شارح الدرس: التحويل الهندسي للدوال المثلثية | نجوى شارح الدرس: التحويل الهندسي للدوال المثلثية | نجوى

شارح الدرس: التحويل الهندسي للدوال المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف ننقل دالة مثلثية، أو نمدُّها، وكيف نوجد قاعدة الدالة المثلثية بمعلومية التحويل.

دعونا نتذكَّر بعض الخواص الرئيسية للتمثيلات البيانية للدالتين المثلثيتين الأساسيتين؛ وهما دالة الجيب ودالة جيب التمام.

التمثيلات البيانية للدوال المثلثية

دالة الجيب

عند رسم جيب زاوية مقابل هذه الزاوية، يكون الناتج هو منحنى دالة الجيب.

دالة جيب التمام

عند رسم جيب تمام زاوية مقابل هذه الزاوية، يكون الناتج كما هو موضَّح.

مجال دالتي الجيب وجيب التمام هو مجموعة الأعداد الحقيقية، بينما مداهما هو [١،١]. والدالتان دوريتان، كما يوضح الشكل، وطول دورة كل منهما ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان.

يجب أن نكون قادرين على التعرف على التمثيلات البيانية لهذه الدوال، لذا يجب أن ندرك خواصها الأساسية مثل موقع نقاط التحول، والأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 والمحور 𞸑، ومعادلات خطوط التقارب، وذلك قبل التفكير في تفسير تحويلاتها الهندسية.

في المثال الأول، دعونا نتدرَّب على تحديد التمثيل البياني لدالة جيب التمام بتذكُّر خواصها.

مثال ١: تحديد صورة نقطة على التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد تطبيق تحويل هندسي

يوضح الشكل التالي تمثيل 󰎨(𞸎) بيانيًّا. تحويل هندسي يجعل 󰎨(𞸎) صورة 󰎨(𞸎)٢. أوجد إحداثيات 󰏡 بعد تطبيق هذا التحويل الهندسي.

الحل

دعونا في البداية نحدد الدالة المثلثية التي يمثلها هذا التمثيل البياني، رغم أن هذا غير مطلوب. بما أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 في التمثيل البياني يساوي ١، وهو لدالة دورية طول دورتها ٢𝜋، ولها جذور عند 𞸎=٠٩ و٠٩ و٠٨١، يمكننا استنتاج أنها دالة جيب التمام، أي: 󰎨(𞸎)=𞸎.

في هذا المثال، كل ما علينا فعله هو تحديد تأثير التحويل الهندسي من 󰎨(𞸎) إلى 󰎨(𞸎)٢ على نقطة واحدة. يمكننا ملاحظة أن إحداثيات النقطة 󰏡 على التمثيل البياني هي (٠٨١،١)، وهو ما يتوافق مع حقيقة أن (٠٨١)=١.

ومن ثَمَّ يمكننا إيجاد الإحداثيات الجديدة بإيجاد قيمة 󰎨(𞸎)٢ عند النقطة 𞸎=٠٨١: 󰎨(٠٨١)٢=(٠٨١)٢=١٢=٣.

وبناء عليه، فإن التحويل الهندسي يحوِّل (٠٨١،١) إلى (٠٨١،٣).

دعونا نُلقِ نظرة أخرى على تأثيرات التحويل الهندسي المستخدَم في المثال السابق. رأينا أنه عند قيمة محددة لـ 𞸎، تكون القيمة المخرجة لـ 󰎨(𞸎)٢ أقل بمقدار ٢ من القيمة المخرجة لـ 󰎨(𞸎).

دعونا نفكر في كيفية تأثير التحويل الهندسي على مخرجات الدالة 󰎨(𞸎) عند بعض القيم الأخرى لـ 𞸎.

𞸎٠٥٤٠٩٠٨١
󰎨(𞸎)=(𞸎)١󰋴٢٢٠١
󰎨(𞸎)٢=(𞸎)٢١󰋴٢٢٢٢٣

لكل نقطة، نلاحظ أن قيمة 󰎨(𞸎)٢ أقل بمقدار ٢ من قيمة 󰎨(𞸎)، وهذا متوقع. إذا مثلَّنا هذا لجميع قيم 𞸎 المحتملة، فسنحصل على ما يلي.

لقد أوضحنا على التمثيل البياني تحويل النقطة 󰏡 من المثال السابق إلى النقطة الجديدة 𞸁. بيانيًا، يناظر هذا إزاحة النقطة رأسيًّا إلى أسفل بمقدار ٢. في الواقع، نلاحظ أن المنحنى بأكمله قد تمت إزاحته لأسفل بمقدار ٢ بهذه الطريقة.

وهذه نتيجة يمكننا تعميمها. إذا كانت الدالة 󰎨(𞸎) تحولت هندسيًّا إلى الدالة 󰎨(𞸎)+󰏡 للثابت 󰏡𞹇، فإن هذا يكافئ انتقالًا مقداره (٠،󰏡) للمنحنى، (أي تتم إزاحته لأعلى بمقدار 󰏡). وإذا كان 󰏡 سالبًا، كما رأينا للتو، فسينتج عن هذا إزاحة المنحنى للأسفل.

والآن، دعونا نفكر فيما قد يحدث إذا أضفنا ثابتًا إلى قيمة 𞸎 أو طرحناه منها قبل التعويض بها في الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎؛ على سبيل المثال، 󰎨(𞸎٠٩). دعونا نكتب تأثير ذلك على مخرجات الدالة لبعض قيم 𞸎 في جدول.

𞸎٠٠٩٠٨١٠٧٢٠٦٣
󰎨(𞸎)=(𞸎)١٠١٠١
󰎨(𞸎٠٩)=(𞸎٠٩)٠١٠١٠

قد لا يتضح ذلك من الوهلة الأولى، لكن جميع المخرجات الموجودة في الصف السفلي تمت إزاحتها إلى اليمين. على سبيل المثال، النقطة (٠٨١،١) (وتمثل (٠٨١)=١) تمت إزاحتها إلى (٠٧٢،١) (وتمثل (٠٧٢٠٩)=١). دعونا نرسم المنحنيين أدناه، بما في ذلك إزاحة هذه النقطة.

كما نرى، تمت إزاحة المنحنى إلى اليمين بمقدار ٠٩. ويعني هذا أنه بطرح ٠٩ من 𞸎 مباشرة، فإن القيمة المخرجة تتحرك بمقدار ٠٩ في الاتجاه المعاكس.

هذه النتيجة أيضًا يمكن تعميمها. الدالة 󰎨(𞸎) عند تحويلها إلى 󰎨(𞸎+󰏡)، للثابت 󰏡𞹇، ينتقل منحناها بمقدار (󰏡،٠) (بعبارة أخرى، تتم إزاحته إلى اليسار بمقدار 󰏡). وإذا كان 󰏡 سالبًا، كما رأينا للتو، فإنه ينتج عن هذا إزاحة إلى اليمين.

بينما يمكننا التفكير في التفسير العددي للتحويلات الهندسية الأساسية للدوال، فإن المهم عمليًّا أن نتعرف على صورتها العامة. لنلخص التحويلات الهندسية الأساسية:

تعريف: التحويلات الهندسية للدوال

إذا كان لدينا الدالة 󰎨(𞸎)، فإنه للثوابت الحقيقية 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، يكون لدينا:

  • 󰎨(𞸎)+󰏡 يمثل انتقالًا بمقدار (٠،󰏡).
  • 󰎨(𞸎+𞸁) يمثل انتقالًا بمقدار (𞸁،٠).
  • 𞸢󰎨(𞸎) يمثل تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره 𞸢.
  • 󰎨(𞸃𞸎) يمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ١𞸃؛ حيث 𞸃٠.

قد نلاحظ أن التمدُّد الرأسي بمعامل قياس مقداره 𞸢؛ حيث 𞸢<٠، يمكننا أيضًا تمثيله على صورة انعكاس حول المحور 𞸎 متبوعًا بتمدُّد رأسي بمعامل قياس مقداره |𞸢|. وبالمثل، التمدُّد الأفقي بمعامل قياس مقداره ١𞸃؛ حيث 𞸃<٠، يمكن تمثيله على صورة انعكاس حول المحور 𞸑 متبوعًا بتمدُّد أفقي بمعامل قياس مقداره ١|𞸃|. يمكن استخدام أيٍّ من هذين التمثيلين، ولكننا سنستخدم الترميز الأول في هذا الشارح.

في المثال التالي، سنوضِّح كيفية إيجاد إحداثيات نقطة بعد التحويل الهندسي باستخدام هذه التعريفات.

مثال ٢: تحديد صورة نقطة على التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد تطبيق تحويل هندسي

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎). التحويل الهندسي يحوِّل 󰎨(𞸎) إلى 󰎨(٢𞸎). أوجد إحداثيات النقطة 󰏡 بعد هذا التحويل الهندسي.

الحل

تذكر أن الدالة 󰎨(𞸎) تتحول إلى 󰎨(󰏡𞸎) بعد التمدد الأفقي بمعامل قياس مقداره ١󰏡. بما أن التحويل الهندسي في هذا السؤال يحوِّل الدالة 󰎨(𞸎) إلى 󰎨(٢𞸎)، فإننا نحدد أن 󰏡=٢، وهذا يمثل تمددًا أفقيًا بمعامل قياس مقداره ١٢ كما يوضح الشكل التالي.

بما أن المنحنى تمدد أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ١٢، فإن الإحداثي 𞸎 لصورة النقطة 󰏡 سيكون ١٢×٠٨١=٠٩، بينما سيظل الإحداثي 𞸑 دون تغيير.

إحداثيات صورة النقطة 󰏡 هي (٠٩،١).

من الجدير بالملاحظة أنه يمكننا التحقُّق من صحة هذه الإجابة بالتعويض بـ 𞸎=٠٩ في 󰎨(٢𞸎). 󰎨(٢𞸎)=󰎨(٢×٠٩)=󰎨(٠٨١)

نلاحظ من التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎) أن 󰎨(٠٨١)=١. وهذا هو الإحداثي 𞸑 للصورة 󰏡.

في المثال الثالث، سنستخدم هذه التعريفات لتساعدنا في التعرف على التمثيل البياني لدالة بعد تطبيق تحويل هندسي.

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد تطبيق تحويل هندسي

أيٌّ مما يلي تمثيل 𞸑=(𞸎)+١ البياني؟

الحل

تذكر أن التمثيل البياني لدالة جيب التمام يكون كما هو موضَّح:

لتحديد التمثيل البياني الصحيح، سنستخدم حقيقة أن الدالة 󰎨(𞸎) تتحول إلى الدالة 󰎨(𞸎)+󰏡 بالانتقال بمقدار 󰏡 من الوحدات في الاتجاه الرأسي. هذا يعني أن الدالة 𞸑=(𞸎) تتحول إلى الدالة 𞸑=(𞸎)+١ بالانتقال وحدة واحدة لأعلى. بعد هذا الانتقال، ستكون إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هي (٠،٢)، ونقاط تقاطع المنحنى مع المحور 𞸎 ستقع عند ٠٨١+٠٦٣𞸍 للقيم الصحيحة للعدد 𞸍.

هذا هو الخيار (د):

سيكون هناك حالات تتحول فيها الدالة إلى دالة أخرى باستخدام سلسلة من عدة تحويلات هندسية. في هذه الحالة، هناك عدد محدود من الحالات يكون ترتيب إجراء التحويلات فيها غير مهم. وبوجه عام، يكون الترتيب أمرًا مهمًّا إذا أثرت التحويلات الهندسية في الاتجاه نفسه (بعبارة أخرى، تحويلان لكل منهما تأثير أفقي).

على سبيل المثال، انظر الدالتين المعرفتين بـ ٢(𞸎)+١ و٢((𞸎)+١). منحنى كلتا الدالتين يمثل تحويلًا هندسيًّا ما لمنحنى الدالة 𞸑=𞸎. الشكل ١ يوضح التمثيل البياني للدالة 𞸑=(𞸎) والدالة 𞸑=٢(𞸎)+١، حيث نحصل على 𞸑=٢(𞸎)+١ بإجراء تمدُّد رأسي بمعامل قياس مقداره ٢ ثم الانتقال بمقدار (٠،١). الشكل ٢ يوضح التمثيل البياني للدالة 𞸑=(𞸎) والدالة 𞸑=٢((𞸎)+١). ونحصل على المنحنى الأزرق بالانتقال بمقدار (٠،١) ثم بتمدُّد رأسي.

لتجنب الأخطاء، علينا اتباع الترتيب المعطى:

خطوات: ترتيب التحويلات الهندسية للدوال

󰎨(𞸎) تتحوَّل إلى 󰏡󰎨(𞸁(𞸎+𞸢))+𞸃 بالترتيب التالي:

  1. التمدُّد الرأسي بمعامل قياس مقداره 󰏡؛ حيث 󰏡<٠، سيؤدِّي إلى انعكاس حول المحور 𞸎.
  2. التمدد الأفقي بمعامل قياس مقداره ١𞸁؛ حيث 𞸁<٠، سيؤدِّي إلى انعكاس حول المحور 𞸑.
  3. الانتقال الأفقي بمقدار (𞸢،٠).
  4. الانتقال الرأسي بمقدار (٠،𞸃).

على سبيل المثال، دعونا نحدد مجموعة التحويلات الهندسية التي تؤدي إلى تحويل الدالة 𞸑=(𞸎) إلى الدالة 𞸑=(٠٩𞸎). يمكننا إعادة كتابة (٠٩𞸎) على الصورة ((𞸎٠٩)) واستخدام ترتيب التحويلات الهندسية. نجد أن الدالة (𞸎) تخضع لتحويلين هندسيين منفصلين من أجل تحويلها إلى ((𞸎٠٩))، وهما تمدد أفقي بمعامل قياس مقداره ١١=١ متبوعًا بانتقال أفقي بمقدار (٠٩،٠).

التمثيل البياني للدالة 𞸑=(𞸎) كما هو موضَّح في الشكل ١. التمدد الأفقي بمعامل قياس مقداره ١ ينتج عنه التمثيل البياني الموضح في الشكل ٢.

وأخيرًا، الانتقال الأفقي بمقدار (٠٩،٠) يعطينا التمثيل البياني الموضح أدناه:

دعونا نوضح كيفية تطبيق هذه العملية لإيجاد صورة نقطة على منحنى.

مثال ٤: تحديد صورة نقطة على التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد تطبيق عدة تحويلات هندسية

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎). تحويل هندسي يحوِّل 󰎨(𞸎) إلى ٤󰎨(٣𞸎٥٤)+١. أوجد إحداثيات النقطة 󰏡 بعد هذا التحويل الهندسي.

الحل

تذكر أن الدالة 󰎨(𞸎) تتحول إلى الدالة 󰏡󰎨(𞸁(𞸎+𞸢))+𞸃 بالترتيب التالي:

  1. التمدُّد الرأسي بمعامل قياس مقداره 󰏡؛ حيث 󰏡<٠، سيؤدي إلى انعكاس حول المحور 𞸎.
  2. التمدد الأفقي بمعامل قياس مقداره ١𞸁 حيث 𞸁<٠، سيؤدي إلى انعكاس حول المحور 𞸑.
  3. الانتقال الأفقي بمقدار (𞸢،٠).
  4. الانتقال الرأسي بمقدار (٠،𞸃).

لتحديد التحويل الهندسي الذي يؤدي إلى تحويل الدالة 󰎨(𞸎) إلى الدالة ٤󰎨(٣𞸎٥٤)+١، نعيد كتابة ٤󰎨(٣𞸎٥٤)+١ على الصورة ٤󰎨(٣(𞸎٥١))+١ ونجعل 󰏡=٤، 𞸁=٣، 𞸢=٥١، 𞸃=١. بعد ذلك، تخضع الدالة 󰎨(𞸎) لما يلي:

  1. تمدد رأسي بمعامل قياس مقداره ٤.
  2. تمدد أفقي بمعامل قياس مقداره ١٣.
  3. انتقال أفقي بمقدار ((٥١)،٠)=(٥١،٠).
  4. انتقال رأسي بمقدار (٠،١).

يمكننا تطبيق كل خطوة على النقطة 󰏡 ذات الإحداثيات (٠٨١،١):

  1. التمدُّد الرأسي بمعامل قياس مقداره ٤ يؤدي إلى تحويل (٠٨١،١) إلى (٠٨١،١×٤)=(٠٨١،٤).
  2. التمدُّد الأفقي بمعامل قياس مقداره ١٣ يؤدي إلى تحويل (٠٨١،٤) إلى 󰂔٠٨١×١٣،٤󰂓=(٠٦،٤).
  3. الانتقال الأفقي بمقدار (٥١،٠) يؤدي إلى تحويل (٠٦،٤) إلى (٠٦+٥١،٤)=(٥٧،٤).
  4. الانتقال الرأسي بمقدار (٠،١) يؤدي إلى تحويل (٥٧،٤) إلى (٥٧،٤+١)=(٥٧،٣).

ومن ثَمَّ فإن إحداثيات صورة النقطة 󰏡 هي (٥٧،٣).

في المثال الأخير، سنوضِّح كيفية تطبيق هذه العملية لإيجاد التمثيل البياني لصورة دالة.

مثال ٥: تحديد التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد تطبيق تحويلين هندسيين

أيٌّ من الآتي التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰂔𞸎٤󰂓١؟

الحل

لعلنا نتذكر أن الدالة 󰎨(𞸎) تتحول إلى الدالة 󰏡󰎨(𞸁(𞸎+𞸢))+𞸃 بالترتيب التالي:

  1. التمدد الرأسي بمعامل قياس مقداره 󰏡؛ حيث 󰏡<٠، سيؤدي إلى انعكاس حول المحور 𞸎.
  2. التمدد أفقي بمعامل قياس مقداره ١𞸁؛ حيث 𞸁<٠، سيؤدي إلى انعكاس حول المحور 𞸑.
  3. الانتقال الأفقي بمقدار (𞸢،٠).
  4. الانتقال الرأسي بمقدار (٠،𞸃).

إذا حددنا أن 󰎨(𞸎)=(𞸎)، فإنه يمكننا تحديد الصورة بعد تحويلين هندسيين على الصورة 𞸓(𞸎)=󰂔𞸎٤󰂓١=󰂔١٤𞸎󰂓١.

بعد ذلك يمكننا جعل 𞸁=١٤، 𞸃=١ بحيث تتحول الدالة 󰎨(𞸎) إلى الدالة 𞸓(𞸎) من خلال تمدد أفقي بمعامل قياس مقداره ١=٤١٤، متبوعًا بانتقال رأسي بمقدار (٠،١).

التمثيل البياني للدالة 𞸑=𞸎 موضح في الشكل ١، والتمدد الأفقي للدالة (𞸎) بمعامل قياس مقداره ٤ موضح في الشكل ٢. نلاحظ أن النقطة 󰏡 ذات الإحداثيات (٠٩،١) تتحول إلى النقطة 󰏡 ذات الإحداثيات (٠٦٣،١).

وأخيرًا، ينتقل هذا المنحنى بمقدار وحدة واحدة لأسفل كما هو موضح في الشكل ٣. النقطة 󰏡 تتحول إلى النقطة 󰏡 ذات الإحداثيات (٠٦٣،٠).

وهذا هو الخيار (ب).

دعونا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم الرئيسية المستخلَصة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • للدالة 󰎨(𞸎)، والثوابت الحقيقية 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃:
    • 󰎨(𞸎)+󰏡 تمثل انتقالًا بمقدار (٠،󰏡).
    • 󰎨(𞸎+𞸁) تمثل انتقالًا بمقدار (𞸁،٠).
    • 𞸢󰎨(𞸎) تمثل تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره 𞸢.
    • 󰎨(𞸃𞸎) تمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ١𞸃.
  • يمكن تطبيق مجموعة من التحويلات الهندسية بالترتيب التالي. لمعرفة كيفية تحويل الدالة 󰎨(𞸎) إلى 󰏡󰎨(𞸁(𞸎+𞸢))+𞸃، نطبق:
    • تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره 󰏡؛ حيث 󰏡<٠، سيؤدي إلى انعكاس حول المحور 𞸎.
    • تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ١𞸁؛ حيث 𞸁<٠، سيؤدي إلى انعكاس حول المحور 𞸑.
    • انتقالًا أفقيًّا بمقدار (𞸢،٠).
    • انتقالًا رأسيًّا بمقدار (𞸃،٠).

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية