شارح الدرس: إيجاد النهايات من الجداول والتمثيلات البيانية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد نهاية دالة من جدول

أوجد من الجدول المُعطى.

الحل

نكتب أن ؛ حيث تقترب القيم المُدخَلة لـ عشوائيًّا من في كلا الجانبين، إذا كانت القيم المُخرَجة تقترب من .

نلاحظ في الجدول أنه عندما تقترب القيم المُدخَلة لـ من ، تكون القيم المُخرَجة هي ٣٥٫١، ٣٥٫٩١، ٣٥٫٩٩١، التي يبدو أنها تقترب من ٣٦. إحدى طرق ملاحظة ذلك هي التفكير في الفرق بين كل قيمة والعدد ٣٦:

يمكننا فعل الأمر نفسه مع قيم على اليمين.

مرةً أخرى، يشير الجدول إلى أن هذه القيم تقترب من ٣٦. إذن، مع اقتراب المُخرَجات من ٣٦، عندما تقترب قيم من في كلا الجانبين، يشير الجدول إلى أن .

مثال ٢: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني

إذا كان التمثيل البياني الموضَّح يمثِّل الدالة ، فأوجد .

الحل

نتذكَّر أن الصيغة تعني أنه كلما اقتربت قيم عشوائيًّا من في أيٍّ من الاتجاهين، لا بد أن تقترب مُخرَجات الدالة من . يمكننا النظر إلى كل اتجاه في التمثيل البياني على حِدَةٍ. نلاحظ أولًا أن .

سنستمر في تحديد القيم المُدخَلة التي تقترب من . على سبيل المثال، ، .

كلما اقتربت القيمة المُدخَلة من بهذه الطريقة، اقتربت مُخرَجات الدالة من .

لإيجاد النهاية عندما تقترب من ، علينا النظر إلى المُخرَجات في الجانب الآخر لـ . ويمكننا فعل ذلك باستخدام التمثيل البياني.

مرةً أخرى، عندما تقترب القيم المُدخَلة من على اليسار، تقترب مُخرَجات الدالة من .

ومِن ثَمَّ، عندما تقترب مُدخَلات الدالة من في أيِّ جانب، نلاحظ أن المُخرَجات تقترب من . إذن يُشير التمثيل البياني إلى أن .

مثال ٣: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني إن وُجِدت النهاية

أوجد النهاية عندما يكون ، للدالة الموضَّحة بالتمثيل البياني.

الحل

نتذكَّر أن القول بأن نهاية دالة عند يساوي قيمة معيَّنة لـ يعني أنه عندما تقترب قيم عشوائيًّا من ٢ في أيٍّ من الاتجاهين، يجب أن تقترب مُخرَجات الدالة من . يمكننا إيجاد مُخرَجات الدالة من تمثيلها البياني، وبناءً على ذلك، يمكننا إيجاد نهايتها بالنظر إلى المُخرَجات في التمثيل البياني على أيٍّ من جانبَي .

يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أنه عندما تقترب قيم أكثر فأكثر من ٢ على اليمين، فإن القيم المُخرَجة للدالة تقترب من ٣. يمكننا فعل الأمر نفسه على اليسار.

مرةً أخرى، عندما تقترب قيم عشوائيًّا من ٢ على اليسار، فإن القيم المُخرَجة للدالة تقترب من ٣. وبما أن المُخرَجات تقترب من ٣ كلما اقتربت من ٢ في كلا الجانبين، إذن:

مثال ٤: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني عند نقطة من عدم اتصال قابل للإزالة إن وُجِدت النهاية

أوجد ، إن وُجِدت.

الحل

نكتب أن إذا كانت قيم تقترب من قيمة معيَّنة لـ عندما تقترب قيم من ٢ في كلا الجانبين، وليس بالضرورة عندما تكون . يمكننا إيجاد قيم عندما تقترب من ٢ في كلا الجانبين باستخدام التمثيل البياني. إذا بدأنا من اليسار، فسنحصل على الآتي:

عندما تقترب قيم من ٢ على اليسار، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من ٣. يمكننا فعل الأمر نفسه على اليمين.

هذه المرة أيضًا، عندما تقترب قيم من ٢ على اليمين، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من ٣. من المهم أن نؤكِّد مرةً أخرى على أنه بالرغم من أن الدالة غير معرَّفة، كما توضِّح الدائرة المفرَّغة عند النقطة ، فإن هذا لا يؤثِّر على النهاية؛ لأن ما يعنينا فقط هو المُخرَجات التي تقترب عشوائيًّا من ٢ وليس عندما تكون .

ومن ثَمَّ، يشير التمثيل البياني إلى أن .

مثال ٥: إيجاد نهاية دالة من تمثيلها البياني إن وُجِدت النهاية

باستخدام التمثيل البياني التالي، أوجد .

الحل

نكتب أن ، إذا كانت قيم تقترب من قيمة معيَّنة لـ عندما تقترب قيم من ٣ (في كلا الجانبين)، وليس بالضرورة عندما تكون . يمكننا إيجاد قيم عندما تقترب من ٣ في كلا الجانبين باستخدام التمثيل البياني. في الجانب الأيمن من ، نحصل على الآتي:

عندما تقترب قيم المُدخَلة من ٣ على اليمين، فإن مُخرَجات الدالة تقترب من ٢. يمكننا بعد ذلك فعل الأمر نفسه على اليسار.

عندما تقترب قيم المُدخَلة من ٣ على اليسار، فإن مُخرَجات الدالة تقترب أيضًا من ٢.

لاحظ أنه على الرغم من أن التمثيل البياني يوضِّح أن ، وهو ما تمثِّله هذه الدائرة المصمتة عند ، فإن من المهم أن نتذكَّر أنه يمكن إيجاد نهاية أي دالة عندما تكون من خلال مُخرَجاتها التي تقترب عشوائيًّا من ، وليس عندما تكون .

إذن، يشير التمثيل البياني إلى أن .