في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد المركِّبتَيْن: المركِّبة ، والمركِّبة لمتجه بمعلومية مقداره والزاوية المحصورة بين المتجه وأحد المحورين.
الكمية القياسية هي كمية لها مقدار فقط؛ فهي مجرد قياس أو قيمة. وتُعَد الكتلة أحد أمثلة الكمية القياسية في الفيزياء.
الكمية المتجهة هي كمية لها مقدار واتجاه. وتُعَد السرعة المتجهة أحد أمثلة الكمية المتجهة في الفيزياء. فتُمثِّل السرعة المتجهة مدى السرعة التي يتحرَّك بها الجسم، بالإضافة إلى اتجاهه.
يمكننا تمثيل المتجهات بيانيًّا باستخدام الأسهم. ويُمثِّل طول السهم مقدار المتجه، ويُمثِّل اتجاه السهم اتجاه المتجه.
يوضِّح الشكل الآتي متجهًا مُمثَّلًا بسهم.
مقدار المتجه يساوي 6.4 cm، واتجاهه يساوي عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور .
والزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور تكون موجبة.
ثمة طريقة أخرى لتمثيل المتجه. حيث يمكننا تمثيله بدلالة مركِّبتيه. المركِّبة ، أو المركِّبة الأفقية للمتجه، هي مقدار هذا المتجه في الاتجاه . والمركِّبة ، أو المركِّبة الرأسية للمتجه، هي مقداره في الاتجاه .
يوضِّح الشكل التالي المتجه نفسه الموضَّح سابقًا، ولكنه مرسوم على شبكة رسم. طول كل مربع في هذه الشبكة وعرضه يساوي 1 cm.
يمكننا ملاحظة أن مقدار المتجه في الاتجاه يساوي 4 مربعات على شبكة الرسم، أو 4 cm، ومقداره في الاتجاه يساوي 5 مربعات على شبكة الرسم، أو 5 cm. وهاتان هما مركِّبتا و للمتجه.
يمكننا ترميز هاتين المركِّبتين ببساطة في صورة زوج من القيم؛ أي ، ولكن تُوجَد طريقة أخرى أكثر نفعًا، وهي باستخدام متجهَي الوحدة.
متجه الوحدة هو متجه مقداره يساوي 1. ونستخدم عادةً الرمز لتمثيل متجه الوحدة على طول المحور ، والرمز لتمثيل متجه الوحدة على طول المحور . ومتجها الوحدة هذان موضَّحان في الشكل الآتي:
يمكننا رسم المتجه الأزرق الموجود في الشكل السابق من خلال جمع مضاعفات متجهَي الوحدة و معًا، كما هو موضَّح بالأسفل.
فالمتجه الأزرق يساوي و مجموعين معًا. ويمكننا كتابة ذلك جبريًّا في صورة:
في الواقع، يمكننا تمثيل أي متجه بهذه الطريقة. فبالنسبة إلى المتجه ، إذا قلنا إن قيمة المركِّبة للمتجه، و قيمة المركِّبة ، فإن:
وهذه هي الطريقة التي يمكننا بها إيجاد مركِّبتَي المتجه، وكتابته في الصورة المركِّبة باستخدام ترميز متجهَي الوحدة عندما تكون لدينا شبكة رسم. ولكن إذا كان لدينا مقدار المتجه وزاويته، فيمكننا بدلًا من ذلك إيجاد مركِّبتَيْه باستخدام حساب المثلثات.
يُكوِّن أي متجه مثلثًا قائم الزاوية مع المحور ، كما هو موضَّح بالأسفل.
إذا كانت هي الزاوية المحصورة بين المتجه والمحور ، فإن الضلع المجاور في المثلث هو مقدار المتجه في الاتجاه الأفقي، والضلع المقابل فيه هو مقدار المتجه في الاتجاه الرأسي، ويُمثِّل الوتر مقدار المتجه.
تذكَّر أن:
يمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة لجعل الضلع المجاور في المثلث في طرف بمفرده:
بما أن الضلع المجاور في المثلث يساوي المركِّبة الأفقية للمتجه، ، والوتر يساوي مقدار المتجه، وهو ما نُسمِّيه فقط، إذن يمكننا كتابة هذه الصيغة في صورة:
وبالمثل، تذكَّر أن:
يمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة لجعل الضلع المقابل في المثلث في طرف بمفرده في المعادلة:
وبما أن الضلع المقابل في المثلث يساوي المركِّبة الرأسية للمتجه، ، والوتر يساوي مقدار المتجه، ، إذن يمكننا كتابة هذه الصيغة في صورة:
يمكننا استخدام هاتين العلاقتين لإيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية لأي متجه بمعلومية مقداره وسعته.
مثال ١: إيجاد مركِّبتَي متجه على شبكة رسم
اكتب في الصورة المركِّبة.
الحل
بالنظر إلى شبكة الرسم، يمكننا ملاحظة أن الطول الأفقي للمتجه يساوي 6 مربعات على شبكة الرسم، وطوله الرأسي يساوي 3 مربعات.
تذكَّر أنه يمكننا التعبير عن أي متجه في صورة مجموع مضاعفات متجهَي الوحدة في الاتجاهين و: حيث المركِّبة الأفقية للمتجه، و المركِّبة الرأسية له، و متجه الوحدة على طول الجزء الموجب للمحور ، و متجه الوحدة على طول الجزء الموجب للمحور .
بالنظر إلى الشكل مرة أخرى، نلاحظ أن المتجه يُشير في الاتجاه الموجب للمحور ؛ ومن ثم، فإن مركِّبته الأفقية تساوي 6، ولكنه يُشير كذلك في الاتجاه السالب للمحور ؛ ولذا، على الرغم من أن طوله الرأسي يساوي 3، فإن مركِّبته الرأسية تساوي . ومن ثَمَّ، فإن:
مثال ٢: إيجاد المركِّبة 𝑥 لمتجه بمعلومية مقداره واتجاهه
يوضِّح الشكل المتجه الذي مقداره 22. قياس الزاوية المحصورة بين المتجه والمحور يساوي . أوجد المركِّبة الأفقية للمتجه. قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.
الحل
تذكَّر أنه يمكننا استخدام الصيغة: حيث هو مقدار المتجه، و هي زاويته، لإيجاد المركِّبة الأفقية للمتجه، .
بالتعويض بالقيمتين المُعطاتين في السؤال، نحصل على:
بالتقريب لأقرب عدد صحيح، نحصل على 18.
مثال ٣: إيجاد مركِّبتَي متجه بمعلومية مقداره واتجاهه
يوضِّح الشكل المتجه ، الذي مقداره 91. قياس الزاوية المحصورة بين المتجه والمحور يساوي . اكتب هذا المتجه في الصورة المركِّبة. قرِّب جميع الأعداد في إجابتك لأقرب عدد صحيح.
الحل
تذكَّر أنه يمكننا استخدام المعادلتين: حيث هو مقدار المتجه، و هي الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة، لإيجاد المركِّبة الأفقية، ، والمركِّبة الرأسية، ، للمتجه.
في هذا السؤال، لدينا قياس الزاوية المحصورة بين المتجه والجزء السالب للمحور ، ولكننا نريد الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور . ولذا، لإيجاد هذه الزاوية، كل ما علينا فعله هو إيجاد ، وهو ما يساوي .
باستخدام هذه القيمة، وكذلك قيمة مقدار المتجه المعطى في السؤال، للتعويض في المعادلة الأولى، نحصل على:
بالتقريب لأقرب عدد صحيح، نحصل على .
بفعل الأمر نفسه، بالتعويض في المعادلة الثانية، نحصل على:
بالتقريب لأقرب عدد صحيح، نحصل على 40. يُطلَب منا في السؤال كتابة الإجابة في الصورة المركِّبة، وهي الصورة ، وبذلك تكون الإجابة النهائية هي:
النقاط الرئيسية
- يمكن تمثيل أي متجه، ، في صورة مجموع مضاعفات متجهَي الوحدة على طول المحورين و. فإذا كان المركِّبة الأفقية للمتجه، و المركِّبة الرأسية له، و متجه الوحدة على طول المحور ، و متجه الوحدة على طول المحور ، فإن:
- إذا كان لدينا متجه موضَّح على شبكة رسم، فيمكننا إيجاد مركِّبتَيْه عن طريق عدِّ مربعات الشبكة.
- إذا كان لدينا مقدار المتجه واتجاهه، فيمكننا إيجاد مركِّبتَيْه باستخدام حساب المثلثات. فإذا كان هو مقدار المتجه، و هي زاويته؛ حيث قيست الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور ، فإن:
