شارح الدرس: القدرة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد قدرة المحرِّك

إذا عُلم أن السرعة القصوى لسيارة ٢٧٠ كم/س، وقوة محرِّكها ٩٦ ث. كجم، فاحسب قدرة محرِّكها.

الحل

يحتوي هذا السؤال على قِيَم بوحدات غير قياسية؛ لذا هيَّا نبدأ بتحويل هذه القِيَم إلى وحداتها القياسية.

يوجد ١‎ ‎٠٠٠ متر في الكيلومتر الواحد؛ إذن . ويوجد ٣‎ ‎٦٠٠ ثانية في الساعة الواحدة؛ لذا نقسم هذه القيمة على ٣‎ ‎٦٠٠، لنجد أن أقصى سرعة للسيارة بوحدة المتر لكل ثانية تساوي .

ثقل كيلوجرام واحد يساوي ٩٫٨ نيوتن؛ إذن .

والآن، يمكننا استخدام صيغة لإيجاد قدرة المحرِّك عندما تتحرَّك السيارة بأقصى سرعة:

ونظرًا لأننا استخدمنا وحدتي القوة والسرعة وفقًا للنظام الدولي للوحدات، فإن القيمة الناتجة للقدرة ستكون بوحدة القدرة وفقًا للنظام الدولي للوحدات، وهي الوات.

لكن المطلوب في هذا السؤال أن تكون الإجابة بوحدة الحصان. تذكَّر أن ، إذن نحصل على الإجابة بقسمة ٧٠‎ ‎٥٦٠ على ٧٣٥:

مثال ٢: إيجاد السرعة القصوى

جرَّار زراعي قدرة محرِّكه ١٨٧ حصانًا متريًّا، ويسحب ضد قوة مقدارها ٣٧٤ ث. كجم. أوجد مقدار أقصى سرعة له.

الحل

القِيَم المُعطاة في هذا السؤال بوحدات غير قياسية؛ لذا هيَّا نبدأ بتحويلها. ، إذن . ، إذن .

قدرة محرك الجرار هي ١٣٧‎ ‎٤٤٥ وات. والسرعة القصوى للجرار ثابتة، لذا عندما يتحرك الجرار بهذه السرعة نعلم حينها أن القوى متوازنة في النظام. وهذا يعني أن قوة محرك الجرار تساوي مقدار قوة الاحتكاك التي يسحب ضدها. يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد . علينا أولًا إعادة ترتيب الصيغة بقسمة كلا الطرفين على :

يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمتَي ، لنحصل على :

بما أننا استخدمنا الوحدات القياسية، فإن قيمة التي نحصل عليها ستكون بوحدة المتر لكل ثانية. لكن السؤال يطلب منَّا أن تكون الإجابة بوحدة الكيلومتر لكل ساعة. ؛ إذن:

مثال ٣: إيجاد السرعة القصوى والقدرة

سيارة كتلتها ٥ أطنان مترية تتحرَّك على طريق أفقي مستقيم. تتناسب قوة المقاومة المُضادَّة لحركة السيارة طرديًّا مع سرعتها. عندما تتحرَّك السيارة بسرعة ٧٨ كم/س، تكون قوة المقاومة ٤٠ ث. كجم لكل طن من كتلة السيارة. إذا كانت أقصى قوة لمحرِّك السيارة ٣٠٠ ث. كجم، فأوجد: أقصى سرعة للسيارة ، و لمحركها عند هذه السرعة.

الحل

في هذا السؤال، علينا أولًا معرفة السرعة التي تتحرَّك بها السيارة قبل إيجاد قدرة المحرِّك عندما تتحرَّك السيارة بهذه السرعة.

القوة القصوى للمحرِّك هي ٣٠٠ ث. كجم. يعني هذا أنه بمجرد أن تَصِل المقاومة لحركة السيارة إلى هذا المقدار، لن تستطيع السيارة الحركة بسرعة أكبر؛ لأن المحرِّك لن يستطيع توليد محصلة محركة يؤثِّر بها على السيارة؛ ومن ثَمَّ لن تستطيع السيارة أن تتسارع لتتخطَّى هذه السرعة.

عندما تتحرَّك السيارة بسرعة ٧٨ كم/س، فإنها تتعرَّض لقوة مقاومة مقدارها ٤٠ ث. كجم لكل طن من كتلتها. وبما أن كتلتها ٥ أطنان مترية، إذن قوة المقاومة هذه تساوي ٢٠٠ ث. كجم إجمالًا.

وبما أن قوة المقاومة بدلًا من قوة مقاومة السيارة تتناسب طرديًّا مع السرعة، فستكون النسبة بين سرعة السيارة وقوة المقاومة ثابتة دائمًا. وهذا يعني أنه إذا زادت السرعة بعامل معيَّن، فإن قوة المقاومة تزيد بالعامل نفسه. إذا زادت قوة المقاومة من ٢٠٠ ث. كجم إلى ٣٠٠ ث. كجم، فإنها تزيد بعامل مقداره . ولا بدَّ أن يُقابل هذا زيادة في السرعة بالعامل نفسه: . هذه هي السرعة القصوى للسيارة.

وبما أننا نعلم القوة الناتجة عن المحرِّك عند هذه السرعة، إذن يمكننا استخدام صيغة: لإيجاد قدرة المحرِّك.

أولًا: هيَّا نحوِّل إلى الوحدة القياسية. ، ويُوجد ٩٫٨ نيوتن في كل ث. كجم، إذن .

ثانيًا: هيَّا نحوِّل لتكون بوحدة المتر لكل ثانية. السرعة القصوى هي ، ويُوجد ١‎ ‎٠٠٠ متر في الكيلومتر الواحد، إذن ، ويُوجد ٣‎ ‎٦٠٠ ثانية في الساعة، إذن هذه السرعة تعادل التحرُّك مسافة كل ثانية، أو ٣٢٫٥ م/ث.

هيَّا نستخدم الصيغة التي نُوجِد بها :

بعد ذلك، نحوِّل قيمة القدرة هذه لتكون بوحدة الحصان:

إذن، السرعة القصوى للسيارة تساوي ١١٧ كم/س، وقدرة المحرِّك عندها تساوي ١٣٠ حصانًا متريًّا.

مثال ٤: إيجاد مقدار الزيادة في قدرة الحركة على مستوًى مائل مع وجود قُوًى مقاوِمة

مَرْكَبة كتلتها ٣ أطنان مترية تتحرَّك بسرعة ٥١ كم/س على جزء أفقي من طريق. عندما وصلت المَرْكَبة إلى قاع تلٍّ يميل على الأفقي بزاوية جيبها ٠٫٥، استمرَّت في الحركة بنفس السرعة في اتجاه أعلى الطريق. إذا كانت المقاومة لجزأي الطريق ثابتة، فاحسب الزيادة في قدرة المَرْكَبة، لأقرب حصان. علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية .

الحل

سيكون حلُّ هذا السؤال أسهل إذا قمنا أولًا برسم هذه المُعطيات. لم يُخبرنا السؤال بقياس زاوية الميل، لكنه أخبرنا بقيمة جيبها، وهو ما يعني أن . والآن هيَّا نرسم الشكل.

تتحرَّك المَرْكَبة بالسرعة نفسها عند صعودها أعلى التلِّ، وعند سيرها على أرض مستوية. مقدار الاحتكاك بين المَرْكَبة والأرض ثابت أيضًا في الحالتين. ويعني ذلك أن القدرة الإضافية الوحيدة التي يولِّدها المحرِّك أثناء صعوده أعلى التلِّ هي القدرة اللازمة لتوليد قوة تتغلَّب على مُركِّبة الوزن التي تؤثِّر لأسفل المستوى المائل.

يمكننا التعبير عن ذلك جبريًّا، فنقول: إنه عندما تكون المَرْكَبة على الأرض المستوية، فإن القدرة التي يولِّدها المحرِّك هي . وهذه القدرة تولِّد القوة ، والمَرْكَبة تتحرَّك بسرعة . إذن، يمكننا القول أيضًا إن ، و تكون هي القيم عند صعود السيارة لأعلى التلِّ. نعلم أن ، إذن نُشير إليهما بالرمز .

عندما تكون المَرْكَبة على أرض مستوية، فإن:

وفي هذه الحالة، تتحرَّك المَرْكَبة بسرعة ثابتة، إذن يجب أن تساوي قوة الاحتكاك المؤثِّرة على المَرْكَبة، والتي نُسمِّيها: .

عندما تكون المَرْكَبة على التلِّ، فإن:

وفي هذه الحالة، يجب أن تساوي زائد مُركِّبة وزن المَرْكَبة أسفل التلِّ. هيَّا نرسم شكل المَرْكَبة موضَّحًا عليه مركبتي الوزن الموازية للمستوى والعمودية عليه.

مُركِّبة الوزن لأسفل التلِّ تساوي . إذن:

يَطلُب منَّا السؤال إيجاد الزيادة في القدرة، وهو ما يساوي:

يُلغي حدَّان متماثلان في الطرف الأيسر أحدُهما الآخَر لنحصل على:

نعلم أن ، . والكتلة، ، تساوي ٣ أطنان مترية؛ أيْ ما يساوي ٣‎ ‎٠٠٠ كجم. والسرعة، ، تساوي ٥١ كم/س؛ أيْ ما يساوي ؛ لذا، يمكننا التعويض بهذه القِيَم في الصيغة السابقة:

ثم يمكننا تحويل ذلك إلى وحدة الحصان: إذن الزيادة في قدرة المركبة تساوي ٢٨٣ حصانًا متريًّا، لأقرب عدد كلي.