهمة التي توصَّلنا إليها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • عند التعامل مع مثلثات قائمة الزاوية، نستخدم تسميات الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر للإشارة إلى أضلاع المثلث. يكون الوتر دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة، وهو الضلع الأطول. يُسمَّى الضلع المقابل والمجاور حسب موضعهما بالنسبة إلى زاوية معيَّنة يُرمز إليها عادةً بالرمز 𝜃. الضلع المُقابل هو الضلع الذي يُقابل الزاوية 𝜃. وأخيرًا، الضلع المجاور هو الضلع الذي يقع بجوار الزاوية 𝜃، وليس الوتر.
  • النسب المثلثية لزاوية 𝜃 هي النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. على وجه التحديد، إذا أشرنا إلى أضلاع أي مثلث قائم الزاوية وله زاوية غير قائمة 𝜃 بالوتر والضلع المقابل والضلع المجاور، فإن: اااوراااور𝜃=،𝜃=،𝜃=.
  • يمكن تحديد أطوال أضلاع مجهولة في مثلث قائم الزاوية بمعلومية قياس زاوية غير قائمة وطول ضلع باستخدام الخطوات الآتية.
    1. إذا لم يتوافر أي شكل مُعطى، فارسم المعلومات المُعطاة في صورة مخطط.
    2. حدِّد أسماء أضلاع المثلث القائم الزاوية حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية المعلومة.
    3. استخدم الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ) لتحديد النسبة المثلثية التي تتضمَّن طول الضلع المعلوم وطول الضلع المطلوب.
    4. عوِّض بالقيم المعلومة، ثم أعِد الترتيب لحل المعادلة وإيجاد طول الضلع المجهول باستخدام الآلة الحاسبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.