في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم حقيقة أن الرُّبع الذي تقع فيه الزاوية يُحدِّد إشارات جيبها وجيب تمامها وظلها، وكيف نحلُّ المعادلات المثلثية.
دائرة الوحدة دائرة نصْف قطرها يساوي واحدًا، ومركزها يقع عند نقطة أصل المستوى الإحداثي. لأيِّ نقطة في دائرة الوحدة، يُمكن رسم مثلث قائم الزاوية، كما في الشكل الآتي. يكوِّن وتر هذا المثلث القائم الزاوية الزاوية مع الجزء الموجب من المحور .
باستخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية، يُمكننا تعريف الدوال المثلثية بدلالة دائرة الوحدة:
إننا نلاحِظ أن غير مُعرَّفة عند . ونلاحِظ أيضًا أنه بالرغم من أننا استنتجنا هذه التعريفات لإحدى زوايا في الرُّبع الأول، فإنها تنطبق على أيِّ زاوية في أيِّ رُبع.
النظرية: الدوال المثلثية ودائرة الوحدة
الإحداثيان ، لنقطة على دائرة الوحدة مُعطاة بواسطة الزاوية يُعرَّفان كما يأتي:
في المثال الأول، سنرى كيف يُمكننا استخدام هذه التعريفات للدوال المثلثية في دائرة الوحدة لإيجاد قِيَم دقيقة، بمعلومية مُعطَيَات عن الضلع النهائي لزاوية.
مثال ١: إيجاد قيمة دالة مثلثية لزاوية بمعلومية إحداثيات نقطة تقاطع الضلع النهائي ودائرة الوحدة
أوجد ، علمًا بأن في وضعها القياسي، ويمرُّ ضلعها النهائي بالنقطة .
الحل
نقول إن الزاوية في وضعها القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل، وكان ضلعها الابتدائي يقع على الجزء الموجب من المحور . تُقاس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة من ضلعها الابتدائي إلى ضلعها النهائيٍ. ومن ثَمَّ الزاوية كما هو موضَّح.
نرسم مثلثًا قائم الزاوية طول ضلعيه وحدة و وحدة، كما هو موضَّح فيما يأتي.
والآن، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب قيمة البُعد الناقص في المثلث:
بما أن ، إذن . إذن النقطة تقع على دائرة الوحدة. نحن نتذكَّر أن الإحداثي ، لنقطة على دائرة الوحدة المُعطى بالزاوية يُعرَّف كما يأتي:
إذن تساوي قيمة الإحداثي للنقطة، وهو ما يساوي :
يُمكن أيضًا تطبيق هذه التعريفات عند التعامل مع مقلوب الدوال المثلثية. في المثال الثاني، سنستخدم معادلة دائرة الوحدة لإيجاد القيمة الدقيقة لدالة القاطع.
إذا كانت النقطة في دائرة الوحدة.
إذن المثلث القائم الزاوية المتكوِّن يحقِّق نظرية فيثاغورس؛ أي:
وبذلك، يُمكن الحصول على معادلة دائرة الوحدة من خلال:
مثال ٢: إيجاد قيمة دالة مثلثية لزاوية بمعلومية إحداثيات نقطة تقاطع الضلع النهائي ودائرة الوحدة
أوجد ، علمًا بأن في وضعها القياسي، وضلعها النهائي يمرُّ بالنقطة .
الحل
نقول إن الزاوية في وضعها القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل، وكان طول الضلع الابتدائي على الجزء الموجب من المحور . تُقاس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة من الضلع الابتدائي إلى الضلع النهائي. إذن الزاوية كما هو موضَّح.
لحساب قيمة سنبدأ بتحديد إذا ما كانت النقطة التي إحداثياتها تقع على دائرة الوحدة أو لا. معادلة دائرة الوحدة هي . نعوِّض بـ ، في التعبير :
بما أن قيمتَيْ ، تحقِّقان المعادلة ، إذن النقطة تقع على دائرة الوحدة، ويُمكننا استخدام التعريف الآتي:
الإحداثيان ، لنقطة على دائرة الوحدة مُعطاة بمعلومية الزاوية يُعرَّفان كالآتي:
لعلنا نتذكَّر أن . في حالة دائرة الوحدة، .
سنوضِّح الآن كيف نُوجِد القيمة الدقيقة للزاوية الرُّبعية؛ أي الزاوية التي يقع ضلعها النهائي على أيٍّ من المحورين أو .
مثال ٣: إيجاد قِيَم جيب تمام الزاوية للزوايا الرُّبعية
أوجد قيمة .
الحل
إحداثيات ، لنقطة على دائرة الوحدة المُعطاة بالزاوية تُعرَّف كالآتي:
ومن ثَمَّ ستكون قيمة هي قيمة إحداثي عند النقطة التي يقطع فيها الضلع النهائي لـ محيط دائرة الوحدة، كما هو موضَّح في الشكل.
والضلع النهائي للزاوية يقع على المحور ، إذن النقطة التي يتقاطع عندها مع دائرة الوحدة . الإحداثي ، ومن ثَمَّ قيمة تساوي ١.
قيمة تساوي ١.
في الأمثلة السابقة، أوضحنا كيفية استخدام تعريف دائرة الوحدة لإيجاد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية. في المثال الآتي، سنرى كيف تتحقَّق دائرة الوحدة من خاصية دورة الزوايا لهذه الدوال.
مثال ٤: استكشاف الزوايا المختلفة بين صفر و2𝜋، التي لها الدالة المثلثية نفسها
افترض أن نقطة على دائرة وحدة مناظِرة للزاوية . هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة تمثِّل زاوية في الفترة لها نفس ظلِّ الزاوية الأولى؟ إذا كانت موجودة، فأوجد قياس الزاوية.
الحل
سنبدأ برسم دائرة الوحدة والنقطة ، وهو ما يَنتُج عنه الزاوية راديان مع الجزء الموجب من المحور تُقاس في عكس اتجاه عقارب الساعة. وبما أن يقع بين و فنحن نعلم أن هذه النقطة يجب أن تقع في الرُّبع الثالث. وبما أن إحداثيات ، لهذه النقطة سالبة، وسنحدِّدها في صورة للثابتين الموجبين ، .
نحن نسترجع الآن تعريف دالة الظلِّ بالنسبة إلى دائرة الوحدة. إذا كانت الزاوية في وضعها القياسي، وإحداثيات نقطة تقاطع الضلع النهائي مع دائرة الوحدة هي ، ، إذن:
للنقطة :
خارج قسمة الإحداثي ، قيمة موجبة. ويُمكننا الآن أن نلاحِظ أنه لا بدَّ أن تكون هناك نقطة ثانية على دائرة الوحدة، تنطبق عليها هذه الحالة. هذه هي النقطة التي إحداثياتها ، وتقع في الرُّبع الأول.
يُمكننا تحويل النقطة إلى النقطة بإجراء دوران بزاوية قياسها راديان. لإيجاد قيمة التي تجعل :
نعم، تُوجَد نقطة أخرى على دائرة الوحدة تُنتِج قيمة الظلِّ نفسها التي تَنتُج عن الزاوية . الزاوية قياسها يساوي .
في المثال السابق، استخدمنا دائرة الوحدة لنوضِّح خاصية دورة زوايا دالة الظلِّ. يُمكننا استخدام عملية مشابِهة لتُساعدنا في تحديد إشارة أيِّ دوالَّ مثلثية بمعلومية قياس زاوية كلٍّ منها.
دعونا ننظر إلى النقطة التي تقع في الرُّبع الأول.
نلاحِظ أن إحداثيات ، ، ومن ثَمَّ قيمتا ، موجبتان. وبما أن ، تكون موجبة أيضًا في هذا الرُّبع.
والآن انظر إلى النقطة التي تقع في الرُّبع الثاني.
قيمة الإحداثي ، ومن ثَمَّ قيمة سالبة في هذا الرُّبع. وبما أن الإحداثي موجب هنا، إذن قيمة موجبة في هذا الرُّبع. وبالمثل، نلاحِظ أن دالة الظلِّ لقِيَم في الرُّبع الثاني تكون خارج قسمة عدد موجب وعدد سالب. إذن قيمة سالبة في هذا الرُّبع.
يُمكننا تكرار هذه العملية في الرُّبعين الثالث والرابع لإيجاد الآتي:
- في الرُّبع الثالث، موجبة، ، سالبتان.
- في الرُّبع الرابع، موجبة، ، سالبتان.
يُمكن تبسيط ذلك في مخطط CAST «جتا الكل جا الظل». ويُشير الاختصار CAST إلى الدوال المثلثية الموجبة في كلِّ رُبع.
تعريف: مخطط «جتا الكل جا الظل» CAST
- في الرُّبع الأول، تكون قِيَم الكلِّ موجبة
- في الرُّبع الثاني، تكون قيمة جا موجبة
- في الرُّبع الثالث، تكون قيمة الظلموجبة
- في الرُّبع الرابع، تكون قيمة جتا موجبة.
هيا نوضِّح كيف يُمكن أن يُساعدنا مخطط CAST في تبسيط مسألة ما بالنظر إلى التعبير . عندما نرسم الزاوية التي قياسها راديان في دائرة الوحدة، نلاحِظ أن هذه الزاوية تقع في الرُّبع الثالث.
يُخبرنا مخطط CAST أن دالة ظل الزاوية تكون موجبة في هذا الربع، بينما تكون دالتا الجيب وجيب التمام سالبتين. من ثَمَّ يُمكننا استنتاج أن قيمة ستكون سالبة.
وكما هو موضَّح، فإن الدوران حول نقطة الأصل بمقدار راديان له نفس تأثير تغيير إشارتي الإحداثيين ، . وباستخدام العلاقة بين الإحداثي للنقاط الموجودة على دائرة الوحدة والزاوية القياسية، نحصل على المتطابقة:
نعود الآن إلى المثال:
بما أن ، فهذا يعني أن . وكما يتَّضِح من مخطط CAST، نلاحِظ أن قيمتها سالبة.
في المثال الأخير، سنشرح كيفية استخدام دائرة الوحدة لإيجاد قيمة دالة مثلثية بسيطة.
مثال ٥: إيجاد قيمة دالة مثلثية بمعلومية إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي لزاوية في الوضع القياسي
الضلع النهائي لـ في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقطة التي إحداثياتها ؛ حيث . أوجد قيمة .
الحل
نقول إن الزاوية في الوضع القياسي إذا كان رأسها نقطة الأصل، وضلعها الابتدائي يقع على الجزء الموجب من المحور . وبما أن في وضعها القياسي، ليست على المحور ، فيجب أن تقع النقطة على الجزء الموجب من المحور . ويُمكننا إذن رسم على دائرة الوحدة. وبما أن الإحداثيين ، موجبان، فإن النقطة تقع في الرُّبع الأول.
ونحن نعلم أن الإحداثيين ، لنقطة على دائرة الوحدة مُعطاة بمعلومية الزاوية تُعرَّف كما يأتي:
إذن قيمة تساوي قيمة الإحداثي للنقطة . بتمثيل مثلثًا قائم الزاوية، يُمكننا إيجاد قيمة باستخدام نظرية فيثاغورس.
لدينا:
بما أن في هذا المثال، فإن وحدة.
إذن قيمة هي .
هيَّا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم الرئيسية لهذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- دائرة الوحدة دائرة نصف قطرها يساوي ١، ومركزها نقطة أصل المستوى الإحداثي.
- الإحداثيان ، لنقطة على دائرة الوحدة مُعطاة بمعلومية الزاوية يُعرَّفان كما يأتي:
- يُمكن أيضًا تعريف نسبة الظلِّ للنقاط على دائرة الوحدة ؛ حيث :
- يُمكن استخدام مخطط «جتا الكل جا الظل» CAST لتحديد إشارات الدالة المثلثية لزوايا كل رُبع.
