شارح الدرس: مساحات المضلعات المتشابهة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب مساحات المضلَّعات المتشابهة بمعلومية طولَي ضلعَيْن متناظرَيْن، أو معامل القياس بينهما وإحدى مساحتَي المضلعين.

نبدأ باسترجاع المقصود بمضلعين متشابهين.

تعريف: المضلعات المتشابهة

يكون المضلعان متشابهين إذا كان لهما عدد الأضلاع نفسه، وكانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.

نفترض مثلًا أن لدينا المستطيلين الآتيين:

المستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃 يشابه المستطيل 𞸎𞸑𞸏𞸋. لكلٍّ من المستطيلين ٤ أضلاع، وجميع الزوايا المتناظرة متطابقة، ويمكننا كتابة: 󰏡𞸁𞸎𞸑=𞸁𞸢𞸑𞸏=𞸢𞸃𞸏𞸋=𞸃󰏡𞸋𞸎.

يمكن إيجاد معامل القياس من المستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃 إلى المستطيل 𞸎𞸑𞸏𞸋 بقسمة طول أي ضلع من أضلاع 𞸎𞸑𞸏𞸋 على طول الضلع المناظر له في 󰏡𞸁𞸢𞸃. على سبيل المثال: اس=𞸎𞸑󰏡𞸁=٤٨=١٢.

إذا كان معامل القياس في اتجاه واحد مُعطًى على أنه 𞸊، فإن معامل القياس في الاتجاه المضاد هو ١𞸊.

يمكننا إيجاد نسبة الطول بين مضلعين متشابهين بكتابة النسبة بين طول أحد الأضلاع في مضلع، وطول الضلع المناظر له في المضلع الآخر. في المستطيلين السابقين، يمكننا كتابة نسبة طول 󰏡𞸁𞸢𞸃 : 𞸎𞸑𞸏𞸋 على الصورة ٨٤=٢١. وبالتعويض بعرض كلٍّ من هذين المستطيلين، نحصل على النسبة المكافئة، وهي ٣٥٫١=٢١.

نتعرَّف الآن على كيفية استخدام نسبة الطول بين المضلعات المتشابهة لإيجاد نسبة المساحة.

نُلقي نظرة على المثلث الآتي 𞸤𞸃𞸅 الذي قاعدته 𞸒، وارتفاعه 𞸏. يتكوَّن مثلث مشابه، وهو 𞸤𞸃𞸅، من خلال تمدُّد بمعامل قياس 𞸊. ومن ثَمَّ، تكون أبعاد 𞸤𞸃𞸅 هي 𞸊𞸒، 𞸊𞸏.

قد نطرح السؤالين الآتيين: كيف تختلف مساحة 𞸤𞸃𞸅 عن مساحة 𞸤𞸃𞸅؟ هل هي أكبر بحيث تساوي 𞸊 مرة من الأخرى؟

نتذكَّر أنه يمكن حساب مساحة أي مثلث قاعدته 𞸒، وارتفاعه العمودي 𞸏، بواسطة: ا=𞸒×𞸏٢.

ومن ثَمَّ، يمكن حساب مساحة 𞸤𞸃𞸅 من خلال: 𞸤𞸃𞸅=𞸒𞸏٢.

بالنسبة إلى 𞸤𞸃𞸅، نحصل على مساحته من خلال: 𞸤𞸃𞸅=𞸊𞸒×𞸊𞸏٢=𞸊𞸒𞸏٢=𞸊󰃁𞸒𞸏٢󰃀.٢٢

يمكننا المقارنة بين مساحتَي المثلثين بملاحظة أن: 𞸤𞸃𞸅=𞸊󰁓𞸤𞸃𞸅󰁒.٢

عندما تمدَّد هذا المضلع؛ أي المثلث 𞸤𞸃𞸅، بمعامل قياس 𞸊، ليصبح لدينا المثلث 𞸤𞸃𞸅، كان معامل قياس المساحتين هو 𞸊٢. وتنطبق هذه النتيجة على جميع المضلعات.

تعريف: مساحات المضلعات المتشابهة بمعلومية معامل القياس

إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو 𞸊، فإن معامل القياس بين مساحتيهما هو 𞸊٢.

نتناول الآن كيف يمكننا استخدام نسبة الطول بين المضلعات المتشابهة لتحديد نسبة المساحة.

انظر إلى متوازيَي الأضلاع المتشابهين الآتيين، 𞸎𞸑𞸏𞸋، 𞸎𞸑𞸏𞸋.

يمكن إيجاد نسبة الطول بكتابة النسب بين أطوال أي أضلاع متناظرة. على سبيل المثال، يمكننا كتابة 𞸋𞸏𞸋𞸏 على الصورة ٤٠١. وبتبسيط ذلك، نحصل على: ال=٢٥.

يمكننا الآن التفكير في مساحة كل متوازي أضلاع. نتذكَّر أنه يمكن إيجاد مساحة متوازي الأضلاع بضرب طول القاعدة في الارتفاع العمودي.

لذا، نحسب: 𞸎𞸑𞸏𞸋=٤×٣=٢١.

يمكننا حساب مساحة 𞸎𞸑𞸏𞸋 كالآتي: 𞸎𞸑𞸏𞸋=٠١×٥٫٧=٥٧.

يمكننا كتابة نسبة مساحتَي 𞸎𞸑𞸏𞸋𞸎𞸑𞸏𞸋 كالآتي: ا=٢١٥٧=٤٥٢.

بالمقارنة بين نسبة الطول؛ أي ٢٥، ونسبة المساحة؛ أي ٤٥٢، نلاحظ أنه قد تم تربيع كل جزء من نسبة الطول لنحصل على الجزء المناظر من نسبة المساحة. هذا يعني أن: الا=٢٥،=٢٥=٤٥٢.٢٢

ينطبق ذلك على جميع المضلعات. ويمكننا صياغة ذلك كالآتي.

تعريف: نسبة المساحة بين المضلعات المتشابهة

إذا كانت نسبة الطول بين مضلعين متشابهين مُعطاة على الصورة 𞸐𞸒، فإن النسبة بين مساحتَيْهما هي 𞸐𞸒٢٢.

سنَعرِف كيف يمكننا تطبيق ذلك في الأمثلة الآتية.

مثال ١: إيجاد مساحة مستطيل مشابه بمعلومية طولَي ضلعين متناظرين وتمثيل بياني

بالنظر إلى الشكل التالي، أوجد مساحة المضلَّع المشابه 󰏡𞸁𞸢𞸃، الذي فيه 󰏡𞸁 = ٦.

الحل

نتذكَّر أن المضلعين يكونان متشابهين إذا كان لهما عدد الأضلاع نفسه، وكانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. والمضلع المشابه لـ 󰏡𞸁𞸢𞸃 يكون أيضًا مستطيلًا تتناسب أضلاعه مع أضلاع أ ب جـ ء.

يمكننا إيجاد نسبة الطول بين المستطيلين 󰏡𞸁𞸢𞸃󰏡𞸁𞸢𞸃 بكتابة الطولين 󰏡𞸁󰏡𞸁. لدينا 󰏡𞸁=٦، ويمكننا استخدام الشكل لاستنتاج أن 󰏡𞸁=٣ وحدات. ومن ثَمَّ، بالتعويض بهاتين القيمتين في النسبة، يصبح لدينا: ال=٣٦=١٢.

يمكننا استخدام نسبة الطول لإيجاد النسبة بين مساحتَي مضلعين متشابهين. فإذا كانت نسبة الطول بين مضلعين متشابهين هي 𞸐𞸒، فإن النسبة بين مساحتَيْهما هي 𞸐𞸒٢٢. إذن يصبح لدينا: ا=١٢=١٤.٢٢

يمكننا كتابة: 󰏡𞸁𞸢𞸃󰏡𞸁𞸢𞸃=١٤.

لإيجاد مساحة أي مستطيل، نضرب الطول في العرض. وباستخدام الشكل، نلاحظ أن طول 󰏡𞸁𞸢𞸃 يساوي ٥ وحدات، وعرضه يساوي ٣ وحدات. ومن ثَمَّ، لإيجاد مساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃، نحسب: وة󰏡𞸁𞸢𞸃=٥×٣=٥١.

إذا عرَّفنا مساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃 على أنها 𞸎، فستصبح لدينا النسبة بين المساحتين، 󰏡𞸁𞸢𞸃󰏡𞸁𞸢𞸃، على الصورة: ٥١𞸎=١٤.

ولكي تكون النسبتان متكافئتين، يجب أن تكون قيمة 𞸎 هي ٦٠؛ حيث: ٥١٠٦=١٤.

نضع في اعتبارنا أيضًا أن نسبة المساحة بين 󰏡𞸁𞸢𞸃󰏡𞸁𞸢𞸃=١٤ تعني ببساطة أن مساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃 تساوي أربعة أمثال مساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃. وبما أن مساحة المستطيل الأصغر تساوي ١٥ وحدة مربعة، إذن ٤×٥١=٠٦ وحدة مربعة.

ومن ثَمَّ، فإن مساحة المضلع 󰏡𞸁𞸢𞸃 تساوي ٠٦وة.

نتناول الآن مثالًا نكتب فيه النسبة بين مساحتَي مضلعين متشابهين بمعلومية النسبة بين أطوال أضلاعهما.

مثال ٢: إيجاد النسبة بين مساحتَي شكلين متشابهين بمعلومية النسبة بين أطوالهما

المستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃 مشابه للمستطيل 𞸤𞸅𞸆𞸇، ونسبة أضلاعهما تساوي ٨٩. إذا وصلت أبعاد كلٍّ من المستطيلين إلى الضعف، فأوجد نسبة مساحتَي المستطيلين الكبيرين.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن المضلعين يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. يمكننا استخدام النسبة المُعطاة للطول بين المستطيلين لمساعدتنا في حساب النسبة بين مساحتَيْهما.

المضلعان المتشابهان التي تكون نسبة الطول بين أضلاعهما المتناظرة هي 𞸐𞸒، تكون النسبة بين مساحتَيْهما هي 𞸐𞸒٢٢.

لدينا نسبة الطول بين المستطيلين، وهي ٨٩. لذا، يمكننا حساب نسبة المساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸇 كالآتي: ا=٨٩=٤٦١٨.٢٢

علمنا من السؤال أن أطوال كلٍّ من المستطيلين صارت الضعف. يمكننا تعريف هذين المستطيلين الجديدين على أنهما 󰏡𞸁𞸢𞸃، 𞸤𞸅𞸆𞸇. ومن ثَمَّ، فإن كل طول في المستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃 والمستطيل 𞸤𞸅𞸆𞸇 يكون ضعف الطول الأصلي. نفترض أن الأطوال قيم ثابتة؛ فعلى سبيل المثال، إذا كان الطولان المتناظران هما ٨ سم و٩ سم، فعند مضاعفتهما، يصبح هذان الطولان ١٦ سم و١٨ سم. وعند كتابتهما في صورة النسبة ٦١٨١، يمكن تبسيطها إلى ٨٩.

إذن، إذا كان لدينا مضلعان متشابهان لهما نسبة طول مُعطاة، وانطبق معامل القياس نفسه على كلا المستطيلين، فإن نسبة الطول تظل كما هي. كما تظل نسبة المساحة أيضًا كما هي. ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن نسبة المساحة بين هذين المستطيلين الكبيرين المُضاعَفة أطوالهما هي ٤٦١٨.

في المثال التالي، نستخدم مُعطيات عن محيط مربع لمساعدتنا في إيجاد نسبة الطول بين شكلين متشابهين ونسبة مساحتَيْهما.

مثال ٣: إيجاد مساحة مضلع مشابه بمعلومية معامل قياس الطول والمحيط

المربع 󰏡 عبارة عن تكبير للمربع 𞸁 بمعامل قياس ٢٣. إذا كان محيط المربع 󰏡 يساوي ٥٦ سم، فما مساحة المربع 𞸁؟ قرِّب إجابتك لأقرب جزء من مائة.

الحل

علمنا من المُعطيات أن المربع 󰏡 عبارة عن تكبير للمربع 𞸁 بمعامل قياس ٢٣. المربعان متشابهان؛ ما يعني أن جميع زواياهما المتناظرة قياساتها متساوية، وجميع أضلاعهما المتناظرة متناسبة. وبما أن معامل القياس هو ٢٣، فإن جميع الأضلاع الأربعة للمربع 𞸁 تساوي ٢٣ أطوال أضلاع المربع 󰏡.

ليس لدينا أيُّ مُعطيات عن أطوال أضلاع المربع 󰏡 أو 𞸁، لكن يمكننا حساب أطوال المربع 󰏡 باستخدام المُعطيات عن محيطه. نتذكَّر أن المحيط هو المسافة الخارجية لشكل ما. إذا عرَّفنا طول ضلع 󰏡 على أنه 𞸎، فإذن نظرًا لوجود ٤ أضلاع متساوية الطول، يمكننا كتابة: 󰏡=٤𞸎.

نعوِّض بالقيمة المُعطاة ٥٦ سم عن المحيط، لنحصل على: ٦٥=٤𞸎٦٥٤=𞸎𞸎=٤١.

أصبح لدينا الآن طول ضلع المربع 󰏡، وهو يساوي ١٤ سم. ولإيجاد المساحة، نتذكَّر أن مساحة المربع الذي طول ضلعه 𞸋 تُعطى من خلال: ا=𞸋.٢ إذن، لإيجاد مساحة المربع 󰏡، نعوِّض بالطول؛ أي 𞸋=٤١، وهو ما يُعطينا: 󰏡=٤١=٦٩١.٢٢

إذا كان معامل قياس الطول من المربع 𞸁 إلى المربع 󰏡 هو ٢٣، فيمكننا حساب معامل قياس المساحة.

نتذكَّر أنه إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو 𞸊، فإن معامل القياس بين مساحتَيْهما هو 𞸊٢. وبما أن نسبة الطول من 𞸁 إلى 󰏡 هي ٢٣، إذن يمكن كتابة النسبة بين مساحتَيْهما على الصورة: سا=٢٣=٤٩.٢٢

يمكننا عندئذٍ كتابة: 𞸁×٤٩=󰏡.

بالتعويض بقيمة مساحة المربع 󰏡؛ أي ١٩٦ سم٢، يصبح لدينا: 𞸁×٤٩=٦٩١𞸁=٩٤×٦٩١=١٤٤.٢

ومن ثَمَّ، فإن مساحة المربع 𞸁 تساوي ٤٤١ سم٢.

نتناول الآن مثالًا آخر.

مثال ٤: حساب محيط شكل مشابه بمعلومية مساحتين

مضلعان متشابهان مساحتاهما ٣٦١ سم٢ و٨١ سم٢. إذا كان محيط الأول ٣٨ سم، فأوجد محيط الثاني.

الحل

في هذا السؤال، بما أن المضلعين متشابهان، إذن نَعرِف أن لهما عدد الأضلاع نفسه، وزواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. ويمكننا استخدام المساحتين المُعطاتين لكتابة نسبة المساحة، ثم استنتاج نسبة الطول بين المضلعين.

يمكننا كتابة نسبة مساحة اا١٢ على الصورة: ا=١٦٣١٨.

المضلعان المتشابهان التي نسبة الطول بين أضلاعهما المتناظرة هي 𞸐𞸒، تكون النسبة بين مساحتَيْهما هي 𞸐𞸒٢٢.

لذا، لحساب نسبة طول اا١٢، نأخذ القيمة الموجبة للجذر التربيعي لحدَّي النسبة. وهذا يُعطينا: ال=󰋴١٦٣󰋴١٨=٩١٩.

يمكننا استخدام نسبة الطول هذه لحساب محيط المضلع الثاني؛ أي المضلع ٢. في هذه الحالة، لا يهم الشكل الذي يمثِّله المضلع، سواء كان مثلثًا أو مربعًا أو شكلًا سداسيًّا على سبيل المثال. وبما أن المحيط هو قياس للطول، إذن ما زالت نسبة الطول يمكن تطبيقها.

يمكننا تعريف محيط المضلع ٢ على أنه ، والمقارنة بين نسبة الطول ونسبة المحيطَيْن كالآتي: الا=٩١٩،=٨٣.

بما أن ٣٨ ضعف القيمة ١٩، إذن يجب مضاعفة كلتا القيمتين في نسبة الطول للحصول على هذين المحيطين. ومن ثَمَّ: =٩×٢=٨١.

إذن يمكننا الإجابة بأن محيط المضلع الثاني يساوي ١٨ سم.

نتناول الآن مثالًا على كيفية إثبات تشابه مستطيلين لمساعدتنا في حل مسألة من الحياة الواقعية.

مثال ٥: حل مسألة من الحياة الواقعية تتضمَّن المساحة

يُقدَّر مبلغ ٣‎ ‎٧٩٩ جنيهًا إسترلينيًّا تكلفةَ تركيب أرضية خشبية في فصل دراسي بُعداها ٢٨ م و١٠ م. كم تبلغ تكلفة تركيب أرضية خشبية في غرفة مماثلة بُعداها ٨٤ م و٣٠ م؟

الحل

في هذا السؤال، بما أن لدينا بُعدَيْن بقياسين مختلفين، إذن يمكن أن نفترض أن كلا الفصلين مستطيلان. يمكننا تسمية المستطيل الأول 󰏡، والمستطيل الثاني 𞸁. إحدى طرق حل هذه المسألة هي استنتاج إذا ما كان هذان الفصلان المستطيلان متشابهين. يكون المضلعان متشابهين إذا كان لهما عدد الأضلاع نفسه، وكانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.

نحن نعلم أن المستطيلان يكون لهما عدد الأضلاع نفسه، وزواياهما المتناظرة تكون قياساتها متساوية، فجميعها تساوي ٠٩. علينا التحقُّق ممَّا إذا كانت الأضلاع متناسبة أو لا. وقد يفيدنا في ذلك رَسْم شكل.

يمكننا كتابة النسبة بين العرضين؛ أي 󰏡𞸁، على الصورة: ٠١٠٣.

يمكن تبسيط هذه النسبة إلى: ١٣.

يمكن كتابة النسبة بين الطولين على الصورة: ٨٢٤٨، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: ١٣.

لمعرفة إذا ما كانت الأضلاع المتناظرة في المضلعين متناسبة، علينا التحقُّق من جميع الأضلاع. لكن، بما أن هذا مستطيل، إذن نعلم أن هناك زوجَيْن من الأضلاع المتطابقة. أوضحنا أن نسبتَي الطول والعرض يمكن تبسيطهما إلى النسبة نفسها، وهي ١٣، إذن جميع الأضلاع متناسبة. ومن ثَمَّ، فإن الفصلين المستطيلين متشابهان.

نسبة طول 󰏡𞸁 تساوي ١٣. ويمكننا استخدام الخاصية التي تفيد بأن المضلعات المتشابهة التي تكون نسبة الطول بين أضلاعها المتناظرة هي 𞸐𞸒، تكون النسبة بين مساحاتها هي 𞸐𞸒٢٢. يمكن حساب نسبة المساحة 󰏡𞸁 كالآتي: ا=١٣=١٩.٢٢

بدلًا من ذلك، يمكننا حساب نسبة المساحة عن طريق إيجاد مساحة كل مستطيل. مساحة المستطيل الذي طوله 𞸋، وعرضه 𞸙، تُعطى من خلال: ا=𞸋×𞸙.

مساحة المستطيل 󰏡 الذي طوله ٢٨ م، وعرضه ١٠ م، هي: ام󰏡=٨٢×٠١=٠٨٢.٢

يمكن حساب مساحة المستطيل 𞸁 كالآتي: ام𞸁=٣٨×٠٣=٠٢٥٢.٢

بتبسيط النسبة بين هاتين المساحتين، نحصل على: ا=٠٨٢٠٢٥٢=١٩.

تُعطينا كلتا الطريقتين نسبة المساحة نفسها، وهي ١٩.

لإيجاد تكلفة الأرضية، علينا استخدام نسبة المساحة بدلًا من نسبة الطول؛ هذا لأن تكلفة الأرضية تتغيَّر طرديًّا حسب مساحة الغرفة، بدلًا من أن تتغيَّر حسب أحد أبعادها.

لدينا تكلفة الأرضية لمستطيل بُعداه ٢٨ م و١٠ م، وهو المستطيل 󰏡. يمكننا تعريف تكلفة أرضية المستطيل 𞸁 على أنها 𞸊. ونقارن بين نسبتَي المساحة والتكلفة كالآتي: ١٩()،٩٩٧٣𞸊().اا

يجب أن تساوي كل قيمة في نسبة التكلفة ٣‎ ‎٧٩٩ مثلًا من كل قيمة في نسبة المساحة. إذن: 𞸊=٩×٩٩٧٣=١٩١٤٣.

بذلك يمكننا الإجابة بأن تكلفة تركيب الأرضية في الغرفة التي بُعداها ٨٤ م و٣٠ م تبلغ ١٩١٤٣ًإ.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يكون المضلعان متشابهين إذا كان لهما عدد الأضلاع نفسه، وكانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.
  • إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو 𞸊، فإن معامل القياس بين مساحتَيْهما هو 𞸊٢.
  • إذا كانت نسبة الطول بين مضلعين متشابهين هي 𞸐𞸒، فإن النسبة بين مساحتيهما هي 𞸐𞸒٢٢.
  • بما أن المحيط يمثِّل طولًا، إذن يمكننا القول أيضًا إن النسبة بين مساحتَي المضلعين المتشابهين تساوي مربع النسبة بين محيطيهما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.