شارح الدرس: قِيَم الدوال المثلثية بالزوايا المرجعية الرياضيات

مثال ١: إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لزاوية سالبة

إذا كانت لدينا الزاوية ، فأوجد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئها.

الحل

نتذكَّر أنه لإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية فإننا نرسم الزاوية في الوضع القياسي، ثم نوجِد الزاوية التي تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي، وهي أقل من دورة كاملة، . لرسم في الوضع القياسي نلاحظ أن القيمة سالبة؛ لذا نقيس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور لنحصل على الشكل التالي؛ حيث نسمِّي أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي :

على الرغم من أن قيمة الزاوية الموجَّهة سالبة، فإننا إذا أخذنا مقدار هذه الزاوية ثم أضفناه إلى قياس فسنحصل على زاوية كاملة قياسها ، ومن ثَمَّ فإن:

إذن، أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية هي .

مثال ٢: إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لزاوية قياسها أكبر من π٢

إذا كانت لدينا الزاوية ، فأوجد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئها.

الحل

نتذكَّر أنه لإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئ الزاوية ، فإننا نرسم الزاوية في الوضع القياسي، ثم نوجِد الزاوية التي تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي؛ وهي أقل من دورة كاملة.

لرسم في الوضع القياسي، نلاحظ أن ؛ لذا فإن قياس الزاوية أكبر من دورة كاملة. وهذا يعني أن علينا طرح المضاعفات الصحيحة لـ لإيجاد زاوية مكافئة في الوضع القياسي. بما أن ، فإننا نطرح كما يلي:

يمكننا أن نلاحظ أن الزاويتين ، لهما نفس الضلع النهائي عند رسمهما في الوضع القياسي كما هو موضَّح في الشكلين التاليين:

بما أن هذه القيمة تقع بين ٠، ، فإنه يمكننا استنتاج أن أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة للزاوية هي .

مثال ٣: إيجاد قيمة جيب تمام زاوية سالبة بإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي مكافئة لها

أوجد دون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيمة الدوال المثلثية من خلال رسم زوايا في الوضع القياسي، ثم إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. يمكننا فعل ذلك برسم الزاوية التي قياسها في الوضع القياسي. ولكن، يمكننا أيضًا إيجاد قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لأن هذا سيعطينا نفس الضلع النهائي.

أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي تكافئ سيكون قياسها بين ، ، والضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي يظلُّ كما هو. يمكننا إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي بجمع المضاعفات الصحيحة لـ مع الزاوية التي قياسها . عندما نفعل ذلك نحصل على:

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة برسم الزاوية في الوضع القياسي في دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. سيكون الإحداثي لنقطة التقاطع بين دائرة الوحدة والضلع النهائي هو .

لإيجاد الإحداثي لهذه النقطة، نلاحظ أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ؛ إذن قياس الزاوية المحصورة بين الجزء السالب من المحور والضلع النهائي يساوي:

بإسقاط عمود من نقطة التقاطع على المحور ، نحصل على الشكل التالي:

وبتطبيق حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية، سيكون طول الضلع المجاور للزاوية التي قياسها يساوي .

وبما أن الإحداثي لنقطة التقاطع سالب، فإننا نجد أن:

مثال ٤: إيجاد قيمة جيب زاويةٍ ما بإيجاد الزاوية المرجعية

أوجد قيمة .

الحل

نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية من خلال رسم الزاوية في الوضع القياسي، ثم إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة. نبدأ برسم في الوضع القياسي، مع ملاحظة أنها زاوية موجبة؛ لذا فإن الزاوية تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور . وبما أن ، إذن يقع الضلع النهائي في الربع الرابع كما هو موضَّح في الشكل التالي:

لإيجاد قيمة علينا إيجاد الإحداثي لنقطة التقاطع. سنفعل ذلك بإيجاد الزاوية المرجعية للزاوية ؛ أي قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الضلع النهائي والمحور عند رسم في الوضع القياسي. يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن مجموع قياسي الزاوية المحصورة بين الضلع النهائي والمحور والزاوية يساوي . بتسمية الزاوية المرجعية ، نجد أن:

بعد ذلك، نضيف هذه القيمة إلى الشكل ونسقط عمودًا من نقطة التقاطع على المحور كما هو موضَّح في الشكل التالي:

يمكننا إضافة اتجاه إلى الزاوية المرجعية لنوضِّح أن هذه هي الزاوية في الوضع القياسي. ويمكن أيضًا كتابة إحداثيات نقطة التقاطع على الصورة . بمساواة المقدارين اللذين يعبِّران عن الإحداثي لنقطة التقاطع وإيجاد القيمة الناتجة، نجد أن:

ومن ثَمَّ، فإن .

مثال ٥: إيجاد قيمة القاطع لزاوية ما بإيجاد الزاوية المرجعية

أوجد دون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

لإيجاد قيمة القاطع لزاوية ما علينا أولًا تذكُّر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام. نستنتج من ذلك أن:

يمكننا إيجاد جيب تمام الزاوية برسم الزاوية في الوضع القياسي، ثم إيجاد الإحداثي لنقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة. بما أن الزاوية موجبة فإنها تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة مع ملاحظة أن ؛ إذن يقع الضلع النهائي في الربع الرابع. وهذا يعطينا الشكل التالي:

لإيجاد الإحداثي لنقطة التقاطع نوجِد الزاوية المرجعية للزاوية ؛ وهي التي قياسها يساوي قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الضلع النهائي والمحور في الشكل السابق. بتسمية الزاوية المرجعية ، وملاحظة أن هاتين الزاويتين تصنعان دورة كاملة؛ فإنه يكون لدينا:

بإضافة هذه الزاوية إلى الشكل وإسقاط عمود من نقطة التقاطع على المحور نحصل على الشكل التالي:

بما أن الضلع النهائي يقع في الربع الرابع؛ إذن الإحداثي لنقطة التقاطع يكون موجبًا، وهو ما يعني أن قيمة موجبة أيضًا. يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة بتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية الموضَّح في الشكل؛ حيث طول الضلع المجاور للزاوية يساوي ، وطول الوتر يساوي ١.

جيب تمام الزاوية يساوي النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر؛ وهو ما يعطينا:

وأخيرًا، نأخذ مقلوب كِلا طرفَي هذه المعادلة لنجد أن:

مثال ٦: إيجاد قيمة الظل لزاوية ما بإيجاد الزاوية المرجعية

أوجد قيمة الدقيقة بدون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

لإيجاد ظل زاوية بدون استخدام الآلة الحاسبة نتذكَّر أولًا أن الظل هو خارج قسمة جيب الزاوية على جيب تمامها. بتطبيق ذلك على الزاوية ، نجد أن:

يمكننا إيجاد جيب الزاوية وجيب تمامها برسمها في الوضع القياسي، ثم إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. بما أن القيمة موجبة، فإن الزاوية تُقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، ونلاحظ أن . إذن، سيقع الضلع النهائي في الربع الثالث. وهذا يعطينا الشكل التالي:

لإيجاد قيمتَي الإحداثيين ، لنقطة التقاطع، علينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الضلع النهائي والمحور (التي تُسمَّى الزاوية المرجعية). قياس الزاوية بين الجزء الموجب من المحور والجزء السالب من المحور يساوي ؛ إذن فإن قياس الزاوية المرجعية يساوي:

يمكننا أن نضيف ذلك إلى الشكل ونسقط عمودًا من نقطة التقاطع على المحور لنحصل على الشكل التالي:

بما أن نقطة التقاطع تقع في الربع الثالث، فإن الإحداثيين ، لنقطة التقاطع سيكونان سالبين. ومن ثَمَّ، طول قاعدة المثلث القائم الزاوية يساوي ، وارتفاعه يساوي ؛ وهو ما يعطينا المثلث القائم الزاوية التالي:

يمكننا إيجاد مقدارين يعبِّران عن ، بتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية. أولًا، بحساب النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر، نحصل على ما يلي:

ثانيًا، بحساب النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر، نحصل على ما يلي:

وأخيرًا، يمكننا حساب خارج قسمة هاتين القيمتين لإيجاد ظل الزاوية المطلوبة كما يلي:

إذن: