تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: قانون نيوتن الثاني: الكتلة الثابتة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قانون نيوتن الثاني للحركة مع جسم كتلته ثابتة وتؤثِّر عليه قوةٌ ثابتة.

ينص قانون نيوتن الأول للحركة على أنه إذا لم تؤثِّر أيُّ قوة محصلة على الجسم، فإن سرعة الجسم لا تتغيَّر. وينص قانون نيوتن الثاني للحركة على أن القوة المحصلة المؤثِّرة على جسم تُكسِبه عجلة.

هيا نُعرِّف قانون نيوتن الثاني للحركة.

تعريف: قانون نيوتن الثاني للحركة

عندما تؤثِّر قوة محصلة على جسم ما، يتسارع الجسم في اتجاه القوة. ويعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وكتلة الجسم وفقًا للصيغة الآتية: 𞹟=𞸊𞸢، حيث 𞹟 القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم، 𞸊 كتلة الجسم، 𞸢 عجلة الجسم.

وزن الجسم هو مثال على القوة التي تؤثِّر على الجسم.

تعريف: وزن الجسم

وزن الجسم هو القوة التي نحصل عليها بالعلاقة: 𞹟=𞸊𞸃، حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸃 عجلة الجاذبية. فإذا كانت وحدة قياس الكتلة هي كيلوجرام، ووحدة قياس العجلة هي متر لكل ثانية مربعة، فإن وحدة قياس الوزن هي نيوتن. عادةً ما تكون قيمة 𞸃 على سطح الأرض ٩٫٨ م/ث٢.

هيا نُلقِ نظرة على مثال يتضمَّن قوة تؤثِّر على جسم وتُكسِبه عجلة.

مثال ١: إيجاد قوة ثابتة باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة

أثَّرت قوة ثابتة على جسم كتلته ٩ كجم، فغيَّرت سرعته من ٥٨ كم/س إلى ٦٦ كم/س في زمن قدره ١٢ثانية. احسب مقدار القوة.

الحل

يتطلَّب الحل إيجاد عجلة الجسم. تُقاس العجلة عادةً بوحدة متر لكل ثانية مربعة (م/ث٢)؛ لذا، يلزم تحويل السرعتين المُعطاتين في السؤال إلى سرعتين بوحدة متر لكل ثانية (م/ث).

نُحوِّل ٥٨ كم/س إلى وحدة متر لكل ثانية باستخدام العلاقة: 𞸏=٨٥×٠٠٠١٠٠٦٣=٥٤١٩/،اامث ونُحوِّل ٦٦ كم/س إلى وحدة متر لكل ثانية باستخدام العلاقة: 𞸏=٦٦×٠٠٠١٠٠٦٣=٥٥٣/.امث إذن نحصل على الزيادة في السرعة، Δ𞸏، من العلاقة: Δ𞸏=٥٥٣٥٤١٩=٥٦١٩٥٤١٩=٠٢٩/.مث تحدث الزيادة في السرعة في فترة زمنية قدرها ١٢ثانية؛ إذن نحصل على العجلة من العلاقة: 𞸢=Δ𞸏Δ𞸍==٠٤٩/.٠٢٩١٢٢مث ومن ثم، فإن القوة المؤثِّرة على جسم كتلته ٩ كجم، وتنتج عنها هذه العجلة، نحصل على مقدارها بواسطة العلاقة: 𞹟=٩×٠٤٩=٠٤.

هناك قوة محصلة تؤثِّر في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي يتحرَّك فيه جسم لتقليل سرعته. هيا نُلقِ نظرة على مثال لذلك.

مثال ٢: إيجاد مقدار قوة تؤثِّر على جسم في الاتجاه المعاكس لحركته لتقليل سرعته

جسم كتلته ٤١ كجم يتحرَّك على طريق أفقي بسرعة ١٤ م/ث. بدأت تؤثِّر عليه قوةٌ عكس اتجاه حركته. نتيجة لذلك، خلال ٢٦ م من حركة الجسم قلَّت سرعته بانتظام حتى وصلت إلى ١٢ م/ث. أوجد مقدار القوة التي سبَّبت هذا التغيُّر في حركة الجسم.

الحل

يتطلَّب الحل إيجاد عجلة الجسم. بما أن المسافة التي قطعها الجسم مذكورة في السؤال، يمكننا حساب العجلة باستخدام معادلة الحركة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐،٢٢٠ حيث 𞸏 سرعة الجسم في نهاية الفترة، 𞸏٠ سرعة الجسم في بداية الفترة، 𞸐 إزاحة الجسم على طول خط عمل القوة المؤثِّرة عليه خلال الفترة.

ستكون قيمة 𞸢 سالبة؛ حيث تؤثِّر القوة عكس اتجاه 𞸏.

لإيجاد العجلة، يجب إعادة ترتيب الصيغة ليكون 𞸢 في طرف مستقل من المعادلة: 𞸏𞸏=٢𞸢𞸐𞸢=𞸏𞸏٢𞸐.٢٢٠٢٢٠

وبالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على: 𞸢=٢١٤١٢×٦٢=٢٥٢٥=١/.٢٢٢مث

إذن يُعطى مقدار القوة التي تؤثِّر على الجسم بالعلاقة: |𞹟|=|١٤×١|=١٤.

نتناول قانون نيوتن الثاني للحركة عند تطبيقه على نظام تُعطَى فيه العجلة في الصورة المتجهة.

تعريف: قانون نيوتن الثاني للحركة في الصورة المتجهة

إذا كان لدينا جسم كتلته 𞸊 يتحرَّك بعجلة 󰄮󰄮𞸢، فإن القوة التي تؤثِّر على هذا الجسم تُعطَى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟=𞸊󰄮󰄮𞸢، حيث كلٌّ من 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸢 كمية متجهة.

يمكننا الآن تناوُل مثال يوضِّح كيفية استخدام هذا القانون.

مثال ٣: إيجاد مقدار قوة تؤثِّر على جسم بمعلومية متجه العجلة وكتلة الجسم

جسم كتلته ٤٧٨ جم يتحرَّك بعجلة 󰁓٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒 م/ث٢؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. ما مقدار القوة المؤثِّرة على الجسم؟

الحل

نتناول أولًا الوحدات المستخدَمة في هذا السؤال. نجد وحدة الجرام (جم) ووحدة متر لكل ثانية مربعة (م/ث٢). لكي نتمكَّن من إيجاد الحل بوحدة نيوتن، علينا تحويل وحدة الكتلة إلى كيلوجرام (كجم). وبفعل ذلك، يمكننا أن نقول إن كتلة الجسم تساوي ٠٫٤٧٨ كجم. نلاحظ أن العجلة مُعطاة في صورة متجه؛ لذلك يكون القانون الذي نستخدمه لإيجاد القوة المؤثِّرة على الجسم هو: 󰄮󰄮𞹟=𞸊󰄮󰄮𞸢.

بالتعويض بقيمة كلٍّ من 𞸊، 󰄮󰄮𞸢، نحصل على: 󰄮󰄮𞹟=٨٧٤٫٠󰁓٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=󰁓٢١٩٫١󰄮󰄮󰄮𞹎+٤٣٤٫١󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.

هذه هي الصورة المتجهة للقوة التي تؤثِّر على الجسم. وطُلِب منا في السؤال إيجاد مقدار القوة؛ لذلك علينا إيجاد مقدار هذا المتجه. يمكننا إجراء ذلك بأخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعَي المركبتين كالآتي: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰋴(٢١٩٫١)+٤٣٤٫١=٩٣٫٢.٢٢

إذن الحل هو أن مقدار القوة المؤثِّرة على الجسم يساوي ٢٫٣٩ نيوتن.

نتناول مثالًا على جسم تؤثِّر عليه القوى في اتجاهين متعاكسين.

مثال ٤: إيجاد قوة الرفع المؤثِّرة على منطاد هواء ساخن يتسارع لأسفل

منطاد هواء ساخن كتلته ١٫٥ طن متري يهبط رأسيًّا بعجلة منتظمة تساوي ١٠٦٫٢ سم/ث٢. إذا كانت عجلة الجاذبية الأرضية ٩٫٨ م/ث٢، فأوجد قوة الرفع الناتجة عن الهواء الساخن.

الحل

لتبسيط المقارنة بين القوى الرأسية المؤثِّرة على المنطاد، يمكن تحويل عجلة المنطاد من ١٠٦٫٢ سم/ث٢ إلى ١٫٠٦٢ م/ث٢.

إذا لم تُوجَد قوة مؤثِّرة رأسيًّا لأعلى على المنطاد، فإن العجلة الرأسية لأسفل تساوي ٩٫٨ م/ث٢. وقوة الرفع المؤثِّرة رأسيًّا لأعلى على المنطاد هي القوة اللازمة لتقليل عجلته الرأسية لأسفل بمقدار: ٨٫٩٢٦٠٫١=٨٣٧٫٨/.مث٢

كتلة المنطاد تساوي ١٫٥ طن. للحصول على قوة الرفع بوحدة نيوتن، يجب تحويل هذه الكتلة لتكون بوحدة كيلوجرام. بما أن الطن الواحد يحتوي على (يساوي) ١‎ ‎٠٠٠ كجم، إذن كتلة المنطاد تساوي ٥٫١×٠٠٠١=٠٠٥١.

قوة الرفع المؤثِّرة على المنطاد هي القوة اللازمة لتحريك كتلة مقدارها ١‎ ‎٥٠٠ كجم بعجلة مقدارها ٨٫٧٣٨ م/ث٢.

نحصل إذن على مقدار القوة بالعلاقة: 𞹟=٠٠٥١×٨٣٧٫٨=٧٠١٣١.

هيا نتناول مثالًا آخر على جسم تؤثِّر عليه قوتان في اتجاهين متعاكسين.

مثال ٥: إيجاد سرعة دبابة تتحرَّك على أرضية مقاومة

دبابة كتلتها ٤١ طنًّا متريًّا بدأت في التحرُّك على أرضٍ أفقية. القوة المقاومة لحركتها تساوي ٩ نيوتن لكل طن متري من كتلتها، ومقدار قوة محرِّكها يساوي ١‎ ‎٤٥٠ نيوتن. احسب سرعة الدبابة بعد مرور ٤٧٢ ثانية على بداية حركتها، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

قوة المقاومة المؤثِّرة على الدبابة تساوي ٩ نيوتن لكل طن متري من كتلة الدبابة. كتلة الدبابة تساوي ٤١ طنًّا متريًّا؛ إذن تُعطى قوة المقاومة، 𞹟م، المؤثِّرة عليها بالعلاقة: 𞹟=١٤×٩=٩٦٣.م بما أن القوة المؤثِّرة لتتسارع الدبابة تساوي ١‎ ‎٤٥٠ نيوتن، إذن القوة المحصلة المؤثِّرة على الدبابة، 𞹟ا، تُعطى بالعلاقة: 𞹟=٠٥٤١٩٦٣=١٨٠١.ا كتلة الدبابة تساوي ٤١ طنًّا متريًّا. لحساب سرعة الدبابة بوحدة متر لكل ثانية مربعة يجب حساب كتلة الدبابة بوحدة كيلوجرام، إذن تُضرَب الكتلة بوحدة طن متري في ١‎ ‎٠٠٠.

نحصل على سرعة الدبابة كالآتي: 𞸢=𞹟𞸊=١٨٠١٠٠٠١٤/.مث٢ تحرَّكت الدبابة بهذه السرعة لمدة ٤٧٢ ث؛ إذن الزيادة في سرعة الدبابة، Δ𞸏، تُعطى بواسطة: Δ𞸏=٢٧٤×١٨٠١٠٠٠١٤/.مث بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يكون الناتج: Δ𞸏=٤٤٫٢١/.مث

كانت الدبابة في وضع السكون قبل أن تبدأ في التحرُّك على الأرضية المقاومة؛ إذن سرعة الدبابة بعد مرور ٤٧٢ ثانية هي ١٢٫٤٤ م/ث.

والآن، نُلقي نظرة على مثال فيه جسمان يتحرَّك كلٌّ منهما بعيدًا عن الآخر بسرعة عندما تتغيَّر القوى المؤثِّرة على الجسمين.

مثال ٦: إيجاد المسافة بين منطاد يرتفع لأعلى وجسم سقط منه بمعلومية سرعة المنطاد

منطاد كتلته ١‎ ‎٠٨٦ كجم يرتفع رأسيًّا لأعلى بسرعة ٣٦ سم/ث. إذا سقط من المنطاد جسم كتلته ١٨١ كجم، فأوجد المسافة بين المنطاد والجسم بعد ١١ ثانية من سقوط الجسم. 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

في البداية، يرتفع المنطاد بسرعة ثابتة. ومن ثَمَّ، فإن عجلة المنطاد تساوي في البداية صفرًا. إذن القوة الرأسية لأعلى المؤثِّرة على المنطاد يجب أن تساوي وزن المنطاد المؤثِّر رأسيًّا لأسفل.

قوة الرفع المؤثِّرة على المنطاد، 󰄮󰄮𞹟𞸓، مقدارها يساوي مقدار الوزن الابتدائي للمنطاد، الذي يُعطى بالعلاقة: 𞹟𞸓=٦٨٠١×٨٫٩=٨٫٢٤٦٠١.

عندما تسقط الكتلة التي تساوي ١٨١ كجم من المنطاد، يقل وزن المنطاد، لكن قوة الرفع المؤثِّرة عليه لا تتغيَّر. تُعطى القوة المحصلة الرأسية لأعلى، 󰄮󰄮𞹟، المؤثِّرة على المنطاد بالعلاقة: 𞹟=𞹟𞸓((٦٨٠١١٨١)×٨٫٩)=٨٫٣٧٧١.

وعجلة المنطاد المؤثِّرة لأعلى الناتجة عن 󰄮󰄮𞹟 تُعطى بالعلاقة: 𞸢=٨٫٣٧٧١٦٨٠١١٨١=٦٩٫١/.مث٢ يمكن إيجاد المسافة التي تحرَّكها المنطاد لأعلى بعد ١١ ثانية، والتي نتجت عن تسارع المنطاد، باستخدام معادلة الحركة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٠٢ وتُعطى بالعلاقة: 𞸐=(𞸏×١١)+󰂔١٢𞸢󰁓١١󰁒󰂓،٠٢ حيث 𞸏٠ السرعة الابتدائية للمنطاد. يرتفع المنطاد في البداية بسرعة ٣٦ سم/ث. لجعل وحدة سرعة ارتفاع المنطاد لأعلى متوافقة مع وحدة العجلة 𞸢، نُحوِّل ٣٦ سم/ث إلى ٠٫٣٦ م/ث.

ومن ثَمَّ، تُعطى قيمة 𞸐 بالعلاقة: 𞸐=(٦٣٫٠×١١)+󰂔١٢×٦٩٫١×(١٢١)󰂓=٤٥٫٢٢١.م

في الوقت الذي يتحرَّك فيه المنطاد مسافة ١٢٢٫٥٤ م لأعلى، تتحرَّك الكتلة الساقطة لأسفل.

تتحرَّك الكتلة الساقطة لأسفل بسرعة ٩٫٨ م/ث٢ عكس اتجاه 𞸏٠، وسرعتها في البداية كانت نفس سرعة المنطاد، 𞸏٠.

باستخدام معادلة الحركة نفسها المستخدَمة لإيجاد 𞸐، نحصل على الإزاحة لأسفل، 𞸐، من المعادلة: 𞸐=(٦٣٫٠×١١)+󰂔١٢×٨٫٩×(١٢١)󰂓=٤٩٫٨٨٥.م

قيمتا العجلة والإزاحة لأسفل سالبتان؛ لأن الإزاحة لأعلى اعتبرناها موجبة القيمة.

تُعطى المسافة، 𞸐، بين المنطاد والكتلة الساقطة بالمعادلة: 𞸐=𞸐𞸐=٤٥٫٢٢١(٤٩٫٨٨٥)=٨٤٫١١٧.م

النقاط الرئيسية

  • عندما تؤثِّر قوة محصلة على جسمٍ ما، يتسارع الجسم في اتجاه القوة. يعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وعلى كتلة الجسم وفقًا للصيغة الآتية: 𞹟=𞸊𞸢، حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸢 عجلة الجسم.
  • بالنسبة إلى أي جسم على سطح الأرض، تؤثِّر قوة الوزن على الجسم رأسيًّا لأسفل، ويُعطى مقدارها بواسطة: 𞹟=𞸊𞸃، حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸃=٨٫٩/مث٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.