شارح الدرس: قانون نيوتن الثاني: الكتلة الثابتة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد قوة ثابتة باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة

أثَّرت قوة ثابتة على جسم كتلته ٩ كجم، فغيَّرت سرعته من ٥٨ كم/س إلى ٦٦ كم/س في زمن قدره ثانية. احسب مقدار القوة.

الحل

يتطلَّب الحل إيجاد عجلة الجسم. تُقاس العجلة عادةً بوحدة متر لكل ثانية مربعة (م/ث^٢)؛ لذا، يلزم تحويل السرعتين المُعطاتين في السؤال إلى سرعتين بوحدة متر لكل ثانية (م/ث).

نُحوِّل ٥٨ كم/س إلى وحدة متر لكل ثانية باستخدام العلاقة: ونُحوِّل ٦٦ كم/س إلى وحدة متر لكل ثانية باستخدام العلاقة: إذن نحصل على الزيادة في السرعة، ، من العلاقة: تحدث الزيادة في السرعة في فترة زمنية قدرها ثانية؛ إذن نحصل على العجلة من العلاقة: ومن ثم، فإن القوة المؤثِّرة على جسم كتلته ٩ كجم، وتنتج عنها هذه العجلة، نحصل على مقدارها بواسطة العلاقة:

مثال ٢: إيجاد مقدار قوة تؤثِّر على جسم في الاتجاه المعاكس لحركته لتقليل سرعته

جسم كتلته ٤١ كجم يتحرَّك على طريق أفقي بسرعة ١٤ م/ث. بدأت تؤثِّر عليه قوةٌ عكس اتجاه حركته. نتيجة لذلك، خلال ٢٦ م من حركة الجسم قلَّت سرعته بانتظام حتى وصلت إلى ١٢ م/ث. أوجد مقدار القوة التي سبَّبت هذا التغيُّر في حركة الجسم.

الحل

يتطلَّب الحل إيجاد عجلة الجسم. بما أن المسافة التي قطعها الجسم مذكورة في السؤال، يمكننا حساب العجلة باستخدام معادلة الحركة: حيث سرعة الجسم في نهاية الفترة، سرعة الجسم في بداية الفترة، إزاحة الجسم على طول خط عمل القوة المؤثِّرة عليه خلال الفترة.

ستكون قيمة سالبة؛ حيث تؤثِّر القوة عكس اتجاه .

لإيجاد العجلة، يجب إعادة ترتيب الصيغة ليكون في طرف مستقل من المعادلة:

وبالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على:

إذن يُعطى مقدار القوة التي تؤثِّر على الجسم بالعلاقة:

مثال ٣: إيجاد مقدار قوة تؤثِّر على جسم بمعلومية متجه العجلة وكتلة الجسم

جسم كتلته ٤٧٨ جم يتحرَّك بعجلة م/ث^٢؛ حيث ، متجها وحدة متعامدان. ما مقدار القوة المؤثِّرة على الجسم؟

الحل

نتناول أولًا الوحدات المستخدَمة في هذا السؤال. نجد وحدة الجرام (جم) ووحدة متر لكل ثانية مربعة (م/ث^٢). لكي نتمكَّن من إيجاد الحل بوحدة نيوتن، علينا تحويل وحدة الكتلة إلى كيلوجرام (كجم). وبفعل ذلك، يمكننا أن نقول إن كتلة الجسم تساوي ٠٫٤٧٨ كجم. نلاحظ أن العجلة مُعطاة في صورة متجه؛ لذلك يكون القانون الذي نستخدمه لإيجاد القوة المؤثِّرة على الجسم هو:

بالتعويض بقيمة كلٍّ من ، ، نحصل على:

هذه هي الصورة المتجهة للقوة التي تؤثِّر على الجسم. وطُلِب منا في السؤال إيجاد مقدار القوة؛ لذلك علينا إيجاد مقدار هذا المتجه. يمكننا إجراء ذلك بأخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعَي المركبتين كالآتي:

إذن الحل هو أن مقدار القوة المؤثِّرة على الجسم يساوي ٢٫٣٩ نيوتن.

مثال ٤: إيجاد قوة الرفع المؤثِّرة على منطاد هواء ساخن يتسارع لأسفل

منطاد هواء ساخن كتلته ١٫٥ طن متري يهبط رأسيًّا بعجلة منتظمة تساوي ١٠٦٫٢ سم/ث^٢. إذا كانت عجلة الجاذبية الأرضية ٩٫٨ م/ث^٢، فأوجد قوة الرفع الناتجة عن الهواء الساخن.

الحل

لتبسيط المقارنة بين القوى الرأسية المؤثِّرة على المنطاد، يمكن تحويل عجلة المنطاد من ١٠٦٫٢ سم/ث^٢ إلى ١٫٠٦٢ م/ث^٢.

إذا لم تُوجَد قوة مؤثِّرة رأسيًّا لأعلى على المنطاد، فإن العجلة الرأسية لأسفل تساوي ٩٫٨ م/ث^٢. وقوة الرفع المؤثِّرة رأسيًّا لأعلى على المنطاد هي القوة اللازمة لتقليل عجلته الرأسية لأسفل بمقدار:

كتلة المنطاد تساوي ١٫٥ طن. للحصول على قوة الرفع بوحدة نيوتن، يجب تحويل هذه الكتلة لتكون بوحدة كيلوجرام. بما أن الطن الواحد يحتوي على (يساوي) ١‎ ‎٠٠٠ كجم، إذن كتلة المنطاد تساوي .

قوة الرفع المؤثِّرة على المنطاد هي القوة اللازمة لتحريك كتلة مقدارها ١‎ ‎٥٠٠ كجم بعجلة مقدارها ٨٫٧٣٨ م/ث^٢.

نحصل إذن على مقدار القوة بالعلاقة:

مثال ٥: إيجاد سرعة دبابة تتحرَّك على أرضية مقاومة

دبابة كتلتها ٤١ طنًّا متريًّا بدأت في التحرُّك على أرضٍ أفقية. القوة المقاومة لحركتها تساوي ٩ نيوتن لكل طن متري من كتلتها، ومقدار قوة محرِّكها يساوي ١‎ ‎٤٥٠ نيوتن. احسب سرعة الدبابة بعد مرور ٤٧٢ ثانية على بداية حركتها، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

قوة المقاومة المؤثِّرة على الدبابة تساوي ٩ نيوتن لكل طن متري من كتلة الدبابة. كتلة الدبابة تساوي ٤١ طنًّا متريًّا؛ إذن تُعطى قوة المقاومة، ، المؤثِّرة عليها بالعلاقة: بما أن القوة المؤثِّرة لتتسارع الدبابة تساوي ١‎ ‎٤٥٠ نيوتن، إذن القوة المحصلة المؤثِّرة على الدبابة، ، تُعطى بالعلاقة: كتلة الدبابة تساوي ٤١ طنًّا متريًّا. لحساب سرعة الدبابة بوحدة متر لكل ثانية مربعة يجب حساب كتلة الدبابة بوحدة كيلوجرام، إذن تُضرَب الكتلة بوحدة طن متري في ١‎ ‎٠٠٠.

نحصل على سرعة الدبابة كالآتي: تحرَّكت الدبابة بهذه السرعة لمدة ٤٧٢ ث؛ إذن الزيادة في سرعة الدبابة، ، تُعطى بواسطة: بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يكون الناتج:

كانت الدبابة في وضع السكون قبل أن تبدأ في التحرُّك على الأرضية المقاومة؛ إذن سرعة الدبابة بعد مرور ٤٧٢ ثانية هي ١٢٫٤٤ م/ث.

مثال ٦: إيجاد المسافة بين منطاد يرتفع لأعلى وجسم سقط منه بمعلومية سرعة المنطاد

منطاد كتلته ١‎ ‎٠٨٦ كجم يرتفع رأسيًّا لأعلى بسرعة ٣٦ سم/ث. إذا سقط من المنطاد جسم كتلته ١٨١ كجم، فأوجد المسافة بين المنطاد والجسم بعد ١١ ثانية من سقوط الجسم. .

الحل

في البداية، يرتفع المنطاد بسرعة ثابتة. ومن ثَمَّ، فإن عجلة المنطاد تساوي في البداية صفرًا. إذن القوة الرأسية لأعلى المؤثِّرة على المنطاد يجب أن تساوي وزن المنطاد المؤثِّر رأسيًّا لأسفل.

قوة الرفع المؤثِّرة على المنطاد، ، مقدارها يساوي مقدار الوزن الابتدائي للمنطاد، الذي يُعطى بالعلاقة:

عندما تسقط الكتلة التي تساوي ١٨١ كجم من المنطاد، يقل وزن المنطاد، لكن قوة الرفع المؤثِّرة عليه لا تتغيَّر. تُعطى القوة المحصلة الرأسية لأعلى، ، المؤثِّرة على المنطاد بالعلاقة:

وعجلة المنطاد المؤثِّرة لأعلى الناتجة عن تُعطى بالعلاقة: يمكن إيجاد المسافة التي تحرَّكها المنطاد لأعلى بعد ١١ ثانية، والتي نتجت عن تسارع المنطاد، باستخدام معادلة الحركة: وتُعطى بالعلاقة: حيث السرعة الابتدائية للمنطاد. يرتفع المنطاد في البداية بسرعة ٣٦ سم/ث. لجعل وحدة سرعة ارتفاع المنطاد لأعلى متوافقة مع وحدة العجلة ، نُحوِّل ٣٦ سم/ث إلى ٠٫٣٦ م/ث.

ومن ثَمَّ، تُعطى قيمة بالعلاقة:

في الوقت الذي يتحرَّك فيه المنطاد مسافة ١٢٢٫٥٤ م لأعلى، تتحرَّك الكتلة الساقطة لأسفل.

تتحرَّك الكتلة الساقطة لأسفل بسرعة ٩٫٨ م/ث^٢ عكس اتجاه ، وسرعتها في البداية كانت نفس سرعة المنطاد، .

باستخدام معادلة الحركة نفسها المستخدَمة لإيجاد ، نحصل على الإزاحة لأسفل، ، من المعادلة:

قيمتا العجلة والإزاحة لأسفل سالبتان؛ لأن الإزاحة لأعلى اعتبرناها موجبة القيمة.

تُعطى المسافة، ، بين المنطاد والكتلة الساقطة بالمعادلة: