الشارح للدرس: طريقة الكتلة السالبة الرياضيات

مثال ١: إيجاد مركز ثقل صفيحة مستطيلة بإزالة شكل مستطيل

أوجد إحداثيات مركز ثقل الشكل الآتي، المرسوم على شبكة مربعات الوحدة.

الحل

لتحديد موضع مركز ثقل الشكل، علينا افتراض أنه منتظم. بافتراض انتظام الشكل، يمكننا تحديد مركز ثقل الشكل دون إجراء عملية حسابية، بتمثيله باعتباره صفيحة ذات كتلة موجبة، أزيلت منها صفيحة. يمكننا بعد ذلك تمثيل الصفيحة المُزالة باعتبارها «كتلة سالبة». يجب أن تكون الصفيحة ذات الكتلة السالبة منتظمة؛ لأن الصفيحة ذات الكتلة الموجبة منتظمة.

يوضِّح الشكل الآتي تحديدًا بيانيًّا لموضع مركز ثقل الصفيحتين ذات الكتلة الموجبة وذات الكتلة السالبة، ما يؤكِّد انطباقهما.

إحداثيات مركز ثقل أيٍّ من الصفيحتين؛ ومن ثَمَّ إحداثيات مركز ثقل الشكل، هي:

من المفيد ملاحظة أن موضع مركز ثقل الشكل يظل عند هذه النقطة إذا أصبح للصفيحة ذات الكتلة السالبة كتلة موجبة بدلًا من ذلك، بشرط أن تكون الصفيحة منتظمة.

مثال ٢: إيجاد مركز ثقل صفيحة على شكل سهم

يوضِّح الشكل الآتي صفيحة منتظمة اقتُطع منها المثلث . المثلث متساوي الأضلاع، وطول ضلعه ٩٣ سم، ومركز ثقله . أوجد إحداثيات مركز الثقل الجديد للصفيحة بعد الاقتطاع. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

الحل

يمكن إيجاد مركز ثقل الصفيحة التي على شكل سهم بتمثيلها على صورة نظام يتكوَّن من صفيحة ذات كتلة موجبة تُناظِر شكل المثلث مع المثلث الذي أُزيل، وهو ما يمكننا تمثيله باعتباره صفيحة ذات كتلة سالبة. كلتا الصفيحتين منتظمتان؛ ومن ثَمَّ، فإن مركزَي ثقليهما يقعان عند مركزَيْهما الهندسي.

أول ما يمكننا ملاحظته في الصفيحة أن لها خطَّ تماثلٍ رأسيًّا. يعني هذا أن الإحداثي لمركز ثقلها يكون على هذا الخط. يمر خط التماثل بمنتصف قاعدة المثلث ؛ لذلك، يكون الإحداثي لمركز الثقل هو:

المركز الهندسي للمثلث المتساوي الأضلاع هو النقطة التي يتقاطع عندها كل متوسط من متوسطات المثلث، وهو ما يكون عند ثُلث طول المتوسط من منتصف أيِّ ضلع في المثلث. يوضِّح الشكل الآتي مركز ثقل الصفيحة ذات الكتلة الموجبة عند ، ومركز ثقل الصفيحة ذات الكتلة السالبة عند .

لإيجاد الطولين ، ، علينا أولًا معرفة ارتفاع المثلث ، وهو ما يمكن أن نُطلِق عليه .

بما أن مثلث متساوي الأضلاع، إذن جميع زواياه قياسها يساوي . الخط الرأسي في الشكل ينصِّف الزاوية التي في قمة المثلث؛ ومن ثَمَّ، نعرف أن . باستخدام النسبة المثلثية ، نحصل على:

يمكننا إعادة ترتيب ذلك ليصبح:

يمكننا الآن إيجاد مركز ثقل المثلث في اتجاه المحور ؛ لأن المركز الهندسي لأي مثلث يكون عند الخط الذي يصل بين منتصف القاعدة والركن المقابل. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن:

والآن، يقع عند المركز الهندسي للمثلث ، إذن يمكن إيجاد المركز الهندسي للمثلث في اتجاه المحور ، ليكون:

يخبرنا السؤال أن الصفيحة منتظمة، ما يعني أن كثافتها متساوية عبر الصفيحة. بما أننا نستخدم طريقة الكتلة السالبة، إذن هذا يعني أيضًا أنه يمكننا القول إن الصفيحة ذات «الكتلة السالبة»، ، منتظمة وكثافتها متساوية في المقدار، لكنها مختلفة في الإشارة بالنسبة إلى كثافة . يعني هذا أن كتلتَي الصفيحتين تتناسبان مع مساحتَيْهما. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب الكتلة النسبية للصفيحة ، لتكون:

والكتلة النسبية للصفيحة ، وبتذكُّر أنها تكون «كتلة سالبة»، تساوي:

باستخدام هاتين الكتلتين، يمكننا إيجاد الكتلة النسبية للصفيحة ، لتكون:

وباستخدام هذه المعلومات، يمكننا تكوين جدول يتألَّف من الكتل النسبية للصفائح المختلفة والإحداثيات لمراكز كتلتها.

بما أن الصفيحة تتكوَّن بتجميع الصفيحتين ، ، إذن يمكننا تكوين المعادلة الآتية من هذا الجدول:

والآن، كلُّ ما علينا فعله هو إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة .

لقد أوجدنا الآن الإحداثيين ، لمركز الثقل. كلُّ ما علينا فعله هو تقريب الإحداثي لأقرب منزلتين عشريتين. بالقيام بذلك، نكون قد توصَّلنا إلى الحل، وهو أن مركز ثقل الصفيحة يكون:

مثال ٣: إيجاد مركز ثقل صفيحة أُزيل منها شكل دائرة

صفيحة منتظمة على شكل مربع طول ضلعه ٢٨ سم. قُطِع قرص دائري نصف قطره ٧ سم من الصفيحة؛ بحيث يقع مركزه على بُعد ١٧ سم من كلٍّ من ، . أوجد إحداثيات مركز ثقل الجزء المتبقي. استخدم .

الحل

يوضِّح الشكل الآتي موضعَيْن لمركزَي ثقل الصفيحة المربعة ذات الكتلة الموجبة والصفيحة الدائرية ذات الكتلة السالبة.

قيمة يمكن الحصول عليها بواسطة:

وإحداثيات مركز ثقل الصفيحة المربعة هي: وإحداثيات مركز ثقل الصفيحة الدائرية هي:

تتناسب كتلتا الصفيحتين مع مساحتَيْهما.

كتلة الصفيحة المربعة هي:

كتلة الصفيحة الدائرية هي:

باستخدام قيمتَي ، ، نحصل على:

في هذه المرحلة، يمكننا تكوين جدول مكوَّن من كتلتَي الصفيحتين ومركزَي ثقليهما، ونستخدمه لحل السؤال، لكننا سنستخدم طريقة بديلة. هذه الطريقة هي استخدام الصيغة لإيجاد الإحداثيين ، لمركز الثقل.

صيغة إيجاد الإحداثي هي:

بالتعويض بالقيم التي أوجدناها توًّا، نحصل على:

يمكننا تبسيط ذلك، لنحصل على:

وبالمثل، فإن الإحداثي لمركز ثقل النظام هو:

ومن ثَمَّ، نكون قد أوجدنا أن مركز ثقل النظام هو:

بإضافة موضع مركز الثقل إلى النظام، نلاحظ أن مركز ثقل النظام يقع عليه الخط الذي يقع عليه مركزا ثقل الصفيحتين المربعة والدائرية. وأزيح مركز ثقل النظام من مركز ثقل المربع في الاتجاه المبتعد عن مركز ثقل الصفيحة الدائرية (التي لها كتلة سالبة).

مثال ٤: إيجاد مركز ثقل صفيحة مع إضافة أوزان إضافية

صفيحة على شكل المربع المنتظِم الذي طول ضلعه ٢٢٢ سم، كتلتها كيلوجرام واحد. نقاط منتصف يُرمز إليها بالرموز ، ، على الترتيب. طُوِي الرُّكنان ، ؛ بحيث يكونان مستويين على سطح الصفيحة. عُلِّق جسمان كتلتاهما ٣٦٥ جم، ٢٩٤ جم بالنقطتين ، على الترتيب. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام، مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

الحل

يمكننا حل هذا السؤال بتمثيل النظام باعتباره مكوَّنًا من أجسام بكتلة موجبة فقط. في هذه الحالة، تكون قيم الكتلة الموجبة هي قيم المستطيل ، والمثلث ، والكتلتان المضافتان عند ، .

باستخدام طريقة الكتلة السالبة، يمكننا تمثيل النظام باعتباره يحتوي على أجسام ذات كتلة موجبة تتكوَّن من الكتلتين المضافتين عند ، ، والمربع ، والمثلث ، كما يحتوي على جسمين بكتلة سالبة يتكوَّنان من المثلثين ، . سنستخدم طريقة الكتلة السالبة للتوصُّل إلى حل.

بدايةً، هيا نُوجِد الإحداثي لمركز ثقل النظام.

كلتا الكتلتين المضافتين لها إحداثي يساوي ١١١.

المربع منتظم طول ضلعه ٢٢٢ سم؛ ومن ثَمَّ، يكون موضع مركز ثقله هو مركزه الهندسي، والإحداثي له هو ١١١.

الصفيحة المربعة كتلتها كيلوجرام واحد، وهو ما يساوي ١‎ ‎٠٠٠ جرام.

مركز ثقل المثلث له إحداثي يساوي طول زائد ثُلث طول ، وهو ما يُعطينا:

كتلة المثلث تساوي ربع كتلة الصفيحة التي على شكل مربع، ومقدارها يساوي ٢٥٠ جرامًا.

مركز ثقل المثلثين ذوَي الكتلة السالبة يساوي الإحداثي الذي طوله ناقص ثُلث طول ، وهو ما يُعطينا:

والكتلة الكلية للمثلثين ذوَي الكتلة السالبة تساوي سالب رُبع كتلة الصفيحة المربعة، وهي جرامًا. هذا يساوي بالضرورة مقدار كتلة المثلث ، وبما أن الكتلة الكلية للنظام تساوي كتلة الصفيحة المربعة والكتلتين المضافتين، إذن الصفيحتان المثلثتان تمثِّلان فقط كتلة جزء من الصفيحة المربعة مُعادًا توزيعها.

هيا أولًا نلخِّص البيانات التي لدينا في جدول.

من أجل إيجاد الإحداثي للنظام، يمكننا ضرب كتلة كل جسم في النظام في الإحداثي لمركز ثقل ذلك الجسم، ثم القسمة على مجموع الكتل. بفعل ذلك، نحصل على: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي هذا ١٠٥٫٤٢.

الإحداثي لمركز ثقل الصفيحة المربعة يساوي ١١١، وهي أيضًا قيمة الإحداثي لمركز ثقل الصفيحة المثلثة ذات الكتلة الموجبة.

الإحداثيان لمركزَي ثقل الصفيحتين المثلثتين ذواتَي «الكتلة السالبة» موزَّعان توزيعًا متماثلًا حول ؛ لذلك، فإن مركز ثقل كلتا الصفيحتين ذواتَي «الكتلة السالبة» يساوي أيضًا ١١١.

الكتلة المضافة التي مقدارها ٢٩٤ جرامًا لها إحداثي يساوي صفرًا، والكتلة المضافة التي مقدارها ٣٦٥ جرامًا لها إحداثي يساوي ٢٢٢.

هيا نلخِّص هذه القيم في جدول.

بمراعاة هذه القيم، نجد أن: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي هذا ١١٥٫٧٥.

إذن إحداثيات النظام هي:

مثال ٥: حل مسألة تطبيقية تتضمَّن مركز ثقل

صفيحة منتظمة على شكل مستطيل ، فيه ، . تقع النقطتان ، على ؛ حيث . قُطِعَ المثلث من الصفيحة؛ حيث مركز المستطيل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المتبقية. إذا عُلِّقت الصفيحة تعليقًا حرًّا من النقطة ، فأوجد ظل الزاوية التي يصنعها مع الرأسي، ، عندما تكون الصفيحة معلَّقة في حالة اتزان.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي الطريقة التي يمكننا بها تمثيل الصفيحة باستخدام صفائح ذات كتلة موجبة فقط.

في هذه الحالة، يكون من السهل استخدام طريقة الكتلة السالبة؛ لأن ذلك لا يتطلَّب سوى صفيحتين بدلًا من خمس صفائح.

يوضِّح الشكل الآتي موضعَيْن لمركزَي ثقل الصفيحة المستطيلة ذات الكتلة الموجبة والصفيحة المثلثة ذات الكتلة السالبة، وهو ما يُناظِر الصفيحة المركبة.

الطول هو:

إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المستطيلة هي:

الإحداثي لمركز ثقل الصفيحة المثلثة هو:

إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المثلثة هي:

كتلة الصفيحة المستطيلة تتناسب مع مساحتها. من ثَمَّ، يمكننا القول إن الكتلة النسبية للصفيحة المستطيلة يمكن الحصول عليها بواسطة:

ويمكن الحصول على الكتلة النسبية للصفيحة المثلثة بواسطة:

نحن الآن جاهزون لإيجاد الإحداثي لمركز ثقل النظام. بالتعويض بالقيم في الصيغة، نحصل على:

الإحداثي لمركز ثقل النظام يُعطى بواسطة:

يمكن تبسيط هذا الكسر إلى:

إذن إحداثيات مركز ثقل النظام هي:

الإحداثي لمركز ثقل النظام أُزيح بعيدًا عن مركز ثقل الصفيحة المستطيلة بمقدار .

سيؤدِّي تعليق الصفيحة المركبة من النقطة إلى دوران الصفيحة في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ حتى يتقاطع خط عمل قوة الشد في الخيط الذي تُعلَّق الصفيحة منه مع مركز ثقل الصفيحة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكننا من الشكل ملاحظة أن ظل الزاوية مع الرأسي من عند النقطة المعلَّقة منها الصفيحة هو: