تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: قِيَم الدوال المثلثية بالزوايا المرجعية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجِد الزوايا المرجعية ونستخدمها لإيجاد قيم الدوال المثلثية.

نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية برسم الزاوية في الوضع القياسي ثم تحديد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. لرسم زاوية في الوضع القياسي، فإننا نقيس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎 عندما يكون قياس الزاوية موجبًا، ونقيس في اتجاه دوران عقارب الساعة إذا كان قياس الزاوية سالبًا.

على سبيل المثال، يمكننا إيجاد قيمة ٠٥١ بالاستعانة بالشكل التالي:

إحداثيات نقطة التقاطع بين دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل والضلع النهائي للزاوية التي قياسها ٠٥١ في الوضع القياسي هي (٠٥١،٠٥١). يمكننا إيجاد قيم المقادير المثلثية لكل إحداثي بالاستعانة بالشكل وتطبيق حساب المثلثات. أولًا، نلاحظ أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ٠٨١؛ لذا يمكننا إضافة الزاوية التي قياسها ٠٣ إلى الشكل كما يلي:

ثانيًا، بما أن دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل هي المحل الهندسي لجميع النقاط التي تبعُد مسافة مقدارها ١ عن نقطة الأصل، فإننا نعرف إذن أن طول القطعة المستقيمة بين النقطة (٠٥١،٠٥١) ونقطة الأصل يساوي ١. وإذا أسقطنا عمودًا من النقطة (٠٥١،٠٥١) على المحور 𞸎، فسنحصل على المثلث القائم الزاوية التالي:

نستخدم القيمة المطلَقة لإحداثيات النقطة (٠٥١،٠٥١) بما أننا نريد إيجاد أطوال أضلاع المثلث وليس الإحداثيات. وأخيرًا، يمكننا إيجاد هاتين القيمتين باستخدام حساب المثلثات؛ حيث جيب الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر. ومن ثم: ٠٣=|٠٥١|١=|٠٥١|.

وبالمثل، جيب تمام الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر. ومن ثم: ٠٣=|٠٥١|١=|٠٥١|.

إننا نعرف أن: ،٠٣=١٢٠٣=󰋴٣٢.

ومن ثم، إذا وضعنا في الاعتبار حقيقة أن هذه النقطة (٠٥١،٠٥١) تقع في الربع الثاني، يكون إذن: ،٠٥١=١٢٠٥١=󰋴٣٢.

وبطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد القيم المثلثية للزوايا التي قياسها أكبر من ٠٦٣. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد قيمة (٥٠٤) برسم الزاوية في الوضع القياسي وملاحظة أنها تكافئ الزاوية التي قياسها ٥٠٤+٢×٠٦٣=٥١٣ في الوضع القياسي.

بما أن الضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي لا يتغيَّر عند الدوران دورة كاملة في اتجاه دوران عقارب الساعة أو في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فهذا يعني أن جيب الزاوية وجيب تمامها دوريان ودورتهما هي ٠٦٣. يمكننا إذن إيجاد قيمة (٥٠٤) بإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الضلع النهائي والجزء الموجب من المحور 𞸎؛ في هذه الحالة، نلاحظ أن الدورة الكاملة تساوي ٠٦٣؛ لذا فإن قياسها يساوي ٠٦٣٥١٣=٥٤. بإضافة ذلك إلى الشكل ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل نحصل على الشكل التالي:

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة (٥٠٤) بإسقاط عمود على المحور 𞸎، وتطبيق حساب المثلثات.

بما أن النقطة تقع في الربع الرابع، فإننا نجد أن قيمة (٥٠٤) سالبة. ومن ثَمَّ بتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية، نحصل على: (٥٠٤)=(٥٤)=󰋴٢٢.

في الأمثلة السابقة، تمكَّنا من إيجاد قيم الدوال المثلثية لأيِّ زاوية بإيجاد زاوية موجبة مكافئة في الوضع القياسي أولًا، ثم بإيجاد قياس الزاوية الحادة التي يصنعها الضلع النهائي مع المحور 𞸎 ثانيًا. نسمِّي الزاوية الموجبة المكافئة أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، ونسمِّي الزاوية الحادة التي يصنعها الضلع النهائي مع المحور 𞸎 الزاوية المرجعية، وسنُعرِّف هاتين الزاويتين تعريفًا منهجيًّا كما يلي.

تعريف: أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي

إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، فإن الزاوية التي تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي للزاوية 𝜃 (أقل من دورة كاملة) تُسمَّى أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية 𝜃.

تعريف: الزاوية المرجعية

إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، وليست زاوية ربعية (مضاعَف صحيح لزاوية قائمة)، فإن الزاوية الحادة التي يصنعها الضلع النهائي مع المحور 𞸎 تُسمَّى الزاوية المرجعية للزاوية 𝜃.

هناك أربعة احتمالات مختلفة لكلٍّ من أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي والزاوية المرجعية استنادًا إلى أيُّ ربع من الأرباع الأربعة يقع فيه الضلع النهائي، وهو ما يمكننا ملاحظته فيما يلي:

دعونا نتناول بعض الأمثلة حول كيفية إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لقياسات زوايا مختلفة معطاة بالراديان.

مثال ١: إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لزاوية سالبة

إذا كانت لدينا الزاوية ٢𝜋٣، فأوجد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئها.

الحل

نتذكَّر أنه لإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية 𝜃 فإننا نرسم الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي، ثم نوجِد الزاوية التي تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي، وهي أقل من دورة كاملة، [٠،٢𝜋]. لرسم ٢𝜋٣ في الوضع القياسي نلاحظ أن القيمة سالبة؛ لذا نقيس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎 لنحصل على الشكل التالي؛ حيث نسمِّي أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي 𝛼:

على الرغم من أن قيمة الزاوية الموجَّهة 𝜃 سالبة، فإننا إذا أخذنا مقدار هذه الزاوية ثم أضفناه إلى قياس 𝛼 فسنحصل على زاوية كاملة قياسها ٢𝜋، ومن ثَمَّ فإن: 𝛼+٢𝜋٣=٢𝜋𝛼=٢𝜋٢𝜋٣𝛼=٤𝜋٣.

إذن، أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية ٢𝜋٣ هي ٤𝜋٣.

مثال ٢: إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لزاوية قياسها أكبر من π٢

إذا كانت لدينا الزاوية ٩٣𝜋٤، فأوجد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئها.

الحل

نتذكَّر أنه لإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئ الزاوية 𝜃، فإننا نرسم الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي، ثم نوجِد الزاوية التي تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي؛ وهي أقل من دورة كاملة.

لرسم ٩٣𝜋٤ في الوضع القياسي، نلاحظ أن ٩٣𝜋٤>٢𝜋؛ لذا فإن قياس الزاوية أكبر من دورة كاملة. وهذا يعني أن علينا طرح المضاعفات الصحيحة لـ ٢𝜋 لإيجاد زاوية مكافئة في الوضع القياسي. بما أن ٩٣٤=٨+٧٤، فإننا نطرح ٨𝜋 كما يلي: ٩٣𝜋٤٤×٢𝜋=٩٣𝜋٤٨𝜋=٩٣𝜋٤٢٣𝜋٤=٧𝜋٤.

يمكننا أن نلاحظ أن الزاويتين ٩٣𝜋٤، ٧𝜋٤ لهما نفس الضلع النهائي عند رسمهما في الوضع القياسي كما هو موضَّح في الشكلين التاليين:

بما أن هذه القيمة تقع بين ٠، ٢𝜋، فإنه يمكننا استنتاج أن أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية ٩٣𝜋٤ هي ٧𝜋٤.

لنرَ الآن مثالًا يوضِّح كيفية استخدام قيمة أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لإيجاد قيمة مقدار يحتوي على دالة مثلثية بدون استخدام الآلة الحاسبة.

مثال ٣: إيجاد قيمة جيب تمام زاوية سالبة بإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لها

أوجد (٠٦٩) دون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيمة الدوال المثلثية من خلال رسم زوايا في الوضع القياسي، ثم إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. يمكننا فعل ذلك برسم الزاوية التي قياسها ٠٦٩ في الوضع القياسي. ولكن، يمكننا أيضًا إيجاد قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لأن هذا سيعطينا نفس الضلع النهائي.

أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئ ٠٦٩ سيكون قياسها بين ٠، ٠٦٣، والضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي يظلُّ كما هو. يمكننا إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي بجمع المضاعفات الصحيحة لـ ٠٦٣ مع الزاوية التي قياسها ٠٦٩. عندما نفعل ذلك نحصل على: ٠٦٩+٣×٠٦٣=٠٢١.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة (٠٦٩) برسم الزاوية ٠٢١ في الوضع القياسي في دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. سيكون الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع بين دائرة الوحدة والضلع النهائي هو (٠٦٩).

لإيجاد الإحداثي 𞸎 لهذه النقطة، نلاحظ أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ٠٨١؛ إذن قياس الزاوية المحصورة بين الجزء السالب من المحور 𞸎 والضلع النهائي يساوي: ٠٨١٠٢١=٠٦.

بإسقاط عمود من نقطة التقاطع على المحور 𞸎، نحصل على الشكل التالي:

وبتطبيق حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية، سيكون طول الضلع المجاور للزاوية التي قياسها ٠٦ يساوي (٠٦).

وبما أن الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع سالب، فإننا نجد أن: (٠٦٩)=٠٦=١٢.

في المثال السابق، أوجدنا قيمة أحد مقادير الدوال المثلثية من خلال إيجاد قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية المطلوبة. وفي الواقع، استخدمنا أيضًا الزاوية المرجعية لقيمة أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.

لنرَ مثالًا آخَر على ذلك.

مثال ٤: إيجاد قيمة جيب زاويةٍ ما بإيجاد الزاوية المرجعية

أوجد قيمة 󰂔١١𝜋٦󰂓.

الحل

نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية من خلال رسم الزاوية في الوضع القياسي، ثم إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة. نبدأ برسم ١١𝜋٦ في الوضع القياسي، مع ملاحظة أنها زاوية موجبة؛ لذا فإن الزاوية تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎. وبما أن ٣𝜋٢<١١𝜋٦<٢𝜋، إذن يقع الضلع النهائي في الربع الرابع كما هو موضَّح في الشكل التالي:

لإيجاد قيمة 󰂔١١𝜋٦󰂓 علينا إيجاد الإحداثي 𞸑 لنقطة التقاطع. سنفعل ذلك بإيجاد الزاوية المرجعية للزاوية ١١𝜋٦؛ أي قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الضلع النهائي والمحور 𞸎 عند رسم ١١𝜋٦ في الوضع القياسي. يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن مجموع قياسي الزاوية المحصورة بين الضلع النهائي والمحور 𞸎 والزاوية ١١𝜋٦ يساوي ٢𝜋. بتسمية الزاوية المرجعية 𝜃، نجد أن: 𝜃+١١𝜋٦=٢𝜋𝜃=٢𝜋١١𝜋٦𝜃=𝜋٦.

بعد ذلك، نضيف هذه القيمة إلى الشكل ونسقط عمودًا من نقطة التقاطع على المحور 𞸎 كما هو موضَّح في الشكل التالي:

يمكننا إضافة اتجاه إلى الزاوية المرجعية لنوضِّح أن هذه هي الزاوية 𝜋٦ في الوضع القياسي. ويمكن أيضًا كتابة إحداثيات نقطة التقاطع على الصورة 󰂔󰂔𝜋٦󰂓،󰂔𝜋٦󰂓󰂓. بمساواة المقدارين اللذين يعبِّران عن الإحداثي 𞸑 لنقطة التقاطع وإيجاد القيمة الناتجة، نجد أن: 󰂔١١𝜋٦󰂓=󰂔𝜋٦󰂓=١٢.

ومن ثَمَّ، فإن 󰂔١١𝜋٦󰂓=١٢.

في المثال التالي، سنستخدم الزاوية المرجعية لزاوية ما لإيجاد قيمة مقلوب دالة مثلثية.

مثال ٥: إيجاد قيمة القاطع لزاوية ما بإيجاد الزاوية المرجعية

أوجد ٠٠٣ دون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

لإيجاد قيمة القاطع لزاوية ما علينا أولًا تذكُّر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام. نستنتج من ذلك أن: ٠٠٣=١٠٠٣.

يمكننا إيجاد جيب تمام الزاوية ٠٠٣ برسم الزاوية في الوضع القياسي، ثم إيجاد الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة. بما أن الزاوية ٠٠٣ موجبة فإنها تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة مع ملاحظة أن ٠٧٢<٠٠٣<٠٦٣؛ إذن يقع الضلع النهائي في الربع الرابع. وهذا يعطينا الشكل التالي:

لإيجاد الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع نوجِد الزاوية المرجعية للزاوية ٠٠٣؛ وهي التي قياسها يساوي قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الضلع النهائي والمحور 𞸎 في الشكل السابق. بتسمية الزاوية المرجعية 𝜃، وملاحظة أن هاتين الزاويتين تصنعان دورة كاملة؛ فإنه يكون لدينا: ٠٦٣=٠٠٣+𝜃𝜃=٠٦٣٠٠٣=٠٦.

بإضافة هذه الزاوية إلى الشكل وإسقاط عمود من نقطة التقاطع على المحور 𞸎 نحصل على الشكل التالي:

بما أن الضلع النهائي يقع في الربع الرابع؛ إذن الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع يكون موجبًا، وهو ما يعني أن قيمة ٠٠٣ موجبة أيضًا. يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة بتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية الموضَّح في الشكل؛ حيث طول الضلع المجاور للزاوية ٠٦ يساوي ٠٠٣، وطول الوتر يساوي ١.

جيب تمام الزاوية ٠٦ يساوي النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر؛ وهو ما يعطينا: ٠٦=٠٠٣١١٢=٠٠٣٠٠٣=١٢.

وأخيرًا، نأخذ مقلوب كِلا طرفَي هذه المعادلة لنجد أن: ١٠٠٣=١󰂔󰂓٠٠٣=٢.١٢

في المثال الأخير سنوجِد قيمة دالة الظل بإيجاد الزاوية المرجعية للزاوية المطلوبة أولًا.

مثال ٦: إيجاد قيمة الظل لزاوية ما بإيجاد الزاوية المرجعية

أوجد قيمة ٧𝜋٦ الدقيقة بدون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

لإيجاد ظل زاوية بدون استخدام الآلة الحاسبة نتذكَّر أولًا أن الظل هو خارج قسمة جيب الزاوية على جيب تمامها. بتطبيق ذلك على الزاوية ٧𝜋٦، نجد أن: ٧𝜋٦=󰂔󰂓󰂔󰂓.٧𝜋٦٧𝜋٦

يمكننا إيجاد جيب الزاوية وجيب تمامها برسمها في الوضع القياسي، ثم إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. بما أن القيمة ٧𝜋٦ موجبة، فإن الزاوية تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، ونلاحظ أن 𝜋<٧𝜋٦<٣𝜋٢. إذن، سيقع الضلع النهائي في الربع الثالث. وهذا يعطينا الشكل التالي:

لإيجاد قيمتَي الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لنقطة التقاطع، علينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الضلع النهائي والمحور 𞸎 (التي تُسمَّى الزاوية المرجعية). قياس الزاوية بين الجزء الموجب من المحور 𞸎 والجزء السالب من المحور 𞸎 يساوي 𝜋؛ إذن فإن قياس الزاوية المرجعية يساوي: ٧𝜋٦𝜋=𝜋٦.

يمكننا أن نضيف ذلك إلى الشكل ونسقط عمودًا من نقطة التقاطع على المحور 𞸎 لنحصل على الشكل التالي:

بما أن نقطة التقاطع تقع في الربع الثالث، فإن الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لنقطة التقاطع سيكونان سالبين. ومن ثَمَّ، طول قاعدة المثلث القائم الزاوية يساوي 󰂔٧𝜋٦󰂓، وارتفاعه يساوي 󰂔٧𝜋٦󰂓؛ وهو ما يعطينا المثلث القائم الزاوية التالي:

يمكننا إيجاد مقدارين يعبِّران عن 󰂔٧𝜋٦󰂓، 󰂔٧𝜋٦󰂓 بتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية. أولًا، بحساب النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية 𝜋٦ وطول الوتر، نحصل على ما يلي: 󰂔𝜋٦󰂓=󰂔󰂓١١٢=󰂔٧𝜋٦󰂓󰂔٧𝜋٦󰂓=١٢.٧𝜋٦

ثانيًا، بحساب النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية 𝜋٦ وطول الوتر، نحصل على ما يلي: 󰂔𝜋٦󰂓=󰂔󰂓١󰋴٣٢=󰂔٧𝜋٦󰂓󰂔٧𝜋٦󰂓=󰋴٣٢.٧𝜋٦

وأخيرًا، يمكننا حساب خارج قسمة هاتين القيمتين لإيجاد ظل الزاوية المطلوبة كما يلي: 󰂔٧𝜋٦󰂓=󰂔󰂓󰂔󰂓=󰂔󰂓󰃁󰃀=١٢×٢󰋴٣=١󰋴٣=󰋴٣٣.٧𝜋٦٧𝜋٦١٢󰋴٣٢

إذن: 󰂔٧𝜋٦󰂓=󰋴٣٣.

دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، فإن الزاوية التي تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي للزاوية 𝜃 (أقل من دورة كاملة) تُسمَّى أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.
  • لا يغيِّر حساب قيمة أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي من قيمةَ دالة الجيب أو دالة جيب التمام.
  • إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، وليست زاوية ربعية، فإن الزاوية الحادة التي يصنعها الضلع النهائي مع المحور 𞸎 تُسمَّى الزاوية المرجعية.
  • برسم الزاوية في الوضع القياسي واستخدام كلٍّ من أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي والزاوية المرجعية، يمكننا إيجاد قياسات الزوايا المكافئة لإيجاد قيم الدوال المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.