شارح الدرس: الفائدة المركَّبة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: حل المسائل الكلامية التي تتضمن نسبًا مئوية وفائدة مركَّبة

أمير أودع ١٠٠ دولار أمريكي في حسابه بفائدة سنوية نسبتها ، حيث يضاف مبلغ الفائدة إلى حسابه في نهاية كل سنة. إذا لم يسحب أي مبلغ خلال ٣ سنوات، فأوجد المبلغ المالي (بفئة دولار أمريكي وسنت أمريكي) في حسابه في نهاية كل سنة.

الحل

تذكَّر أن قيمة عائد الاستثمار بعد مرور سنة واحدة مع احتساب الفائدة المركبة سنويًّا تُعطَى بالصيغة: حيث هو قيمة (أو العائد على) الاستثمار بعد مرور سنة واحدة، و هو القيمة الأصلية للاستثمار، و هو معدل الفائدة السنوي، معطًى على صورة عدد عشري.

في هذه الحالة، نحصل على القيمة الأصلية للاستثمار ومعدل الفائدة السنوي . لذلك، بعد نهاية أول سنة، يصير لدى أمير المبلغ التالي:

يمكننا الآن تكرار هذه العملية بالتعويض بالقيمة لمعرفة القيمة الأصلية للسنة التالية. إذن بعد السنة الثانية، سيتم حساب القيمة الجديدة للاستثمار كالتالي:

وأخيرًا، نكرِّر هذه العملية مرة ثالثة بالتعويض بالقيمة للقيمة الأصلية، وبعد السنة الثالثة، سيتم احتساب القيمة الجديدة للاستثمار كالتالي:

إذن، أمير لديه ١٠٥٫١٠ دولارات أمريكية في حسابه بعد السنة الأولى، و١١٠٫٨٨ دولارات أمريكية بعد السنة الثانية، و١١٦٫٧٦ دولارًا أمريكيًّا بعد السنة الثالثة.

مثال ٢: تكوين معادلات أُسِّيَّة واستخدامها لحل المسائل

عندما وُلِد شريف، استثمر جَده وجَدته ٥٠٠ دولار أمريكي في وديعة له تاريخ استحقاقها هو عيد ميلاده الحادي والعشرون. إذا كانت فائدة الوديعة لكل سنة، مركَّبة سنويًّا، فما قيمة الوديعة عند استحقاقها؟ قرِّب إجابتك لأقرب دولارًا أمريكيًّا.

الحل

تذكَّر أن قيمة العائد على مبلغ تم استثماره بفائدة مركبة سنويًّا تُعطَى بالصيغة: حيث هي القيمة النهائية للاستثمار (أو عائد الاستثمار) و هي القيمة الأصلية للمبلغ الذي يتم استثماره و هو معدل الفائدة السنوي، مُعطًى في صورة عدد عشري.

في هذه الحالة، تكون القيمة الأصلية لمبلغ الاستثمار ويتم احتساب معدل الفائدة السنوي بالصيغة ويكون عدد السنين . بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، نحصل على ما يلي:

مثال ٣: الفائدة المركَّبة على أساس ربع سنوي

يستثمر آدم مبلغًا قدره ٣‎ ‎٠٠٠ دولار أمريكي بفائدة بنسبة لكل سنة، والفائدة مركَّبة على أساس ربع سنوي. أوجد رصيد حسابه بعد ١٠ سنوات.

الحل

تذكَّر أن قيمة العائد على رأس مال مستثمَر مع الفائدة المركبة من المرات سنويًّا تُعطَى بالصيغة: حيث هي القيمة النهائية للاستثمار (أو عائد الاستثمار) و هي القيمة الأصلية للمبلغ المستثمَر و هو معدل الفائدة السنوي مُعطًى على صورة عدد عشري و هو عدد المرات سنويًّا التي يتم فيها احتساب الفائدة المركبة و هو عدد السنين التي تم الاستثمار فيها.

في هذه الحالة، تكون القيمة الأصلية لرأس المال المستثمَر ومعدل الفائدة السنوي ، وعدد المرات سنويًّا التي يتم احتساب الفائدة المركبة فيه هو وعدد السنين التي تم الاستثمار فيها . ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

مثال ٤: مقارنة بين عائد الفائدة المركبة شهريًّا وسنويًّا

يقدم البنك أ للمودعين فائدة مركبة سنوية مرة واحدة لكل سنة. ويقدم البنك ب لكل سنة، كفائدة مركَّبة يتم احتسابها على أساس شهري. اكتب صيغة صريحة للعائد بعد سنة على وديعة بقيمة وفقًا لكلا العرضين. أيُّ البنكين عرضه أفضل من الآخر؟

الحل

الجزء الأول

تذكَّر أن قيمة العائد على رأس مال مستثمَر مع الفائدة المركبة مرات من السنين تُعطَى بالصيغة: حيث هي القيمة النهائية لمبلغ رأس المال المستثمَر (أو العائد) على الاستثمار و هو القيمة الأصلية للمبلغ المستثمَر و هو معدل الفائدة السنوي، المعطى على صورة عدد عشري، و هو عدد المرات سنويًّا التي يتم فيها احتساب الفائدة المركبة و هو عدد السنين التي تم الاستثمار خلالها.

في هذا السؤال، يُشار إلى القيمة الأصلية بالرمز والعائد بالرمز وعدد السنين بالرمز . علينا إذن أن نرمز لعدد المرات كل سنة التي يتم فيها احتساب الفائدة المركبة برمز مختلف، وليكُن . فسنحصل على:

بالنسبة إلى البنك أ، ، ؛ إذن:

وبالنسبة إلى البنك ب، ، ؛ إذن:

الجزء الثاني

يمكننا تحديد البنك الذي لديه العرض الأفضل ببساطة عن طريق إيجاد قيمة العائد بعد سنة واحدة لأن كل سنة لاحقة ستزيد من قيمة الاستثمار بالنسبة نفسها. بالنسبة إلى البنك أ:

وبالنسبة إلى البنك ب:

لذا، فإن العرض الذي قدَّمه بنك ب هو الأفضل. يمكننا التحقُّق من ذلك من خلال بعض القيم التي يمكننا استخدامها كأمثلة. إذا كانت القيمة الأصلية لمبلغ رأس المال ، إذن سيكون العائد بعد سنة واحدة من البنك أ بقيمة:

والعائد بعد سنة واحدة من البنك ب سيكون:

إذن، وعلى الرغم من أن الفرق صغير، فإن العرض الذي قدمه البنك ب أفضل قليلًا.

مثال ٥: التطبيقات المصرفية للدوال الأسية

أودع سامح  ١٠٠ دولار أمريكي في حساب توفير يقدم له فائدة على حسابه كل شهر. ويمتلك عادل٣٥٠ دولارًا أمريكيًّا في حساب نقدي؛ حيث يسحب منه ٥ دولارات أمريكية كل شهر. كم شهر يصل بعده الاثنان إلى الرصيد نفسه تقريبًا؟

الحل

في هذا المثال، لدينا مبلغ مستثمَر يأتي بعائد كبير من الفوائد كل شهر، ومطلوب منا إيجاد كم شهر يصل بعدها ذلك المبلغ إلى قيمة محددة.

تذكَّر أن قيمة العائد على رأس مال مستثمَر مع الفائدة المركبة سنويًّا تُعطَى بالصيغة: حيث هي القيمة النهائية للاستثمار (أو عائد الاستثمار)، و هو القيمة الأصلية للمبلغ المستثمَر و هو معدل الفائدة السنوي معطًى على صورة عدد عشري.

وبالنسبة إلى حساب التوفير الخاص بـسامح، من المنطقي أن نفكر في الحصول على عائد شهريًّا. وبما أن الفائدة هي شهريًّا، فسيتم احتساب الفائدة المركبة على أساس شهري، يمكننا تعديل هذه الصيغة قليلًا لنحصل على عائد استثمار بعد مرور: شهر : حيث هو معدل الفائدة شهريًّا، المُعطى على صورة عدد عشري.

وبالنسبة إلى حساب توفير سامح، لدينا قيمة أصلية تساوي ومعدل فائدة شهري بقيمة ؛ ما يعني أن العائد على حساب التوفير الخاص به سيُعطَى وفقًا للصيغة:

بالنسبة إلى حساب عادل، فلقد بدأ باستثمار مبلغ ٣٥٠ دولارًا أمريكيًّا ويسحب منه ٥ دولارات أمريكية كل شهر؛ ومن ثَمَّ، فإن العائد على حساب عادل ، بعد شهر مُعطًى بالصيغة:

علينا الآن إيجاد القيمة الصحيحة لـ التي يكون عندها . يمكننا إيجاد قيمة هذه باستخدام التجربة والخطأ وتحسين النتائج، وذلك من خلال إيجاد الفرق بين الرصيدين بعد شهر، ، واستخدام قيم صحيحة مختلفة لـ لإيجاد القيمة التي تعطينا الفرق الأصغر. لنبدأ بتخمين منطقي، وليكن :

إذن، فحساب سامح به رصيد أقل من رصيد حساب عادل، ولكن قد تكون هناك قيمة صحيحة أكبر لـ يكون فيها الفرق بين الرصيدين أصغر.

نحن نبحث عن قيمتين صحيحتين متتاليتين لـ ، بحيث يعطينا الفرق بين الرصيدين قيمة ذات إشارة مختلفة؛ لأن قيمة التي تحقِّق أصغر فرق بين الرصيدين يجب أن تكون إحدى هاتين القيمتين. لنجرب قيمة أكبر لـ ، ولنفترض أنها:

:

يمكننا أن نرى أن إشارة الفرق قد تغيرت في مرحلة بين و، فلنحاول إيجاد قيمة بين هاتين القيمتين، على سبيل المثال:

:

تتغير إشارة في مرحلة ما بين و، لنحاول إذن إيجاد قيمة بين هاتين القيمتين، على سبيل المثال:

:

تتغير إشارة في مرحلة ما بين و. ولدينا قيمة إضافية علينا التحقق منها:

:

إذن تتغير إشارة الفرق بين و. يمكننا ملاحظة أن الفرق هو الأصغر عندما يكون حيث ؛ ومن ثَمَّ، يكون للحسابين الرصيد نفسه تقريبًا بعد ٨ شهور.