شارح الدرس: الاحتمال الشرطي: الجداول المزدوجة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: حساب الاحتمالات باستخدام جدول مزدوج

يجمع موقع صممه مُحبو البرنامج التلفزيوني أميز إن سبيس بيانات عن عدد أنواع المخلوقات الفضائية الجديدة التي قابلتها سفينتان فضائيتان في كل موسم عرض. يتضمن الجدول الآتي بيانات المواسم ١، ٢، ٧ موزعة بين السفينتين الفضائيتين زيتا وجويدا.

أوجد احتمال مقابلة سفينة الفضاء جويدا نوعًا فضائيٍا جديدًا مختارًا عشوائيًا. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

لإيجاد احتمال مقابلة سفينة الفضاء جويدا نوعًا جديدًا مختارًا عشوائيًا، علينا معرفة عدد الأنواع الجديدة التي قابلتها سفينة الفضاء جويدا، وعدد الأنواع الجديدة التي تمت مقابلتها إجمالًا في المواسم الثلاثة.

احتمال مقابلة سفينة الفضاء جويدا نوع جديد هو

ومن ثم، فإن احتمال مقابلة سفينة الفضاء جويدا لنوع فضائي جديد هو ٠٫٨٦٧، لأقرب ٣ منازل عشرية

ملاحظة

يمكننا القول أيضًا بأن احتمال مقابلة سفينة الفضاء جويدا لنوع جديد إجمالًا هي .

مثال ٢: استخدام الجداول المزدوجة لدراسة العلاقات بين المتغيرات الفئوية وحساب الاحتمالات الشرطية

يجمع موقع صممه مُحبي البرنامج التلفزيوني أميز إن سبيس بيانات عن عدد أنواع المخلوقات الفضائية الجديدة التي قابلتها سفينتان فضائيتان في كل موسم من البرنامج. يتضمن الجدول الآتي بيانات المواسم ١، ٢، ٧ موزعة بين السفينتين زيتا وجويدا.

بشرط ظهور نوع فضائي جديد في الموسم ٧، فأوجد احتمال مواجهته لسفينة الفضاء جويدا. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

إذا عرفنا أن نوعًا جديدًا قد ظهر في الموسم ٧، فسنحتاج فقط إلى النظر إلى إجمالي عدد الأنواع الجديدة التي ظهرت في الموسم ٧ وإيجاد نسبة هذه الأنواع التي قابلتها سفينة الفضاء جويدا. لذا، سننظر إلى عمود ”الموسم ٧“ فقط الموجود في الجدول.

بشرط ظهور نوع جديد في الموسم ٧، فإن احتمال مقابلته لسفينة الفضاء جويدا هو

بعبارة أخرى، إذا عرفنا أن نوعًا جديدًا قد ظهر في الموسم ٧، فإن احتمال مقابلته لسفينة الفضاء جويدا هي (٦٢٪) تقريبًا (حيث إن ). في هذا المثال، أوجدنا الاحتمال الشرطي لمقابلة سفينة الفضاء جويدا لنوع جديد مختار عشوائيًا، بشرط ظهوره في الموسم ٧.

مثال ٣: الاحتمال الشرطي من جدول مزدوج

يحتوي الجدول الآتي على بيانات من استبيان ”لمحترفي ألعاب“ سُئِلوا إذا ما كانت منصة الألعاب المفضلة لديهم هي ”الهاتف الذكي“ أو ”وحدة التحكم“ أو ”الحاسوب“. قُسِّم محترفو الألعاب أيضًا حسب الجنس.

1. أوجد احتمال اختيار محترف ألعاب عشوائيًا يفضل وحدة التحكم.قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
2. بشرط أن أحد مُحترفي الألعاب يفضل اللَّعب باستخدام وحدة التحكم، أوجد احتمال أن يكون ذكرًا.قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

لنحسب أولًا إجمالي صفوف وأعمدة الجدول.

الجزء ١

لإيجاد احتمال الاختيار عشوائيًا لمحترف ألعاب يفضِل وحدة التحكم، علينا إيجاد عدد محترفي الألعاب الذين يفضلون وحدة التحكم، وقسمة الناتج على إجمالي عدد محترفي الألعاب.

بجعل و يمثل عدد محترفي الألعاب الذين يفضلون وحدة التحكم نحصل على،

لإيجاد هذا على صورة نسبة مئوية، نحصل على . ومن ثم فإن ٢٥٪ تقريبًا من محترفي الألعاب يفضلون استخدام وحدة التحكم.

الجزء ٢

بشرط أن أحد محترفي الألعاب يفضل اللَّعب باستخدام وحدة التحكم، علينا إيجاد احتمال أن يكون ذكرًا. لأننا أصبحنا الآن مهتمين فقط بمحترفي الألعاب الذين يفضلون وحدة التحكم، فإن كل من يفضل استخدام الهواتف الذكية أو الحواسيب لن يدخل في هذه العملية الحسابية. لذا علينا النظر فقط إلى صف ”وحدة التحكم“ الموجود في الجدول (المظلل باللون الأزرق).

ومن ثم فإن الاحتمال الشرطي، احتمال أن يكون أحد محترفي الألعاب المختار عشوائيًا ذكرًا، بشرط أنه يفضل وحدة التحكم، هو

ولأن ، يمكننا القول بأنه بشرط أن يفضل أحد محترفي الألعاب المختار عشوائيًا وحدة التحكم، فهناك احتمال بنسبة ٦٢٪ أن يكون هذا المحترف ذكرًا.

مثال ٤: مقارنة الاحتمال الشرطي من جدول مزدوج واستخدام صيغة الاحتمال الشرطي

يتنافس رامي و منى على رئاسة اتحاد الطلاب في مدرستهما. يوضح الجدول الآتي الأصوات التي حصل عليها كل منهما من ٣ صفوف.

ما احتمال أن يكون هناك طالب قد انتخب منى بشرط أن يكون من طلاب الصف ب؟

الحل

إذا كان الطالب في الصف ب، فلإيجاد احتمال انتخابه منى ، دعونا أولًا نحسب إجمالي عدد الطلاب الذين انتخبوا في كل صف.

يمكننا أن نلاحظ أن عدد الطلاب الذين انتخبوا في الصف ب هو ٣٦٤، ومن بين هؤلاء الطلاب، انتخب ١٩٥ طالبًا .منى

نعلم بالفعل أن الطالب في الصف ب، لذا فنحن غير مهتمين بطلاب الصفين أ وج. وعليه، يكون الاحتمال الشرطي لانتخاب أحد الطلاب لـمنى بشرط أن يكون في الصف ب هو

ومن ثم يمكننا القول إن احتمال أن يكون هناك طالب قد انتخب منى، بشرط أن يكون الطالب من هؤلاء الطلاب الذين انتخبوا من الصف ب، هو ٥٤٪ (حيث إن ).

لاحظ أنه لحل هذه المسألة، كان بإمكاننا أيضًا استخدام صيغة الاحتمال الشرطي

فيما يتعلق باحتمال أن يكون أحد الطلاب قد انتخب منى بشرط أن يكون من الصف ب، علينا معرفة

1. ، أي احتمال أن يكون أحد الطلاب من الصف ب وأن يكون قد انتخب منى
2. احتمال أن يكون الطالب المختار عشوائيًا الذي انتخب من الصف ب .

من الجدول، كان يوجد ١٩٥ طالبًا منتخِبًا، من أصل إجمالي ١‎ ‎٠٠١ طالب، كانوا في الصف ب وانتخبوا منى.

ومن ثم،

بعد ذلك، يساوي عدد الطلاب الذين انتخَبوا في الصف ب من إجمالي عدد الطلاب المنتخِبين.

يوجد ٣٦٤ طالبًا منتخِبًا في الصف ب، وإجمالي ١‎ ‎٠٠١ طالبًا منتخِبًا. ومن ثم،

يمكننا الآن إيجاد الاحتمال الشرطي:

كما تلاحظ، توفر لنا الجداول المزدوجة طريقة مفيدة لإيجاد الاحتمالات الشرطية دون استخدام الصيغة. وعلى الرغم من أنه يمكننا استخدام صيغة الاحتمال الشرطي، إلا أنه من الأسرع والأسهل استخدام القيم من الجدول مباشرة.

مثال ٥: الجداول المزدوجة، والاحتمال الشرطي، والعلاقة بين المتغيرات الفئوية

تُجمَع بيانات من البرنامج التلفزيوني أميز إن سبيس عن عدد أنواع المخلوقات الفضائية الجديدة التي تمت مقابلتها لأول مرة. يوضح الجدول الآتي بيانات سفينة الفضاء زيتا في المواسم ١، ٢، ٧. صُنفت البيانات أيضًا حسب ما إذا كان عضو الطاقم الذي قام بالمقابلة الأولى ذكرًا أو أنثى.

1. من الجدول، أوجد احتمال أن تكون أول مقابلة لنوع من أنواع المخلوقات الفضائية مع أحد أفراد طاقم الإناث.قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
2. أوجد احتمال أن تكون أول مقابلة في الموسم الأول مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث.قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
3. بشرط أن تكون أول مقابلة لنوع مُختار عشوائيًا من أنواع المخلوقات الفضائية، في الموسم ١، أوجد احتمال أن تكون أول مقابلة مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث.قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
4. هل الحدثان ”م١ = أول مقابلة في الموسم ١“ و”أنثى“ مستقلان.

الحل

الجزء ١

لإيجاد احتمال أن تكون أول مقابلة لنوع من أنواع المخلوقات الغريبة مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث، علينا معرفة إجمالي عدد المقابلات التي جرت مع الأنواع الفضائية، وعدد المقابلات الأولى التي كانت مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث.

إجمالي عدد المقابلات الأولى التي أجراها أفراد الطاقم من الإناث هو ٣٧، وإجمالي عدد المقابلات الأولى هو ٧٢. ومن ثم، بفرض أن ”ث“ يشير إلى ”أنثى،“

احتمال أن تكون المقابلة الأولى مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث هو ٠٫٥١٤، ويمكننا القول إنه يوجد احتمال بنسبة ٥١٪ تقريبًا أن تكون أول مقابلة مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث.

الجزء ٢

أسهل طريقة لإيجاد احتمال أن تكون أول مقابلة في الموسم الأول (م١) ومع إحدى أفراد الطاقم من الإناث، هي النظر إلى خانة الجدول الخاصة بـ ”الموسم ١“ و”أنثى“.

كما نرى، كانت توجد ١٦ أنثى في المقابلات الأولى في الموسم ١. الاحتمال المطلوب، الذي يمكننا كتابته على الصورة ، هو

إذن، يوجد احتمال بنسبة ٢٢٫٢٪ أن تكون أول مقابلة في الموسم الأول مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث.

الجزء ٣

لإيجاد احتمال أن يكون فرد الطاقم أنثى، بشرط أن تكون أول مقابلة قد أُجريت في الموسم ١، سنحتاج فقط إلى النظر إلى عمود الموسم الأول في الجدول. وهذا لأننا نعلم بالفعل أن المقابلة أُجريت في الموسم الأول، لذا احتمال حدوثها في الموسم ٢ أو في الموسم ٧ هو ٠. نريد إيجاد الاحتمال الشرطي .

يمكننا ببساطة قراءة الأعداد من الجدول، ومن ثم

إذن، يوجد احتمال بنسبة ٥٧٪ تقريبًا أن تكون أول مقابلة مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث، بشرط أن تكون أول مقابلة قد أُجريت في الموسم ١، حيث .

ملاحظة

لإيجاد ذلك، كان بإمكاننا أيضًا استخدام صيغة الاحتمال الشرطي:

نعلم من الجزء الثاني أن . وأن احتمال حدوث أول مقابلة في الموسم ١ هو

ومن ثم، يكون الاحتمال الشرطي الذي نحتاجه هو

الجزء الرابع

ليكون الحدثان ”م١ = أول مقابلة في الموسم ١“ و”ث = أنثى“ حدثين مستقلين، يجب أن يكون صحيحًا أن

بعبارة أخرى يجب أن يساوي . من العمليات الحسابية السابقة، نعرف أن

وحيث إن ، فالحدثان ”م١ = أول مقابلة في الموسم ١“ و”ث = أنثى“ غير مستقلين. وهذا يعني أن الموسم الذي تمت فيه أول مقابلة له تأثير على احتمال أن تكون أول مقابلة قد أُجريت مع إحدى أفراد الطاقم من الإناث.