شارح الدرس: مساحات المضلعات المتشابهة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد مساحة مستطيل مشابه بمعلومية طولَي ضلعين متناظرين وتمثيل بياني

بالنظر إلى الشكل التالي، أوجد مساحة المضلَّع المشابه ، الذي فيه = ٦.

الحل

نتذكَّر أن المضلعين يكونان متشابهين إذا كان لهما عدد الأضلاع نفسه، وكانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. والمضلع المشابه لـ يكون أيضًا مستطيلًا تتناسب أضلاعه مع أضلاع أ ب جـ ء.

يمكننا إيجاد نسبة الطول بين المستطيلين بكتابة الطولين . لدينا ، ويمكننا استخدام الشكل لاستنتاج أن وحدات. ومن ثَمَّ، بالتعويض بهاتين القيمتين في النسبة، يصبح لدينا:

يمكننا استخدام نسبة الطول لإيجاد النسبة بين مساحتَي مضلعين متشابهين. فإذا كانت نسبة الطول بين مضلعين متشابهين هي ، فإن النسبة بين مساحتَيْهما هي . إذن يصبح لدينا:

يمكننا كتابة:

لإيجاد مساحة أي مستطيل، نضرب الطول في العرض. وباستخدام الشكل، نلاحظ أن طول يساوي ٥ وحدات، وعرضه يساوي ٣ وحدات. ومن ثَمَّ، لإيجاد مساحة ، نحسب:

إذا عرَّفنا مساحة على أنها ، فستصبح لدينا النسبة بين المساحتين، ، على الصورة:

ولكي تكون النسبتان متكافئتين، يجب أن تكون قيمة هي ٦٠؛ حيث:

نضع في اعتبارنا أيضًا أن نسبة المساحة بين تعني ببساطة أن مساحة تساوي أربعة أمثال مساحة . وبما أن مساحة المستطيل الأصغر تساوي ١٥ وحدة مربعة، إذن وحدة مربعة.

ومن ثَمَّ، فإن مساحة المضلع تساوي .

مثال ٢: إيجاد النسبة بين مساحتَي شكلين متشابهين بمعلومية النسبة بين أطوالهما

المستطيل مشابه للمستطيل ، ونسبة أضلاعهما تساوي . إذا وصلت أبعاد كلٍّ من المستطيلين إلى الضعف، فأوجد نسبة مساحتَي المستطيلين الكبيرين.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن المضلعين يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. يمكننا استخدام النسبة المُعطاة للطول بين المستطيلين لمساعدتنا في حساب النسبة بين مساحتَيْهما.

المضلعان المتشابهان التي تكون نسبة الطول بين أضلاعهما المتناظرة هي ، تكون النسبة بين مساحتَيْهما هي .

لدينا نسبة الطول بين المستطيلين، وهي . لذا، يمكننا حساب نسبة المساحة كالآتي:

علمنا من السؤال أن أطوال كلٍّ من المستطيلين صارت الضعف. يمكننا تعريف هذين المستطيلين الجديدين على أنهما ، . ومن ثَمَّ، فإن كل طول في المستطيل والمستطيل يكون ضعف الطول الأصلي. نفترض أن الأطوال قيم ثابتة؛ فعلى سبيل المثال، إذا كان الطولان المتناظران هما ٨ سم و٩ سم، فعند مضاعفتهما، يصبح هذان الطولان ١٦ سم و١٨ سم. وعند كتابتهما في صورة النسبة ، يمكن تبسيطها إلى .

إذن، إذا كان لدينا مضلعان متشابهان لهما نسبة طول مُعطاة، وانطبق معامل القياس نفسه على كلا المستطيلين، فإن نسبة الطول تظل كما هي. كما تظل نسبة المساحة أيضًا كما هي. ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن نسبة المساحة بين هذين المستطيلين الكبيرين المُضاعَفة أطوالهما هي .

مثال ٣: إيجاد مساحة مضلع مشابه بمعلومية معامل قياس الطول والمحيط

المربع عبارة عن تكبير للمربع بمعامل قياس . إذا كان محيط المربع يساوي ٥٦ سم، فما مساحة المربع ؟ قرِّب إجابتك لأقرب جزء من مائة.

الحل

علمنا من المُعطيات أن المربع عبارة عن تكبير للمربع بمعامل قياس . المربعان متشابهان؛ ما يعني أن جميع زواياهما المتناظرة قياساتها متساوية، وجميع أضلاعهما المتناظرة متناسبة. وبما أن معامل القياس هو ، فإن جميع الأضلاع الأربعة للمربع تساوي أطوال أضلاع المربع .

ليس لدينا أيُّ مُعطيات عن أطوال أضلاع المربع أو ، لكن يمكننا حساب أطوال المربع باستخدام المُعطيات عن محيطه. نتذكَّر أن المحيط هو المسافة الخارجية لشكل ما. إذا عرَّفنا طول ضلع على أنه ، فإذن نظرًا لوجود ٤ أضلاع متساوية الطول، يمكننا كتابة:

نعوِّض بالقيمة المُعطاة ٥٦ سم عن المحيط، لنحصل على:

أصبح لدينا الآن طول ضلع المربع ، وهو يساوي ١٤ سم. ولإيجاد المساحة، نتذكَّر أن مساحة المربع الذي طول ضلعه تُعطى من خلال: إذن، لإيجاد مساحة المربع ، نعوِّض بالطول؛ أي ، وهو ما يُعطينا:

إذا كان معامل قياس الطول من المربع إلى المربع هو ، فيمكننا حساب معامل قياس المساحة.

نتذكَّر أنه إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ، فإن معامل القياس بين مساحتَيْهما هو . وبما أن نسبة الطول من إلى هي ، إذن يمكن كتابة النسبة بين مساحتَيْهما على الصورة:

يمكننا عندئذٍ كتابة:

بالتعويض بقيمة مساحة المربع ؛ أي ١٩٦ سم^٢، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، فإن مساحة المربع تساوي ٤٤١ سم^٢.

مثال ٤: حساب محيط شكل مشابه بمعلومية مساحتين

مضلعان متشابهان مساحتاهما ٣٦١ سم^٢ و٨١ سم^٢. إذا كان محيط الأول ٣٨ سم، فأوجد محيط الثاني.

الحل

في هذا السؤال، بما أن المضلعين متشابهان، إذن نَعرِف أن لهما عدد الأضلاع نفسه، وزواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. ويمكننا استخدام المساحتين المُعطاتين لكتابة نسبة المساحة، ثم استنتاج نسبة الطول بين المضلعين.

يمكننا كتابة نسبة مساحة على الصورة:

المضلعان المتشابهان التي نسبة الطول بين أضلاعهما المتناظرة هي ، تكون النسبة بين مساحتَيْهما هي .

لذا، لحساب نسبة طول ، نأخذ القيمة الموجبة للجذر التربيعي لحدَّي النسبة. وهذا يُعطينا:

يمكننا استخدام نسبة الطول هذه لحساب محيط المضلع الثاني؛ أي المضلع ٢. في هذه الحالة، لا يهم الشكل الذي يمثِّله المضلع، سواء كان مثلثًا أو مربعًا أو شكلًا سداسيًّا على سبيل المثال. وبما أن المحيط هو قياس للطول، إذن ما زالت نسبة الطول يمكن تطبيقها.

يمكننا تعريف محيط المضلع ٢ على أنه ، والمقارنة بين نسبة الطول ونسبة المحيطَيْن كالآتي:

بما أن ٣٨ ضعف القيمة ١٩، إذن يجب مضاعفة كلتا القيمتين في نسبة الطول للحصول على هذين المحيطين. ومن ثَمَّ:

إذن يمكننا الإجابة بأن محيط المضلع الثاني يساوي ١٨ سم.

مثال ٥: حل مسألة من الحياة الواقعية تتضمَّن المساحة

يُقدَّر مبلغ ٣‎ ‎٧٩٩ جنيهًا إسترلينيًّا تكلفةَ تركيب أرضية خشبية في فصل دراسي بُعداها ٢٨ م و١٠ م. كم تبلغ تكلفة تركيب أرضية خشبية في غرفة مماثلة بُعداها ٨٤ م و٣٠ م؟

الحل

في هذا السؤال، بما أن لدينا بُعدَيْن بقياسين مختلفين، إذن يمكن أن نفترض أن كلا الفصلين مستطيلان. يمكننا تسمية المستطيل الأول ، والمستطيل الثاني . إحدى طرق حل هذه المسألة هي استنتاج إذا ما كان هذان الفصلان المستطيلان متشابهين. يكون المضلعان متشابهين إذا كان لهما عدد الأضلاع نفسه، وكانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.

نحن نعلم أن المستطيلان يكون لهما عدد الأضلاع نفسه، وزواياهما المتناظرة تكون قياساتها متساوية، فجميعها تساوي . علينا التحقُّق ممَّا إذا كانت الأضلاع متناسبة أو لا. وقد يفيدنا في ذلك رَسْم شكل.

يمكننا كتابة النسبة بين العرضين؛ أي ، على الصورة:

يمكن تبسيط هذه النسبة إلى:

يمكن كتابة النسبة بين الطولين على الصورة: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

لمعرفة إذا ما كانت الأضلاع المتناظرة في المضلعين متناسبة، علينا التحقُّق من جميع الأضلاع. لكن، بما أن هذا مستطيل، إذن نعلم أن هناك زوجَيْن من الأضلاع المتطابقة. أوضحنا أن نسبتَي الطول والعرض يمكن تبسيطهما إلى النسبة نفسها، وهي ، إذن جميع الأضلاع متناسبة. ومن ثَمَّ، فإن الفصلين المستطيلين متشابهان.

نسبة طول تساوي . ويمكننا استخدام الخاصية التي تفيد بأن المضلعات المتشابهة التي تكون نسبة الطول بين أضلاعها المتناظرة هي ، تكون النسبة بين مساحاتها هي . يمكن حساب نسبة المساحة كالآتي:

بدلًا من ذلك، يمكننا حساب نسبة المساحة عن طريق إيجاد مساحة كل مستطيل. مساحة المستطيل الذي طوله ، وعرضه ، تُعطى من خلال:

مساحة المستطيل الذي طوله ٢٨ م، وعرضه ١٠ م، هي:

يمكن حساب مساحة المستطيل كالآتي:

بتبسيط النسبة بين هاتين المساحتين، نحصل على:

تُعطينا كلتا الطريقتين نسبة المساحة نفسها، وهي .

لإيجاد تكلفة الأرضية، علينا استخدام نسبة المساحة بدلًا من نسبة الطول. وهذا لأن تكلفة الأرضية تتغيَّر طرديًّا حسب مساحة الغرفة، بدلًا من أن تتغيَّر حسب أحد أبعادها.

لدينا تكلفة الأرضية لمستطيل بُعداه ٢٨ م و١٠ م، وهو المستطيل . يمكننا تعريف تكلفة أرضية المستطيل على أنها . ونقارن بين نسبتَي المساحة والتكلفة كالآتي:

يجب أن تساوي كل قيمة في نسبة التكلفة ٣‎ ‎٧٩٩ مثلًا من كل قيمة في نسبة المساحة. إذن:

بذلك يمكننا الإجابة بأن تكلفة تركيب الأرضية في الغرفة التي بُعداها ٨٤ م و٣٠ م تبلغ .