في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب مساحة السطح الجانبية والكلية للمخروط باستخدام صيغتَيْهما.
نبدأ باستعراض بعض المصطلحات المستخدَمة عند الحديث عن المخروط ومساحته. تُوجَد ثلاثة قياسات أساسية لوصف المخروط:
- نصف القطر، ، لقاعدة المخروط الدائرية، ويُسمَّى أيضًا نصف قطر قاعدته؛
- الارتفاع العمودي، ، وهو المسافة العمودية بين مركز القاعدة ورأس المخروط؛
- راسم المخروط، ، وهو المسافة من الرأس إلى أيِّ نقطة تقع على محيط القاعدة، على طول جانب المخروط.
هذه الأطوال الثلاثة ممثَّلة في الشكل التالي. وسنتناول العلاقة بين هذه الأطوال الثلاثة لاحقًا.
تتكوَّن مساحة سطح المخروط من جزأين مختلفين؛ هما: مساحة السطح المنحني، وتُسمَّى المساحة الجانبية أو مساحة السطح الجانبية، ومساحة القاعدة الدائرية.
صيغ: مساحة سطح المخروط
صيغة مساحة السطح الجانبية للمخروط، ، هي: حيث يمثِّل نصف قطر قاعدة المخروط، ويمثِّل طول راسم المخروط.
وصيغة مساحة السطح الكلية للمخروط، ، هي:
يجب أن نحرص على التمييز بين مساحتَي السطح هاتين لتحديد إذا ما كنا سنحسب مساحة القاعدة في المسألة.
نوضِّح الآن كيف نُطبِّق الصيغة المستخدَمة لحساب مساحة السطح الجانبية للمخروط بمعلومية قطر قاعدته وطول راسمه.
مثال ١: إيجاد المساحة الجانبية لمخروط بمعلومية قطر قاعدته وطول راسمه
أوجد، لأقرب جزء من عشرة، المساحة الجانبية لمخروط قطره ٤٠ سنتيمترًا، وطول راسمه ٢٩ سنتيمترًا.
الحل
أولًا، نلاحظ أن السؤال يطلب منا إيجاد المساحة الجانبية للمخروط فقط، وليس مساحة سطحه الكلية. إذن الصيغة المطلوبة هي: علينا معرفة راسم المخروط ونصف قطره. نعلم من المعطيات أن راسم المخروط يساوي ٢٩ سم، ويمكننا حساب نصف القطر بقسمة القطر على اثنين:
وأخيرًا، نعوِّض بهذه القيم في صيغة مساحة السطح الجانبية لإيجاد قيمتها:
وبتقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة، كما هو مطلوب في السؤال، نجد أن المساحة الجانبية للمخروط تساوي ١ ٨٢٢٫١ سم٢.
إحدى النقاط المهمة في المثال السابق هي أنه كان لدينا في المعطيات قطر قاعدة المخروط، وليس نصف قطرها. وهذا لا يمثِّل تحديًا كبيرًا؛ لأن العلاقة بين الاثنين سهلة، لكنها أحد التفاصيل المهمة التي يجب الانتباه إليها عند حل المسائل.
كان من المهم أيضًا أن نُحدِّد إذا ما كنا بصدد حساب مساحة السطح الجانبية أو الكلية للمخروط. ولأننا أردنا حساب المساحة الجانبية، لم نحتَجْ إلى استخدام مساحة القاعدة الدائرية. نتناول الآن مثالًا على تطبيق صيغة حساب مساحة السطح الكلية بمعلومية كلٍّ من طول راسم المخروط ونصف قطر قاعدته.
مثال ٢: إيجاد مساحة السطح الكلية لمخروط بمعلومية طول راسمه ونصف قطر قاعدته
أوجد مساحة السطح الكلية للمخروط الموضَّح، لأقرب جزء من مائة.
الحل
من الشكل، يتضح لنا أن لدينا في المعطيات نصف قطر قاعدة المخروط، ويساوي ١٩ سم، وطول راسمه، ويساوي ٤٠ سم. ولحساب مساحة السطح الكلية، نعوِّض بهاتين القيمتين في الصيغة المناسبة ونبسِّط:
في بعض الحالات، قد يكون علينا إعطاء إجابة دقيقة، وفي هذه الحالة نترك الإجابة بدلالة . لكن في هذه المسألة، مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة؛ ومن ثَمَّ، علينا إيجاد ذلك:
مساحة السطح الكلية للمخروط، لأقرب جزء من مائة، هي ٣ ٥٢١٫٧٣ سم٢.
تناولنا حتى الآن أمثلة على كيفية حساب مساحتَي السطح الجانبية والكلية للمخروط بمعلومية نصف قطر قاعدته (أو قطرها) وطول راسمه. لكن قد يُطلَب منا حساب مساحة سطح المخروط بمعلومية ارتفاعه العمودي. لا نحتاج إلى صيغة منفصلة لذلك، لكن علينا بدلًا من ذلك التفكير في العلاقة بين نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي وطول الراسم.
من الشكل السابق، نلاحظ أن نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي وطول الراسم تُشكِّل معًا مثلثًا قائم الزاوية. لذا، يمكننا توضيح العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة هذه من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس:
ومن ثَمَّ، إذا علمنا طولَي ضلعين من هذه الأضلاع، يمكننا حساب طول الضلع الثالث من خلال تكوين معادلة وحلها. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.
مثال ٣: إيجاد مساحة السطح الكلية لمخروط بمعلومية طول راسمه وارتفاعه العمودي
أوجد المساحة الكلية للمخروط القائم بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
من الشكل، نلاحظ أن الطولين المعطيين هما طول راسم المخروط وارتفاعه العمودي. وصيغة مساحة السطح الكلية للمخروط هي: ومن ثَمَّ، علينا تحديد نصف قطر قاعدته .
يمكننا تكوين معادلة تربط بين نصف قطر القاعدة، والارتفاع العمودي، وطول الراسم، من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس:
بالتعويض عن ، والتبسيط، نحصل على:
ويمكننا إيجاد قيمة عن طريق حساب الجذر التربيعي، وأخذ القيمة الموجبة فقط؛ لأن يمثِّل طولًا:
وأخيرًا، نعوِّض بنصف القطر وطول راسم المخروط في صيغة مساحة السطح الكلية. من الأفضل استخدام القيمة الدقيقة لـ ، وبالتأكيد ، لتجنُّب وقوع أي أخطاء عند التقريب:
مساحة السطح الكلية للمخروط، لأقرب منزلتين عشريتين، هي ٦٠٢٫٩٤ سم٢.
بذلك نكون قد تناولنا أمثلة على كيفية حساب مساحتَي السطح الجانبية والكلية للمخروط بمعلومية قياسين من قياساته الثلاثة الأساسية. ويمكننا تلخيص هذه العمليات في الخطوات الآتية.
كيفية حساب مساحتَي سطح المخروط
- تحديد إذا ما كانت المساحة الجانبية أو مساحة السطح الكلية هي المطلوبة.
- تحديد نصف قطر قاعدة المخروط وطول راسمه.
- إذا كان أحد هذين الطولين غير معلوم، لكن الارتفاع العمودي معلوم، نحسب الطول المجهول بتطبيق نظرية فيثاغورس.
- التعويض بنصف القطر وطول الراسم في الصيغة المناسبة، وحساب الناتج.
كما هي الحال في جميع مجالات الرياضيات، يمكن أيضًا تطبيق المهارات التي اكتسبناها هنا على مسائل في سياق واقعي. فأينما وُجِد جسمٌ ما على أرض الواقع له شكل مخروطي، يمكننا تطبيق الصيغتين اللتين عرضناهما لحساب مساحة سطحه الجانبية أو الكلية، كما سنرى في المثالين الآتيين.
مثال ٤: إيجاد مساحة السطح الجانبية لمخروط في سياق واقعي
جبل مخروطي نصف قطره ١٫٥ كم، وارتفاعه العمودي ٠٫٥ كم. أوجد المساحة الجانبية للجبل، لأقرب منزلة عشرية.
الحل
تشير المعطيات إلى أن هذا الجبل مخروطي الشكل؛ ومن ثَمَّ، فإن المسألة هندسية في الأساس. ولكي نطبِّق صيغة المساحة الجانبية، علينا معرفة نصف قطر قاعدة الجبل وطول راسمه. ليس لدينا في المعطيات طول الراسم، لكن بما أننا نعرف كلًّا من طول نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي، إذن يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس:
وبالتعويض عن ، والتبسيط، نحصل على: .
ولإيجاد قيمة ، علينا حساب الجذر التربيعي، مع أخذ القيمة الموجبة فقط؛ لأن يمثِّل طولًا:
والآن، نعوِّض بقيمتَي نصف القطر وطول راسم المخروط في صيغة المساحة الجانبية:
المساحة الجانبية للجبل، لأقرب منزلة عشرية، هي ٧٫٥ كم٢.
يجب أن نتأكَّد دائمًا من استخدام الوحدات الصحيحة في الإجابة. وبما أننا نحسب مساحة، إذن يجب أن تكون الوحدات المستخدَمة في الإجابة هي الوحدات المربعة. في المثال السابق، كان الطولان المعطيان مقيسين بالكيلومتر؛ ومن ثَمَّ، فإن الوحدات المستخدَمة في الإجابة كانت بالكيلومتر. وعلينا أن نتأكَّد أيضًا ممَّا إذا كان السؤال قد طلب أن تكون الإجابة بوحدة تختلف عن تلك المعطاة في الأصل؛ على سبيل المثال، أن تكون وحدة الطول هي المتر، والمساحة مطلوب إيجادها بالكليومتر المربع.
مثال ٥: إيجاد مساحة السطح الجانبية لمخروط في سياق واقعي
غطاء مصباح مخروطي ارتفاعه ٣١ سم، وله قاعدة محيطها ١٤٥٫٢ سم. أوجد مساحة السطح المنحني الخارجي لغطاء المصباح. قرِّب إجابتك لأقرب سنتيمتر مربع.
الحل
مساحة السطح المنحني لغطاء المصباح هي مساحته الجانبية، وتُحسَب باستخدام الصيغة:
نحتاج إذن إلى معرفة نصف قطر قاعدة المخروط وطول راسمه، ولم يَرِد أيٌّ منهما في معطيات السؤال. لذا، بدلًا من ذلك، هيا ننظر في المعطيات الأخرى ونُحدِّد كيف يمكننا استخدامها لحساب الطولين اللذين نحتاج إليهما.
القاعدة الدائرية للمخروط محيطها يساوي ١٤٥٫٢ سم. نعلم أن محيط الدائرة يُحسَب بالصيغة ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا حساب نصف القطر من خلال تكوين معادلة وحلها:
نعرف الآن نصف قطر قاعدة المخروط وارتفاعه العمودي. ولحساب طول الراسم، علينا تطبيق نظرية فيثاغورس:
نُوجِد قيمة عن طريق حساب الجذر التربيعي له:
وأخيرًا، نعوِّض بالقيمتين اللتين حسبناهما لإيجاد نصف القطر وطول الراسم في صيغة مساحة السطح الجانبية:
مساحة السطح المنحني الخارجي لغطاء المصباح، لأقرب سنتيمتر مربع، تساوي ٢ ٨٠٧ سم٢.
في مسائل أخرى، قد تكون لدينا مساحة سطح المخروط وأحد المعطيات الأخرى، ويُطلَب منا إيجاد أحد الأطوال الرئيسية الأخرى. وهو ما يعني بالأساس «الحل بطريقة عكسية»، كما سنرى في المثال الأخير.
مثال ٦: إيجاد ارتفاع مخروط بمعلومية مساحة سطحه ونصف قطر قاعدته
مخروط مساحة سطحه بوصة مربعة، ونصف قطر قاعدته ١٣ بوصة. أوجد طول راسم هذا المخروط.
الحل
في هذه المسألة، لدينا في المعطيات نصف قطر المخروط ومساحة سطحه، ومطلوب منا إيجاد طول راسمه. نتذكُّر صيغة مساحة السطح (الكلية) للمخروط:
بالتعويض بمساحة السطح المعلومة ونصف القطر المعلوم، يمكننا تكوين معادلة:
يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . يمكن حذف العامل أولًا من كل حدٍّ، لنحصل على:
نطرح بعد ذلك ١٦٩ من كلا الطرفين ونقسم على ١٣:
طول راسم المخروط يساوي ١٥ بوصة.
دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- الأطوال الثلاثة الأساسية التي تَصِف المخروط هي نصف قطر قاعدته ، وارتفاعه العمودي ، وطول راسمه .
- ترتبط هذه الأطوال الثلاثة معًا بنظرية فيثاغورس:
- مساحة السطح المنحني للمخروط تُسمَّى مساحته الجانبية، وتُحسَب باستخدام الصيغة:
- لإيجاد مساحة السطح الكلية للمخروط، علينا أيضًا استخدام مساحة القاعدة الدائرية:
