تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: طريقة الكتلة السالبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مركز ثقل صفيحة تحتوي على ثقوب باستخدام طريقة الكتلة السالبة.

يُحدَّد مركز ثقل نظام من الأجسام بالنسبة إلى نقطة الأصل في نظام إحداثي حسب موضع مركز ثقل كل جسم بالنسبة إلى نقطة الأصل في النظام.

في حالة نظام بسيط أحادي الأبعاد مكوَّن من جسمين، يمكننا تعريف ذلك على النحو الآتي.

تعريف: موضع مركز ثقل نظام أحادي الأبعاد مكوَّن من جسمين

موضع مركز ثقل نظام مكوَّن من جسمين في بُعد واحد يُعطى بالعلاقة: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎𞸊+𞸊،١١٢٢١٢ حيث 𞸊١، 𞸊٢ كتلتا الجسمين، 𞸎١، 𞸎٢ موضعا الجسمين بالنسبة إلى نقطة الأصل في النظام.

لاحِظ أن هذه الطريقة يمكن تعميمها لتشمل نظامًا به 𞸍 من الأجسام عن طريق إضافة الحدود الآتية، حسب المطلوب، كالآتي: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎+𞸊𞸎++𞸊𞸎𞸊+𞸊+𞸊++𞸊.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

يمكننا أن نُعمِّم هذه الطريقة بشكل أكبر لتصلح للأنظمة التي في بُعدَيْن أو أكثر عن طريق تحديد موضع كل جسم على حدة باستخدام متجه الموضع.

إذا قمنا بتحديد متجه الموضع لمركز ثقل نظام ما على أنه 󰄮𞸓، يمكننا الوصول إلى التعريف الآتي.

تعريف: متجه الموضع لمركز ثقل نظام

متجه الموضع لمركز ثقل نظام مكوَّن من 𞸍 من الأجسام في الفضاء يُعطى من خلال: 󰄮𞸓=𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓++𞸊󰄮𞸓𞸊+𞸊+𞸊++𞸊،١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍 حيث 𞸊،،𞸊١𞸍 كتل الأجسام، 󰄮𞸓،،󰄮𞸓١𞸍 متجهات الموضع لهذه الأجسام بالنسبة إلى نقطة الأصل للنظام.

لاحِظ أنه يمكن التعبير عن المعادلة المذكورة سابقًا بطريقة أكثر تنظيمًا باستخدام رمز التجميع كالآتي: 󰄮𞸓=󰌇𞸊󰄮𞸓󰌇𞸊.𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓

عمليًّا، من الشائع حساب مركز ثقل نظام مُعرَّف فيه موضع العناصر في نظام إحداثي متعامد. هذا يعني أنه يمكن التعبير عن العلاقة المذكورة سابقًا، التي في الصورة المتجهة، بدلالة إحداثيات النظام لتبسيط الحسابات.

في هذا الشارح، نتعامل مع النظام الإحداثي الثنائي الأبعاد؛ ولذلك نستخدم الاتجاهين 𞸎، 𞸑. وبناءً على ذلك، يمكن إيجاد الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لمركز ثقل النظام من خلال المعادلتين الآتيتين: 𞸎=󰌇𞸊𞸎󰌇𞸊=𞸊𞸎+𞸊𞸎+𞸊𞸎++𞸊𞸎𞸊+𞸊+𞸊++𞸊،𞸑=󰌇𞸊𞸑󰌇𞸊=𞸊𞸑+𞸊𞸑+𞸊𞸑++𞸊𞸑𞸊+𞸊+𞸊++𞸊.𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

لاحِظ أن حل هاتين المعادلتين في نظام ثنائي الأبعاد يكافئ إيجاد متجه الموضع لمركز الثقل؛ وذلك لأن: 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑󰁒.

يُعتبر تكوين جدول لإيجاد مركز الثقل لنظام من الأجسام من الطرق المعتادة التي قد تكون على دراية بها؛ حيث يُشار إلى كتل الأجسام ومواضعها في الاتجاهين 𞸎، 𞸑 بالنسبة إلى نقطة الأصل. تتيح لنا هذه الطريقة عرض بيانات النظام بصورة يسهل قراءتها قبل البدء في حل المعادلات.

تنحصر الأنظمة الثنائية الأبعاد التي سنركِّز عليها في هذا الشارح في الصفائح والكتل. نستكشف معًا كيف يمكن تطبيق الطرق التي تناولناها على هذه الأنظمة.

هيا نتناول صفيحة منتظمة على شكل مربع.

لإيجاد مركز ثقل هذه الصفيحة، علينا إيجاد مركز المربع (بما أنها صفيحة منتظمة الشكل)، وهو ما يمكننا التوصُّل إليه بإيجاد موضع تقاطُع قطرَي المربع.

والآن، هيا نُضِف كتلة إلى أحد أركان الصفيحة.

يؤدِّي ذلك إلى تحريك مركز الثقل باتجاه الكتلة المضافة، على امتداد الخط الذي يصل بين مركز ثقل الصفيحة ومركز ثقل الكتلة، 𞸊.

بعد ذلك، هيا نفكِّر فيما يحدث إذا اقتطعنا فتحة على شكل مثلث في الصفيحة الأصلية، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

إحدى الطرق التي يمكننا بها إيجاد مركز ثقل هذه الصفيحة الجديدة هي تقسيمها إلى مستطيلات ومثلثات، وإيجاد مركز ثقل كل شكل من هذه الأشكال، وتجميع كل ذلك معًا لإيجاد مركز ثقل الصفيحة.

لكن هذه الطريقة قد تستغرق وقتًا طويلًا؛ حيث يتعيَّن علينا حساب مراكز كتلة العديد من الصفائح. تأتي هنا فائدة طريقة الكتلة السالبة. يمكننا التفكير في هذه المسألة بدلالة صفيحتين: الصفيحة المربعة الأصلية والصفيحة المُزالة على شكل مثلث. بما أننا أزلنا كتلةً من النظام بإزالة المثلث، إذن يمكننا اعتبار أن هذه الصفيحة المثلثة لها «كتلة سالبة».

نحن نعلم أن مركز ثقل الصفيحة المربعة يقع عند نقطة تقاطع قطرَي المربع. وبالمثل، فإن مركز ثقل المثلث يقع عند مركزه الهندسي أيضًا، وهو النقطة التي تتقاطع عندها الخطوط التي تربط كل ركن بنقطة منتصف الضلع المقابل لهذا الركن.

سيقع مركز ثقل النظام على الخط الذي يربط بين مركزَي ثقل المثلث والمربع، كما هو موضَّح هنا.

عندما أضفنا كتلة إلى الصفيحة، تحرَّك مركز ثقل النظام باتجاه هذه الكتلة المضافة. لكننا هنا اقتطعنا كتلة أو أضفنا «كتلة سالبة»؛ لذلك، فإن مركز الثقل سيتحرَّك بعيدًا عن الكتلة المُزالة.

تجدُر الإشارة إلى أنه على الرغم من قولنا إن تلك الصفيحة المُزالة لها «كتلة سالبة»، فإنه من المستحيل فعليًّا أن تكون للجسم كتلة سالبة. كلُّ ما نفعله هو تمثيل إزالة الكتلة باعتبارها «كتلة سالبة».

هيا نُلقِ نظرةً على مثال لكيفية استخدام طريقة الكتلة السالبة.

مثال ١: إيجاد مركز ثقل صفيحة مستطيلة بإزالة شكل مستطيل

أوجد إحداثيات مركز ثقل الشكل الآتي، المرسوم على شبكة مربعات الوحدة.

الحل

لتحديد موضع مركز ثقل الشكل، علينا افتراض أنه منتظم. بافتراض انتظام الشكل، يمكننا تحديد مركز ثقل الشكل دون إجراء عملية حسابية، بتمثيله باعتباره صفيحة ذات كتلة موجبة، أزيلت منها صفيحة. يمكننا بعد ذلك تمثيل الصفيحة المُزالة باعتبارها «كتلة سالبة». يجب أن تكون الصفيحة ذات الكتلة السالبة منتظمة؛ لأن الصفيحة ذات الكتلة الموجبة منتظمة.

يوضِّح الشكل الآتي تحديدًا بيانيًّا لموضع مركز ثقل الصفيحتين ذات الكتلة الموجبة وذات الكتلة السالبة، ما يؤكِّد انطباقهما.

إحداثيات مركز ثقل أيٍّ من الصفيحتين؛ ومن ثَمَّ إحداثيات مركز ثقل الشكل، هي: 󰂔٩٢،٤󰂓.

من المفيد ملاحظة أن موضع مركز ثقل الشكل يظل عند هذه النقطة إذا أصبح للصفيحة ذات الكتلة السالبة كتلة موجبة بدلًا من ذلك، بشرط أن تكون الصفيحة منتظمة.

والآن، هيا نتناول مثالًا على استخدام طريقة الكتلة السالبة، يكون فيه مركزا ثقل الصفيحتين ذات الكتلة الموجبة وذات الكتلة السالبة عند موضعين مختلفين.

مثال ٢: إيجاد مركز ثقل صفيحة على شكل سهم

يوضِّح الشكل الآتي صفيحة منتظمة 󰏡𞸁𞸢 اقتُطع منها المثلث 𞸌𞸁𞸢. المثلث 󰏡𞸁𞸢 متساوي الأضلاع، وطول ضلعه ٩٣ سم، ومركز ثقله 𞸌. أوجد إحداثيات مركز الثقل الجديد للصفيحة بعد الاقتطاع. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

الحل

يمكن إيجاد مركز ثقل الصفيحة التي على شكل سهم بتمثيلها على صورة نظام يتكوَّن من صفيحة ذات كتلة موجبة تُناظِر شكل المثلث 󰏡𞸁𞸢 مع المثلث 𞸌𞸢𞸁 الذي أُزيل، وهو ما يمكننا تمثيله باعتباره صفيحة ذات كتلة سالبة. كلتا الصفيحتين منتظمتان؛ ومن ثَمَّ، فإن مركزَي ثقليهما يقعان عند مركزَيْهما الهندسي.

أول ما يمكننا ملاحظته في الصفيحة 󰏡𞸁𞸌𞸢 أن لها خطَّ تماثلٍ رأسيًّا. يعني هذا أن الإحداثي 𞸎 لمركز ثقلها يكون على هذا الخط. يمر خط التماثل بمنتصف قاعدة المثلث 󰏡𞸁𞸢؛ لذلك، يكون الإحداثي 𞸎 لمركز الثقل هو: ٣٩٢=٥٫٦٤.

المركز الهندسي للمثلث المتساوي الأضلاع هو النقطة التي يتقاطع عندها كل متوسط من متوسطات المثلث، وهو ما يكون عند ثُلث طول المتوسط من منتصف أيِّ ضلع في المثلث. يوضِّح الشكل الآتي مركز ثقل الصفيحة ذات الكتلة الموجبة عند 𞸑١، ومركز ثقل الصفيحة ذات الكتلة السالبة عند 𞸑٢.

لإيجاد الطولين 𞸑١، 𞸑٢، علينا أولًا معرفة ارتفاع المثلث 󰏡𞸁𞸢، وهو ما يمكن أن نُطلِق عليه 𞸏.

بما أن 󰏡𞸁𞸢 مثلث متساوي الأضلاع، إذن جميع زواياه قياسها يساوي ٠٦. الخط الرأسي في الشكل ينصِّف الزاوية التي في قمة المثلث؛ ومن ثَمَّ، نعرف أن 𝜃=٠٣. باستخدام النسبة المثلثية ااور(𝜃)=، نحصل على: (٠٣)=𞸏.٣٩٢

يمكننا إعادة ترتيب ذلك ليصبح: 𞸏=٣٩٢(٠٣)=٣٩󰋴٣٢.

يمكننا الآن إيجاد مركز ثقل المثلث 󰏡𞸁𞸢 في اتجاه المحور 𞸑؛ لأن المركز الهندسي لأي مثلث يكون عند ١٣ الخط الذي يصل بين منتصف القاعدة والركن المقابل. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن: 𞸑=𞸏٣=٣٩󰋴٣٦.١

والآن، يقع 𞸌 عند المركز الهندسي للمثلث 󰏡𞸁𞸢، إذن يمكن إيجاد المركز الهندسي للمثلث 𞸌𞸁𞸢 في اتجاه المحور 𞸑، ليكون: 𞸑=𞸑٣=٣٩󰋴٣٨١.٢١

يخبرنا السؤال أن الصفيحة منتظمة، ما يعني أن كثافتها متساوية عبر الصفيحة. بما أننا نستخدم طريقة الكتلة السالبة، إذن هذا يعني أيضًا أنه يمكننا القول إن الصفيحة ذات «الكتلة السالبة»، 𞸌𞸁𞸢، منتظمة وكثافتها متساوية في المقدار، لكنها مختلفة في الإشارة بالنسبة إلى كثافة 󰏡𞸁𞸢. يعني هذا أن كتلتَي الصفيحتين تتناسبان مع مساحتَيْهما. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب الكتلة النسبية للصفيحة 󰏡𞸁𞸢، لتكون: 𞸊=١٢×٣٩×٣٩󰋴٣٢=٣٩󰋴٣٤.١٢

والكتلة النسبية للصفيحة 𞸌𞸁𞸢، وبتذكُّر أنها تكون «كتلة سالبة»، تساوي: 𞸊=١٢×٣٩×٣٩󰋴٣٦=٣٩󰋴٣٢١.٢٢

باستخدام هاتين الكتلتين، يمكننا إيجاد الكتلة النسبية للصفيحة 󰏡𞸁𞸌𞸢، لتكون: 𞸊=٣٩󰋴٣٤٣٩󰋴٣٢١=٣٩󰋴٣٦.٣٢٢٢

وباستخدام هذه المعلومات، يمكننا تكوين جدول يتألَّف من الكتل النسبية للصفائح المختلفة والإحداثيات 𞸑 لمراكز كتلتها.

الصفيحة󰏡𞸁𞸢𞸌𞸁𞸢󰏡𞸁𞸌𞸢
الكتلة النسبية٣٩󰋴٣٤٢٣٩󰋴٣٢١٢٣٩󰋴٣٦٢
الإحداثي 𞸑٣٩󰋴٣٦٣٩󰋴٣٨١𞸑

بما أن الصفيحة 󰏡𞸁𞸌𞸢 تتكوَّن بتجميع الصفيحتين 󰏡𞸁𞸢، 𞸌𞸁𞸢، إذن يمكننا تكوين المعادلة الآتية من هذا الجدول: ٣٩󰋴٣٤×٣٩󰋴٣٦٣٩󰋴٣٢١×٣٩󰋴٣٨١=٣٩󰋴٣٦×𞸑.٢٢٢

والآن، كلُّ ما علينا فعله هو إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸑. 𞸑=××=󰃁󰃀=٣٩󰋴٣٤٣٩󰋴٣٦٣=٢٦󰋴٣٣.٣٩󰋴٣٤٣٩󰋴٣٦٣٩󰋴٣٢١٣٩󰋴٣٨١٣٩󰋴٣٦٣٩󰋴٣٦٣٩󰋴٣٤٣٩󰋴٣٦٣٣٩󰋴٣٦٢٢٢٢٢

لقد أوجدنا الآن الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لمركز الثقل. كلُّ ما علينا فعله هو تقريب الإحداثي 𞸑 لأقرب منزلتين عشريتين. بالقيام بذلك، نكون قد توصَّلنا إلى الحل، وهو أن مركز ثقل الصفيحة يكون: (٥٫٦٤،٠٨٫٥٣).

والآن، هيا نتناول مثالًا تجمع فيه الصفيحتان شكلَيْن مختلفَيْن.

مثال ٣: إيجاد مركز ثقل صفيحة أُزيل منها شكل دائرة

صفيحة منتظمة على شكل مربع 󰏡𞸁𞸢𞸃 طول ضلعه ٢٨ سم. قُطِع قرص دائري نصف قطره ٧ سم من الصفيحة؛ بحيث يقع مركزه على بُعد ١٧ سم من كلٍّ من 󰏡𞸁، 𞸁𞸢. أوجد إحداثيات مركز ثقل الجزء المتبقي. استخدم 𝜋=٢٢٧.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي موضعَيْن لمركزَي ثقل الصفيحة المربعة ذات الكتلة الموجبة والصفيحة الدائرية ذات الكتلة السالبة.

قيمة 𞸎 يمكن الحصول عليها بواسطة: 𞸎=٤١+٤١٧١=١١.

وإحداثيات مركز ثقل الصفيحة المربعة هي: (٤١،٤١)، وإحداثيات مركز ثقل الصفيحة الدائرية هي: (١١،٧١).

تتناسب كتلتا الصفيحتين مع مساحتَيْهما.

كتلة الصفيحة المربعة هي: 𞸊=٨٢=٤٨٧.١٢

كتلة الصفيحة الدائرية هي: 𞸊=𝜋𞸓.٢٢

باستخدام قيمتَي 𝜋، 𞸓، نحصل على: 𞸊=٢٢٧×٧=٤٥١.٢٢

في هذه المرحلة، يمكننا تكوين جدول مكوَّن من كتلتَي الصفيحتين ومركزَي ثقليهما، ونستخدمه لحل السؤال، لكننا سنستخدم طريقة بديلة. هذه الطريقة هي استخدام الصيغة لإيجاد الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لمركز الثقل.

صيغة إيجاد الإحداثي 𞸎 هي: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎𞸊+𞸊.١١٢٢١٢

بالتعويض بالقيم التي أوجدناها توًّا، نحصل على: 𞸎=٤٨٧×٤١٤٥١×١١٤٨٧٤٥١.

يمكننا تبسيط ذلك، لنحصل على: 𞸎=١٢٢٥١.

وبالمثل، فإن الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل النظام هو: 𞸑=٤٨٧×٤١٤٥١×٧١٨٤٧٤٥١=٩٩١٥١.

ومن ثَمَّ، نكون قد أوجدنا أن مركز ثقل النظام هو: 󰂔١٢٢٥١،٩٩١٥١󰂓.

بإضافة موضع مركز الثقل إلى النظام، نلاحظ أن مركز ثقل النظام يقع عليه الخط الذي يقع عليه مركزا ثقل الصفيحتين المربعة والدائرية. وأزيح مركز ثقل النظام من مركز ثقل المربع في الاتجاه المبتعد عن مركز ثقل الصفيحة الدائرية (التي لها كتلة سالبة).

هيا نتناول مثالًا يمكننا خلاله استخدام طريقة الكتلة السالبة.

مثال ٤: إيجاد مركز ثقل صفيحة مع إضافة أوزان إضافية

صفيحة على شكل المربع المنتظِم 󰏡𞸁𞸢𞸃 الذي طول ضلعه ٢٢٢ سم، كتلتها كيلوجرام واحد. نقاط منتصف 󰏡𞸃،󰏡𞸁،𞸁𞸢 يُرمز إليها بالرموز 𞸕، 𞸍، 𞸊 على الترتيب. طُوِي الرُّكنان 𞸕󰏡𞸍، 𞸍𞸁𞸊؛ بحيث يكونان مستويين على سطح الصفيحة. عُلِّق جسمان كتلتاهما ٣٦٥ جم، ٢٩٤ جم بالنقطتين 𞸕، 𞸊 على الترتيب. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام، مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

الحل

يمكننا حل هذا السؤال بتمثيل النظام باعتباره مكوَّنًا من أجسام بكتلة موجبة فقط. في هذه الحالة، تكون قيم الكتلة الموجبة هي قيم المستطيل 𞸢𞸃𞸕𞸊، والمثلث 𞸊𞸕𞸍، والكتلتان المضافتان عند 𞸕، 𞸊.

باستخدام طريقة الكتلة السالبة، يمكننا تمثيل النظام باعتباره يحتوي على أجسام ذات كتلة موجبة تتكوَّن من الكتلتين المضافتين عند 𞸕، 𞸊، والمربع 󰏡𞸁𞸢𞸃، والمثلث 𞸊𞸕𞸍، كما يحتوي على جسمين بكتلة سالبة يتكوَّنان من المثلثين 𞸕󰏡𞸍، 𞸊𞸁𞸍. سنستخدم طريقة الكتلة السالبة للتوصُّل إلى حل.

بدايةً، هيا نُوجِد الإحداثي 𞸎 لمركز ثقل النظام.

كلتا الكتلتين المضافتين لها إحداثي 𞸎 يساوي ١١١.

المربع 󰏡𞸁𞸢𞸃 منتظم طول ضلعه ٢٢٢ سم؛ ومن ثَمَّ، يكون موضع مركز ثقله هو مركزه الهندسي، والإحداثي 𞸎 له هو ١١١.

الصفيحة المربعة كتلتها كيلوجرام واحد، وهو ما يساوي ١‎ ‎٠٠٠ جرام.

مركز ثقل المثلث 𞸊𞸕𞸍 له إحداثي 𞸎 يساوي طول 𞸃𞸕 زائد ثُلث طول 󰏡𞸕، وهو ما يُعطينا: ١١١+١١١٣=٨٤١.

كتلة المثلث 𞸊𞸕𞸍 تساوي ربع كتلة الصفيحة التي على شكل مربع، ومقدارها يساوي ٢٥٠ جرامًا.

مركز ثقل المثلثين ذوَي الكتلة السالبة يساوي الإحداثي 𞸎 الذي طوله 𞸢𞸁 ناقص ثُلث طول 𞸊𞸁، وهو ما يُعطينا: ٢٢٢١١١٣=٥٨١.

والكتلة الكلية للمثلثين ذوَي الكتلة السالبة تساوي سالب رُبع كتلة الصفيحة المربعة، وهي ٠٥٢ جرامًا. هذا يساوي بالضرورة مقدار كتلة المثلث 𞸊𞸕𞸍، وبما أن الكتلة الكلية للنظام تساوي كتلة الصفيحة المربعة والكتلتين المضافتين، إذن الصفيحتان المثلثتان تمثِّلان فقط كتلة جزء من الصفيحة المربعة مُعادًا توزيعها.

هيا أولًا نلخِّص البيانات التي لدينا في جدول.

الصفيحة أو الكتلة󰏡𞸁𞸢𞸃الكتلة عند 𞸕الكتلة عند 𞸊𞸊𞸕𞸍𞸕󰏡𞸍𞸊𞸁𞸍
الكتلة النسبية١‎ ‎٠٠٠٣٦٥٢٩٤٢٥٠٥٢١٥٢١
الإحداثي 𞸎١١١١١١١١١١٤٨١٨٥١٨٥

من أجل إيجاد الإحداثي 𞸎 للنظام، يمكننا ضرب كتلة كل جسم في النظام في الإحداثي 𞸎 لمركز ثقل ذلك الجسم، ثم القسمة على مجموع الكتل. بفعل ذلك، نحصل على: 𞸎=٠٠٠١×١١١+٥٦٣×١١١+٤٩٢×١١١+٠٥٢×٨٤١٥٢١×٥٨١٥٢١×٥٨١٠٠٠١+٤٩٢+٥٦٣+٠٥٢٥٢١٥٢١، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: 𞸎=٩٩٨٤٧١٩٥٦١.

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي هذا ١٠٥٫٤٢.

الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل الصفيحة المربعة يساوي ١١١، وهي أيضًا قيمة الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل الصفيحة المثلثة ذات الكتلة الموجبة.

الإحداثيان 𞸑 لمركزَي ثقل الصفيحتين المثلثتين ذواتَي «الكتلة السالبة» موزَّعان توزيعًا متماثلًا حول 𞸑=١١١؛ لذلك، فإن مركز ثقل كلتا الصفيحتين ذواتَي «الكتلة السالبة» يساوي أيضًا ١١١.

الكتلة المضافة التي مقدارها ٢٩٤ جرامًا لها إحداثي 𞸑 يساوي صفرًا، والكتلة المضافة التي مقدارها ٣٦٥ جرامًا لها إحداثي 𞸑 يساوي ٢٢٢.

هيا نلخِّص هذه القيم في جدول.

الصفيحة أو الكتلة󰏡𞸁𞸢𞸃الكتلة عند 𞸕الكتلة عند 𞸊𞸊𞸕𞸍𞸕󰏡𞸍، 𞸊𞸁𞸍
الكتلة النسبية١‎ ‎٠٠٠٣٦٥٢٩٤٢٥٠٠٥٢
الإحداثي 𞸑١١١٢٢٢٠١١١١١١

بمراعاة هذه القيم، نجد أن: 𞸑=٠٠٠١×١١١+٥٦٣×٢٢٢+٤٩٢×٠+٠٥٢×١١١٠٥٢×١١١٩٥٦١، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: 𞸑=٠٣٠٢٩١٩٥٦١.

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي هذا ١١٥٫٧٥.

إذن إحداثيات النظام هي: (٢٤٫٥٠١،٥٧٫٥١١).

هيا نُلقِ نظرة على مثال آخر مشابه.

مثال ٥: حل مسألة تطبيقية تتضمَّن مركز ثقل

صفيحة منتظمة على شكل مستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃، فيه 󰏡𞸁=٦٥، 𞸁𞸢=٥٣. تقع النقطتان 𞸅، 𞸈 على 󰏡𞸁؛ حيث 󰏡𞸅=𞸁𞸈=٤١. قُطِعَ المثلث 𞸌𞸅𞸈 من الصفيحة؛ حيث 𞸌 مركز المستطيل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المتبقية. إذا عُلِّقت الصفيحة تعليقًا حرًّا من النقطة 𞸃، فأوجد ظل الزاوية التي يصنعها 𞸃󰏡 مع الرأسي، 𝜃، عندما تكون الصفيحة معلَّقة في حالة اتزان.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي الطريقة التي يمكننا بها تمثيل الصفيحة باستخدام صفائح ذات كتلة موجبة فقط.

في هذه الحالة، يكون من السهل استخدام طريقة الكتلة السالبة؛ لأن ذلك لا يتطلَّب سوى صفيحتين بدلًا من خمس صفائح.

يوضِّح الشكل الآتي موضعَيْن لمركزَي ثقل الصفيحة المستطيلة ذات الكتلة الموجبة والصفيحة المثلثة ذات الكتلة السالبة، وهو ما يُناظِر الصفيحة المركبة.

الطول 𞸎 هو: 𞸎=٢(٨٢٤١)=٨٢.

إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المستطيلة هي: 󰂔٨٢،٥٣٢󰂓.

الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل الصفيحة المثلثة هو: ٥٣󰂔󰂓٣=٥٧١٦.٥٣٢

إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المثلثة هي: 󰂔٨٢،٥٧١٦󰂓.

كتلة الصفيحة المستطيلة تتناسب مع مساحتها. من ثَمَّ، يمكننا القول إن الكتلة النسبية للصفيحة المستطيلة يمكن الحصول عليها بواسطة: 𞸊=٥٣×٦٥=٠٦٩١.١

ويمكن الحصول على الكتلة النسبية للصفيحة المثلثة بواسطة: 𞸊=٨٢٢×٥٣٢=٥٤٢.٢

نحن الآن جاهزون لإيجاد الإحداثي 𞸎 لمركز ثقل النظام. بالتعويض بالقيم في الصيغة، نحصل على: 𞸎=٠٦٩١×٨٢٥٤٢×٨٢٠٦٩١٥٤٢=٨٢.

الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل النظام يُعطى بواسطة: 𞸑=٠٦٩١×٥٤٢×٠٦٩١٥٤٢=٠٠٨٥٠٢٥٧٨٢٤٦×٥١٧١.٥٣٢٥٧١٦

يمكن تبسيط هذا الكسر إلى: 𞸑=٥٩٦.

إذن إحداثيات مركز ثقل النظام هي: 󰂔٨٢،٥٩٦󰂓.

الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل النظام أُزيح بعيدًا عن مركز ثقل الصفيحة المستطيلة بمقدار ٥٣.

سيؤدِّي تعليق الصفيحة المركبة من النقطة 𞸃 إلى دوران الصفيحة في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ حتى يتقاطع خط عمل قوة الشد في الخيط الذي تُعلَّق الصفيحة منه مع مركز ثقل الصفيحة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكننا من الشكل ملاحظة أن ظل الزاوية 𝜃 مع الرأسي من عند النقطة المعلَّقة منها الصفيحة هو: 𝜃=٨٢󰂔󰂓=٨٦١٥٩.٥٩٦

هيا الآن نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا إيجاد مركز الثقل لنظام من الأجسام بتكوين جدول يتألَّف من الكتلة والإحداثي لمركز ثقل كل جسم، ثم تكوين معادلة باستخدام هذا الجدول وحلها.
  • متجه الموضع لمركز ثقل النظام المكوَّن من 𞸍 من الأجسام يُعطى من خلال: 󰄮𞸓=󰌇𞸊󰄮𞸓󰌇𞸊،𞸍𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١𞸓 حيث 𞸊،،𞸊١𞸍 كتل الأجسام، 󰄮𞸓،،󰄮𞸓١𞸍 متجهات الموضع لهذه الأجسام بالنسبة إلى نقطة الأصل للنظام.
  • في النظام الثنائي الأبعاد المُعرَّف بالإحداثيات الكارتيزية، يمكننا تعريف متجه موضع مركز الثقل على أنه: 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑󰁒.
  • عادةً ما نُوجِد إحداثيات مركز ثقل النظام بمراعاة كل إحداثي من الإحداثيات المتعامدة على حدة باستخدام المعادلات: 𞸎=󰌇𞸊𞸎󰌇𞸊،𞸑=󰌇𞸊𞸑󰌇𞸊.𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓
  • يمكن تمثيل الصفيحة المركبة المنتظمة باعتبارها نظامًا من الصفائح؛ حيث تُناظِر الفتحة في الصفيحة ذات الكتلة الموجبة صفيحة ذات «كتلة سالبة».
  • يقع مركز ثقل النظام الذي يحتوي على صفيحة موجبة الكتلة (󰏡) وصفيحة سالبة الكتلة (𞸁) على الخط الذي يقع عليه مركزا الثقلين 󰏡، 𞸁. ويكون مركز ثقل النظام مُزاحًا من مركز الثقل 󰏡 في الاتجاه المبتعد عن مركز الثقل 𞸁 (الصفيحة التي لها كتلة سالبة).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.