شارح الدرس: إيجاد النهايات من الجداول والتمثيلات البيانية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد نهايات الدوال باستخدام الجداول والتمثيلات البيانية.

إن نهاية الدالة عند نقطة ما توفِّر لنا معطيات حول مُخرَجات هذه الدالة بالقرب من النقطة (وليس عندها). فيما يلي التعريف المنهجي لنهاية الدالة.

تعريف: نهاية الدالة

إذا كانت قيم الدالة 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة معيَّنة لـ 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡 (في كلا الجانبين)، وليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=󰏡، فإننا نقول إن نهاية الدالة 󰎨(𞸎) عندما تقترب 𞸎 من 󰏡 تساوي 𞸋، ونرمز إلى ذلك على النحو الآتي: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.

لإيجاد نهاية دالة عند نقطة معيَّنة، علينا إيجاد مُخرَجات الدالة؛ حيث تقترب قيم 𞸎 عشوائيًّا من النقطة (في كلا الجانبين). يمكننا إيجاد مُخرَجات الدالة بطريقتين مختلفتين.

أولًا، يمكننا إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني. في التمثيل البياني للدالة المُعطى 𞸑=󰎨(𞸎)، نتذكَّر أن النقطة على المنحنى تكون على الصورة (𞸎، 󰎨(𞸎))؛ لذا، فإن الإحداثيات 𞸑 للنقاط توضِّح لنا مُخرَجات الدالة. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني بالنظر إلى شكل تمثيلها البياني على جانبَي النقطة. على سبيل المثال، انظر إلى التمثيل البياني الآتي للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢.

يمكننا إيجاد ـــــ𞸎٠٢𞸎 بالنظر إلى مُخرَجات الدالة على جانبَي الصفر.

نلاحظ من الشكل أن 󰎨(٢)=٤.

لتحديد قيمة النهاية، يجب أن تقترب قيم 𞸎 من الصفر، ويمكننا فعل ذلك بالتفكير في المزيد من القيم المُدخَلة.

نلاحظ من التمثيل البياني أن اقتراب قيم 𞸎 المُدخَلة من الصفر على اليمين، يجعل المُخرَجات تقترب من الصفر. ولإيجاد قيمة النهاية، علينا التأكُّد من حدوث ذلك في كلا الجانبين. ويمكننا فعل ذلك بيانيًّا.

مرةً أخرى، عندما تقترب القيم المُدخَلة من الصفر على اليسار، فإن التمثيل البياني يشير إلى أن القيم المُخرَجة تقترب من الصفر. ومن ثَمَّ، يشير التمثيل البياني إلى أن ـــــ𞸎٠٢𞸎=٠.

في الطريقة السابقة المتعلِّقة بإيجاد النهاية، احتجنا إلى التمثيل البياني للدالة لإيجاد مُخرَجاتها. ومع ذلك، يمكننا إيجاد المُخرَجات الفعلية للدالة عن طريق التعويض. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد نهاية أي دالة بتحديد نقاط عيِّنة لها.

على سبيل المثال، يمكننا إيجاد ـــــ𞸎٠٢𞸎 عن طريق تحديد نقاط عيِّنة. علينا التحقُّق ممَّا إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة معيَّنة لـ 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من الصفر (في كلا الجانبين). يمكننا البدء بقيم 𞸎>٠، ونحن نعرف أن 󰎨(١)=١=١٢. نريد أن تقترب القيم المُدخَلة لـ 𞸎 من الصفر. ويمكننا ملاحظة أن 󰎨(١٫٠)=١٠٫٠، 󰎨(١٠٫٠)=١٠٠٠٫٠، وهو ما يعطينا الجدول الآتي:

𞸎صفر٠٫٠١٠٫١١
󰎨(𞸎)٠٫٠٠٠١٠٫٠١١

تذكَّر أنه عند إيجاد النهاية، علينا النظر إلى كلا الجانبين. لدينا 󰎨(١)=١، 󰎨(١٫٠)=١٠٫٠، 󰎨(١٠٫٠)=١٠٠٠٫٠. يمكننا إضافة هذه المعطيات إلى الجدول.

𞸎١١٫٠١٠٫٠صفر٠٫٠١٠٫١١
󰎨(𞸎)١٠٫٠١٠٫٠٠٠١٠٫٠٠٠١٠٫٠١١

بما أن قيم 𞸎 تقترب من الصفر في كلا الجانبين، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من الصفر. ومن ثَمَّ، يُشير الجدول إلى أن ـــــ𞸎٠٢𞸎=٠.

دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام جدول المُخرَجات لإيجاد نهاية.

مثال ١: إيجاد نهاية دالة من جدول

أوجد ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎) من الجدول المُعطى.

𞸎١٫٢١٠٫٢١٠٠٫٢٢٩٩٩٫١٩٩٫١٩٫١
󰎨(𞸎)٣٦٫٩٣٦٫٠٩٣٦٫٠٠٩٣٥٫٩٩١٣٥٫٩١٣٥٫١

الحل

نكتب أن ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=𞸋؛ حيث تقترب القيم المُدخَلة لـ 𞸎 عشوائيًّا من ٢ في كلا الجانبين، إذا كانت القيم المُخرَجة تقترب من 𞸋.

نلاحظ في الجدول أنه عندما تقترب القيم المُدخَلة لـ 𞸎 من ٢، تكون القيم المُخرَجة هي ٣٥٫١، ٣٥٫٩١، ٣٥٫٩٩١، التي يبدو أنها تقترب من ٣٦. إحدى طرق ملاحظة ذلك هي التفكير في الفرق بين كل قيمة والعدد ٣٦:

𞸎٢٩٩٩٫١٩٩٫١٩٫١
󰎨(𞸎)٣٥٫٩٩١٣٥٫٩١٣٥٫١
󰎨(𞸎)٦٣٩٠٠٫٠٩٠٫٠٩٫٠

يمكننا فعل الأمر نفسه مع قيم 𞸎 على اليمين.

𞸎١٫٢١٠٫٢١٠٠٫٢٢٩٩٩٫١٩٩٫١٩٫١
󰎨(𞸎)٣٦٫٩٣٦٫٩٩٣٦٫٠٠٩٣٥٫٩٩١٣٥٫٩١٣٥٫١
󰎨(𞸎)٦٣٠٫٩٠٫٠٩٠٫٠٠٩٩٠٠٫٠٩٠٫٠٩٫٠

مرةً أخرى، يشير الجدول إلى أن هذه القيم تقترب من ٣٦. إذن، مع اقتراب المُخرَجات من ٣٦، عندما تقترب قيم 𞸎 من ٢ في كلا الجانبين، يشير الجدول إلى أن ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=٦٣.

في المثال التالي، سنُوجِد نهاية دالة من تمثيلها البياني.

مثال ٢: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني

إذا كان التمثيل البياني الموضَّح يمثِّل الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣، فأوجد ـــــ𞸎١󰎨(𞸎).

الحل

نتذكَّر أن الصيغة ـــــ𞸎١󰎨(𞸎)=𞸋 تعني أنه كلما اقتربت قيم 𞸎 عشوائيًّا من ١ في أيٍّ من الاتجاهين، لا بد أن تقترب مُخرَجات الدالة من 𞸋. يمكننا النظر إلى كل اتجاه في التمثيل البياني على حِدَةٍ. نلاحظ أولًا أن 󰎨(١)=٢.

سنستمر في تحديد القيم المُدخَلة التي تقترب من ١. على سبيل المثال، 󰎨(٠)=٣، 󰎨(٥٫٠)=٥٫٣.

كلما اقتربت القيمة المُدخَلة من ١ بهذه الطريقة، اقتربت مُخرَجات الدالة من ٤.

لإيجاد النهاية عندما تقترب 𞸎 من ١، علينا النظر إلى المُخرَجات في الجانب الآخر لـ 𞸎=١. ويمكننا فعل ذلك باستخدام التمثيل البياني.

مرةً أخرى، عندما تقترب القيم المُدخَلة من ١ على اليسار، تقترب مُخرَجات الدالة من ٤.

ومِن ثَمَّ، عندما تقترب مُدخَلات الدالة من ١ في أيِّ جانب، نلاحظ أن المُخرَجات تقترب من ٤. إذن يُشير التمثيل البياني إلى أن ـــــ𞸎١󰎨(𞸎)=٤.

في المثال التالي، سنُوجِد نهاية دالة غير خطية من تمثيلها البياني.

مثال ٣: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني إن وُجِدت النهاية

أوجد النهاية عندما يكون 𞸎٢، للدالة الموضَّحة بالتمثيل البياني.

الحل

نتذكَّر أن القول بأن نهاية دالة عند 𞸎٢ يساوي قيمة معيَّنة لـ 𞸋 يعني أنه عندما تقترب قيم 𞸎 عشوائيًّا من ٢ في أيٍّ من الاتجاهين، يجب أن تقترب مُخرَجات الدالة من 𞸋. يمكننا إيجاد مُخرَجات الدالة من تمثيلها البياني، وبناءً على ذلك، يمكننا إيجاد نهايتها بالنظر إلى المُخرَجات في التمثيل البياني على أيٍّ من جانبَي 𞸎=٢.

يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أنه عندما تقترب قيم 𞸎 أكثر فأكثر من ٢ على اليمين، فإن القيم المُخرَجة للدالة تقترب من ٣. يمكننا فعل الأمر نفسه على اليسار.

مرةً أخرى، عندما تقترب قيم 𞸎 عشوائيًّا من ٢ على اليسار، فإن القيم المُخرَجة للدالة تقترب من ٣. وبما أن المُخرَجات تقترب من ٣ كلما اقتربت 𞸎 من ٢ في كلا الجانبين، إذن: ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=٣.

في المثال التالي، سنُوجِد نهاية دالة من تمثيلها البياني عندما تكون الدالة غير معرَّفة عند نقطة النهاية.

مثال ٤: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني عند نقطة من عدم اتصال قابل للإزالة إن وُجِدت النهاية

أوجد ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)، إن وُجِدت.

الحل

نكتب أن ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=𞸋 إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة معيَّنة لـ 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من ٢ في كلا الجانبين، وليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=٢. يمكننا إيجاد قيم 󰎨(𞸎) عندما تقترب 𞸎 من ٢ في كلا الجانبين باستخدام التمثيل البياني. إذا بدأنا من اليسار، فسنحصل على الآتي:

عندما تقترب قيم 𞸎 من ٢ على اليسار، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من ٣. يمكننا فعل الأمر نفسه على اليمين.

هذه المرة أيضًا، عندما تقترب قيم 𞸎 من ٢ على اليمين، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من ٣. من المهم أن نؤكِّد مرةً أخرى على أنه بالرغم من أن الدالة 󰎨(٢) غير معرَّفة، كما توضِّح الدائرة المفرَّغة عند النقطة (٢،٣)، فإن هذا لا يؤثِّر على النهاية؛ لأن ما يعنينا فقط هو المُخرَجات التي تقترب عشوائيًّا من ٢ وليس عندما تكون 𞸎=٢.

ومن ثَمَّ، يشير التمثيل البياني إلى أن ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=٣.

في المثال الأخير، سنعرف أن قيمة الدالة عند نقطة ما يمكن أن تختلف عن نهايتها عند تلك النقطة.

مثال ٥: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني إن وُجِدت النهاية

باستخدام التمثيل البياني التالي، أوجد ـــــ𞸎٣󰎨(𞸎).

الحل

نكتب أن ـــــ𞸎٣󰎨(𞸎)=𞸋، إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة معيَّنة لـ 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من ٣ (في كلا الجانبين)، وليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=٣. يمكننا إيجاد قيم 󰎨(𞸎) عندما تقترب 𞸎 من ٣ في كلا الجانبين باستخدام التمثيل البياني. في الجانب الأيمن من 𞸎=٣، نحصل على الآتي:

عندما تقترب قيم 𞸎 المُدخَلة من ٣ على اليمين، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من ٢. يمكننا بعد ذلك فعل الأمر نفسه على اليسار.

عندما تقترب قيم 𞸎 المُدخَلة من ٣ على اليسار، فإن مُخرَجات الدالة تقترب أيضًا من ٢.

لاحظ أنه على الرغم من أن التمثيل البياني يوضِّح أن 󰎨(٣)=٥، وهو ما تمثِّله هذه الدائرة المصمتة عند 𞸎=٣، فإن من المهم أن نتذكَّر أنه يمكن إيجاد نهاية أي دالة عندما تكون 𞸎=󰏡 من خلال مُخرَجاتها التي تقترب عشوائيًّا من 󰏡، وليس عندما تكون 𞸎=󰏡.

إذن، يشير التمثيل البياني إلى أن ـــــ𞸎٣󰎨(𞸎)=٢.

دعونا نختم باسترجاع بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة معيَّنة لـ 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡 (في كلا الجانبين)، وليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=󰏡، فإننا نقول إن: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.
  • قيمة الدالة عند 󰏡 لا تؤثِّر على نهايتها عندما تقترب 𞸎 من 󰏡.
  • يمكننا إيجاد نهاية أي دالة عند 𞸎=󰏡 من تمثيلها البياني بالنظر إلى المنحنى الموجود على جانبَي 𞸎=󰏡.
  • يمكننا إيجاد نهاية أي دالة عن طريق تحديد نقاط عيِّنة أعلى وأدنى من قيمة النهاية لدينا. وعادةً ما يتم تمثيل ذلك من خلال جدول لمُخرَجات الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.