شارح الدرس: اتزان جسم على مستوًى مائل خشن الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: حساب قيمة الاحتكاك في حالة الاتزان النهائي

يوضِّح الشكل جسمًا كتلته ٤٦ نيوتن مرتكزًا على مستوى خشن مائل. إذا كان الجسم على وشك الانزلاق لأسفل المستوى، وكان معامل الاحتكاك السكوني ، فأوجد مقدار الاحتكاك النهائي.

الحل

الجسم على وشك الانزلاق؛ ومن ثَمَّ، تمثِّل قوة الاحتكاك المؤثِّرة عليه الاحتكاك النهائي. الجسم في حالة سكون؛ ومن ثَمَّ، يجب أن يساوي مقدار قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم مقدار القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الموازية للمستوى، . ووزن الجسم يساوي ، وقوة رد الفعل لها مقدار يُعطَى بالعلاقة:

تُجمَع هاتان القوتان لتعطيا مقدار ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

بمعرفة أن القوة المؤثِّرة لأسفل الموازية للمستوى تُعطَى بالعلاقة: نحصل على:

يجب أن يكون لقوة الاحتكاك مقدار يساوي ليكون الجسم في حالة اتزان.

يمكن الحصول على الإجابة أيضًا بالنظر إلى الاحتكاك النهائي المؤثِّر على الجسم، الذي له مقدار يُعطَى بالعلاقة:

وتُعطَى بالعلاقة:

ومن ثَمَّ:

مثال ٢: حساب معامل الاحتكاك لجسم على مستوى مائل

جسم وزنه ٦٠ نيوتن يرتكز على مستوًى خشن يميل على الأفقي بزاوية جيبها . سُحِب الجسم لأعلى عن طريق قوة مقدارها ٦٣ نيوتن تؤثِّر على الجسم بالتوازي مع خط أكبر ميل. إذا كان الجسم عند النقطة التي يوشك أن يتحرَّك منها إلى أعلى المستوى، فأوجد معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوى المؤثِّرة على الجسم الموازية للسطح.

القوة التي تساوي هي محصلة وزن الجسم وقوة رد الفعل العمودي على الجسم. ولكي يكون الجسم في حالة اتزان وعند النقطة التي يوشك أن يتحرَّك منها، لا بد أن يكون:

علمنا أن: ومن ثَمَّ، فإن الجزء من السطح الذي طوله يمثِّل وتر المثلث القائم الزاوية الذي طول ضلعَيْه ، ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكن إيجاد قيمة باستخدام نظرية فيثاغورس على النحو الآتي:

ومن هذا، يمكننا أن نلاحظ أن:

يمكن التعويض بقيمتَي جيب الزاوية وجيب تمامها في المعادلة: لنحصل على:

مثال ٣: حساب الشد في الخيط اللازم لجسم ليصبح على وشك الحركة إلى أعلى مستوى مائل

وُضِع جسم وزنه ٥٦ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها . معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي . سُحِب الجسم لأعلى بخيط، فصنع زاوية قياسها مع خط أكبر ميل للمستوى. أوجد أقل شد لازم في الخيط المطلوب ليصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى.

الحل

من المفيد في الإجابة عن هذا السؤال أن نستخدم مخطَّط الجسم الحر، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تؤثِّر قوة الاحتكاك، ، في اتجاه موازٍ للمستوى، وتؤثِّر قوة رد الفعل، ، في اتجاه عمودي على المستوى. يؤثِّر الشد، ، بزاوية قياسها من المستوى، ويؤثِّر وزن الجسم الذي مقداره ٥٦ نيوتن بزاوية قياسها من الخط العمودي على المستوى. يوضِّح الشكل التالي مركبتَي الموازية للمستوى والعمودية عليه، ، .

الزاوية التي يصنعها مع المستوى قياسها ؛ لذا، نلاحظ أن:

تؤثِّر مركبة العمودية على المستوى في اتجاه وعكس اتجاه مركبة وزن الجسم التي تؤثِّر عموديًّا على المستوى. القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم العمودية على المستوى تساوي ٠.

قوة الاحتكاك، ، لها مركبة عمودية على المستوى تساوي ٠.

بأخذ اتجاه اتجاهًا موجبًا عموديًّا على المستوى، يكون لمركبة وزن الجسم العمودية على المستوى مقدار يُعطَى بالعلاقة:

يُعطَى مقدار الشد في الخيط العمودي على المستوى بالعلاقة:

بمساواة مقدار الشد في الخيط العمودي على المستوى بمقدارَي مركبتَي وزن الجسم ورد الفعل على الجسم العموديتين على المستوى، نحصل على:

ومن هذا، يمكننا الحصول على تعبير لمقدار :

الزاوية التي يصنعها مع المستوى قياسها ؛ لذا، بأخذ الاتجاه لأعلى الموازي للمستوى اتجاهًا موجبًا، نلاحظ أن:

قوة رد الفعل، ، لها مركبة موازية للمستوى تساوي ٠.

تؤثِّر مركبة الموازية للمستوى في الاتجاه المعاكس لـ ومركبة وزن الجسم الموازية للمستوى. القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الموازية للمستوى تساوي ٠.

لمركبة وزن الجسم الموازية للمستوى مقدار يُعطَى بالعلاقة:

الزاوية قياسها ، إذن:

يعتمد مقدار على مقدار :

بمساواة الشد في الخيط الموازي للمستوى بمركبتَي وزن الجسم ورد الفعل على الجسم الموازيتين للمستوى، نحصل على:

لقد ثبت أن:

بالتعويض بتعبير هذا في معادلة القوى المؤثِّرة في اتجاه موازٍ للمستوى، نجد أن:

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير لجعل في طرف بمفرده كالآتي.

مثال ٤: حساب قوة مجهولة وقوة رد الفعل العمودي لجسم على مستوى مائل

ارتكز جسم وزنه ٢٦٢٫٥ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية ظلها ، وكان على وشك الحركة. بعد ذلك، وُضِع الجسم نفسه على سطح أفقي بنفس خشونة المستوى. أثَّرت قوة على الجسم بسحبه لأعلى بزاوية تميل على الأفقي؛ حيث . إذا كان الجسم تحت تأثير هذه الظروف على وشك الحركة، فأوجد مقدار ، ورد الفعل العمودي .

الحل

يوجد جزآن مختلفان يشاركان في إيجاد ، . يجب إيجاد معامل الاحتكاك السكوني للسطح بالنسبة إلى الجسم على السطح المائل، وعند إيجاده، يمكن إيجاد القوى المؤثِّرة على الجسم عندما يكون على السطح الأفقي.

إذا افترضنا أن زاوية ميل السطح هي ، فإننا نعلم من ذلك أن:

وهذا يساوي معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والسطح؛ لأن الجسم على وشك الحركة؛ ومن ثَمَّ:

عندما يكون الجسم في حالة اتزان على السطح الأفقي، تكون القوى الموضَّحة في الشكل التالي هي القوى المؤثِّرة على الجسم؛ حيث الاحتكاك النهائي.

إذا افترضنا أن الزاوية التي تصنعها مع السطح هي ، فإننا نعلم من ذلك أن: ومن ثَمَّ:

يُعطَى مقدارا مركبتَي الرأسية والأفقية ، بالعلاقتين:

تعطينا مساواة القوى الرأسية المؤثِّرة على الجسم:

ومن هذا، يمكننا أن نلاحظ أن:

وتعطينا مساواة القوى الأفقية المؤثِّرة على الجسم:

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل في طرف بمفردها على النحو الآتي:

وبما أننا نعلم أن: إذن يمكننا أن نلاحظ أن:

مثال ٥: إيجاد أكبر قوة لازمة للحفاظ على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل

يرتكز جسم وزنه ٧٥ نيوتن على مستوى خشن مائل بزاوية قياسها على الأفقي تحت تأثير قوة أفقية. أقل قوة أفقية مطلوبة للمحافظة على الجسم في حالة اتزان هي ٤٥ نيوتن. أوجد أكبر قوة أفقية تحافظ أيضًا على حالة الاتزان.

الحل

من المفيد في الإجابة عن هذا السؤال استخدام مخطَّط الجسم الحر، كما هو موضَّح في الشكل الذي يوضِّح القوى المؤثِّرة على الجسم عندما تكون القوة الأفقية أقل ما يمكن.

يمكن تحليل القوتين اللتين مقداراهما ٤٥ نيوتن و٧٥ نيوتن إلى مركباتهما الموازية للمستوى والعمودية عليه. وبما أن: إذن لكل مركبة لكل قوة مقدار يساوي مقدار القوة مقسومًا على . يوضِّح الشكل التالي المركبات الموازية للمستوى والعمودية عليه للقوى المؤثِّرة على الجسم.

بمساواة القوى العمودية على المستوى، نجد أن مقدار قوة رد الفعل العمودي يُعطَى بالعلاقة:

وبمساواة القوى الموازية للمستوى، نجد أن:

وبالتعويض بقيمة التي حصلنا عليها، نجد أن:

بعد إيجاد قيمة ، يمكن إيجاد مقدار أكبر قوة أفقية تحافظ على الاتزان. يوضِّح الشكل التالي القوى المؤثِّرة على الجسم عندما تكون القوة الأفقية أكبر ما يمكن. تظهر مركبتا القوة الأفقية الموازية للمستوى والعمودية عليه على شكل أسهم حمراء متقطعة.

يوضِّح الشكل التالي المركبات العمودية على المستوى والموازية له للقوى المؤثِّرة على الجسم عند تأثير أكبر قوة أفقية.

بمساواة القوى العمودية على المستوى، نلاحظ أن:

وبمساواة القوى الموازية للمستوى، نلاحظ أن:

وبما أننا حدَّدنا أن يساوي ، إذن نحصل على:

وبالتعويض بتعبير الذي حصلنا عليه، نجد أن:

جميع الحدود الموجودة في التعبير يمكن ضربها في الجذر التربيعي للعدد ٢، لنحصل على:

بفك الحد الموجود بين القوسين، نحصل على: