شارح الدرس: مقدمة في المصفوفات | نجوى شارح الدرس: مقدمة في المصفوفات | نجوى

شارح الدرس: مقدمة في المصفوفات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحدد المصفوفات ونحدد رتبة المصفوفة وموضع كل عنصر من عناصرها.

يعد مفهوم «المصفوفة» من أكثر المفاهيم التي شهدت تنقيحًا وتطويرًا في الرياضيات على مدى طويل. وتُعدالمصفوفات، التي تمتد جذورها لعام ٢ ق.م. على يد علماء الرياضيات بالصين، موضوعًا أساسيًّا للدراسة في الرياضيات، كما تُستخدم كثيرًا في مجالات أخرى مثل الفيزياء وعلوم الحاسب. بالإضافة إلى تطبيقات المصفوفات في مجالات العلوم الأخرى، فإن خواص المصفوفات تُعد مثيرة للاهتمام، وهي كذلك تدرس في الرياضيات في إطار نظري ومجرَّدٍ أكثر.

هناك العديد من الطرق لتحفيز دراسة المصفوفات، مثل أنظمة المعادلات الخطية أو عن طريق التحويلات الهندسية، لكن هذه الطرق تعتمد على بناء فهم صحيح للمصفوفات أولًا. المصفوفة هي شبكةٌ مصفوفةٌ مستطيلة الشكل مقسمة إلى صفوف (مرصوصة أفقيًّا)، وأعمدة (مرصوصة رأسيًّا). يوصف كل «عنصر» في المصفوفة حسب الصف والعمود الذي يظهر فيهما، وهو معرَّف كما يلي.

تعريف: عناصر المصفوفة

«المصفوفة» هي شبكة مصفوفة مستطيلة الشكل مكوَّنة من عناصر مرصوصة في صفوف وأعمدة. يمكننا كتابة المصفوفة 󰏡 على الصورة: 󰏡=(󰏡)،𞸑𞸏 حيث الكمية 󰏡𞸑𞸏 هي القيمة التي تظهر في الصف رقم 𞸑 والعمود رقم 𞸏.

شرح هذا المفهوم بخطوات عملية أسهل من مجرد وصفه، لذا سنبدأ بمثال. أولًا سنعرِّف المصفوفة: 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓.

لاحظ أن هناك صفين وثلاثة أعمدة في المصفوفة 󰏡 وتوجد ستة عناصر إجمالًا. نقول إن: 󰏡=(󰏡)،𞸑𞸏 حيث 󰏡𞸑𞸏 هي عناصر هذه المصفوفة كما هو موضَّح في التعريف أعلاه. وبما أن هناك صفين، فإن 𞸑=١،٢. وبالمثل، يوجد ثلاثة أعمدة، وبالتالي فإن 𞸏=١،٢،٣. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن 𞸑=١، 𞸏=٢ فهذا يعني أننا ننظر إلى الصف الأول والعمود الثاني. لتحديد موضع هذا العنصر، علينا في البداية تحديد جميع العناصر في الصف الأول باللون البرتقالي: 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓، ثم نحدد جميع العناصر الموجودة في العمود الثاني باللون الأزرق: 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓.

العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الثاني، ونرمز له بـ 󰏡١٢ هو العنصر الوحيد الذي حُدِّد مرتين، والذي يظهر الآن باللون الأخضر: 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓.

وبذلك نقول إن 󰏡=١١٢.

بعد ذلك إذا أردنا افتراض أن 𞸑=٢، 𞸏=١، فسوف نُشير إلى العنصر في الصف الثاني والعمود الأول. بتكرار العملية نفسها كما هو موضح أعلاه، نحدد الآن جميع العناصر في الصف الثاني باللون البرتقالي، 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓، وجميع العناصر في العمود الأول باللون الأزرق، 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓،

العنصر الوحيد الذي تم تحديده مرتين هو العنصر 󰏡=٢٢١ الذي يظهر باللون الأخضر: 󰏡=󰂔١١٠٢٥١١󰂓.

عند الاستمرار في هذه العملية نحصل على العناصر المتبقية 󰏡=١١١، 󰏡=٠١٣، 󰏡=٥٢٢، 󰏡=١١٢٣.

حتى علماء الرياضيات الذين استخدموا المصفوفات لفترة زمنية طويلة جدًّا ظلوا في بعض الأحيان ينسون بأي ترتيب نكتب كلًّا من «𞸑» و«𞸏» عند الإشارة إلى الصفوف والأعمدة. سنتدرَّب على ذلك بعد قليل، لكن من الجيد أن نتذكَّر أننا نشير بوجه عام إلى الصف قبل الإشارة إلى العمود. بعض الناس يفضلون ببساطة تذكر عبارة «الصف 𞸑، والعمود 𞸏».

مثال ١: تحديد مصفوفة من الرتبة ١ × ٢ بمعلومية ترتيب عناصرها

أيٌّ ممَّا يلي يمثِّل المصفوفة 󰏡=(󰏡)𞸑𞸏؛ حيث 𞸑=١، 𞸏=١،٢؟

  1. (󰏡󰏡)١٢١١
  2. 󰃁󰏡󰏡󰃀١١٢١
  3. 󰃁󰏡󰏡󰃀١٢١١
  4. (󰏡󰏡)١١١٢

الحل

نفكر أولًا في عدد الصفوف. بما أن 𞸑=١، فإننا نعلم أن هناك صفًّا واحدًا في المصفوفة 󰏡، وهو ما يستبعد الخيارين (ب)، (جـ)؛ لأن كليهما يحتوي على صفين. نلاحظ بعد ذلك أن المصفوفة في الخيار (أ): (󰏡󰏡)١٢١١ تحتوي على عنصر في الجزء العلوي الأيمن يُسمى «󰏡١٢» ومع ذلك، يظهر هذا العنصر في الصف الأول، وهو ما يعني أن 𞸑=١، والعمود الأول، وهذا يعني 𞸏=١. ولذلك، يجب أن يسمى هذا العنصر 󰏡١١؛ وهو ما يعني أن هذه ليست المصفوفة الصحيحة. والخيار الوحيد المتبقي هو (د)، وهي المصفوفة: (󰏡󰏡).١١١٢

سنتحقق من أن هذه هي المصفوفة الصحيحة. يقع العنصر الموجود في أعلى اليمين في الصف الأول والعمود الأول؛ يعني ذلك أن 𞸑=١، 𞸏=١، ينطبق تمامًا على العنصر المعطى «󰏡١١»، ويقع العنصر الموجود في أعلى اليسار في الصف الأول والعمود الثاني؛ مما يعني أن 𞸑=١، 𞸏=٢. بما أن هذا العنصر يُسمى «󰏡١٢»؛ إذن نؤكد أنها بالفعل المصفوفة الصحيحة.

بينما نقرأ العناصر الموجودة في الصف نفسه من اليمين إلى اليسار، لا بد أن تظل قيمة المركبة 𞸑 كما هي في حين تزداد قيمة المركبة 𞸏. وبالمثل، عندما نقرأ العناصر الموجودة في العمود نفسه من أعلى إلى أسفل، لا بد أن تزداد قيمة المركبة 𞸑 في حين تظل قيمة المركبة 𞸏 كما هي. يمكننا استخدام هذا المفهوم للتحقق سريعًا مما إذا كانت لدينا الصورة الصحيحة للمصفوفة أم لا.

مثال ٢: تحديد مصفوفة من الرتبة ٢ × ٣ بمعلومية ترتيب عناصرها

أيٌّ ممَّا يلي يمثِّل المصفوفة 󰏡=(󰏡)𞸑𞸏؛ حيث 𞸑=١،٢، 𞸏=١،٢،٣؟

  1. 󰃁󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰃀١١١٢١٣٢١٢٢٢٣
  2. 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡١١١٢٢١٢٢٣١٣٢
  3. 󰃁󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰃀١١٢١٣١١٢٢٢٣٢
  4. 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡١١٢١١٢٢٢١٣٢٣

الحل

بما أن 𞸑=١،٢، 𞸏=١،٢،٣ فإننا نعرف أن لدينا صفين وثلاثة أعمدة في المصفوفة 󰏡. يمكننا إذن استبعاد الخيارين (ب) و(د)، بما أن كليهما يحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين. والمصفوفة الموجودة في الخيار (أ) على الصورة: 󰃁󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰃀.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣

بالنسبة للصف الأول، لدينا 𞸑=١ وعند قراءة العناصر الموجودة في هذا الصف من اليمين إلى اليسار، نلاحظ أن العناصر هي 󰏡١١، 󰏡١٢، 󰏡١٣. جميع قيم المركبة 𞸑 في عناصر الصف تساوي واحدًا وقيم المركبة 𞸏 تزداد من واحد إلى ثلاثة. إذن، الصف الأول صحيح. بالنسبة إلى الصف الثاني، نلاحظ أن 𞸑=٢، وهو صحيح وأن العناصر هي 󰏡٢١، 󰏡٢٢، 󰏡٢٣. وبالمنطق نفسه، نعلم أن هذا الصف أيضًا صحيح؛ ومن ثم فإن (أ) هو الإجابة الصحيحة.

لقد توصلنا بالفعل إلى الإجابة الصحيحة، لكن من المفيد أن نفهم سبب كون المصفوفة في (جـ) غير صحيحة. صيغة المصفوفة هي: 󰃁󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰃀.١١٢١٣١١٢٢٢٣٢

بالرغم من وجود صفين وثلاثة أعمدة في هذه المصفوفة، تبدلت الأرقام التي تشير إلى الصفوف والأعمدة. إذا نظرنا إلى الصف الأول فقط وقرأنا من اليمين إلى اليسار، فسنجد أن قيم المركبة 𞸑 تتغير، بدلًا من قيم المركبة 𞸏، التي توحي بأننا نغير الصفوف وليس الأعمدة. لكننا كنا ننظر إلى الصف الأول فقط، وبذلك لا يمكن أن يكون الأمر صحيحًا!

بعد تدريب بسيط، سيصبح من الطبيعي جدًّا قراءة عناصر أي مصفوفة بسرعة، باستخدام التعريفات والنظريات الأساسية التي تتطلب فَهم هذه الفكرة بديهيًّا. وإحدى أفضل الطرق للتدرُّب على ذلك هي استخدام المصفوفات التي تحتوي على أعداد في عناصرها، بدلًا من استخدام الرموز المجرَّدة أو المتغيرات غير المحدَّدة.

مثال ٣: تكوين مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢ بمعلومية عناصرها

إذا كان 󰏡 مصفوفة رتبتها ٢×٢؛ حيث 󰏡=٧١١، 󰏡=٠١١٢، 󰏡=٩٢١، 󰏡=٢٢٢، فأوجد المصفوفة 󰏡.

الحل

من المعطيات الواردة أعلاه، المصفوفة 󰏡 تحتوي على صفين وعمودين؛ ومن ثَمَّ تكون على الصورة التالية: 󰂔󰂓.

برجاء ملاحظة أن الرمز يشير إلى أن هذا العنصر له بعض المعطيات، فلا نفترض أن جميع هذه العناصر لها القيمة نفسها.

أول معطى لدينا هو أن 󰏡=٧١١. بما أن 𞸑=١، 𞸏=١ فنحن نشير إلى العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول. ومن ثم فإن المصفوفة لها التركيب التالي: 󰂔٧󰂓.

يخبرنا السؤال بعد ذلك أن 󰏡=٠١١٢. إذا كان 𞸑=١، 𞸏=٢ فنحن نشير إلى عنصر في الصف الأول والعمود الثاني ليعطينا: 󰂔٧٠١󰂓.

والمعطى التالي هو أن 󰏡=٩٢١، وهو ما يعني أن هذه القيمة يجب أن تظهر في الصف الثاني والعمود الأول. ومن ثم، يصبح لدينا: 󰂔٧٠١٩󰂓.

العنصر الأخير هو 󰏡=٢٢٢، والذي يظهر في الصف الثاني والعمود الثاني. وبالتالي، فإن المصفوفة المكتملة هي: 󰏡=󰂔٧٠١٩٢󰂓.

عند استخدام تطبيقات المصفوفات، تكون هناك أحيانًا علاقات جبرية بين العناصر. في كثير من الأحيان، تكون هذه العلاقات ناتجة عن قيود فيزيائية أو لوجيستية، وهو ما يضمن لاحقًا أن للمصفوفة خواصها التي يمكن فهمها الاستفادة منها. وتُعَد القدرة على فهم العلاقات بين عناصر المصفوفة جزءًا أساسيًّا من إجادة العمليات الحسابية على المصفوفات، والقدرة على فهم المستوى الأعمق من جبر المصفوفات الأعمق الذي يظهر عند المستويات الأعلى للدراسة.

مثال ٤: تكوين مصفوفة بمعلومية العلاقة بين عناصرها

إذا كانت 󰏡 مصفوفة رتبتها ٣×٢؛ حيث 󰏡=٠١١، 󰏡=󰏡٣١٢٣١، 󰏡=٤٢١، 󰏡=١٢󰏡٢٢١١، 󰏡=٨٣١، 󰏡=١٤󰏡٣٢٢١، فأوجد 󰏡.

الحل

تتكون المصفوفة من ثلاثة صفوف وعمودين، ومن ثم تكون على الصورة التالية: 󰃁󰃀.

إن أسهل طريقة للبدء في الإجابة عن هذا السؤال هي عن طريق استخدام العناصر التي لها قيمة عددية صريحة، بدلًا من العناصر المحددة بعلاقة مع العناصر الأخرى. هذه هي العناصر 󰏡=٠١١، 󰏡=٤٢١، 󰏡=٨٣١ وهو ما يعني أن المصفوفة هي كما يلي: 󰃭٠٤٨󰃬.

بعد ذلك، نستخدم العلاقة المعطاة: 󰏡=󰏡٣١٢٣١. بما أن 󰏡=٨٣١ لدينا: 󰏡=٥١٢، فهذا يعني أن: 󰃭٠٥٤٨󰃬.

والآن نستخدم العلاقة المعطاة 󰏡=١٢󰏡٢٢١١. لقد وجدنا ذلك بالفعل أن 󰏡=٠١١، ليعطينا 󰏡=٠٢٢ والمصفوفة: 󰃭٠٥٤٠٨󰃬.

العلاقة النهائية المعطاة هي 󰏡=١٤󰏡٣٢٢١. بما أن 󰏡=٤٢١، فإن 󰏡=١٣٢. ومن ثَمَّ تكون المصفوفة: 󰏡=󰃭٠٥٤٠٨١󰃬.

يمكن أيضًا تحديد عناصر المصفوفة بطريقة شديدة الدقة، بالرجوع إلى صيغة تمثل دالة للصف والعمود. من المحتمل أن تكون هذه الدوال معقدة، لكن لشرح المفهوم سنستخدم مثالًا بسيطًا فقط.

مثال ٥: تكوين مصفوفة بمعلومية معادلة عامة لعناصرها

أوجد المصفوفة 󰏡=(󰏡)𞸋𞸌، التي رتبتها ٣×٣، وعناصرها مُعطاة بالصيغة 󰏡=٥𞸋+٤𞸌𞸋𞸌.

الحل

تحتوي هذه المصفوفة على ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة، وبالتالي لها الصورة: 󰃁󰃀.

نبدأ بحساب جميع العناصر في الصف الأول؛ حيث 𞸑=١. والعناصر الموجودة في الصف الأول هي 󰏡١١، 󰏡١٢، 󰏡١٣ وتُحسب باستخدام الصيغة المعطاة، 󰏡=٥𞸋+٤𞸌𞸋𞸌.

نحسب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول: 󰏡=٥×١+٤×١=٩.١١

بعد ذلك، نحسب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني: 󰏡=٥×١+٤×٢=٣١.١٢

والآن نوجد العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث: 󰏡=٥×١+٤×٣=٧١،١٣ وهو ما يسمح لنا بإكمال أول صف في المصفوفة: 󰃁٩٣١٧١󰃀.

والآن نركز على الصف الثاني بجعل 𞸑=٢ وتناول العناصر 󰏡٢١، 󰏡٢٢، 󰏡٢٣.

العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول هو: 󰏡=٥×٢+٤×١=٤١.٢١

العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني هو: 󰏡=٥×٢+٤×٢=٨١.٢٢

العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثالث هو: 󰏡=٥×٢+٤×٣=٢٢.٢٣

والآن، يمكن إكمال الصف الثاني من المصفوفة: 󰃭٩٣١٧١٤١٨١٢٢󰃬.

بالنسبة إلى الصف الثالث والأخير، نفترض أن: 𞸑=٣ ونتناول 󰏡٣١، 󰏡٣٢، 󰏡٣٣.

العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول هو: 󰏡=٥×٣+٤×١=٩١.٣١

العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني هو: 󰏡=٥×٣+٤×٢=٣٢.٣٢

العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثالث هو: 󰏡=٥×٣+٤×٣=٧٢.٣٣

ومن ثم، فإن المصفوفة المكتملة هي: 󰃭٩٣١٧١٤١٨١٢٢٩١٣٢٧١󰃬.

في هذا الشارح، فهمنا كيف نقرأ عناصر المصفوفة وأيضًا العلاقة (إن وُجدت) بين هذه العناصر. وأهم طريقة في الفهم هي ترتيب الصفوف والأعمدة عند تحديد عناصر المصفوفة 󰏡𞸑𞸏، وفهم ذلك أساسي لإكمال بعض البراهين التي تظهر في الجبر الخطي.

النقاط الرئيسية

فيما يلي النقاط الرئيسية التي توصلنا إليها من خلال هذا الشارح:

  • تتكون المصفوفة من صفوف وأعمدة تحتوي على عناصر. قد تكون هذه العناصر عبارة عن أعداد أو متغيرات أو دوال.
  • بالنسبة للمصفوفة 󰏡=󰏡𞸑𞸏 الدليل 𞸑 يشير إلى عدد الصفوف والدليل 𞸏 يشير إلى عدد الأعمدة.
  • وعادة ما نحدد رقم الصف قبل تحديد رقم العمود. قد يكون من المفيد تذكر عبارة «الصف 𞸑 العمود 𞸏».

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية