شارح الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحل لإيجاد طول ضلع الرياضيات

مثال ١: إيجاد طول مجهول في مثلث قائم الزاوية عندما يقع المجهول في بسط الكسر

أوجد في الشكل المُعطى. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد تحديد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. ويمكننا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية. أولًا، علينا تحديد أي دالة مثلثية تربط بين طول الضلع المجهول والضلع الذي طوله ١١. يمكننا البدء بتسمية الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية . نلاحظ أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، والضلع يُواجه الزاوية التي قياسها ، إذن فهو الضلع المقابل، وأخيرًا الضلع المتبقي الذي يقع بجوار الزاوية هو الضلع المجاور.

معلومٌ لدينا طول الضلع المجاور، ونريد إيجاد طول الضلع المقابل. هذا يعني أن علينا استخدام النسبة المثلثية التي تربط هذين الضلعين. يمكننا تذكُّر الدالة المثلثية التي تتضمَّن نسبة هذين الضلعين باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

ومن هنا نجد أن دالة الظل هي التي تمثِّل النسبة بين طولَي الضلع المقابل للزاوية، والضلع المجاور للزاوية في مثلث قائم الزاوية. ومن ثَمَّ، نحصل على:

يمكننا إيجاد عن طريق ضرب كلا الطرفين في ١١:

يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار باستخدام آلة حاسبة، مع التأكُّد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات:

بتقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على:

مثال ٢: استخدام النسب المثلثية لإيجاد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية

أوجد قيمتَي ، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

نريد تحديد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. نتذكَّر أنه يمكننا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية.

أولًا، علينا تحديد أي دالة مثلثية تربط بين الضلعين المجهولين والضلع الذي طوله ٢٨ سم. يمكننا البدء بتسمية الأضلاع حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية .

نتذكَّر أن الوتر هو الضلع الأطول، وهو يُقابل الزاوية القائمة. هذا هو الضلع الذي طوله . الضلع المقابل للزاوية هو الضلع الذي طوله ٢٨ سم، وطول الضلع المتبقي المجاور للزاوية هو الضلع الذي طوله . هذا يُعطينا التسميات الآتية.

يمكننا الآن إيجاد المعادلات التي تتضمَّن القيم المجهولة ، بتطبيق النسب المثلثية على هذا المثلث. يمكننا تذكُّر الأضلاع التي تناظر النسب المثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

نريد تحديد النسبة المثلثية التي تربط بين طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور لإيجاد والنسبة المثلثية التي تربط بين طول الضلع المقابل وطول الوتر لإيجاد . نلاحظ أن هاتين الدالتين هما دالتا الظل وجيب الزاوية على الترتيب.

نبدأ بتحديد قيمة :

نُعيد الترتيب لإيجاد بضرب الطرفين في ، والقسمة على ، وهذا يُعطينا:

يمكننا حساب قيمة هذا المقدار باستخدام آلة حاسبة، مع التأكُّد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات:

بتقريب هذه القيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على:

لدينا الآن عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة ؛ وسنستعرض اثنتين منها. أولًا، يمكننا استخدام دالة الجيب كالآتي:

نضرب الطرفين في ، ونقسم على ، لنحصل على:

بعد ذلك، نوجد قيمة هذا المقدار:

يمكننا أن نقرِّب هذه القيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية، لنحصل على:

الطريقة الثانية التي يمكننا استخدامها لإيجاد هي نظرية فيثاغورس، التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر مجموع مربعَي طولَي الضلعين الآخرين. في هذه الحالة لدينا:

وجدنا سابقًا أن ، ومن المهم أن نستخدم القيمة الفعلية لتقليل أخطاء التقريب. بالتعويض بذلك في المعادلة والتبسيط، نحصل على:

بعد ذلك، نحل لإيجاد قيمة بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، مع ملاحظة أن يمثِّل قيمة طول؛ لذا، يجب أن يكون موجبًا: وهذا يتوافق مع الطريقة الأخرى لحساب قيمة .

ومن ثَمَّ، ، ، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

مثال ٣: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية في حل مسائل كلامية

طائرة ورقية، على ارتفاع عمودي ٤٤ م، مربوطة في خيط يميل على الأفقي بزاوية قياسها . أوجد طول الخيط لأقرب منزلة عشرية.

الحل

خطوتنا الأولى هي رسم المعلومات المُعطاة. قياس الزاوية مع الأفقي ، والارتفاع العمودي للطائرة الورقية يساوي ٤٤ م، هذا يُعطينا الآتي.

نريد تحديد طول الخيط، الذي أسميناه ؛ فهو يمثِّل طولًا مجهولًا في مثلث قائم الزاوية، ومعلومٌ لدينا طول ضلع وقياس زاوية. يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات.

أولًا، نُسمِّي أضلاع المثلث حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية . نحن نعلم أن الضلع الذي طوله يُقابل الزاوية القائمة، إذن هذا هو الوتر. بعد ذلك، نلاحظ أن الضلع الذي طوله ٤٤ م هو الضلع المقابل للزاوية، وأن الأرض تمثِّل الضلع المتبقي المجاور للزاوية.

نحن نعرف طول الضلع المقابل للزاوية، ونريد إيجاد طول الوتر. يمكننا تذكُّر الأضلاع التي تناظر النسب المثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

نريد النسبة المثلثية التي تربط بين الضلع المقابل والوتر. نجد أن هذه النسبة هي دالة الجيب.

لدينا:

بضرب الطرفين في ، نحصل على:

بقسمة الطرفين على ، نحصل على:

والآن، نحسب قيمة هذا المقدار باستخدام الآلة الحاسبة:

وأخيرًا، نقرِّب هذه القيمة لأقرب منزلة عشرية، لنحصل على:

مثال ٤: إيجاد جميع القيم المجهولة في المثلث القائم الزاوية

بمعلومية الشكل الآتي، أوجد طول كلٍّ من ، ، وقياس بالدرجات. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لإيجاد قياس ، نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي . ومن ثَمَّ:

إذن لتحديد أطوال الأضلاع المجهولة، نطبِّق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. أولًا، علينا تسمية أضلاع المثلث، ونلاحظ أن هو الضلع الأطول (فهو الضلع المقابل للزاوية القائمة)، إذن هذا هو الوتر. بعد ذلك، نُسمِّي الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية . نجد أن هو الضلع المقابل للزاوية، وأن هو الضلع المجاور للزاوية، وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

علينا الآن أن نتذكَّر الدوال المثلثية، وذلك باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

معلومٌ لدينا طول الضلع المقابل للزاوية ؛ لذا، يمكننا استخدام كلٍّ من النسبتين اللتين تتضمَّنان هذه القيمة لتحديد أطوال الأضلاع الأخرى.

أولًا، لدينا:

نضرب الطرفين في ، ونقسمهما على ، لنحصل على:

بحساب قيمة هذا المقدار والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين

ثانيًا، لدينا:

نضرب الطرفين في ، ونقسمهما على ، لنحصل على:

بحساب قيمة هذا المقدار والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين:

إذن لأقرب منزلتين عشريتين، لدينا ، ، .

مثال ٥: استخدام حساب المثلثات لحل المثلثات القائمة الزاوية حيث الزوايا مقيسة بالدرجات

مثلث قائم الزاوية عند ؛ حيث ، . أوجد طولَي الضلعين ، لأقرب منزلتين عشريتين، وقياس لأقرب درجة.

الحل

نبدأ برسم المُعطيات على شكل. نحن نعلم أن الزاوية القائمة تقع عند النقطة ، وأن ، وأن . وهذا يُعطينا الآتي.

يمكننا إيجاد بتذكُّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي . وهذا يُعطينا:

بعد ذلك، نريد تحديد طولَي ضلعين مجهولين في مثلث قائم الزاوية، بمعلومية طول ضلع وقياس زاوية. نتذكَّر هنا أنه يمكننا القيام بذلك باستخدام الدوال المثلثية.

أولًا، علينا تحديد أيُّ دالة مثلثية تربط بين طولَي الضلعين المجهولين والضلع الذي طوله ١٧ سم. يمكننا البدء بتسمية الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية .

نتذكَّر أن الوتر هو الضلع الأطول، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ أي . الضلع المقابل للزاوية هو ، والضلع المتبقي، المجاور للزاوية، هو . هذا يُعطينا التسميات الآتية.

يمكننا الآن إيجاد المعادلات التي تتضمَّن ، بتطبيق النسب المثلثية على هذا المثلث. يمكننا تذكُّر الأضلاع التي تناظر النسب المثلثية باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

نريد تحديد النسبة المثلثية التي تربط بين الضلع المقابل والوتر لإيجاد ، والنسبة المثلثية التي تربط بين طول الضلع المجاور وطول الوتر لإيجاد . نلاحظ أن هاتين النسبتين هما دالتا الجيب وجيب التمام على الترتيب.

نبدأ بتحديد قيمة :

نُعيد الترتيب لإيجاد عن طريق ضرب كلا الطرفين في ١٧:

يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار باستخدام آلة حاسبة، مع التأكُّد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات:

بتقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على:

يمكننا الآن تحديد طول باستخدام نسبة جيب التمام:

بعد ذلك نضرب الطرفين في ١٧، ونحسب كالآتي:

يمكننا أن نقرَّب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين، لنحصل على:

إذن لأقرب منزلتين عشريتين، ، ، ولأقرب درجة، .

مثال ٦: استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول قاعدة مثلث متساوي الساقين

مثلث متساوي الساقين، فيه ، ، . أوجد طول لأقرب منزلة عشرية واحدة.

الحل

نلاحظ أولًا أن بما أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي . ونلاحظ أيضًا أن الزاويتين المقابلتين للضلعين المتساويين في المثلث المتساوي الساقين متساويتان في القياس، إذن . وهذا يعني أن ، مثلثان قائما الزاوية لهما قياسات الزوايا الداخلية نفسها، وأن . ومن ثَمَّ، وفقًا لمُسلَّمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، فإن هذين المثلثين متطابقان.

بما أن ، وأن هاتين القطعتين المستقيمتين متساويتان في الطول، إذن ليس علينا سوى تحديد طول قطعة واحدة من هاتين القطعتين المستقيمتين. وعلى وجه التحديد:

بما أن ضلعٌ في مثلث قائم الزاوية ذي طول ضلع وقياس زاوية معلومين، إذن يمكننا استخدام حساب المثلثات لتحديد طوله. نبدأ بتسمية أضلاع المثلث . الوتر هو الضلع الأطول، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو في هذه الحالة . الضلع المقابل للزاوية هو ، والضلع المتبقي المجاور لهذه الزاوية هو . وهذا يُعطينا الآتي.

يمكننا الآن استخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ) لكي نتذكَّر النسبة المثلثية التي تتضمَّن خارج قسمة الضلع المجاور وطول الوتر.

نلاحظ أن هذه النسبة هي دالة جيب التمام. بالتعويض عن قياس الزاوية وطول الضلع في الصيغة، نحصل على:

بضرب طرفَي المعادلة في ٩:

يمكننا حساب هذه القيمة؛ لكننا نريد إيجاد ضعف هذه القيمة لإيجاد طول ؛ لذلك نضرب كلا طرفَي المعادلة في اثنين، لنحصل على:

وبحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على:

وأخيرًا، بتقريب هذه القيمة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة، نحصل على:

مثال ٧: تقسيم مثلث إلى مثلثين قائمَي الزاوية لحساب طول مجهول

في الشكل، .

ما الطول ؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نبدأ بإضافة طول الضلع، وحقيقة أن ، إلى الشكل.

نريد إيجاد قيمة ، ولكن ليس لدينا أطوال أضلاع معلومة في المثلث . بدلًا من ذلك، علينا أن نلاحظ أنه يمكننا استخدام طول الضلع المعلوم في المثلث القائم الزاوية لتحديد باستخدام حساب المثلثات. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام لإيجاد .

نبدأ بإيجاد باستخدام حساب المثلثات. نحتاج إلى تسمية أضلاع المثلث . أولًا، هو أطول ضلع؛ لأنه مقابل للزاوية القائمة؛ وهذا يجعله الوتر. ثانيًا، هو الضلع المقابل للزاوية ، هو الضلع الباقي المجاور لهذه الزاوية.

لإيجاد قيمة ، علينا استخدام الدالة المثلثية التي تمثِّل خارج قسمة طول الضلع المقابل وطول الوتر. يمكننا تذكُّر ذلك باستخدام الاختصار (جا ق و، جتا جـ و، ظا ق جـ).

باستخدام هذا الاختصار، يمكننا تذكُّر أن دالة الجيب هي النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر. بالتعويض بالقيم من هذا المثلث القائم الزاوية، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك إيجاد بضرب الطرفين في ٣٫٥:

يمكننا حساب قيمة هذا التعبير؛ لكن بما أننا سنستخدمه في حساب طول آخر، إذن الأفضل استخدام القيمة الفعلية.

لتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية ، نحتاج إلى تسمية أضلاعه. هو الوتر؛ لأنه الضلع المقابل للزاوية القائمة، هو الضلع المقابل للزاوية ، هو الضلع المتبقي المجاور للزاوية.

نريد إيجاد طول الوتر، ومعلومٌ لدينا طول الضلع المقابل؛ لذا، سنستخدم دالة الجيب:

يمكننا إيجاد بضرب الطرفين في ، وقسمتهما على :

وبحساب قيمة المقدار، نحصل على:

وأخيرًا، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين: