في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيفية استنتاج المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما بيانيًّا أو باستخدام دائرة الوحدة، واستخدامها لإيجاد القيم المثلثية.
استُخدِمت المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما في الرياضيات طيلة قرون لحلِّ مسائل واقعية. فقد استخدم اليونانيون القدماء هذه الصيغ لحلِّ مسائل علم الفلك؛ مثل: حساب المسافة بين الأرض والشمس.
انظر إلى المقدار: . سنستخدم دائرة الوحدة لنوضِّح المتطابقة الخاصة بمجموع الزاويتين هذا.
يوضِّح الشكل التالي جزءًا من دائرة الوحدة؛ حيث ، ، لها أطوال مقدارها الوحدة، مكوَّنة من زاويتين هما: ، ؛ حيث ، . نلاحظ هنا أن في الوضع القياسي، والضلع الابتدائي لـ هو الضلع النهائي لـ . النقطتان ، هما نقطتَا تقاطُع الضلعين النهائيين لـ ، مع دائرة الوحدة.
سنضيف بعض الخطوط العمودية على هذا الشكل لتكوين مجموعة من المثلثات القائمة الزاوية التي يمكننا أن نطبِّق عليها حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية وهي: عمودي على ، كما أن ، عموديان على المحور ، عمودي على كما هو موضَّح.
بعد ذلك نلاحظ أن قياس ، قياس ؛ حيث إن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . إذن، لأن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس؛ ومن ثَمَّ . إضافة إلى ذلك كما هو موضَّح في الشكل التالي:
يتيح لنا استخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية على المثلث إيجاد العلاقة بين ، :
لكن، بما أن ؛ إذن:
ثم، باستخدام نسبة الجيب في المثلث نجد أن:
وباستخدام نسبة جيب التمام في المثلث نجد أن:
إذن:
وبالمثل، في المثلث :
وبالنسبة إلى المثلث :
ومن ثَمَّ:
بدمج المعادلات (١)، (٢)، (٣)؛ نحصل على المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين لدالة الجيب:
هذا توضيح لإثبات إحدى المتطابقات المثلثية الثلاث لمجموع زاويتين. في حين أننا افترضنا أن: ، ، ، ؛ يمكن تعميم هذا الإثبات على أيِّ زاويتين ، . ويمكننا اتباع طريقة مشابهة لتوضيح أن: .
تعريف: متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما
لأيِّ زاويتين ، مقيستين بالدرجة أو بالراديان؛ فإن:
على سبيل المثال انظر إلى المقدار . بكتابة الزاوية على الصورة: ، أو أيِّ زاوية مماثلة؛ يمكن استخدام متطابقة مجموع زاويتين لجيب التمام والقيم المثلثية الدقيقة لحساب قيمة المقدار.
بافتراض أن ، ؛ إذن:
يتيح لنا جدول القيم المثلثية الدقيقة إيجاد قيمة ذلك بسهولة كبيرة. تذكَّر الجدول التالي لأيِّ زاوية مقيسة بالدرجة:
| ٠ | ١ | ||||
| ١ | ٠ |
ومن ثَمَّ:
سنوضِّح الآن كيفية تطبيق هذه المتطابقات لحلِّ المسائل الأكثر تعقيدًا التي تعتمد على تعرُّفنا على صورتها العامة.
مثال ١: استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لتبسيط المقادير المثلثية
بسِّط .
الحل
في البداية علينا معرفة أننا نتعامل مع زاويتين: ، معطاتين على الصورة: . تذكَّروا أنه بالنسبة لأيِّ زاويتين ، فإن:
بجعل ، نحصل على:
إذن، يُبسَّط إلى: .
في المثال السابق أوضحنا كيف أن إمكانية التعرُّف على صورة متطابقة جمع زاويتين أو الفرق بينهما يمكنها أن تساعدنا في تبسيط مقدار ما. سنكرِّر هذه العملية مع متطابقة الفرق بين زاويتين لدالة الجيب.
مثال ٢: استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لحساب قيم المقادير المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة
إذا كان ، فأوجد قيمة بالدرجات، علمًا بأن هذه الزاوية حادة.
الحل
تحتوي هذه المعادلة على زاويتين: ، معطاتين على الصورة: . يمكننا أن نعرف أن هذه هي نفسها الصورة التي تكون عليها متطابقة الفرق بين زاويتين لدالة الجيب:
بفرض ، نحصل على:
بمساواة ذلك بالمقدار في السؤال؛ إذن:
في الأمثلة السابقة أوضحنا كيفية تطبيق متطابقتَي دالة الجيب ودالة جيب التمام. بعد ذلك سنبسِّط مقدارًا يعبِّر عن ظل زاوية.
مثال ٣: استخدام متطابقة مجموع زاويتين أو الفرق بينهما لتبسيط أحد المقادير المثلثية
بسّط .
الحل
للإجابة عن هذا السؤال يجب أن نعرف أن هذا المقدار يحتوي على زاويتين: ، معطاتين على الصورة: . وهذه هي صورة متطابقة مجموع زاويتين لدالة الظل، وهي التي تنصُّ على أنه لأيِّ زاويتين ، فإن:
بجعل ، ؛ إذن:
ومن ثَمَّ، يمكن تبسيط المقدار إلى: ؛ وهو الخيار (أ).
في الأمثلة القليلة الأولى استخدمنا متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لتبسيط المقادير التي تتضمَّن دوالَّ مثلثية. في المثال التالي سندمج بين استخدام هذه المتطابقات وحساب المثلثات القائمة الزاوية.
مثال ٤: حساب قيمة دالة مثلثية لمجموع زاويتين بمعلومية قيمتَي دالتَي جيب تمامها والربع الذي تقع فيه كلٌّ منهما
أوجد إذا كان ، ؛ حيث ، زاويتان حادتان.
الحل
نتذكَّر أن متطابقة مجموع زاويتين لدالة جيب التمام تنصُّ على أنه لأيِّ زاويتين ، فإن:
بما أننا نعرف قيمتَي ، فإذا أمكننا إيجاد ، فسنتمكَّن من حساب قيمة . إذا كانت زاوية حادة، و في أيِّ مثلث قائم الزاوية يحتوي على الزاوية ؛ فإنه يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يحتوي على الزاوية ، وطول الضلع المجاور ١٥ وحدة، وطول الوتر ١٧ وحدة.
باستخدام نسبة الجيب: ثم باستخدام نظرية فيثاغورس يمكننا إيجاد طول الضلع المقابل:
وبما أننا نتعامل مع الطول فإننا نتعامل مع الجذر التربيعي الموجب فقط ؛ وهو ما يعطينا:
بعد ذلك نكرِّر هذه العملية لإيجاد قيمة باستخدام مثلث قائم الزاوية ونظرية فيثاغورس. بما أن فإن المثلث القائم الزاوية يكون كما هو موضَّح.
ومن ثَمَّ، نوجد:
إذن:
وأخيرًا، نعوِّض بقيم: ، ، ، في متطابقة مجموع زاويتين :
إذن، .
في المثال الأخير سنستخدم معرفتنا بالمتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين لإيجاد علاقة الظل لمثلث غير قائم الزاوية.
مثال ٥: استخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية لحساب قيمة دالة الظل لمجموع زاويتين في مثلث
يوضِّح الشكل المثلث . إذا كان عموديًّا على ، ، ، ؛ فأوجد قيمة .
الحل
المثلث ليس مثلثًا قائم الزاوية. لكن علمنا من رأس السؤال أن عمودي على ؛ إذن المثلث والمثلث كلاهما مثلث قائم الزاوية. باستخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية يمكننا إيجاد قيمتَي ، . بعد أن نعرف هاتين القيمتين يمكننا استخدام متطابقة مجموع زاويتين لإيجاد قيمة .
في المثلثات القائمة ؛ إذن:
بعد ذلك نعوِّض بهاتين القيمتين في متطابقة مجموع زاويتين لدالة الظل:
إذن،
في الأمثلة السابقة رأينا كيف يمكن أن تساعدنا متطابقات مجموع زاويتين في تبسيط المقادير الجبرية باستخدام القيم الدقيقة. من المهم أن ندرك أنه يمكننا أيضًا استخدام هذه المتطابقات لمساعدتنا في تبسيط المقادير التي يمكن حساب قيمتها باستخدام الآلة الحاسبة.
مثال ٦: استخدام متطابقة مجموع زاويتين أو الفرق بينهما لحساب قيم مقادير مثلثية
أوجد قيمة الدقيقة.
الحل
نتذكَّر أن متطابقة مجموع زاويتين والفرق بينهما لدالة جيب التمام تنصُّ على أنه لأيِّ زاويتين ، فإن:
ربما نلاحظ أن المقدار يمكن تحليله إلى الصورة التالية:
بعد ذلك نبحث عن طريقة للعمل على ، لإنشاء مقدار به نفس الزوايا.
نكتب: ، ونكتب:
بعد ذلك باستخدام متطابقة مجموع زاويتين نحصل على:
ونحصل أيضًا على:
وعليه، فإن:
يمكننا إما استخدام القيم الدقيقة أو كتابة ذلك على الآلة الحاسبة لتوضيح أن:
سنراجع الآن بعض المفاهيم الأساسية التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يمكن استخدام متطابقات مجموع زاويتين أو الفرق بينهما لتبسيط المقادير التي تتضمَّن مجموع زاويتين أو الفرق بينهما، وحساب قيم المقادير المثلثية.
- يمكن استنتاج المتطابقات باستخدام دائرة الوحدة، وحساب المثلثات القائمة الزاوية.
- لأيِّ زاويتين ، فإن:
