شارح الدرس: القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: حساب القِيَم المتوقَّعة

نتج عن تجربة ما المتغيِّر العشوائي المتقطِّع ذو التوزيع الاحتمالي الموضَّح. إذا أُجري عدد كبير جدًّا من المحاولات، فما المتوسط المتوقَّع لجميع النواتج؟

الحل

تذكَّر أن قانون الأعداد الكبيرة ينصُّ على أنه مع اقتراب عدد المحاولات إلى ما لا نهاية، يقترب متوسط النواتج من القيمة المتوقَّعة. بعبارةٍ أخرى: حيث هو المتوسط، هو عدد المحاولات، هو القيمة المتوقَّعة لـ . تذكَّر أيضًا أن صيغة القيمة المتوقَّعة هي: حيث كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ ، احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

ومن ثَمَّ، لإيجاد المتوسط المرجَّح للتجربة السابقة، فإننا نعوِّض بالقِيَم المُعطاة في الجدول في صيغة القيمة المتوقَّعة. بعبارةٍ أخرى: نضرب كلَّ ناتج مُمكِن في احتمال حدوثه، ثم نُوجِد مجموع حواصل الضرب:

هذا يُخبرنا أن القيمة المتوقَّعة لـ هي ٣٫٩. ومن ثَمَّ، إذا أُجرِي عدد كبير جدًّا من المحاولات، يكون المتوسط المحتمل لجميع النواتج هو ٣٫٩.

ملاحظة

القيمة المتوقَّعة للعدد ٣٫٩ أكبر بقليل من ، وهي القيمة التي تقع في المنتصف بين ٢ و٥. وهذا ما يُمكننا توقُّعه؛ لأن مجموع الاحتمالين ٤ و٥ أكبر بقليل من مجموع الاحتمالين ٢ و٣ .

مثال ٢: حساب القيمة المتوقَّعة من احتمالات المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

يوضِّح الجدول التوزيعات الاحتمالية لحجر نرد له ستة أوجه. أوجد .

الحل

نبدأ بالتعويض عن القِيَم المُعطاة في صيغة القيمة المتوقَّعة، . بعبارةٍ أخرى: حيث كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ هي ، واحتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج هو . لاحِظ أنه بما أن كلَّ ناتج له احتمال الحدوث نفسه، فلدينا توزيع احتمالي منتظِم.

تنصُّ الصيغة على أنه لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ ، فعلينا ضرب كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ في الاحتمال الخاص بها ثم إيجاد مجموع حواصل الضرب. عندما نفعل ذلك، نحصل على:

إذن، توضِّح لنا الصيغة أن يساوي ٣٫٥.

مثال ٣: حساب القِيَم المتوقَّعة من التمثيل البياني للتوزيع الاحتمالي

أوجد القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي الموضَّح توزيعه الاحتمالي.

الحل

نبدأ بتمثيل المُعطيات الواردة في التمثيل البياني على صورة جدول حتى نتمكَّن من حساب القيمة المتوقَّعة بسهولة أكبر. وبفعل ذلك، نحصل على:

لنعوِّض الآن بالقِيَم المُعطاة من الجدول في صيغة القيمة المتوقَّعة، . أي: حيث كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ ، احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

بالتعويض بقِيَم ، واحتمالاتها في الصيغة نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي تساوي ٢٫٧.

مثال ٤: إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع بمعلومية دالة

افترض أن متغيِّر عشوائي متقطِّع يُمكن أن يأخذ القِيَم ، ، ١. إذا كان له دالة توزيع احتمالي ، فأوجد قيمة المتوقَّعة.

الحل

في هذه المسألة، لدينا دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع ، والقِيَم الثلاث المُمكِنة التي يُمكن أن يأخذها . ومطلوب منَّا إيجاد القيمة المتوقَّعة لـ .

لكن قبل أن نتمكَّن من حساب القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع، لا بدَّ أن نُوجِد قيمة دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر عند كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر، لتحديد الاحتمال المصاحِب لكلِّ قيمة.

أولًا، بإيجاد قيمة عند ، نحصل على:

بعد ذلك، بإيجاد قيمة عند ، يُعطينا:

وأخيرًا، بإيجاد قيمة عند ، نحصل على:

نحن نعلم الآن أن احتمال يساوي ، واحتمال يساوي ، واحتمال يساوي . تذكَّر أن مجموع جميع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يعني أنه يُمكننا كتابة المعادلة الآتية: وبعد إيجاد مقام مُشترَك للكسور الثلاثة الموجودة في الطرف الأيمن، نحصل على:

إذن، بتبسيط الطرف الأيمن نحصل على: وبعد ضرب طرفي المعادلة في ٦، نحصل على:

وأخيرًا، بطرح ٦ من الطرفين يتَّضِح لنا أن:

تذكَّر أن احتمال هو . وبما أننا قد أوجدنا الآن قيمة تساوي ٠، نعلم أن احتمال هو:

للمُساعدة في حساب القيمة المتوقَّعة لـ دعونا نمثِّل النواتج التي توصَّلنا إليها حتى الآن في صورة جدول، كما هو موضَّح.

من خلال التحقُّق من أن مجموع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١، يُمكننا إثبات صحة الاحتمالات الواردة في الجدول، كما يأتي:

بما أننا حصلنا على الاحتمال الصحيح لكلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ ، يُمكِننا الآن استخدام الصيغة: لإيجاد القيمة المتوقَّعة، ، لـ . في الصيغة، كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ هي ، واحتمال حدوث أيِّ ناتج من هذه النواتج هو .

بالتعويض بقِيَم واحتمالاتها في الصيغة، نحصل على:

إذن القيمة المتوقَّعة لـ هي .

مثال ٥: استخدام دالة احتمال متغيِّر عشوائي متقطِّع لإيجاد القيمة المتوقَّعة

الدالة في الجدول المُعطى دالة احتمال المتغيِّر العشوائي المتقطِّع . أوجد قيمة المتوقَّعة.

الحل

في هذه المسألة، مطلوب منَّا إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع باستخدام المعلومات الواردة في الجدول. هي القِيَم المُمكِنة لـ ؛ حيث ، في هذه الحالة، يساوي ١، ٢، ٣، ٤؛ لأن لدينا أربعة نواتج مُمكِنة، هي احتمالات كلِّ قيمة من هذه القِيَم. فعادةً ما تُكتَب على الصورة .

يُمكِننا ملاحظة أن احتمالَيْ ، ليسا مُعطيَيْن. بل إنهما مُمثَّلان بدلالة الثابت المجهول . ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة قبل أن نتمكَّن من حساب القيمة المتوقَّعة.

تذكَّر أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يعني أنه يُمكِننا كتابة المعادلة: وبعد إيجاد مقام مُشترَك للكسرين الموجودين في الطرف الأيمن، نحصل على:

إذن، تبسيط الطرف الأيمن يُعطينا:

والآن، بطرح من الطرفين، نحصل على:

وأخيرًا، بعد قسمة طرفي المعادلة على ١٤، نحصل على:

الآن، وقد عرفنا أن قيمة تساوي ، يُمكِننا إيجاد: وإيجاد:

كتابة هذه الاحتمالات في الجدول، يُعطينا:

يُمكننا إثبات صحة الاحتمالين عن طريق التحقُّق من أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١، كما يأتي:

والآن، بعد أن أصبح لدينا الاحتمال الصحيح لكل قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ ، يُمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ . في الصيغة، القيمة المتوقَّعة هي وعدد النواتج المُمكِنة لـ هو ، فكما ذكرنا من قبلُ، قيمة في هذه الحالة تساوي ٤.

باستخدام الصيغة، نضرب كلَّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ في احتمالها، ثم نحسب مجموع حواصل الضرب لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ . عندما نفعل ذلك، نحصل على:

ومن ثَمَّ، نجد أن القيمة المتوقَّعة لـ هي .

مثال ٦: إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن متغيِّر عشوائي متقطِّع يُمكِن أن يأخذ القِيَم: ٤، ٥، ٨، ١٠. إذا كان ، ، ، فأوجد التوقُّع للمتغيِّر . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.

الحل

لتلخيص المُعطيات، دعونا نمثِّلها على صورة جدول. وبفعل ذلك، نحصل على:

لاحِظ أن السؤال لم يُخبرنا باحتمال أن تكون قيمة تساوي ١٠؛ أيْ إن . لكنَّنا نعلم أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يعني أنه يجب علينا طرح مجموع الاحتمالات الأخرى في الجدول من ١ لإيجاد الاحتمال المجهول. وبفعل ذلك، نحصل على:

والآن بما أننا نعرف احتمال أن تكون قيمة تساوي ١٠، لنستخدم صيغة القيمة المتوقَّعة، . تذكَّر أن الصيغة هي: حيث كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ ، احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

باستخدام الصيغة، نضرب كلَّ قيمة من القِيَم المحتملة لـ في احتمالها، ثم نُوجِد مجموع حواصل الضرب لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ :

لتحويل الكسر إلى الصورة العشرية، يُمكننا الآن قسمة ٢٠٥ على ٢٧ لنحصل على ، وهو ما يعني أن القيمة المتوقَّعة لـ عند تقريبها لأقرب منزلتين عشريتين تساوي ٧٫٥٩.

مثال ٧: استخدام دالة التوزيع الاحتمالي والقيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع لإيجاد قيمة مجهولة

الدالة الموضَّحة في الجدول الآتي دالة احتمال المتغيِّر العشوائي المتقطِّع . إذا كانت القيمة المتوقَّعة لـ تساوي ، فأوجد قيمة .

الحل

لإيجاد قيمة نحتاج أولًا إلى إيجاد قيمة . لفعل ذلك، نتذكَّر أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يُتيح لنا كتابة المعادلة: التي يُمكن من خلالها الحلُّ لإيجاد قيمة . جمع الحدود المتشابِهة في الطرف الأيمن من المعادلة، يُعطينا: ثم بعد طرح من الطرفين، نحصل على:

وأخيرًا، بقسمة الطرفين على ١٩، نَصِل إلى:

والآن، بعد أن عرفنا أن قيمة أ تساوي ، يُمكننا حساب احتمالات النواتج ١ و٢ و٧ في الجدول، كما هو موضَّح:

كتابة هذه الاحتمالات في الجدول، يُعطينا:

يُمكننا إثبات صحة احتمالاتنا عن طريق التحقُّق من أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١، كما يأتي:

والآن، بعد أن أصبح لدينا الاحتمال الصحيح لكل قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ ، يُمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد قيمة . في الصيغة، هو القيمة المتوقَّعة، هو عدد النواتج المُمكِنة، هو قيمة كلِّ ناتج من النواتج المُمكِنة، هو احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج. لاحِظ أنه بالنسبة إلى مجموعة البيانات هذه، يساوي ١،٢،٣،٤؛ حيث لدينا أربع قِيَم مُمكِنة لـ وهو ما يعني أن قيمة تساوي ٤.

وفقًا للصيغة، علينا ضرب كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ في احتمالها، ومن ثَمَّ إيجاد مجموع حواصل الضرب لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ . ومع ذلك، تذكَّر أن المسألة أخبرتْنا أن القيمة المتوقَّعة لـ هي . بالتعويض بهذه القيمة المتوقَّعة، والقِيَم الموجودة في الجدول، في الصيغة، نحصل على:

والآن يُمكِننا حلُّ المعادلة الناتجة لـ . بالضرب في الطرف الأيسر يُعطينا:

ومن ثَمَّ، بجمع الكسور ذات المقامات المتشابهة في الطرف الأيسر، نحصل على:

ثم، طرح من طرفي المعادلة، يُعطينا: وبعد ضرب طرفي المعادلة في ٣، نحصل على:

وهكذا، بمعرفة قيمة ، نجد أن لا بدَّ أن يساوي ٦.