شارح الدرس: خواص التوافيق الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَستخدِم خواصَّ التوافيق لتبسيط المقادير وحلِّ المعادلات.

التوافيق عبارة عن مجموعة مكوَّنة من من العناصر التي اختيرت دون تكرار من مجموعة مكوَّنة من من العناصر دون الالتفات إلى الترتيب. الاختلاف الأساسي بين التوافيق والتباديل هو فكرة أن الترتيب لا يهم. بالنسبة إلى التباديل، فالترتيب مهم. نأخذ على سبيل المثال عدد الطرق التي يمكننا بها تعيين منصب الرئيس ونائب الرئيس لمجموعة مكوَّنة من خمسة أشخاص: سمر، باسم، منى، رامي، إنجي. إذا اخترنا سمر ثم إنجي، فلن يكون هذا نفس اختيارنا إنجي أولًا ثم سمر؛ بما أن الشخص الذي اخترناه أولًا سيكون هو الرئيس، والثاني هو نائب الرئيس. لكن، إذا أردنا تكوين لجنة من شخصين فقط، فلا يهم إذا اخترنا سمر أولًا ثم إنجي، أو إنجي أولًا ثم سمر. ومن ثَمَّ، نستنتج أن استخدام التباديل ينتج عنه عدد أكبر من الاختيارات الممكنة إذا لم يكن الترتيب مهمًّا. في الواقع، ينتج عنه عدد أكبر بمقدار تمامًا. ومن ثَمَّ، يمكننا تعريف العدد من توافيق من العناصر بأنه العدد من تباديل مقسومًا على .

سنركِّز في هذا الشارح على الخواص الأساسية لـ ، وكيف يمكننا تطبيقها لتبسيط التعبيرات وحل المعادلات. سنبدأ بتناول مثال نستخدم فيه هذه الصيغة لإيجاد قيمة تعبير يحتوي على توافيق.

لحل المثال السابق، كان بإمكاننا استخدام دالة التوافيق في الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة التعبير. ولكن، ستمنحنا إجادة التعامل مع صيغ التباديل والتوافيق المهارات اللازمة التي نحتاج إليها لحل المسائل الأكثر صعوبةً.

دعونا نتناول مثالًا نوجد فيه مجهولًا في معادلة تتضمن التباديل والتوافيق.

في المثال التالي، سنوجد تعبيرًا يتضمن التباديل يساوي تعبيرًا معطى يتضمن التوافيق.

حتى الآن، كلُّ ما فعلناه هو أننا استخدمنا التعريف والصيغة الخاصَّيْن بتوافيق لحل المسائل. يمكن حل العديد من المسائل التي تحتوي على توافيق بهذه الطريقة. لكن، في كثير من الأحيان، يمكننا حل المسائل بطريقة أبسط وأسلوب مباشر أكثر من خلال معرفة خواص التوافيق. إحدى هذه الخواص ترتبط بتماثل التوافيق.

يُمكِننا أن نلاحِظ من التعريف: أن هناك تماثلًا في المقام. إذا عوَّضنا بـ عن في الصيغة، فسنجد أننا نحصل على التعبير نفسه:

هذا يقودنا إلى المتطابقة العامة للتوافيق.

لهذا الأمر بعض التطبيقات المفيدة التي يمكن بها حل معادلات تحتوي على ؛ حيث تكون قيم مجهولة. يوضِّح المثال الآتي أحد هذه التطبيقات.

أوضَحَ المثال السابق أنه إذا كان ، فإن أو .

دعونا نتناول مثالًا آخر يتطلب تماثل التوافيق.

في المثال التالي، سنوجد ثابتًا مجهولًا في التوافيق عندما تُكوِّن التعبيرات التي تتضمن التوافيق متتابعة حسابية.

هناك خاصية أساسية أخرى للتوافيق، وهي العلاقة التكرارية:

لاستنتاج هذه الصيغة، يمكننا استخدام التعريف لكتابة الطرف الأيمن من المعادلة على الصورة:

علينا التعبير عن ذلك في صورة كسر واحد على المقام المشترك . ويمكننا فعل ذلك بضرب الحد الأول في ، والحد الثاني في على النحو الآتي:

باستخدام خاصية المضروب التي تنص على أن ، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:

وبالتعبير عن ذلك في صورة كسر واحد وفك الأقواس، نحصل على:

وبتبسيط هذه المعادلة واستخدام قاعدة المضروب نفسها، نحصل على: كما هو مطلوب.

نتناول الآن مثالًا نطبِّق فيه خاصية تبسيط المعادلات هذه.

مثال ٧: مجاميع أزواج التوافيق

أوجد قيمة .

الحل

يبدو أننا سنجد بعض الصعوبة في إيجاد قيمة هذا التعبير أو تبسيطه. لكن الفكرة الأولى التي تطرأ علينا عبر الملاحظة هي أنه عند وجود في المجموع، نحصل على الحد . وبأخذ هذا الحد خارج المجموع، نحصل على:

في هذه المرحلة، يمكننا تطبيق العلاقة التكرارية: ومن ثَمَّ، تبسيط هذه المعادلة إلى:

نلاحِظ الآن أننا إذا فعلنا الشيء نفسه مرة أخرى وأخذنا الحد الأخير خارج المجموع، فسنحصل على:

إذن:

وبالمتابعة بالطريقة نفسها، نصل في النهاية إلى الحد الأخير في المجموع، ، ونحصل على التعبير:

ومن ثم، يمكننا تبسيط التعبير بأكمله إلى:

في المثالين الأخيرين، سنتناول مجاميع جميع توافيق بمعلومية قيمة .

في المثال السابق، علمنا أن مجموع جميع التوافيق ؛ حيث هو ٣٢؛ ومن ثم، فليس من المصادفة أن يساوي ذلك . في الواقع، تنص القاعدة العامة على أن مجموع جميع التوافيق لأي قيمة معطاة لـ يساوي . يمكننا كتابة ذلك على صورة: أو بتعبير أكثر دقةً، لدينا المتطابقة التالية.

قد لا تمثِّل هذه القاعدة مفاجأة كبيرة لنا عندما نتناول العلاقة التكرارية لكل حد:

وبما أن هذا لا ينطبق على أو ، إذن يمكننا إعادة كتابة المجموع على الصورة:

وبما أن ، ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير على الصورة:

ومن ثَمَّ، بإعادة تجميع الحدود، نحصل على:

وعليه، نستنتج أن مجموع يساوي ضعف مجموع . وكذلك، بما أن ، إذن نلاحِظ أن مجموع لقيمة معطاة لـ يكون قوة مرفوعة لاثنين؛ وتحديدًا يكون .

وأخيرًا، نتناول المجموع التناوبي للتوافيق.

مرةً أخرى، هذه قاعدة عامة تنص على أن المجاميع التناوبية لـ تساوي صفرًا: أو بتعبير أدق:

هناك طريقة بديلة لتمثيل ذلك، وهي أن مجموع الحدود الفردية ومجموع الحدود الزوجية متساويان. وهذا لا يُعَدُّ أمرًا مفاجئًا عندما تكون قيمة فردية بسبب خاصية التماثل: . لكن، كما أوضح المثال السابق، ينطبق هذا أيضًا على القيمة الزوجية لـ .

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.