شارح الدرس: اتزان جسم على مستوًى مائل خشن الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ المسائل المتعلِّقة باتزان جسم على مستوًى مائل خشن.

يوضِّح الشكل التالي قوة رد الفعل العمودي، 󰄮𞸓، على جسم على سطح مائل:

قوة رد الفعل هي محصلة وزن الجسم المؤثِّر على السطح الذي يحمله. يُعطَى وزن الجسم 󰄮𞸅 بالعلاقة: 󰄮𞸅=𞸊𞸃، حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸃 عجلة الجاذبية الأرضية.

يكون اتجاه 󰄮𞸓 عموديًّا دائمًا على السطح. ويساوي مقدار 󰄮𞸓 مركبة وزن الجسم المؤثِّر عموديًّا على السطح. ومن ثَمَّ، تُعطَى 𞸓 بالعلاقة: 𞸓=𞸊𞸃𞸤، حيث 𞸤 الزاوية من الأفقي التي يميل السطح عندها.

القوة المحصلة المؤثِّرة على جسم على مستوى مائل، 󰄮󰄮𞹟، تساوي مجموع 󰄮𞸓، 󰄮𞸅. ويمكننا التعبير عن ذلك بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟=󰄮𞸓+𞸊𞸃.

ويوضِّح الشكل التالي اتجاه خط عمل 󰄮󰄮𞹟:

حيث: 󰍹󰄮𞸓󰍹=𞸊𞸃𞸤.

ويكون اتجاه 󰄮󰄮𞹟 لأسفل، في اتجاه موازٍ للمستوى.

نلاحظ أن 󰄮󰄮𞹟، 󰄮𞸓 مركبتان عموديتان لـ 𞸊𞸃؛ ومن ثَمَّ: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=𞸊𞸃𞸤.

بالنسبة إلى جسم يلامس سطحًا خشنًا، تؤثِّر قوة الاحتكاك على الجسم في الاتجاه المعاكس لاتجاه القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم. بالنسبة إلى الجسم الذي في حالة اتزان، يكون لقوة الاحتكاك مقدار يساوي مقدار 󰄮󰄮𞹟. وتؤدِّي زيادة زاوية ميل المستوى الذي يحمل الجسم إلى زيادة القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم. وتزداد أيضًا قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم بزيادة القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم. يُسمَّى الحد العلوي لمقدار قوة الاحتكاك بالاحتكاك النهائي. ويُعطَى الاحتكاك النهائي، 𞸇، المؤثِّر على جسم في حالة سكون على سطح بالعلاقة: 𞸇=𞸌𞸓،𞸎 حيث 𞸌𞸎 معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والسطح، 𞸓 مقدار قوة رد الفعل.

تكون القوى المؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على مستوى يميل بأقصى زاوية ميل يمكن أن يكون الجسم عندها في حالة اتزان موازية للمستوى، كما هو موضَّح بالشكل الآتي:

ولكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يكون لهذه القوى مقادير متساوية؛ لذا، يمكننا أن نلاحظ أن: 𞸊𞸃𞸤=𞸊𞸃𞸌𞸤𞸎 ومن ثَمَّ: 𞸤𞸤=𞸊𞸃𞸌𞸊𞸃=𞸌=𞸤.𞸎𞸎

تُعطَى أكبر زاوية ميل لمستوى خشن يمكن أن تُبقِي الجسم في حالة اتزان بالعلاقة: ١𞸎𞸌.

هيا نلقِ نظرة على مثال تكون فيه أكبر قوة احتكاك مؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على سطح خشن مائل معلومة.

مثال ١: حساب قيمة الاحتكاك في حالة الاتزان النهائي

يوضِّح الشكل جسمًا كتلته ٤٦ نيوتن مرتكزًا على مستوى خشن مائل. إذا كان الجسم على وشك الانزلاق لأسفل المستوى، وكان معامل الاحتكاك السكوني 󰋴٣، فأوجد مقدار الاحتكاك النهائي.

الحل

الجسم على وشك الانزلاق؛ ومن ثَمَّ، تمثِّل قوة الاحتكاك المؤثِّرة عليه الاحتكاك النهائي. الجسم في حالة سكون؛ ومن ثَمَّ، يجب أن يساوي مقدار قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم مقدار القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الموازية للمستوى، 𞹟. ووزن الجسم يساوي 𞸊𞸃، وقوة رد الفعل لها مقدار 𞸓 يُعطَى بالعلاقة: 𞸓=𞸊𞸃٠٦.

تُجمَع هاتان القوتان لتعطيا مقدار 󰄮󰄮𞹟، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

𞹟=𞸊𞸃٠٦.

بمعرفة أن القوة المؤثِّرة لأسفل الموازية للمستوى تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞸊𞸃٠٦، نحصل على: 𞹟=٦٤(٠٦)=٦٤󰋴٣٢=٣٢󰋴٣.

يجب أن يكون لقوة الاحتكاك مقدار يساوي 𞹟 ليكون الجسم في حالة اتزان.

يمكن الحصول على الإجابة أيضًا بالنظر إلى الاحتكاك النهائي المؤثِّر على الجسم، الذي له مقدار يُعطَى بالعلاقة: 𞸇=𞸌𞸓=󰋴٣𞸓.𞸎

وتُعطَى 𞸓 بالعلاقة: 𞸓=٦٤(٠٦)=٣٢.

ومن ثَمَّ: 𞸇=𞸌𞸓=٣٢󰋴٣.𞸎

إذا أثَّرت قوة مؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل، في اتجاه موازٍ للمستوى، فإن مقدار الاحتكاك يجب أن يساوي مجموع القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الناتجة عن وزنه، ورد الفعل العمودي عليه، والقوة المؤثِّرة.

يوضِّح الشكل التالي اتجاهات ومقادير القوى التي تؤثِّر على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل، في اتجاه موازٍ للمستوى، عندما تؤثِّر قوة مقدارها 𞹟 على الجسم في اتجاه موازٍ للمستوى، إما لأسفل وإما لأعلى على طول المستوى.

يمكننا أن نلاحظ من الشكل أنه، بالنسبة إلى مقدار 󰄮󰄮𞹟 الثابت، تكون قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم أكبر إذا كانت 󰄮󰄮𞹟 تؤثِّر لأسفل في اتجاه موازٍ للمستوى. وتكون القيمة العظمى المحتملة لأكبر قوة احتكاك تحافظ على اتزان الجسم هي الاحتكاك النهائي.

يمكننا أن نأخذ القوة المؤثِّرة اللازمة لاتزان الجسم بعين الاعتبار عندما تؤثِّر القوة لأعلى أو لأسفل في اتجاه موازٍ للمستوى، إذا كانت قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم تساوي الاحتكاك النهائي لكلا اتجاهَي القوة 󰄮󰄮𞹟. يوضِّح الشكل الآتي هذا.

يمكننا أن نلاحِظ من الشكل أنه عندما تساوي قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم الاحتكاك النهائي، فإن القوة المؤثِّرة على الجسم الموازية للمستوى يجب أن تكون أكبر إذا كانت تؤثِّر لأعلى في اتجاه موازٍ للمستوى ممَّا إذا كانت القوة تؤثِّر لأسفل في اتجاه موازٍ للمستوى.

هيا نلقِ نظرة على مثال تؤثِّر فيه قوة مؤثِّرة موازية للسطح على جسم في حالة اتزان على سطح خشن مائل.

مثال ٢: حساب معامل الاحتكاك لجسم على مستوى مائل

جسم وزنه ٦٠ نيوتن يرتكز على مستوًى خشن يميل على الأفقي بزاوية جيبها ٣٥. سُحِب الجسم لأعلى عن طريق قوة مقدارها ٦٣ نيوتن تؤثِّر على الجسم بالتوازي مع خط أكبر ميل. إذا كان الجسم عند النقطة التي يوشك أن يتحرَّك منها إلى أعلى المستوى، فأوجد معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوى المؤثِّرة على الجسم الموازية للسطح.

القوة التي تساوي 𞸊𞸃𞸤 هي محصلة وزن الجسم وقوة رد الفعل العمودي على الجسم. ولكي يكون الجسم في حالة اتزان وعند النقطة التي يوشك أن يتحرَّك منها، لا بد أن يكون: ٠٦𞸤+٠٦𞸌𞸤=٣٦.𞸎

علمنا أن: ؛𞸤=٣٥ ومن ثَمَّ، فإن الجزء من السطح الذي طوله ٥𞸋 يمثِّل وتر المثلث القائم الزاوية الذي طول ضلعَيْه ٣𞸋، 𞸎𞸋، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكن إيجاد قيمة 𞸎 باستخدام نظرية فيثاغورس على النحو الآتي: 𞸎=٥٣=٦١𞸎=󰋴٦١=٤.٢٢٢

ومن هذا، يمكننا أن نلاحظ أن: 𞸤=٤٥.

يمكن التعويض بقيمتَي جيب الزاوية 𞸤 وجيب تمامها في المعادلة: ٠٦𞸤+٠٦𞸌𞸤=٣٦𞸎 لنحصل على: ٠٦󰂔٣٥󰂓+٠٦𞸌󰂔٤٥󰂓=٣٦٦٣+٨٤𞸌=٣٦٨٤𞸌=٧٢𞸌=٧٢٨٤=٩٦١.𞸎𞸎𞸎𞸎

إذا لم تؤثِّر القوة المؤثِّرة في اتجاه موازٍ للسطح الذي يحمل الجسم، فإن تأثيرات القوة المؤثِّرة على اتزان الجسم تكون أكثر تعقيدًا. انظر إلى القوى المؤثِّرة على الجسم الموضَّحة في الشكل الآتي:

بدون تأثير أيِّ قوة مؤثِّرة، يُعطَى مقدار قوة رد الفعل العمودي بالعلاقة: 𞸓=𞸊𞸃𞸤.

للقوة المؤثِّرة مركبة لا تؤثِّر ضد قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم فحسب، بل تؤثِّر أيضًا ضد وزن الجسم. وتقلِّل القوة المؤثِّرة من القوة التي يؤثِّر بها وزن الجسم على السطح، وهو ما يقلِّل من قوة رد الفعل العمودي على الجسم.

يُعطَى مقدار قوة رد الفعل العمودي على الجسم بالعلاقة: 𞸓=𞸊𞸃𞸤𞹟𞸉،𞸌 حيث 𞹟𞸌 مقدار القوة المؤثِّرة.

وبما أن قوة الاحتكاك تعتمد على قوة رد الفعل العمودي، إذن قوة الاحتكاك تتغيَّر أيضًا إذا كانت القوة المؤثِّرة ليست موازية للسطح.

هيا نلقِ نظرة على مثال تؤثِّر فيه القوة المؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على سطح خشن مائل، ولا تؤثِّر القوة المؤثِّرة في اتجاه موازٍ للسطح.

مثال ٣: حساب الشد في الخيط اللازم لجسم ليصبح على وشك الحركة إلى أعلى مستوى مائل

وُضِع جسم وزنه ٥٦ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٠٣. معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي 󰋴٣٦. سُحِب الجسم لأعلى بخيط، فصنع زاوية قياسها ٠٣ مع خط أكبر ميل للمستوى. أوجد أقل شد لازم في الخيط المطلوب ليصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى.

الحل

من المفيد في الإجابة عن هذا السؤال أن نستخدم مخطَّط الجسم الحر، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تؤثِّر قوة الاحتكاك، 󰄮󰄮𞹟، في اتجاه موازٍ للمستوى، وتؤثِّر قوة رد الفعل، 󰄮𞸓، في اتجاه عمودي على المستوى. يؤثِّر الشد، 󰄮󰄮󰄮𞸔، بزاوية قياسها ٠٣ من المستوى، ويؤثِّر وزن الجسم الذي مقداره ٥٦ نيوتن بزاوية قياسها ٠٣ من الخط العمودي على المستوى. يوضِّح الشكل التالي مركبتَي 󰄮󰄮󰄮𞸔 الموازية للمستوى والعمودية عليه، 󰄮󰄮󰄮𞸔، 󰄮󰄮󰄮𞸔.

الزاوية التي يصنعها 󰄮󰄮󰄮𞸔 مع المستوى قياسها ٠٣؛ لذا، نلاحظ أن: 𞸔=𞸔(٠٣)=𞸔٢.

تؤثِّر مركبة 󰄮󰄮󰄮𞸔 العمودية على المستوى في اتجاه 󰄮𞸓 وعكس اتجاه مركبة وزن الجسم التي تؤثِّر عموديًّا على المستوى. القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم العمودية على المستوى تساوي ٠.

قوة الاحتكاك، 󰄮󰄮𞹟، لها مركبة عمودية على المستوى تساوي ٠.

بأخذ اتجاه 󰄮𞸓 اتجاهًا موجبًا عموديًّا على المستوى، يكون لمركبة وزن الجسم العمودية على المستوى مقدار يُعطَى بالعلاقة: 𞸅=٦٥(٠٣)=٨٢󰋴٣.

يُعطَى مقدار الشد في الخيط العمودي على المستوى بالعلاقة: 𞸔=𞸔(٠٣)=𞸔٢.

بمساواة مقدار الشد في الخيط العمودي على المستوى بمقدارَي مركبتَي وزن الجسم ورد الفعل على الجسم العموديتين على المستوى، نحصل على: 𞸔٢+𞸓=٨٢󰋴٣.

ومن هذا، يمكننا الحصول على تعبير لمقدار 󰄮𞸓: 𞸓=٨٢󰋴٣𞸔٢.

الزاوية التي يصنعها 󰄮󰄮󰄮𞸔 مع المستوى قياسها ٠٣؛ لذا، بأخذ الاتجاه لأعلى الموازي للمستوى اتجاهًا موجبًا، نلاحظ أن: 𞸔=𞸔(٠٣)=𞸔٢󰋴٣.

قوة رد الفعل، 󰄮𞸓، لها مركبة موازية للمستوى تساوي ٠.

تؤثِّر مركبة 󰄮󰄮󰄮𞸔 الموازية للمستوى في الاتجاه المعاكس لـ 󰄮󰄮𞹟 ومركبة وزن الجسم الموازية للمستوى. القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الموازية للمستوى تساوي ٠.

لمركبة وزن الجسم الموازية للمستوى مقدار يُعطَى بالعلاقة: 𞸅=٦٥(𞸤).

الزاوية 𞸤 قياسها ٠٣، إذن: 𞸅=٦٥(٠٣)=٨٢.

يعتمد مقدار 󰄮󰄮𞹟 على مقدار 󰄮𞸓: 𞹟=𞸌𞸓=󰋴٣٦𞸓.𞸎

بمساواة الشد في الخيط الموازي للمستوى بمركبتَي وزن الجسم ورد الفعل على الجسم الموازيتين للمستوى، نحصل على: 𞸔٢󰋴٣=٨٢+󰋴٣٦𞸓.

لقد ثبت أن:𞸓=٨٢󰋴٣𞸔٢.

بالتعويض بتعبير 𞸓 هذا في معادلة القوى المؤثِّرة في اتجاه موازٍ للمستوى، نجد أن: 𞸔٢󰋴٣=٨٢+󰋴٣٦󰃁٨٢󰋴٣𞸔٢󰃀.

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير لجعل 𞸔 في طرف بمفرده كالآتي: 𞸔٢󰋴٣=٨٢+󰃭٨٢󰂔٣٦󰂓󰋴٣٢١𞸔󰃬𞸔٢󰋴٣=٢٤𞸔٢١󰋴٣٦𞸔٢١󰋴٣=٢٤𞸔٢١󰋴٣𞸔󰂔٧٢١󰂓󰋴٣=٢٤𞸔󰋴٣=٢٧𞸔=٤٢󰋴٣.

والآن، نلقي نظرة على مثال تؤثِّر فيه القوة المؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على سطح أفقي خشن، ولا تؤثِّر القوة المؤثِّرة أفقيًّا.

مثال ٤: حساب قوة مجهولة وقوة رد الفعل العمودي لجسم على مستوى مائل

ارتكز جسم وزنه ٢٦٢٫٥ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية ظلها ٣٤، وكان على وشك الحركة. بعد ذلك، وُضِع الجسم نفسه على سطح أفقي بنفس خشونة المستوى. أثَّرت قوة 𞹟 على الجسم بسحبه لأعلى بزاوية 𞸤 تميل على الأفقي؛ حيث 𞸤=٣٥. إذا كان الجسم تحت تأثير هذه الظروف على وشك الحركة، فأوجد مقدار 𞹟، ورد الفعل العمودي 𞸓.

الحل

يوجد جزآن مختلفان يشاركان في إيجاد 󰄮󰄮𞹟، 󰄮𞸓. يجب إيجاد معامل الاحتكاك السكوني للسطح بالنسبة إلى الجسم على السطح المائل، وعند إيجاده، يمكن إيجاد القوى المؤثِّرة على الجسم عندما يكون على السطح الأفقي.

إذا افترضنا أن زاوية ميل السطح هي 𞸤، فإننا نعلم من ذلك أن:𞸤=٣٤.

وهذا يساوي معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والسطح؛ لأن الجسم على وشك الحركة؛ ومن ثَمَّ: 𞸌=٣٤.𞸎

عندما يكون الجسم في حالة اتزان على السطح الأفقي، تكون القوى الموضَّحة في الشكل التالي هي القوى المؤثِّرة على الجسم؛ حيث 󰄮𞸇 الاحتكاك النهائي.

إذا افترضنا أن الزاوية التي تصنعها 󰄮󰄮𞹟 مع السطح هي 𞸉، فإننا نعلم من ذلك أن: ؛𞸉=٣٥ ومن ثَمَّ: 𞸉=٤٥.

يُعطَى مقدارا مركبتَي 󰄮󰄮𞹟 الرأسية والأفقية 𞹟رأ، 𞹟أ بالعلاقتين: 𞹟=󰂔٣٥󰂓𞹟رأ𞹟=󰂔٤٥󰂓𞹟.أ

تعطينا مساواة القوى الرأسية المؤثِّرة على الجسم: 󰂔٣٥󰂓𞹟+𞸓=٥٫٢٦٢.

ومن هذا، يمكننا أن نلاحظ أن: 𞸓=٥٫٢٦٢󰂔٣٥󰂓𞹟.

وتعطينا مساواة القوى الأفقية المؤثِّرة على الجسم: 󰂔٤٥󰂓𞹟=󰂔٣٤󰂓𞸓=٣٤󰂔٥٫٢٦٢󰂔٣٥󰂓𞹟󰂓.

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𞹟 في طرف بمفردها على النحو الآتي: 󰂔٤٥󰂓𞹟=٥٧٨٫٦٩١󰂔٩٠٢󰂓𞹟󰂔٦١٠٢󰂓𞹟=٥٧٨٫٦٩١󰂔٩٠٢󰂓𞹟󰂔٥٢٠٢󰂓𞹟=󰂔٥٤󰂓𞹟=٥٧٨٫٦٩١𞹟=٥٧٨٫٦٩١󰂔٤٥󰂓=٥٫٧٥١.

وبما أننا نعلم أن: 𞸓=٥٫٢٦٢󰂔٣٥󰂓𞹟، إذن يمكننا أن نلاحظ أن: 𞸓=٥٫٢٦٢󰂔٣٥󰂓٥٫٧٥١=٨٦١.

يمكن أن يكون مقدار محصلة وزن جسم ما على مستوى خشن مائل ورد الفعل العمودي على الجسم أكبر من الاحتكاك النهائي بين الجسم والمستوى. وإذا لم تؤثِّر قوة خارجية على الجسم، فلا يمكن أن يكون الجسم في حالة اتزان؛ فالقوة الخارجية المؤثِّرة لأعلى الموازية للمستوى يمكن أن تحافظ على اتزان الجسم. وتوجد قيمتان محتمَلتان لمقدار هذه القوة.

هيا نُعرِّف القوة 󰄮󰄮𞹟 التي تساوي محصلة وزن جسم، 󰄮𞸅، على مستوى خشن مائل بزاوية 𞸤 من الأفقي، ورد الفعل العمودي على الجسم. يُعطَى مقدار القوة 󰄮󰄮𞹟 بالعلاقة: 𞹟=𞸅𞸤.

الاحتكاك النهائي بين الجسم والمستوى له مقدار 𞸇.

أكبر قوة موازية للمستوى، 󰄮󰄮𞹟ى، يمكن أن تؤثِّر على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل، هي القوة التي تحقِّق الشرط الآتي: 𞹟>𞹟ى والتي لها مقدار يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟+𞸇.ى

أصغر قوة موازية للمستوى، 󰄮󰄮𞹟ى، يمكن أن تؤثِّر على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل، هي القوة التي تحقِّق الشرط الآتي: 𞹟<𞹟ى والتي لها مقدار يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟𞸇.ى

تؤثِّر كلٌّ من 󰄮󰄮𞹟ى، 󰄮󰄮𞹟ى لأعلى في اتجاه موازٍ للمستوى. وينعكس اتجاه قوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم عندما تؤثِّر 󰄮󰄮𞹟ى، 󰄮󰄮𞹟ى، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

نتناول الآن مثالًا تؤثِّر فيه قوة مؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على سطح خشن مائل، ولا تؤثِّر القوة المؤثِّرة في اتجاه موازٍ للسطح، في حين يؤثِّر الاحتكاك النهائي في اتجاهات متبادلة.

مثال ٥: إيجاد أكبر قوة لازمة للحفاظ على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل

يرتكز جسم وزنه ٧٥ نيوتن على مستوى خشن مائل بزاوية قياسها ٥٤ على الأفقي تحت تأثير قوة أفقية. أقل قوة أفقية مطلوبة للمحافظة على الجسم في حالة اتزان هي ٤٥ نيوتن. أوجد أكبر قوة أفقية تحافظ أيضًا على حالة الاتزان.

الحل

من المفيد في الإجابة عن هذا السؤال استخدام مخطَّط الجسم الحر، كما هو موضَّح في الشكل الذي يوضِّح القوى المؤثِّرة على الجسم عندما تكون القوة الأفقية أقل ما يمكن.

يمكن تحليل القوتين اللتين مقداراهما ٤٥ نيوتن و٧٥ نيوتن إلى مركباتهما الموازية للمستوى والعمودية عليه. وبما أن: ٥٤=٥٤=١󰋴٢، إذن لكل مركبة لكل قوة مقدار يساوي مقدار القوة مقسومًا على 󰋴٢. يوضِّح الشكل التالي المركبات الموازية للمستوى والعمودية عليه للقوى المؤثِّرة على الجسم.

بمساواة القوى العمودية على المستوى، نجد أن مقدار قوة رد الفعل العمودي يُعطَى بالعلاقة: 𞸓=٥٤󰋴٢+٥٧󰋴٢=٠٢١󰋴٢.

وبمساواة القوى الموازية للمستوى، نجد أن: 𞸓𞸌+٥٤󰋴٢=٥٧󰋴٢.𞸎

وبالتعويض بقيمة 𞸓 التي حصلنا عليها، نجد أن: 󰃭٠٢١󰋴٢󰃬𞸌+٥٤󰋴٢=٥٧󰋴٢󰃭٠٢١󰋴٢󰃬𞸌=٠٣󰋴٢𞸌=٠٣٠٢١=١٤.𞸎𞸎𞸎

بعد إيجاد قيمة 𞸌𞸎، يمكن إيجاد مقدار أكبر قوة أفقية تحافظ على الاتزان. يوضِّح الشكل التالي القوى المؤثِّرة على الجسم عندما تكون القوة الأفقية أكبر ما يمكن. تظهر مركبتا القوة الأفقية الموازية للمستوى والعمودية عليه على شكل أسهم حمراء متقطعة.

يوضِّح الشكل التالي المركبات العمودية على المستوى والموازية له للقوى المؤثِّرة على الجسم عند تأثير أكبر قوة أفقية.

بمساواة القوى العمودية على المستوى، نلاحظ أن: 𞸓=󰂔𞹟+٥٧󰂓󰋴٢.ى

وبمساواة القوى الموازية للمستوى، نلاحظ أن: 𞹟󰋴٢=𞸓𞸌+٥٧󰋴٢.ى𞸎

وبما أننا حدَّدنا أن 𞸌𞸎 يساوي ٤، إذن نحصل على: 𞹟󰋴٢=𞸓٤+٥٧󰋴٢.ى

وبالتعويض بتعبير 𞸓 الذي حصلنا عليه، نجد أن: 𞹟󰋴٢=󰃭𞹟+٥٧٤󰋴٢󰃬+٥٧󰋴٢.ىى

جميع الحدود الموجودة في التعبير يمكن ضربها في الجذر التربيعي للعدد ٢، لنحصل على: 𞹟=󰃁𞹟+٥٧٤󰃀+٥٧.ىى

بفك الحد الموجود بين القوسين، نحصل على: 𞹟=𞹟٤+٥٧٤+٥٧󰂔٣٤󰂓𞹟=󰂔٥٤󰂓٥٧𞹟=󰂔٥٤󰂓󰂔٤٣󰂓٥٧=󰂔٥٣󰂓٥٧=٥٢١.ىىىى

هيا الآن نلخِّص ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة إلى جسم في حالة اتزان على سطح خشن مائل لا يؤثِّر عليه سوى وزن الجسم وقوة رد الفعل العمودي على الجسم، نجد أن: 𞸊𞸃𞸤=𞸊𞸃𞸌𞸤،𞸎 حيث 𞸤 الزاوية التي يصنعها السطح مع الأفقي، 𞸌𞸎 معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والسطح، 𞸊 كتلة الجسم، 𞸃 عجلة الجاذبية الأرضية.
  • عندما تؤثِّر قوة مؤثِّرة على جسم في حالة اتزان على مستوى خشن مائل، في اتجاه موازٍ للمستوى، فإن مقدار الاحتكاك يجب أن يساوي مجموع القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم الناتجة عن وزنه، ورد الفعل العمودي عليه، والقوة المؤثِّرة.
  • القوة التي تؤثِّر على جسم في حالة اتزان على سطح خشن مائل لكنها لا تؤثِّر في اتجاهٍ موازٍ للسطح، تُغيِّر قوة رد الفعل العمودي وقوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم. يستلزم تغيير قوة رد الفعل العمودي مساواة المركبتين العموديتين للقوة المؤثِّرة بالمركبتين العموديتين لوزن الجسم، وقوة رد الفعل العمودي على الجسم، وقوة الاحتكاك المؤثِّرة على الجسم، لإيجاد أيِّ قوة من هذه القوى باستثناء وزن الجسم.
  • يمكن أن يكون مقدار محصلة وزن جسم على مستوى خشن مائل ورد الفعل العمودي على الجسم أكبر من الاحتكاك النهائي بين الجسم والمستوى. وإذا لم تؤثِّر قوة خارجية على الجسم، فلا يمكن أن يصبح الجسم في حالة اتزان.
  • يمكن أن تحافظ القوة الخارجية المؤثِّرة لأعلى في اتجاه موازٍ للمستوى على اتزان الجسم. توجد قيمتان محتمَلتان لمقدار هذه القوة. تُعطَى هاتان القيمتان بالعلاقة: 𞹟=𞹟+𞸇ى𞹟=𞹟𞸇،ى حيث 𞹟 مقدار محصلة وزن الجسم وقوة رد الفعل العمودي عليه، 𞸇 مقدار الاحتكاك النهائي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.