شارح الدرس: اتزان الجسم الجاسئ الرياضيات

مثال ١: حلُّ مسألة عن اتزان إستاتيكي من خلال مساواة العزم

في الشكل الآتي، أوجد مقدار القوة التي تجعل القضيب في حالة اتزان، علمًا بأن مقدار القوة المُعطاة يساوي ٧ نيوتن، .

الحل

للوهلة الأولى قد يبدو أن القضيب لا يمكن أن يكون في حالة اتزان انتقالي؛ فكلتا القوتين المؤثِّرتين عليه لهما مركبات رأسية نحو الأسفل. في الواقع، لا يعرض الشكل جميع القُوى المؤثِّرة على القضيب. فالشكل لا يعرض وزن القضيب، ولا قوة رد الفعل من السطح عند النقطة . وبما أن القضيب في حالة اتزان انتقالي، إذن لا بدَّ أن محصلة القوة الرأسية المؤثِّرة عليه تساوي صفرًا؛ وبناءً على ذلك، فإن قوة رد الفعل عند النقطة لا بدَّ أن تساوي مجموع الوزن والمركبات الرأسية نحو الأسفل للقُوى المؤثِّرة.

كما قد يبدو في البداية أن القضيب لا يمكن أن يكون في حالة اتزان دوراني؛ لأننا إذا حسبنا العزوم حول أيٍّ من النقاط حيث تؤثِّر القُوى، فسيكون هناك عزم واحد لا يساوي صفرًا يؤثِّر على القضيب. يوضِّح هذا أنه لا بدَّ من وجود قوة أخرى لا تَظهَر في الشكل الأصلي. القوة المجهولة هي قوة الاحتكاك بين قاعدة القضيب والسطح الذي يستقرُّ عليه القضيب. القوة الناتجة عن احتكاك جسم في حالة اتزان تساوي محصلة القوة الأفقية المؤثِّرة على القضيب في المقدار، وتؤثِّر في الاتجاه المعاكس لمحصلة القوة الأفقية المؤثِّرة على القضيب.

يعرض الشكل الآتي القُوى التي كان يجب إضافتها للشكل؛ حيث وزن القضيب، قوة رد الفعل عند النقطة ، القوة الناتجة عن الاحتكاك. ولأن تلك القُوى تمرُّ بالنقطة ، فإنها تُنتِج عزمًا يساوي صفرًا حول النقطة .

لكلٍّ من القُوى المؤثِّرة مركبة أفقية تساوي جيب تمام الزاوية مقيسة من الاتجاه الأفقي الذي تؤثِّر منه القوة. بالنسبة إلى القوة المجهولة، فإن هذه الزاوية قياسها غير معروف، ولكنها الزاوية المطابقة للزاوية ؛ لذا، فهي تساوي الزاوية في القياس.

بما أن القضيب في حالة اتزان دوراني، إذن لا بدَّ أن تكون محصلة العزوم المؤثِّرة عليه تساوي صفرًا. لذا، لا بدَّ أن العزوم المؤثِّرة على القضيب عكس اتجاه دوران عقارب الساعة تساوي العزوم المؤثِّرة عليه في اتجاه دوران عقارب الساعة.

نرى أن القوى ، ، تمرُّ بالنقطة . لذا، إذا أخذنا العزوم حول النقطة ، فسيمكننا إلغاء هذه القُوى. العزوم التي في اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة تساوي ، والعزوم التي عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة تساوي . وبمساواة العزوم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بالعزوم مع اتجاه دوران عقارب الساعة، نحصل على الآتي: وهو ما يحدِّد مقدار القوة ، التي نحصل عليها بواسطة:

مثال ٢: حلُّ مسألة اتزان إستاتيكي في وجود احتكاك

قضيب منتظم وزنه ١٠ نيوتن، وطوله ١٢٫٥ م، يرتكز بطرفه على مستوًى أفقي خشن، وترتكز النقطة (الواقعة بين ، ) على مسمار أفقي أملس يرتفع عن المستوى الأفقي مسافة مقدارها ٥٫٧ م. إذا كان القضيب على وشك الانزلاق عندما يميل على المستوى الأفقي بزاوية ظلها ، فأوجد معامل الاحتكاك بين القضيب والمستوى الأفقي.

الحل

اتجاهات القُوى المؤثِّرة على القضيب تَظهَر في الشكل الآتي. القوة هي قوة الاحتكاك.

أقصى قيمة ممكنة لقوة الاحتكاك تُعطى بواسطة: حيث معامل الاحتكاك. وبما أن القضيب على وشك الانزلاق، إذن تكون للقوة قيمة قصوى، إذن:

تؤثِّر قوة رد الفعل عند عموديًّا على القضيب ؛ لذا، تساوي الزاوية بين والاتجاه الرأسي الزاوية بين القضيب والاتجاه الأفقي في القياس، كما يَظهَر في الشكل الآتي:

لا يمكن تحديد ، مباشرةً، ولكن تسمح معرفة بتحديد ؛ فَلِكَي يكون القضيب في حالة اتزان انتقالي في الاتجاه الأفقي، يجب أن يكون مقدار وزن القضيب يساوي مجموع مقدارَيْ والمركبة الأفقية لـ ، إذن:

بالنظر إلى نظام القُوى الذي لدينا، يمكننا أن نرى أننا إذا أخذنا العزوم حول النقطة ، فسنتمكَّن من حذف قيمتَيْن من القِيَم المجهولة؛ وهما ؛ ؛ فكلتاهما تؤثِّران على النقطة . سيتيح لنا ذلك إيجاد القيمة المجهولة الأخرى .

جدير بالذكر أن المسافة إلى مركز كتلة القضيب على طول تساوي م، والمسافة الرأسية للنقطة فوق النقطة تساوي ٥٫٧ م.

يؤثِّر الوزن، ، رأسيًّا؛ لذا، تكون المسافة العمودية من النقطة إلى مركز كتلة القضيب هي ؛ أي المسافة الأفقية من النقطة إلى النقطة التي تقع رأسيًّا تحت مركز الكتلة، كما يَظهَر في الشكل الآتي:

لدينا:

تؤثِّر قوة رد الفعل عموديًّا على ؛ لذا، تكون المسافة العمودية من النقطة إلى النقطة هي ، كما يَظهَر في الشكل الآتي:

إذن:

القضيب في حالة اتزان؛ لذا، يمكن مساواة العزوم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بالعزوم مع اتجاه دوران عقارب الساعة:

ولأن ، ، ، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: وهو ما يوضِّح أن مقدار يُعطَى بواسطة:

لكي يكون القضيب في حالة اتزان انتقالي، يجب أن يساوي مقدار الوزن مجموع والمركبة الرأسية لـ . المركبة الرأسية لـ هي ، إذن: هذا يُشير إلى أن مقدار يُعطَى بواسطة:

لكي يكون القضيب في حالة اتزان انتقالي أفقيًّا، يجب أن يكون للمركبة الأفقية لـ مقدار يساوي مقدار قوة الاحتكاك، إذن: :

كما ذكرنا سابقًا، معامل الاحتكاك . ويمكن إيجاد قيمة من: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

مثال ٣: حلُّ مسألة تتضمَّن قضيبًا معلَّقًا بمفصلة في حالة اتزان إستاتيكي

رُبط قضيب منتظم طوله ١٢٨ سم، ووزنه ١٠ نيوتن، من أحد طرفَيْه بمفصلة مثبَّتة على حائط رأسي. عُلِّق ثقل مقداره ١٠ نيوتن في القضيب عند نقطة تبعُد ٩٦ سم عن المفصلة. ظلَّ القضيب في وضع أفقي؛ حيث رُبط بطرف الخيط الذي طرفه الآخَر مثبَّت عند نقطة على الحائط، تقع فوق المفصلة مباشرةً. إذا كان الخيط مائلًا على الاتجاه الأفقي بزاوية ، فأوجد مقدار الشد في الخيط، ورد الفعل للمفصلة، وقياس الزاوية بين خط عمل رد الفعل والأرض الأفقية، لأقرب دقيقة.

الحل

تؤثِّر قوة الشد ش على طول الخيط. لقوة الشد مركبتان أفقية ورأسية؛ لذا، يمكننا تحليلها على النحو الآتي: كما يَظهَر في الشكل الآتي:

عند تحديد ، يمكن تجاهل قوة رد الفعل من خلال حساب العزوم حول النقطة التي تؤثِّر فيها. يمكن تحديد العزوم المؤثِّرة على القضيب حول المفصلة من الشكل الآتي. ولأن القضيب منتظم الشكل، يؤثِّر الوزن على نقطة منتصف القضيب.

تؤثِّر المركبة الأفقية لـ على طول الخط الذي يمرُّ عبر المفصلة؛ حيث نحسب العزم، إذن يَنتج عزم يساوي صفرًا. وبما أن القضيب في حالة اتزان، إذن يمكن مساواة العزم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بالعزم مع اتجاه دوران عقارب الساعة:

نبسِّط الطرف الأيمن من المعادلة إلى: . وبقسمة كلا الطرفين على ١٫٢٨، نحصل على:

يمكن حذف العامل من خلال ضرب طرفَي المعادلة في ، لنحصل على:

ويمكن التبسيط أكثر إلى: إذن نحصل على مقدار باستخدام:

عندما نحدِّد مقدار ، لكي يكون القضيب في حالة اتزان، يجب أن يجعل مقدارا المركبتين الرأسية والأفقية لقوة رد الفعل عند المفصلة محصلتَي القوتين الأفقية والرأسية المؤثِّرتين على القضيب تساويان صفرًا، كما يَظهَر في الشكل الآتي:

يُظهِر الشكل أن: ، .

يُحدَّد مقدار قوة رد الفعل والزاوية من المستوى الأفقي الذي تؤثِّر عليه من خلال إيجاد الطول وقياس الزاوية وطول الوتر للمثلث القائم الزاوية؛ حيث إن طولَي الضلعين المقابل والمجاور يساويان المركبتين الرأسية والأفقية لقوة رد الفعل، كما يَظهَر في الشكل الآتي:

نُوجد طول الوتر، ، باستخدام نظرية فيثاغورس:

بأخذ الجذر التربيعي لكلٍّ من طرفَي المعادلة، نحصل على: وهو ما يعني أن مقدار قوة رد الفعل هو:

ظل الزاوية هو الكسر على ، إذن:

مثال ٤: حل مسألة تتضمَّن سُلَّمًا في حالة اتزان إستاتيكي

يستند سُلَّم مُنتظِم على مستوًى رأسي بطرفه العلوي في مواجهة حائط رأسي أملس، وبطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة؛ حيث مُعامِل الاحتكاك بين السُّلَّم والأرض . يميل السُّلَّم على المستوى الأفقي بزاوية قياسها . إذا كان وزن السُّلَّم ٢٩٥ نيوتن، وطوله ، فأوجد بدلالة أقصى مسافة يُمكِن لرجل وزنه ٦١٠ نيوتن أن يصعدها على السُّلَّم دون أن ينزلق، مع تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في مسائل الاتزان الإستاتيكي التي تتضمَّن سلالم، من الأفضل البدء برسم مخطَّط قوًى باستخدام المعلومات المُعطاة في السؤال لمساعدتنا في تصوُّر الوضع.

في الشكل، قوة رد الفعل العمودي على الحائط، قوة رد الفعل العمودي على الأرض، قوة الاحتكاك بين طرف السُّلَّم السفلي والأرض الخشنة.

تذكَّر أنه لكي يكون جسمٌ في حالة اتزان، لا بد أن يساوي مجموع القُوى الأفقية والرأسية صفرًا، ويساوي مجموع العزوم في اتجاه دوران عقارب الساعة وعكس اتجاه دوران عقارب الساعة صفرًا.

إذا بدأنا بالقوى الأفقية، يمكننا ملاحظة أن:

بتذكُّر أن ؛ حيث معامل الاحتكاك، نحصل على:

إذا انتقلنا إلى القوى الرأسية، يمكننا ملاحظة أن:

بالتعويض بهذا في المعادلة (١)، نجد أن:

كما ذكرنا قبل قليل، لكي يكون جسمٌ في حالة اتزان، لا بد أن يكون مجموع أي عزم يساوي صفرًا، أو بصورة مكافئة، يجب أن يتساوى العزمان في اتجاه دوران عقارب الساعة وفي عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يمكننا أخذ العزم حول أي نقطة على السُّلَّم، ولكن من الشائع اختيار نقطة حيث تؤثِّر عدة قوى، فمن شأن ذلك تسهيل الحسابات. لدينا قوتان تؤثِّران عند طرف السُّلَّم السفلي؛ قوة الاحتكاك وقوة رد الفعل العمودي من الأرض؛ ولذا، نأخذ العزم حول هذه النقطة. وبذلك تتكوَّن لدينا المعادلات الآتية:

بالتعويض عن ، نحصل على:

وأخيرًا، علينا إعادة ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده:

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على .