شارح الدرس: القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من كلٍّ من جدول وتمثيل بياني ومسألة كلامية.

تعريف: متغيِّر عشوائي متقطِّع

المتغيِّر العشوائي المتقطِّع هو متغيِّر يُمكن أن يأخذ فقط عددًا يُمكن عدُّه من القِيَم‎ العددية. ويحدِّد ناتج ظاهرة أو تجربة عشوائية القيمة التي يأخذها المتغيِّر. ويُرمَز عادة إلى مثل هذا المتغيِّر بالحرف 𞹎، ويُشار إلى القيمة التي يأخذها المتغيِّر بالحرف 𞸎.

فكلُّ قيمة يُمكن للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع أخذها يكون لها احتمال مصاحب. على سبيل المثال، انظر إلى التمثيل البياني الآتي، الذي يُعطينا احتمالات استقرار اللعبة الدوَّارة على العدد ١ و٢ و٣ و٤:

فالتمثيل البياني يوضِّح أن:

  • احتمال استقرار اللعبة الدوَّارة على ١ يساوي ٠٫٢ 𞸋(𞹎=١)=٢٫٠
  • احتمال استقرار اللعبة الدوَّارة على ٢ يساوي ٠٫٣ 𞸋(𞹎=٢)=٣٫٠
  • احتمال استقرار اللعبة الدوَّارة على ٣ يساوي ٠٫٣ 𞸋(𞹎=٣)=٣٫٠
  • احتمال استقرار اللعبة الدوَّارة على ٤ يساوي ٠٫٢ 𞸋(𞹎=٤)=٢٫٠ .

في صورة الجدول، نوضِّح هذه الاحتمالات كما يأتي:

𞸎١٢٣٤
𞸋(𞹎=𞸎)٠٫٢٠٫٣٠٫٣٠٫٢

تمثِّل احتمالات كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎 معًا التوزيع الاحتمالي.

تعريف: التوزيع الاحتمالي

التوزيع الاحتمالي دالة تُعطينا احتمال الحصول على كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة التي يُمكن أن يأخذها متغيِّر عشوائي متقطِّع. وغالبًا تُمثَّل بيانيًّا أو بجدول القِيَم. تتضمَّن بعض خواص التوزيع الاحتمالي ما يأتي:

  • احتمال أن يأخذ 𞹎 قيمة محدَّدة 𞸎 هو 𞸋(𞹎=𞸎). يُمكن أيضًا استخدام الرموز 𞸋(𞸎)، 𞸋(𞸎)𞸓، 𞸋𞸎 لهذا الاحتمال.
  • 𞸋(𞸎)٠ لجميع الأعداد الحقيقية 𞸎.
  • 𞸍𞸓=١𞸓󰌇𞸋(𞸎)=١ حيث 𞸍 عدد القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، 𞸓 يأخذ القِيَم ١،،𞸍.

إذن من النقطتين الثانية والثالثة، نعرف أن ٠𞸋(𞸎)١.

وبتطبيق هذا على التوزيع الاحتمالي السابق للعبة الدوَّارة، نجد أن مجموع كلِّ الاحتمالات يساوي ١. بعبارةٍ أخرى: ٢٫٠+٣٫٠+٣٫٠+٢٫٠=١.

بما أن مجموع كلِّ الاحتمالات يساوي دائمًا ١، فإذا عرفنا كلَّ الاحتمالات في التوزيع ما عدا احتمالًا واحدًا، سنتمكَّن من طرح مجموع الاحتمالات المعروفة من ١ لإيجاد الاحتمال المجهول.

ينصُّ قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما ازداد حجم العيِّنة، اقترب متوسط جميع النواتج من متوسط المجتمع الإحصائي كله، أو اقترب من المتوسط الذي نتوقَّعه. ومن ثَمَّ، باستخدام التوزيع الاحتمالي، يُمكننا حساب المتوسط الأرجح لجميع النواتج عند إجراء عدد كبير من المحاولات. على سبيل المثال، لنفترض أننا أدرنا اللعبة الدوَّارة ١٠‎ ‎٠٠٠ مرة. عدد المرات المرجَّح أن يَظهَر فيها كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة في الـ ١٠‎ ‎٠٠٠ محاولة، هو حاصل ضرب ١٠‎ ‎٠٠٠ في احتمال الحصول على هذه القيمة. أي:

  • عدد المرات المرجَّح استقرار اللعبة الدوَّارة على العدد ١ هو ٠٠٠٠١×٢٫٠=٠٠٠٢
  • عدد المرات المرجَّح استقرار اللعبة الدوَّارة على العدد ٢ هو ٠٠٠٠١×٣٫٠=٠٠٠٣
  • عدد المرات المرجَّح استقرار اللعبة الدوَّارة على العدد ٣ هو ٠٠٠٠١×٣٫٠=٠٠٠٣
  • عدد المرات المرجَّح استقرار اللعبة الدوَّارة على العدد ٤ هو ٠٠٠٠١×٢٫٠=٠٠٠٢.

إذا كان هذا هو عدد مرات تكرار كلِّ قيمة من القِيَم، فيُمكننا إيجاد المتوسط 𝜇 لجميع النواتج عن طريق ضرب كلِّ قيمة في عدد مرات تكرارها، وإيجاد مجموع حواصل الضرب، ثم القسمة على إجمالي عدد النواتج المُمكِنة. وهذا يُعطينا المتوسط: 𝜇=١×٠٠٠٢+٢×٠٠٠٣+٣×٠٠٠٣+٤×٠٠٠٢٠٠٠٢+٠٠٠٣+٠٠٠٣+٠٠٠٢=٠٠٠٢+٠٠٠٦+٠٠٠٩+٠٠٠٨٠٠٠٠١=٠٠٠٥٢٠٠٠٠١=٥٫٢.

نلاحِظ أننا كنَّا سنحصل على الإجابة نفسها إذا أجرَيْنا العمليات الحسابية بطريقة مختلفة قليلًا. بضرب كلِّ قيمة من قِيَم 𞸎، في احتمال حدوثها وجمع حواصل الضرب معًا، نحصل على: 𝜇=١×٠٠٠٢٠٠٠٠١+٢×٠٠٠٣٠٠٠٠١+٣×٠٠٠٣٠٠٠٠١+٤×٠٠٠٢٠٠٠٠١.

وهو ما يُمكن الإشارة إليه فعليًّا بـ 󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)؛ لذا نحصل على: 𝜇=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)=١×٢٫٠+٢×٣٫٠+٣×٣٫٠+٤×٢٫٠=٢٫٠+٦٫٠+٩٫٠+٨٫٠=٥٫٢.

هذا هو الناتج نفسه الذي حصلنا عليه أول مرة عندما أوجدنا المتوسط لـ ١٠‎ ‎٠٠٠ ناتج، وهو يؤدِّي بنا إلى تعريف القيمة المتوقَّعة.

تعريف: القيمة المتوقَّعة

القيمة المتوقَّعة، أو التوقُّع، ا(𞹎) لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎 هو الناتج الأكثر ترجيحًا من جميع نواتج المتغيِّر عند إجراء عدد كبير جدًّا من المحاولات. بعبارةٍ أخرى: ا(𞹎)=𝜇،𞸍 حيث 𝜇 هو المتوسط، 𞸍 هو عدد المحاولات. صيغة القيمة المتوقَّعة هي: ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)، حيث 𞸎 هو كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، 𞸋(𞹎=𞸎) هو احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

الآن بما أنه أصبح لدينا صيغة للقيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع، دعونا نستخدمها لحلِّ المسائل. سنبدأ بمثال يكون فيه التوزيع الاحتمالي لمتغيِّر عشوائي متقطِّع مُعطًى في جدول.

مثال ١: حساب القِيَم المتوقَّعة

نتج عن تجربة ما المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎 ذو التوزيع الاحتمالي الموضَّح. إذا أُجري عدد كبير جدًّا من المحاولات، فما المتوسط المتوقَّع لجميع النواتج؟

𞸎٢٣٤٥
𞸋(𞸎)٠٫١٠٫٣٠٫٢٠٫٤

الحل

تذكَّر أن قانون الأعداد الكبيرة ينصُّ على أنه مع اقتراب عدد المحاولات إلى ما لا نهاية، يقترب متوسط النواتج من القيمة المتوقَّعة. بعبارةٍ أخرى: 𝜇=(𞹎)،𞸍ا حيث 𝜇 هو المتوسط، 𞸍 هو عدد المحاولات، ا(𞹎) هو القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎. تذكَّر أيضًا أن صيغة القيمة المتوقَّعة هي: ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)، حيث 𞸎 كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، 𞸋(𞹎=𞸎) احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

ومن ثَمَّ، لإيجاد المتوسط المرجَّح للتجربة السابقة، فإننا نعوِّض بالقِيَم المُعطاة في الجدول في صيغة القيمة المتوقَّعة. بعبارةٍ أخرى: نضرب كلَّ ناتج مُمكِن في احتمال حدوثه، ثم نُوجِد مجموع حواصل الضرب: ا(𞹎)=٢(١٫٠)+٣(٣٫٠)+٤(٢٫٠)+٥(٤٫٠)=٢٫٠+٩٫٠+٨٫٠+٠٫٢=٩٫٣.

هذا يُخبرنا أن القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 هي ٣٫٩. ومن ثَمَّ، إذا أُجرِي عدد كبير جدًّا من المحاولات، يكون المتوسط المحتمل لجميع النواتج هو ٣٫٩.

ملاحظة

القيمة المتوقَّعة للعدد ٣٫٩ أكبر بقليل من ٢+٥٢=٥٫٣، وهي القيمة التي تقع في المنتصف بين ٢ و٥. وهذا ما يُمكننا توقُّعه؛ لأن مجموع الاحتمالين ٤ و٥ (٢٫٠+٤٫٠=٦٫٠) أكبر بقليل من مجموع الاحتمالين ٢ و٣ (١٫٠+٣٫٠=٤٫٠).

بعد ذلك، نحسب القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع له توزيع احتمالي منتظِم. في حالة التوزيع الاحتمالي المنتظِم، يكون لكلِّ ناتج احتمال الحدوث نفسه.

مثال ٢: حساب القيمة المتوقَّعة من احتمالات المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

يوضِّح الجدول التوزيعات الاحتمالية لحجر نرد له ستة أوجه. أوجد ا(𞹎).

𞸎١٢٣٤٥٦
𞸋(𞹎=𞸎)١٦١٦١٦١٦١٦١٦

الحل

نبدأ بالتعويض عن القِيَم المُعطاة في صيغة القيمة المتوقَّعة، ا(𞹎). بعبارةٍ أخرى: ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)، حيث كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎 هي 𞸎، واحتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج هو 𞸋(𞹎=𞸎). لاحِظ أنه بما أن كلَّ ناتج له احتمال الحدوث نفسه، فلدينا توزيع احتمالي منتظِم.

تنصُّ الصيغة على أنه لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎، فعلينا ضرب كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎 في الاحتمال الخاص بها ثم إيجاد مجموع حواصل الضرب. عندما نفعل ذلك، نحصل على: ا(𞹎)=١󰂔١٦󰂓+٢󰂔١٦󰂓+٣󰂔١٦󰂓+٤󰂔١٦󰂓+٥󰂔١٦󰂓+٦󰂔١٦󰂓=١٦+٢٦+٣٦+٤٦+٥٦+٦٦=١٢٦=٥٫٣.

إذن، توضِّح لنا الصيغة أن ا(𞹎) يساوي ٣٫٥.

لاحِظ أن القيمة المتوقَّعة ٣٫٥ التي حسبناها للتو تقع في المنتصف بين ١ و٦. هذا يقودنا إلى صيغة القيمة المتوقَّعة، ا(𞸎) لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎 له توزيع احتمالي منتظِم.

صيغة: القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع مع توزيع احتمالي منتظِم

للتوزيع المنتظِم؛ حيث 𞹎={١،٢،٣،،𞸍}، 𞸍 هو آخِر عدد صحيح في الأعداد الصحيحة المتتالية في مجموعة القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎: ا(𞹎)=𞸍+١٢.

تذكَّر أنه بالنسبة إلى التوزيع الاحتمالي المنتظِم الوارد في المثال السابق، 𞹎={١،٢،٣،٤،٥،٦}. لنتحقَّق مرة أخرى من صحة هذه الصيغة، يُمكِننا التعويض بـ ٦ عن 𞸍 في الصيغة الموضَّحة، ونبسِّطها كما هو موضَّح: ا(𞹎)=٦+١٢=٧٢=٥٫٣.

تمامًا مثل النتيجة السابقة، نجد أن قيمة ا(𞹎) هي ٣٫٥.

في المسألة الآتية، سيكون لدينا توزيع احتمالي على صورة تمثيل بياني، وسيُطلَب منَّا حساب القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع المصاحِب.

مثال ٣: حساب القِيَم المتوقَّعة من التمثيل البياني للتوزيع الاحتمالي

أوجد القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي 𞹎 الموضَّح توزيعه الاحتمالي.

الحل

نبدأ بتمثيل المُعطيات الواردة في التمثيل البياني على صورة جدول حتى نتمكَّن من حساب القيمة المتوقَّعة 𞹎 بسهولة أكبر. وبفعل ذلك، نحصل على:

𞸎١٢٣٤
𞸋(𞹎=𞸎)٠٫١٠٫٣٠٫٤٠٫٢

لنعوِّض الآن بالقِيَم المُعطاة من الجدول في صيغة القيمة المتوقَّعة، ا(𞹎). أي:ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)، حيث 𞸎 كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، 𞸋(𞹎=𞸎) احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

بالتعويض بقِيَم 𞸎، واحتمالاتها في الصيغة نحصل على: ا(𞹎)=١(١٫٠)+٢(٣٫٠)+٣(٤٫٠)+٤(٢٫٠)=١٫٠+٦٫٠+٢٫١+٨٫٠=٧٫٢.

ومن ثَمَّ، فإن القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي 𞹎 تساوي ٢٫٧.

سنحسب، الآن، القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع آخَر. هذه المرة، التوزيع الاحتمالي مُعطًى لنا على صورة دالة. علينا استخدام حقيقة أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١ لإيجاد احتمال مجهول.

مثال ٤: إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع بمعلومية دالة

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع يُمكن أن يأخذ القِيَم ١، 𞸌، ١. إذا كان 𞹎 له دالة توزيع احتمالي 󰎨(𞸎)=𞸎+٢٦، فأوجد قيمة 𞹎 المتوقَّعة.

الحل

في هذه المسألة، لدينا دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، والقِيَم الثلاث المُمكِنة التي يُمكن أن يأخذها 𞹎. ومطلوب منَّا إيجاد القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎.

لكن قبل أن نتمكَّن من حساب القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع، لا بدَّ أن نُوجِد قيمة دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر عند كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر، لتحديد الاحتمال المصاحِب لكلِّ قيمة.

أولًا، بإيجاد قيمة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=١، نحصل على: 󰎨(١)=١+٢٦=١٦.

بعد ذلك، بإيجاد قيمة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=𞸌، يُعطينا: 󰎨(𞸌)=𞸌+٢٦.

وأخيرًا، بإيجاد قيمة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=١، نحصل على: 󰎨(١)=١+٢٦=٣٦=١٢.

نحن نعلم الآن أن احتمال 𞹎=١ يساوي ١٦، واحتمال 𞹎=𞸌 يساوي 𞸌+٢٦، واحتمال 𞹎=١ يساوي ١٢. تذكَّر أن مجموع جميع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يعني أنه يُمكننا كتابة المعادلة الآتية: ١٦+𞸌+٢٦+١٢=١، وبعد إيجاد مقام مُشترَك للكسور الثلاثة الموجودة في الطرف الأيمن، نحصل على: ١٦+𞸌+٢٦+٣٦=١.

إذن، بتبسيط الطرف الأيمن نحصل على: 𞸌+٦٦=١، وبعد ضرب طرفي المعادلة في ٦، نحصل على: 𞸌+٦=٦.

وأخيرًا، بطرح ٦ من الطرفين يتَّضِح لنا أن: 𞸌=٠.

تذكَّر أن احتمال 𞹎=𞸌 هو 𞸌+٢٦. وبما أننا قد أوجدنا الآن قيمة 𞸌 تساوي ٠، نعلم أن احتمال 𞹎=٠ هو: ٠+٢٦=٢٦=١٣.

للمُساعدة في حساب القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 دعونا نمثِّل النواتج التي توصَّلنا إليها حتى الآن في صورة جدول، كما هو موضَّح.

𞸎١٠١
𞸋(𞹎=𞸎)١٦١٣١٢

من خلال التحقُّق من أن مجموع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١، يُمكننا إثبات صحة الاحتمالات الواردة في الجدول، كما يأتي: ١٦+١٣+١٢=١٦+٢٦+٣٦=٦٦=١.

بما أننا حصلنا على الاحتمال الصحيح لكلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، يُمكِننا الآن استخدام الصيغة: ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎) لإيجاد القيمة المتوقَّعة، ا(𞹎)، لـ 𞹎. في الصيغة، كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎 هي 𞸎، واحتمال حدوث أيِّ ناتج من هذه النواتج هو 𞸋(𞹎=𞸎).

بالتعويض بقِيَم 𞸎 واحتمالاتها في الصيغة، نحصل على: ا(𞹎)=١󰂔١٦󰂓+٠󰂔١٣󰂓+١󰂔١٢󰂓=١٦+٠+١٢=١٦+٠٦+٣٦=٢٦=١٣.

إذن القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 هي ١٣.

في المثال الآتي، نستخدم مرة أخرى حقيقة أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١ لكتابة معادلة خطية. نحلُّ هذه المعادلة لإيجاد احتمالين مجهولين، وهما ما سنستخدمهما بعد ذلك لحساب القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع.

مثال ٥: استخدام دالة احتمال متغيِّر عشوائي متقطِّع لإيجاد القيمة المتوقَّعة

الدالة في الجدول المُعطى دالة احتمال المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎. أوجد قيمة 𞹎 المتوقَّعة.

𞸎𞸓١٣٤٦
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٠١٧٢٨󰏡٦󰏡١٩

الحل

في هذه المسألة، مطلوب منَّا إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎 باستخدام المعلومات الواردة في الجدول. 𞸎𞸓 هي القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎؛ حيث 𞸓، في هذه الحالة، يساوي ١، ٢، ٣، ٤؛ لأن لدينا أربعة نواتج مُمكِنة، 󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓 هي احتمالات كلِّ قيمة من هذه القِيَم. فعادةً ما تُكتَب 󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓 على الصورة 𞸋󰁓𞸎󰁒𞸓.

يُمكِننا ملاحظة أن احتمالَيْ 𞹎=٣، 𞹎=٤ ليسا مُعطيَيْن. بل إنهما مُمثَّلان بدلالة الثابت المجهول 󰏡. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة 󰏡 قبل أن نتمكَّن من حساب القيمة المتوقَّعة.

تذكَّر أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يعني أنه يُمكِننا كتابة المعادلة: ٠١٧٢+٨󰏡+٦󰏡+١٩=١، وبعد إيجاد مقام مُشترَك للكسرين الموجودين في الطرف الأيمن، نحصل على: ٠١٧٢+٨󰏡+٦󰏡+٣٧٢=١.

إذن، تبسيط الطرف الأيمن يُعطينا: ٣١٧٢+٤١󰏡=١.

والآن، بطرح ٣١٧٢ من الطرفين، نحصل على: ٤١󰏡=٤١٧٢.

وأخيرًا، بعد قسمة طرفي المعادلة على ١٤، نحصل على: 󰏡=١٧٢.

الآن، وقد عرفنا أن قيمة 󰏡 تساوي ١٧٢، يُمكِننا إيجاد: 󰎨(٣)=٨󰂔١٧٢󰂓=٨٧٢ وإيجاد: 󰎨(٤)=٦󰂔١٧٢󰂓=٦٧٢=٢٩.

كتابة هذه الاحتمالات في الجدول، يُعطينا:

𞸎𞸓١٣٤٦
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٠١٧٢٨٧٢٢٩١٩

يُمكننا إثبات صحة الاحتمالين عن طريق التحقُّق من أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١، كما يأتي: ٠١٧٢+٨٧٢+٢٩+١٩=٠١٧٢+٨٧٢+٦٧٢+٣٧٢=٧٢٧٢=١.

والآن، بعد أن أصبح لدينا الاحتمال الصحيح لكل قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، يُمكننا استخدام الصيغة: ا(𞹎)=󰌇𞸎×󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍𞸓=١𞸓𞸓 لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎. في الصيغة، القيمة المتوقَّعة هي ا(𞹎) وعدد النواتج المُمكِنة لـ 𞹎 هو 𞸍، فكما ذكرنا من قبلُ، قيمة 𞸍 في هذه الحالة تساوي ٤.

باستخدام الصيغة، نضرب كلَّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎 في احتمالها، ثم نحسب مجموع حواصل الضرب لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎. عندما نفعل ذلك، نحصل على: ا(𞹎)=١󰂔٠١٧٢󰂓+٣󰂔٨٧٢󰂓+٤󰂔٢٩󰂓+٦󰂔١٩󰂓=٠١٧٢+٤٢٧٢+٨٩+٦٩=٠١٧٢+٤٢٧٢+٤٢٧٢+٨١٧٢=٦٧٧٢.

ومن ثَمَّ، نجد أن القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 هي ٦٧٧٢.

في المسألة الآتية سنستخدم أيضًا حقيقة أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١ لإيجاد احتمال مجهول. كما فعلنا من قبل، سنستخدم هذا الاحتمال ليساعدنا في إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع.

مثال ٦: إيجاد القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع يُمكِن أن يأخذ القِيَم: ٤، ٥، ٨، ١٠. إذا كان 𞸋(𞹎=٤)=٤٧٢، 𞸋(𞹎=٥)=٥٧٢، 𞸋(𞹎=٨)=٨٧٢، فأوجد التوقُّع للمتغيِّر 𞹎. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.

الحل

لتلخيص المُعطيات، دعونا نمثِّلها على صورة جدول. وبفعل ذلك، نحصل على:

𞸎٤٥٨١٠
𞸋(𞹎=𞸎)٤٧٢٥٧٢٨٧٢؟

لاحِظ أن السؤال لم يُخبرنا باحتمال أن تكون قيمة 𞹎 تساوي ١٠؛ أيْ إن 𞸋(𞹎=٠١). لكنَّنا نعلم أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يعني أنه يجب علينا طرح مجموع الاحتمالات الأخرى في الجدول من ١ لإيجاد الاحتمال المجهول. وبفعل ذلك، نحصل على: 𞸋(𞹎=٠١)=١󰂔٤٧٢+٥٧٢+٨٧٢󰂓=١٧١٧٢=٧٢٧٢٧١٧٢=٠١٧٢.

والآن بما أننا نعرف احتمال أن تكون قيمة 𞹎 تساوي ١٠، لنستخدم صيغة القيمة المتوقَّعة، ا(𞹎). تذكَّر أن الصيغة هي: ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)، حيث 𞸎 كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، 𞸋(𞹎=𞸎) احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.

باستخدام الصيغة، نضرب كلَّ قيمة من القِيَم المحتملة لـ 𞹎 في احتمالها، ثم نُوجِد مجموع حواصل الضرب لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎: ا(𞹎)=٤󰂔٤٧٢󰂓+٥󰂔٥٧٢󰂓+٨󰂔٨٧٢󰂓+٠١󰂔٠١٧٢󰂓=٦١٧٢+٥٢٧٢+٤٦٧٢+٠٠١٧٢=٥٠٢٧٢.

لتحويل الكسر إلى الصورة العشرية، يُمكننا الآن قسمة ٢٠٥ على ٢٧ لنحصل على ٩٥٢٩٥٫٧، وهو ما يعني أن القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 عند تقريبها لأقرب منزلتين عشريتين تساوي ٧٫٥٩.

أخيرًا، سنحلُّ مسألة نعرف فيها القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع، وعلينا إيجاد إحدى القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر. لكن قبل أن نتمكَّن من فعل ذلك، علينا تكوين معادلة خطية نحلُّها بعد ذلك لتساعدنا على تحديد ثلاثة احتمالات مجهولة.

مثال ٧: استخدام دالة التوزيع الاحتمالي والقيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع لإيجاد قيمة مجهولة

الدالة الموضَّحة في الجدول الآتي دالة احتمال المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎. إذا كانت القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 تساوي ٤٥٢٧٥، فأوجد قيمة 𞸁.

𞸎𞸓١٢𞸁٧
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٨󰏡٣󰏡١٣٨󰏡

الحل

لإيجاد قيمة 𞸁 نحتاج أولًا إلى إيجاد قيمة 󰏡. لفعل ذلك، نتذكَّر أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بدَّ أن يساوي ١. هذا يُتيح لنا كتابة المعادلة: ٨󰏡+٣󰏡+١٣+٨󰏡=١، التي يُمكن من خلالها الحلُّ لإيجاد قيمة 󰏡. جمع الحدود المتشابِهة في الطرف الأيمن من المعادلة، يُعطينا: ٩١󰏡+١٣=١، ثم بعد طرح ١٣ من الطرفين، نحصل على: ٩١󰏡=٢٣.

وأخيرًا، بقسمة الطرفين على ١٩، نَصِل إلى: 󰏡=٢٧٥.

والآن، بعد أن عرفنا أن قيمة أ تساوي ٢٧٥، يُمكننا حساب احتمالات النواتج ١ و٢ و٧ في الجدول، كما هو موضَّح: 󰎨(١)=٨󰂔٢٧٥󰂓=٦١٧٥،󰎨(٢)=٣󰂔٢٧٥󰂓=٦٧٥،󰎨(٧)=٨󰂔٢٧٥󰂓=٦١٧٥.

كتابة هذه الاحتمالات في الجدول، يُعطينا:

𞸎𞸓١٢𞸁٧
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٦١٧٥٦٧٥١٣٦١٧٥

يُمكننا إثبات صحة احتمالاتنا عن طريق التحقُّق من أن مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١، كما يأتي: ٦١٧٥+٦٧٥+١٣+٦١٧٥=٦١٧٥+٦٧٥+٩١٧٥+٦١٧٥=٧٥٧٥=١.

والآن، بعد أن أصبح لدينا الاحتمال الصحيح لكل قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎، يُمكننا استخدام الصيغة: ا(𞹎)=󰌇𞸎×󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍𞸓=١𞸓𞸓 لإيجاد قيمة 𞸁. في الصيغة، ا(𞹎) هو القيمة المتوقَّعة، 𞸍 هو عدد النواتج المُمكِنة، 𞸎𞸓 هو قيمة كلِّ ناتج من النواتج المُمكِنة، 󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓 هو احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج. لاحِظ أنه بالنسبة إلى مجموعة البيانات هذه، 𞸓 يساوي ١،٢،٣،٤؛ حيث لدينا أربع قِيَم مُمكِنة لـ 𞹎 وهو ما يعني أن قيمة 𞸍 تساوي ٤.

وفقًا للصيغة، علينا ضرب كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎 في احتمالها، ومن ثَمَّ إيجاد مجموع حواصل الضرب لإيجاد القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎. ومع ذلك، تذكَّر أن المسألة أخبرتْنا أن القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎 هي ٤٥٢٧٥. بالتعويض بهذه القيمة المتوقَّعة، والقِيَم الموجودة في الجدول، في الصيغة، نحصل على: ٤٥٢٧٥=١󰂔٦١٧٥󰂓+٢󰂔٦٧٥󰂓+𞸁󰂔١٣󰂓+٧󰂔٦١٧٥󰂓.

والآن يُمكِننا حلُّ المعادلة الناتجة لـ 𞸁. بالضرب في الطرف الأيسر يُعطينا: ٤٥٢٧٥=٦١٧٥+٢١٧٥+𞸁󰂔١٣󰂓+٢١١٧٥.

ومن ثَمَّ، بجمع الكسور ذات المقامات المتشابهة في الطرف الأيسر، نحصل على: ٤٥٢٧٥=٠٤١٧٥+𞸁󰂔١٣󰂓.

ثم، طرح ٠٤١٧٥ من طرفي المعادلة، يُعطينا: ٤١١٧٥=𞸁󰂔١٣󰂓، وبعد ضرب طرفي المعادلة في ٣، نحصل على: 𞸁=٢٤٣٧٥=٦

وهكذا، بمعرفة قيمة 󰏡=٢٧٥، نجد أن 𞸁 لا بدَّ أن يساوي ٦.

والآن نُنهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • المتغيِّر العشوائي المتقطِّع هو المتغيِّر الذي يُمكِن أن يأخذ فقط عددًا يُمكِن عدُّه من القِيَم‎ العددية. ويحدِّد ناتج ظاهرة أو تجربة عشوائية القيمة التي يأخذها المتغيِّر.
  • يُشير الحرف 𞹎 عادة إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع، ويُشير الحرف 𞸎 إلى القيمة التي يأخذها المتغيِّر.
  • التوزيع الاحتمالي دالة تُعطينا احتمالية الحصول على كلِّ قيمة من القِيَم المُمكِنة التي يُمكن أن يأخذها متغيِّر عشوائي متقطِّع.
  • القيمة المتوقَّعة، ا(𞹎) لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎 هي المتوسط الأرجح لجميع نواتج المتغيِّر عند إجراء عدد كبير جدًّا من المحاولات.
  • صيغة القيمة المتوقَّعة هي ا(𞹎)=󰌇𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)؛ حيث 𞸎 كلُّ قيمة من القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، 𞸋(𞹎=𞸎) احتمال حدوث كلِّ ناتج من هذه النواتج.
  • مجموع كلِّ الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي ١.
  • القيمة المتوقَّعة، ا(𞹎) لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎={١،٢،٣،،𞸍} يحتوي على توزيع احتمالي منتظِم هي ا(𞹎)=𞸍+١٢؛ حيث 𞸍 آخِر عدد صحيح في الأعداد الصحيحة المتتالية في مجموعة القِيَم المُمكِنة لـ 𞹎.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.