الشارح للدرس: المتغيِّر العشوائي المتَّصِل الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَصِف دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل، ونستخدم ذلك لإيجاد احتمال حدث ما.

يأخذ المتغيِّر العشوائي المتصل عددًا لا نهائيًّا من قيم الأعداد الحقيقية في سلسلة متصلة. واحتمال أخذ متغيِّر عشوائي متصل لقيمة معيَّنة يساوي صفرًا؛ أي إن لأي قيمة لـ . وما يميِّز المتغيِّرات العشوائية المتصلة عن المتغيِّرات المتقطعة هو أن احتمال أخذ المتغيِّر العشوائي لقيمة معيَّنة واحدة يساوي صفرًا.

عند التعامل مع متغيِّر عشوائي متصل، يمكن تجاهل الشروط الحدية للأحداث. بعبارة أخرى، فإن المتباينات التامة وغير التامة، ، ، التي تصف أحداثًا مختلفة، قابلةٌ للتبديل. ولكي نعرف سبب ذلك، هيا نتعرَّف على الاحتمال لعدد حقيقي . بما أن الحدثين ، متنافيان، إذن نستنتج أن:

ولكن نظرًا لأن للمتغيِّر العشوائي المتصل ، نحصل على علاقة التكافؤ . وبالمثل، لأي حد علوي وحد سفلي لدينا المتطابقة:

يتميَّز المتغيِّر العشوائي المتصل بدالة كثافة الاحتمال، وهي دالة غير سالبة مساحتها الكلية الموجودة أسفل المنحنى تساوي واحدًا. تمثِّل المساحة، الموجودة أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال، احتمال فضاء العيِّنة كاملًا. نحن نتذكَّر قاعدة الاحتمال، التي تنص على أن مجموع احتمالات الأحداث المتنافية يساوي واحدًا. إذن طبقًا لهذه القاعدة، فإن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي واحدًا.

افترض أن لدينا دالة كثافة الاحتمال الموضَّح تمثيلها البياني بالأسفل.

نلاحظ أن هذه الدالة لا تكون سالبة أبدًا، والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي واحدًا. من ثَمَّ، فإن هذا التمثيل البياني يعبِّر عن دالة كثافة احتمال حسب التعريف السابق.

عندما تتضمَّن دالة كثافة الاحتمال ثابتًا مجهولًا، يمكننا عادةً تحديد هذا الثابت المجهول باستخدام أحد الشرطين في التعريف السابق. أي إن دالة الاحتمال تحقِّق المتطابقة:

وبناءً على ما ذكرناه سابقًا، فإننا نتذكَّر أن هذه المتطابقة مستنتَجة من قاعدة الاحتمال.

نتناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها قاعدة الاحتمال لتحديد الثوابت المجهولة في دوال كثافة الاحتمال.

نتناول مثالًا آخر لتطبيق قاعدة الاحتمالات لحساب ثابت مجهول في دالة كثافة احتمال.

نفترض أن المتغيِّر العشوائي المتصل له دالة كثافة الاحتمال في الشكل الأول، وأن فترة. إذن احتمال وقوع الحدث يساوي المساحة أسفل المنحنى على الفترة . نتذكَّر أنه بما أن دالة غير سالبة، إذن المساحة أسفل المنحنى تساوي التكامل المحدَّد للدالة على الفترة . على سبيل المثال، الاحتمال للحد العلوي يساوي المساحة أسفل المنحنى على الفترة ، كما هو موضَّح بالصورة الآتية.

وهذا يُعطَى بالتكامل:

وبالمثل، لحساب الاحتمال للحدين العلوي والسفلي، ، ، نحسب المساحة على الفترة ، كما هو موضَّح في الصورة الآتية:

وهذا يُعطَى بالتكامل:

بوجه عام، لدينا الصيغة الآتية.

على الرغم من إمكانية استخدام صيغ التكامل السابقة لحساب الاحتمالات دائمًا، فإن استخدام الهندسة قد يكون أكثر فاعليةً أحيانًا إذا أمكن. وينطبق ذلك عندما يكون التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال عبارة عن أشكال هندسية بسيطة؛ كمثلث، أو شبه منحرف، أو نصف دائرة.

نتناول مثالًا يكون فيه التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال على شكل شبه منحرف. في هذا المثال، سنستخدم الهندسة لحساب الاحتمال.

مثال ٣: حساب الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل باستخدام التمثيلات البيانية

افترض أن متغيِّر عشوائي متصل، له دالة كثافة الاحتمال الموضَّحة بالتمثيل البياني. أوجد .

الحل

يوجد في هذه المسألة دالة كثافة احتمال في صورة تمثيل بياني؛ لذا، نبدأ بتحديد المنطقة أسفل المنحنى على الفترة . على وجه التحديد، يمكننا استنتاج أن الارتفاع عند يساوي ؛ وذلك لأنه يقع في منتصف المسافة تمامًا بين ٤ و٦.

نتذكَّر أن مساحة شبه المنحرف تُعطَى بالصيغة:

والتمثيل البياني الموضَّح لدالة كثافة الاحتمال هو شكل شبه منحرف له قاعدة كبرى تساوي ، وقاعدة صغرى تساوي ، وارتفاع يساوي واحدًا. إذن مساحة شبه المنحرف تساوي:

وبناءً على ذلك، نستنتج أن . نلاحظ أن هذه إجابة منطقية للاحتمال بما أن يقع بين صفر وواحد.

إذا لم يكن التمثيل البياني لدوال كثافة الاحتمال مُعطى، فمن الأسهل عادةً استخدام صيغ التكامل لحساب الاحتمالات المطلوبة. وفي المثالين التاليين، سنستخدم دوال كثافة احتمال مُعطاة باستخدام صيغ التكامل لحساب الاحتمالات.

نتناول إذن مثالًا آخر يستخدم صيغ التكامل حتى نتعرَّف على السياقات المختلفة.