في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية من التمثيل البياني للدالة ومن قاعدتها.
تعريف الدوال الزوجية والفردية يَصِف متى تكون الدالة زوجية أو فردية.
تعريف: الدوال الزوجية والفردية
الدالة تكون:
- دالة زوجية، إذا كانت ،
- دالة فردية، إذا كانت ،
لكل في مجال الدالة.
لاحِظ أن الدالة الوحيدة المعرَّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأنها زوجية وفردية معًا هي ؛ من ثَمَّ، بمجرد تحديد كون الدالة زوجية أو فردية، لن نحتاج إلى عمل الاختبار مرةً أخرى.
التمثيلات البيانية للدوال الزوجية والفردية لها بعض الخواص الأساسية التي بإمكانها أن تُسهِّل التعرُّف على هذه الدوال. انظر التمثيلين البيانيين للدالتين ، .
يمكننا التحقُّق من أن دالة زوجية أو فردية عن طريق إيجاد قيمة :
نستنتج من ذلك أن دالة زوجية. لاحِظ كيف أن التمثيل البياني للدالة له تماثل انعكاسي حول المحور ، أو المستقيم . يرجع هذا إلى أن القيمة المُخرَجة للدالة تظل كما هي؛ سواء أكانت القيمة المُدخَلة أو . على سبيل المثال، تقع النقطتان ، على منحنى الدالة .
وفي الواقع، يعني أن للتمثيل البياني للدالة تماثلًا انعكاسيًّا حول المحور لكل في مجال الدالة. تُسمَّى هذه الدوال بالدوال الزوجية؛ حيث تنطبق على الدالة هذه الخاصية إذا كان أي عدد زوجي صحيح.
نتناول الآن الدالة . للتحقُّق من أن هذه الدالة زوجية أو فردية، نُوجِد قيمة :
وبناءً على ذلك، فإن دالة فردية. هذه المرة، التمثيل البياني للدالة له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل، ما يعني أن تمثيلها البياني لا يتغيَّر بعد دورانه بزاوية حول . ويرجع ذلك إلى أنه إذا كانت هناك نقطة إحداثياتها تقع على المنحنى، وبما أن ، إذن يجب أن تكون هناك نقطة مناظرة إحداثياتها تقع أيضًا على المنحنى. على سبيل المثال، بما أن النقطة التي إحداثياتها تقع على المنحنى ، إذن يجب أن تقع نقطة إحداثياتها أيضًا على المنحنى.
يعني أن التمثيل البياني للدالة سيكون له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل لكل في مجال الدالة. تُسمَّى هذه الدوال بالدوال الفردية؛ لأن الدالة تنطبق عليها هذه الخاصية إذا كان أي عدد صحيح فردي.
إذا كانت أي دالة فردية معرَّفة عند صفر، فلا بد أن يمر تمثيلها البياني بنقطة الأصل. يمكننا توضيح ذلك بافتراض أن في تعريف الدالة الفردية؛ أي أن . نلاحِظ هنا أن ، وهو ما يقابل التمثيل الدوراني للدالة الفردية.
وبالنسبة إلى أي دالة فردية، ، بما أنه يمكننا استنتاج أن القيمة المطلقة لهذه الدالة لا بد أن تكون زوجية؛ إذن لأي دالة فردية ، إذا كان ، فإن تكون دالة زوجية.
تعريف: التمثيلات البيانية للدوال الزوجية والفردية
التمثيل البياني لأي دالة زوجية له تماثل انعكاسي حول المحور .
التمثيل البياني لأي دالة فردية له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل.
يمكننا استخدام كلٍّ من تعريف الدالة والتمثيل البياني لها لمساعدتنا في تحديد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية. في المثال الأول، سنوضِّح كيف نستخدم تعريف الدالة لتحديد إذا ما كانت زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية.
مثال ١: تحديد إذا ما كانت دالة خطية زوجية أو فردية
هل الدالة زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؟
الحل
نتذكَّر أن الدالة تكون:
- دالة زوجية، إذا كانت ،
- دالة فردية، إذا كانت ،
لكل في مجال الدالة.
وبما أن دالة خطية، إذن مجالها هو . هذه الدالة تكون متماثِلة حول الصفر؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن خواص التماثل للدوال الفردية والزوجية تنطبق. لاختبار إذا ما كانت دالة زوجية أو فردية، نُوجِد قيمة :
نلاحظ أن ، وأن لا يتحقق أيضًا.
ومن ثَمَّ، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.
في المثالين التاليين، سنَعرِف كيف يمكن أن يساعدنا تعريف الدوال الزوجية والفردية (وفقًا لتماثل التمثيلات البيانية) في تحديد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية.
مثال ٢: تحديد إذا ما كانت الدالة الممثَّلة بيانيًّا زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية
حدِّد إذا ما كانت الدالة المُمثَّلة بالشكل التالي زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية.
الحل
نتذكَّر أن التمثيل البياني للدالة الزوجية له تماثل انعكاسي حول المحور ، في حين أن التمثيل البياني للدالة الفردية له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. ومن المهم أن ندرك أن هذا لا بد أن يكون صحيحًا لكل قيم في مجال الدالة؛ ومن ثَمَّ، علينا التأكُّد من أن مجال الدالة متماثِل حول الصفر.
مجال الدالة هو مجموعة قيم الممكنة التي يمكن التعويض بها في الدالة؛ ويمكن استنتاجه من التمثيل البياني للدالة بالنظر إلى طريقة توزيع قيم على الرسم من اليسار إلى اليمين.
مجال هذه الدالة هو قيم على الفترة ، باستثناء القيمة . باستخدام ترميز المجموعة، يُعطى مجال الدالة على الصورة:
وبما أن هذا المجال متماثِل حول الصفر، إذن يمكننا الآن التحقُّق ممَّا إذا كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية.
نلاحظ أن التمثيل البياني له تماثل انعكاسي حول المحور ، أو المستقيم . وهذا يعني أنه لأي قيمة في مجال الدالة، فإن .
ومن ثَمَّ، نستنتج أن هذه الدالة زوجية.
في المثال السابق، أوضحنا كيف نُحدِّد إذا ما كانت دالةً معرَّفةً على مجال محدود زوجيةٌ أو فرديةٌ من خلال تمثيلها البياني. في المثال الثالث، سنرى كيف يمكن تطبيق هذه العملية على الدوال المعرَّفة على مجال غير محدود.
مثال ٣: تحديد إذا ما كانت دالة كسرية مُمثَّلة بيانيًّا زوجية أو فردية
هل الدالة الممثَّلة بالشكل الآتي زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؟
الحل
نتذكَّر أن التمثيل البياني للدالة الفردية له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل، أما التمثيل البياني للدالة الزوجية فله تماثل انعكاسي حول المحور . ومن المهم أن نعرف أن هذا لا بد أن يكون صحيحًا لكل قيم في مجال الدالة؛ ومن ثَمَّ، علينا التأكُّد من أن مجال الدالة متماثِل حول الصفر.
التمثيل البياني للدالة له خط تقارب رأسي عند . هذه هي القيمة الوحيدة لـ التي تكون عندها الدالة غير معرَّفة؛ ومن ثَمَّ، فإن مجالها يُعطى هكذا:
وبما أن هذا المجال متماثِل حول الصفر، إذن نتحقَّق الآن ممَّا إذا كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية.
نلاحِظ أن التمثيل البياني ليس له تماثل انعكاسي حول المحور ، وبناءً على ذلك، لا يمكن أن تكون هذه الدالة زوجية.
لكن التمثيل البياني يظل كما هو دون تغيير بعد الدوران بزاوية حول نقطة الأصل.
ومن ثَمَّ، نستنتج أن الدالة فردية.
في المثالين السابقين، بدأنا بالتحقُّق من أن مجال الدالة متماثِل حول الصفر. وبما أن تحديد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية يعتمد على خواص التماثل المرتبطة بها حول المحور أو حول نقطة الأصل، إذن نستنتج أن الدالة التي مجالها غير متماثِل حول الصفر ليست زوجية ولا فردية.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا الاستعانة بهذا الجزء من التعريف في توفير بعض الوقت على أنفسنا عند تحديد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست فردية ولا زوجية.
مثال ٤: تحديد إذا ما كانت الدالة الممثَّلة بيانيًّا زوجية أو فردية أو ليست فردية ولا زوجية
هل الدالة المُمثَّلة بالشكل التالي زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؟
الحل
التمثيل البياني للدالة الزوجية له تماثل انعكاسي حول المحور ، أما التمثيل البياني للدالة الفردية فله تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. ومن المهم أن ندرك أن هذا لا بد أن يكون صحيحًا لكل قيم في مجال الدالة؛ ولذلك، علينا التأكُّد من أن مجال الدالة متماثِل حول الصفر.
مجال الدالة هو مجموعة القيم المُدخَلة الممكنة، أو قيم التي يمكننا التعويض بها في هذه الدالة.
مجال هذه الدالة هو الفترة . هذا المجال غير متماثِل حول الصفر.
وبما أن مجال هذه الدالة ليس متماثِلًا حول الصفر، إذن نستنتج أن الدالة ليست زوجية ولا فردية.
في المثال التالي، سنتناول كيفية تحديد إذا ما كانت دالة مثلثية زوجية أو فردية من معادلتها باستخدام التعريفين الآتيين.
تعريف: تماثل الدوال المثلثية
، دالتان زوجيتان.
، ، ، دوال فردية.
مثال ٥: تحديد إذا ما كانت دالةٌ زوجيةً أو فرديةً
هل الدالة زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؟
الحل
الدالة تكون:
- دالة زوجية، إذا كانت ،
- دالة فردية، إذا كانت ،
لكل في مجال الدالة.
نبدأ بإيجاد مجال الدالة. علينا التأكُّد من أنه متماثِل حول الصفر؛ وإلا فإن خواص التماثل للدوال الزوجية والفردية لن تنطبق.
الدالة هي حاصل ضرب دالتين؛ ومن ثَمَّ، فإن مجالها هو تقاطع المجال لكلتا الدالتين.
وبما أن دالة كثيرة الحدود، إذن نعلم أن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
مجال دالة الظل هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا تلك الأعداد التي عندها . وهذا يعني أن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا تلك القيم التي تجعل . إن قيم التي تجعل هي ، وهكذا. هذه القيم متماثِلة حول المحور ، وهو ما يعني أن مجال لا بد أنه متماثِل حول الصفر.
وبناءً على ذلك، نستنتج أن تقاطع المجالين متماثِل أيضًا حول الصفر؛ ومن ثَمَّ، يمكننا الآن اختبار الدالة إذا ما كانت زوجية أو فردية عن طريق إيجاد قيمة :
بعد ذلك، نُعيد كتابة على الصورة:
لإيجاد قيمة ، ننظر إلى التمثيل البياني للدالة ؛ وهو عبارة عن تمدُّد أفقي للتمثيل البياني لـ بمعامل قياس .
نلاحظ أن دالة فردية؛ وهذا لأن التمثيل البياني للدالة الفردية له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل.
إذن ، ويمكننا كتابة على الصورة:
نلاحظ الآن أنه لكل في مجال :
ومن ثَمَّ، نستنتج أن الدالة دالة فردية.
في المثال الخامس، ضربنا الدالة الفردية، ، في الدالة الزوجية، ؛ وهو ما أعطانا دالة فردية. وفي الواقع، إن حاصل الضرب لأي دالة زوجية ودالة فردية يعطينا دالة فردية دائمًا. ويمكننا تعميم هذه النتيجة مع بعض الخواص الأخرى لدمج الدوال.
تعريف: دمج الدوال الزوجية والفردية
افترض أن ، دالتان زوجيتان، وأن ، دالتان فرديتان، إذن:
- تكون دالة زوجية، وتكون دالة فردية،
- وتكون دالة ليست زوجية ولا فردية،
- وكلٌّ من ، دالة زوجية،
- وكلٌّ من ، دالة فردية.
سنتعلم الآن كيفية تطبيق هذا المفهوم لتحديد إذا ما كانت دالة متعدِّدة التعريف زوجية أو فردية.
مثال ٦: تحديد إذا ما كانت دالة متعدِّدة التعريف زوجية أو فردية
بيِّن نوع الدالة من حيث كونها زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية، إذا كانت:
الحل
الدالة تكون:
- دالة زوجية، إذا كانت ،
- دالة فردية، إذا كانت ،
لكل في مجال الدالة.
علينا التأكُّد من أن مجال الدالة متماثِل حول الصفر؛ وإلا فإن خواص التماثل للدوال الزوجية والفردية لن تنطبق.
مجال الدالة المتعدِّدة التعريف هو اتحاد المجالات الجزئية للدوال الجزئية المختلفة. في هذا السؤال، لدينا دالة جزئية، ، معرَّفة على الفترة ، ودالة أخرى، ، معرَّفة على الفترة . كلتا الدالتين الجزئيتين خطيتان؛ ومن ثَمَّ، فإنهما معرَّفتان على مجاليهما الجزئيين بالكامل. إذن اتحاد هاتين الفترتين هو مجموعة الأعداد الحقيقية. ويمكن كتابة مجال على أنه .
هذا المجال متماثِل حول الصفر؛ وبناءً على ذلك، يمكننا اختبار إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية عن طريق إيجاد قيمة . علينا فعل ذلك للقيم المُدخَلة السالبة والموجبة، كلٌّ على حِدَةٍ، لتحديد إذا ما كان للدالة تماثل انعكاسي حول المحور أو لا.
لكل ، يكون موجبًا:
وهذا يساوي الجزء الآخر من الدالة المتعدِّدة التعريف؛ أي الدالة الجزئية المستخدَمة لقيم السالبة.
ومن ثَمَّ، لكل ، يكون سالبًا:
مرةً أخرى، هذا يساوي الجزء الآخر من الدالة المتعدِّدة التعريف؛ أي الدالة الجزئية المستخدَمة لقيم الموجبة.
يمكننا التأكُّد من النتائج التي توصَّلنا إليها، والتحقُّق ممَّا يحدث عند من التمثيل البياني.
التمثيل البياني له تماثل انعكاسي حول المحور .
وبما أن لكل قيم في مجال الدالة ، إذن نستنتج أن الدالة زوجية.
سنستعرض الآن كيف يمكن أن يتأثَّر كون الدالة زوجية أو فردية بمجالها.
مثال ٧: تحديد إذا ما كانت الدوال زوجية أو فردية
حدِّد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية؛ حيث .
الحل
الدالة تكون:
- دالة زوجية، إذا كانت ،
- دالة فردية، إذا كانت ،
لكل في مجال الدالة.
علينا التأكُّد من أن مجال الدالة متماثِل حول الصفر؛ وإلا فإن خواص التماثل للدوال الزوجية والفردية لن تنطبق.
نعلم من السؤال أن . ويمكننا قراءة هذا هكذا «الدالة تحوِّل الأعداد من الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من إلى ٧ إلى مجموعة الأعداد الحقيقية». المجال هو الفترة ، في حين أن المجال المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
قد يبدو أن هذا المجال متماثِل حول الصفر. لكننا نعلم أن قيمة يمكن أن تساوي ٧، ولكن لا يمكن أن تساوي ، مما يعني أنه ليس متماثِلًا حول الصفر.
وبما أن مجال الدالة ليس متماثِلًا حول الصفر، إذن الدالة ليست زوجية ولا فردية.
في المثال الأخير، سنوضِّح كيف يمكن أن تساعدنا معرفة إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية في استنتاج معلومات عن متغيِّراتها.
مثال ٨: إيجاد قيمة مجهولة في دالة كسرية بمعلومية أنها زوجية أو فردية
أوجد قيمة إذا كانت دالة زوجية؛ حيث ، .
الحل
إننا نعرف أنه إذا كانت ، دالتين زوجيتين، فإن خارج قسمتهما يكون دالة زوجية أيضًا. بالمثل، تكون الدالة دالة زوجية، إذا كانت لكل في مجال الدالة.
وبما أن الدالة التي في البسط لا يوجد بها ، فإنها دالة زوجية. هذا يعني أن الدالة الموجودة في المقام يجب أن تكون زوجية أيضًا. نفترض أن الدالة ؛ حيث:
لكي تكون الدالة زوجية، يجب أن تكون لكل قيمة في مجال الدالة :
بطرح وإضافة ٣ إلى كلا الطرفين، يمكننا تبسيط هذه المعادلة لتصبح:
وبما أن ، إذن يمكننا قسمة كلا الطرفين على :
الطريقة الوحيدة التي تصح بها هذه المعادلة هي إذا كان .
إذن، لكي تكون دالة زوجية، يجب أن يكون .
والآن سنلخِّص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- الدالة تكون:
- دالة زوجية، إذا كانت ،
- دالة فردية، إذا كانت ،
- التمثيل البياني لأي دالة زوجية له تماثل انعكاسي حول المحور . وبالمثل، الدالة التي تمثيلها البياني له تماثل انعكاسي حول المحور هي دالة زوجية.
- التمثيل البياني لأي دالة فردية له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. وبالمثل، الدالة التي تمثيلها البياني له تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل هي دالة فردية.
- الدالة التي مجالها غير متماثِل حول الصفر ليست دالة زوجية ولا فردية.
